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Instituto Superior de Ciências e
Tecnologia de Moçambique
APLICAÇÕES DE INTEGRAL
DEFINIDO
Manual Teórico – Prático
ALEVTINA LABÓVSKAIA
Maputo 2002
Conteúdo
1 Aplicações do integral definido 3
1 Área de uma figura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1 Coordenadas cartesianas, y = f(x) ≥ 0 . . . . . . . . 3
1.2 Coordenadas cartesianas, y = f(x) ≤ 0 . . . . . . . . 4
1.3 Área da figura limitada por duas curvas em coordena-
das cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Figura limitada por curva dada em forma paramétrica 5
1.5 Problemas e exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Volume de um corpo de revolução . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1 Teoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Problemas e exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3 Área de superfície de revolução . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.1 Teoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.2 Problemas e exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4 Comprimento de um arco de curva . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.1 Teoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.2 Problemas e exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
5 Trabalho de força . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5.1 Teoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5.2 Problemas e exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6 Momentos estáticos e centro de gravidade . . . . . . . . . . . 20
6.1 Teoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6.2 Problemas e exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2 Integrais impróprios 24
1 Definições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.1 Função não é limitada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.2 Intervalo de integração é infinito . . . . . . . . . . . . 27
2 Convergência e avaliação de integral impróprio . . . . . . . . 28
3 Integrais impróprios (exercícios) . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2
Capítulo 1
Aplicações do integral definido
1 Área de uma figura
O integral definido permite calcular as áreas de figuras dadas em formas
diferentes. Consideremos vários tipos da indicação das curvas.
1.1 Coordenadas cartesianas, y = f(x) ≥ 0
Dada uma função y = f(x), (f(x) ≥ 0) contínua e positiva sobre o seg-
mento [a, b] . A área do trapézio curvilíneo, limitado pela curva y = f(x) ,
pelas rectas verticais x = a e x = b e pelo segmento do eixo das abcissas
a ≤ x ≤ b determina-se pela fórmula
S =
∫ b
a
f(x) dx
y = f(x)
x
y
a b
Por exemplo a área da figura limitada pelas rectas y = x/2, x = 4, y = 0
calcula-se usando a formula indicada
S =
∫
4
0
x
2
dx =
x2
4
∣∣∣∣
4
0
= 4
y = x/2
x
y
4
3
1.2 Coordenadas cartesianas, y = f(x) ≤ 0
Se f(x) ≤ 0 então
∫ b
a
f(x)dx ≤ 0 também. Neste caso o valor absoluto
do integral é igual a área S do trapézio curvilíneo S =
∣∣∣∣
∫ b
a
f(x)dx
∣∣∣∣ =
−
∫ b
a
f(x)dx
S = −
∫ b
a
f(x)dx
y = f(x)
x
y
a b
1.3 Área da figura limitada por duas curvas em coordenadas
cartesianas
Em caso mais geral, quando a área S da figura é limitada por duas curvas
y = f1(x) e y = f2(x) e por duas verticais x = a e x = b , onde
f1(x) ≤ f2(x) para a ≤ x ≤ b teremos:
S =
∫ b
a
(f2(x)− f1(x))dx
y = f1(x)
y = f2(x)
x
y
a b
Exemplo 1. Calcular a área da figura limitada pelas curvas: y2 = 2x +
1, x− y − 1 = 0.
Solução. As curvas são apresentadas na figura 1.1. Encontramos os
pontos da intersecção: A(0,−1) , B(4, 3) . Assim achamos os limites de
integração. Para calcular a área dividamos a figura em duas partes S1 e
S2 .
S1 = 2
∫
0
−1/2
√
2x+ 1 dx =
2
3
,
S2 =
∫
4
0
(√
2x+ 1− (x− 1)) dx = 14
3
.
4
x
y
A
B
S1 S2
Figura 1.1: Área de uma figura
Então S = S1 + S2 =
16
3
.
1.4 Figura limitada por curva dada em forma paramétrica
Seja F uma figura limitada por uma curva regular dada em forma paramé-
trica
x = ϕ(t), y = ψ(t) ≥ 0, α ≤ t ≤ β,
por duas verticais x = a e x = b , e pelo segmento do eixo Ox . Notemos
que a = x(α) e b = x(β) .
A área da figura F é igual a
S =
∫ β
α
ψ(t)ϕ′(t)dt
Exemplo 2. Achar a área da elipse
x = a cos t, y = b sin t, 0 ≤ t ≤ 2pi
Solução. Considerando a simetria é suficiente calcular a área de apenas
uma quarta parte, e quadruplicar o resultado.
Fazendo na equação x = a cos t primeiramente x1 = 0 e depois x2 = a
recebemos t1 = pi/2 e t2 = 0 . Então obtemos os limites de integração.
1
4
S =
∫
0
pi/2
b sin t (a cos t)′ dt = −
∫
0
pi/2
b sin t a sin t dt =
abpi
4
.
Então a área S = piab.
5
Área em coordenadas polares
Uma curva contínua dada em coordenadas polares pela equação r = f(θ) .
A área da figura limitada pelo arco AB da curva e pelos raios polares OA
e OB correspondentes aos valores θ = α e θ = β pode ser exprimida pela
integral
S =
1
2
∫ β
α
(f(θ))2 dθ
α
β
O
ρ = ρ(θ)
Exemplo 3. Calcular a área de região limitada pela curva ρ = a
√
cos 2θ .
Solução. A região consiste de quarto partes iguais (figura 1.2). Calcule-
mos uma delas:
S = 4 · 1
2
∫ pi/4
0
a2 cos 2θ dθ = a2.
x
y
Figura 1.2: Curva ρ = a
√
cos 2θ
1.5 Problemas e exercícios
Área em coordenadas cartesianas
1. Calcule a área da região limitada pelas curvas:
6
(a) y = x3 , y = 0 , x = 1 ,
x = 3
(b) xy = 12 , y = 0 , x = 1 ,
x = e2
(c) y = 4− x2 , y = 0
(d) y = ex , y = e−x , x = 0 ,
x = 2
(e) e2 +
1
e2
− 2
(f) y = x2 , y = 0 , x = 2 ,
x = 5
(g) y = tan(x) , x = 0 , x = pi/4
(h) y = 1x+1 , x+ y = 4
Respostas: (a) 20, (b) 24,
2. Calcule a área de um semicirculo de raio r .
Resposta: pir2/2 .
3. Calcule a área da figura limitada pelas linhas y2 = 2x+1 e x−y−1 =
0 .
Resposta:
16
3
.
4. Calcule a área da figura limitada pelas curvas y = xe−x
2
, y = 0 e a
ordenada máxima.
Resposta:
1
2
(1− 1√
e
).
5. Calcule a área da figura limitada pela curva y = −x2 + 4x− 3 e suas
tangentes nos pontos (0;−3) e (3 : 0) .
Resposta: 9/4.
6. Calcule a área da figura limitada pela parábola y = x2 − 2x − 3 , a
sua tangente no ponto (0;−3) e pelo eixo OX .
Resposta: 7/12 .
7. Calcule a área da figura limitada pelas parábolas y2 + 8x = 16 e
y2 − 24x = 48 .
Resposta:
32
3
√
6 .
8. Calcule a área da figura limitada pela parábola y = x2 e y = x3/3 .
Resposta: 2
1
4
.
9. O círculo x2 + y2 ≤ a2 divide-se por hipérbole x2 − 2y2 = a2/4 em
tres partes. Calcule as áreas destas partes.
10. Calcule as áreas das figuras formadas por meio da intersecção da elipse
x2/4 = y2 = 1 e da hipérbole x2/2− y2 = 1 .
7
11. Calcule a área da figura formada pelas linhas y =
1
1 + x2
e y =
x2
2
.
12. Calcule a área da figura limitada pela linha y = x(x − 1)2 e o eixo
Ox .
Resposta:
1
12
.
13. Dados os tres pontos da parábola: A(1; 0) , B(6; 5) , C(0; 5) . Calcule
a área limitada pela esta parábola e pela recta que passa pelos dois
primeiros pontos.
14. Calcule a área da figura limitada pelas linhas y = lnx e y = ln2 x .
Resposta: 3− e .
15. Calcule a área do triángulo curvilineo limitado pelas curvas y = sinx
e y = cosx .
Resposta: 2−√2
16. Calcule a área do triángulo curvilineo limitado pelo eixo Oy e a curva
y = tanx, y =
2
3
cosx
Resposta:
1
3
− ln
√
3
2
17. Calcule a área da figura limitada pelo primeiro arco da cicloíde
x = a(t− sin t), y = a(1− cos t) .
Resposta: 3pia2
18. Calcule as áreas das figuras limitadas pelas linhas dadas:
(a)
{
x =
√
2 cos t,
y = 2
√
2 sin t,
(y ≥ 2)
(b)
{
x = 2 cos t,
y = 6 sin t,
(y ≥ 3)
(c)
{
x = 8 cos3 t,
y = 8 sin3 t,
(x ≥ 1)
(d)
{x = 3 cos t,
y = 8 sin t,
(y ≥ 4)
(e)
{
x = 6 cos t,
y = 2 sin t,
(y ≥ √3)
(f)
{
x = 6 cos t,
y = 4 sin t,
(y ≥ 2√3)
8
Área em coordenadas polares
19. Calcule as áreas das figuras limitadas pelas rosáceas de folhas:
(a) ρ = 4 cos(θ), (b) ρ = a cos(2θ),
(c) ρ = a sin(2θ), (d) ρ = a cos(3θ),
(e) ρ = a cos(5θ), (f) ρ = a sin(3θ).
Respostas: (a) 4pi , (b)
pia2
2
, (c)
pia2
4
, (d)
pia2
4
,
(e)
pia2
4
, (f)
pia2
4
.
20. Calcule a área da figura limitada pela curva de Pascal: ρ = 2+ cos θ .
Resposta:
9
2
pi.
21. Calcule a área da figura formada pelo raio polar da espiral de Arquimed
ρ = a quando o raio faz uma volta. O inicio do movimento corresponde
ao valor θ = 0 ,
Resposta:
4
3
pi2a2.
22. Ache a área da figura limitada pela lesma (caracol) de Pascal ρ =
2a(2 + cos θ) ,
Resposta: 18pia2.
23. Ache a área da figura limitada pela linha ρ = a tan θ, (a > 0) e pela
recta θ = pi/4 .
Resposta:
a2
8
(4− pi).
24. Calcule as áreas das figuras limitadas pelas linhas em coordenadas po-
lares:
(a) ρ = 4 cos 3ϕ, (ρ ≥ 2)
(b) ρ = 1/2 + cosϕ
(c) ρ =
√
3 cosϕ , ρ = sinϕ ,
(0 ≤ ϕ ≤ pi/2)
(d) ρ = 4 sin 3ϕ , ρ = 2 (ρ ≥ 2)
(e) ρ = 2 cosϕ , ρ = 2
√
3 sinϕ ,
(0 ≤ ϕ ≤ pi/2)
(f) ρ = 6 sin 3ϕ , ρ = 3 (ρ ≥ 3)
(g) ρ = cosϕ+ sinϕ
(h) ρ = 2 cosϕ , ρ = 3 cosϕ
9
Figura 1.3: Volume de rotação
2 Volume de um corpo de revolução
2.1 Teoria
O volume do corpo formado pela rotação em torno do eixo Ox da figura
limitada pela curva y = f(x) , o eixo Ox e pelas duas paralelas x = a e
x = b determina-se pela fórmula
Vx = pi
∫ b
a
y2 dx
y = f(x)
x
y
a b
O volume do corpo formado pela rotação em torno do eixo OY da figura
limitada pela curva x = g(y) , o eixo Oy e pelas duas paralelas y = c e
10
x
y
y2 = x4(1− x2)
1
Figura 1.4: Corte
y = d determina-se pela fórmula
Vy = pi
∫ d
c
x2 dy
x = g(y)
x
y
c
d
Exemplo 4. Calcular o volume gerado pela rotação da área y2 = x4(1− x2)
em torno do eixo Ox (na figura 1.4 pode-se ver uma metade do corte)
Solução. A curva y2 = x4(1−x2) tem simetria em relação aos eixos Ox
e Oy e tem intersecção com eixo Ox nos pontos x = −1, x = 0, x = 1 .
Calculemos o volume V1 = pi
∫
1
0
x4(1− x2) dx = 2
35
pi. Então
V = 2V1 =
4
35
pi.
2.2 Problemas e exercícios
25. Calcular o volume gerado pela rotação da área dada em torno do eixo
dos Ox :
(a) y = 2x2, y = 0, x = 0, x = 5 (b) 4x2 + 9y2 = 36
Respostas: (a) 2500pi , (b) 16pi ,
11
26. Calcular o volume gerado pela rotação da área dada em torno do eixo
dos Oy :
(a) y = 4x2, x = 0, y = 16 (b) 4x2 + 9y2 = 36
Respostas: (a) 32pi (b) 24pi
27. A figura limitada pelos ramos das parábolas y = x2 e y2 = x gira
em torno do eixo Ox . Calcule o volume do corpo.
Resposta: V =
3pi
10
.
28. O trapézio curvilíneo y = arcsinx com a base [0, 1] rota em torno o
eixo Ox . Calcule o volume dele.
Resposta: pi
(
pi2
4
− 2
)
.
29. Calcular o volume V da esfera de raio r .
Resposta: V =
4
3
pir3.
30. A elipse cujo o maior eixo é 2a , o menor eixo é 2b rota em torno do:
(a) maior eixo
(b) menor eixo
Calcule os volumes V dos elipsóides.
Resposta: (a) V =
4
3
pia2b , (b) V = 4
3
piab2.
31. A figura limitada pela parábola y = 2x− x2 e pelo eixo Ox rota em
torno o eixo Oy . Ache o volume do corpo obtido.
Resposta:
8pi
3
.
32. O trapézio curvilíneo limitado pelo linha y = xex e pelas rectas x = 1
e y = 0 gira em torno do eixo do Ox . Calcule o volume do corpo.
Resposta V = pi(e2 − 1)/4.
33. A figura limitada pela hipérbole x2 − y2 = a2 e pela recta x =
a+ h, (h > 0) gira em torno do eixo Ox . Calcule o volume do corpo
da revolução.
Resposta V = 8pi/3
34. Calcular os volumes dos corpos formados pela rotação da área dada em
torno do eixo Ox :
12
(a) y = 3 sinx , y = sinx , 0 ≤
x ≤ pi
(b) y = sin2 x , x = pi/2 , y = 0
(c) y = xex , y = 0 , x = 1
(d) y = 2x − x2 , y = −x + 2 ,
x = 0
(e) x = 3
√
y − 2 , x = 1 , y = 1
(f) y = x2 , y2 − x = 0
(g) y = −x2 + 5x− 6 , y = 0
(h) y = x3 , y =
√
x
35. Calcular os volumes dos corpos formados pela rotação da área dada em
torno do eixo Oy :
(a) y = x2 , x = 2 , y = 0
(b) y = x2 + 1 , y = x , x = 0 ,
x = 1
(c) y = lnx , x = 2 , y = 0
(d) y =
√
x− 1 , y = 0 , y = 1 ,
x = 0.5
(e) y = x3 , y = x
(f) y = (x− 1)2 , x = 0 , x = 2 ,
y = 0
13
3 Área de superfície de revolução
3.1 Teoria
A área de uma superfície formada pela rotação em torno do eixo OX do
arco de uma curva regular y = f(x) , a ≤ x ≤ b , pode ser calculada pela
fórmula
Ax = 2pi
∫ b
a
y
√
1 + (y′)2 dx.
No caso de rotação em torno do eixo Oy do arco x = g(y) , c ≤ y ≤ d
vamos ter a fórmula
Ay = 2pi
∫ d
c
x
√
1 + (x′)2 dy.
Exemplo 5. Achar a área da superfície de revolução da astróide (figura 1.5)
x2/3 + y2/3 = a2/3 em torno do eixo Oy .
Solução. Exprimimos x = (a2/3 − y2/3)3/2 . A derivada x′ é igual
x′ =
3
2
(a2/3 − y2/3)1/2 · (−2
3
1
3
√
y
)
e
√
1 + (x′)2 =
3
√
a
3
√
y
. Então
Py = 4pi
∫ a
0
(a2/3 − y2/3)3/2a
1/3
y1/3
dy =
12
5
a2pi.
3.2 Problemas e exercícios
36. Calcular a área da superfície gerada pela rotação do arco dado em torno
do eixo Ox :
(a) y2 = 4ax, 0 ≤ x ≤ 3a ,
(b) 9ay2 = x(3a− x)2 ,
(c) 8y2 = x2(1− x) ,
(d) 3y − x3 = 0, 0 ≤ x ≤ 3 .
Respostas: (a) 56pia2/3 (b) 3pia2 (c) pi/4 (d)
pi
√
(1 + a4)3 − 1
9
37. Calcular a área da superfície de uma região de uma esfera de raio r
interceptada por dois planos paralelos cada uma a uma distância 1/2a
do centro.
Resposta: 2pira .
14
x2/3 + y2/3 = a2/3
x
y
Figura 1.5: Astroide
4 Comprimento de um arco de curva
4.1 Teoria
Coordenadas rectangulares
A equação duma curva é y = f(x) . A curva compreendida entre dois pontos
cujas abcissas sejam x = a e x = b . O comprimento L do arco de curva
é
L =
∫ b
a
√
1 + (y′)2dx
Forma paramétrica
Se a curva é dada pelas equações de forma paramétrica
{
x = ϕ(t)
y = ψ(t)
(α ≤ t ≤ β)
(onde ϕ(t) e ψ(t) têm derivadas contínuas) o comprimento L do arco da
curva será igual a
L =
∫ β
α
√
(x′)2 + (y′)2dt.
15
Coordenadas polares
Se uma curva regular é dada pela equação r = f(θ) em coordenadas polares
r e θ , o comprimento L do arco será igual a
L =
∫ β
α
√
r2 + r′2dθ
onde α e β são os valores do ângulo polar nos pontos extremos do arco
(α < β)
Exemplo 6. Calcular o comprimento do arco da curva x = ln sec y , compre-
endido entre y = 0 e y = pi/3 .
Solução. O comprimento do arco da curva em relação a y é
L =
∫ d
c
√
1 + x′2 dy =
∫ pi/3
0
√
1 +
(
(ln sec y)′
)2
dy
=
∫ pi/3
0
√
1 +
(
cos y
sin y
cos2 y
)2
dy = ln (
√
3 + 2).
Exemplo 7. Calcular o comprimento da hipociclóide
x = a cos3 t, y = a sin3 t
Solução. Sendo a curva simétrica relativamente aos dois eixos de coor-
denadas, calculemos, primeiramente, o quarto do comprimento desta curva
que se encontra no primeiro quadrante. Obtém-se
dx
dt
= −3a cos2 t · sin t, dy
dt
= 3a sin2 t · cos t.
O parâmetro t variará de 0 a pi/2 . Por conseguinte,
L
4
=
∫ pi/2
0
√
9a2 cos4 t sin2 t+ 9a2 sin4 t cos2 t dt = 3a
∫ pi/2
0
sin t cos tdt = 6a.
Então o comprimento da hipociclóide L = 24a .
Exemplo 8. Achar o comprimento total da curva ρ = a sin3
ϕ
3
.
Solução. Primeiramente calculemos os limites da integração. O raio ρ e
o parâmetro a são positivos, então sin
ϕ
3
é positivo, neste caso o argumento
ϕ
3
∈ [0; pi] , e ϕ ∈ [0; 3pi] . Por isso o comprimento de toda a curva será
L =
∫
3pi
0
√
a2 sin6
ϕ
3
+ a2 sin4
ϕ
3
cos2
ϕ
3
= a
∫
3pi
0sin2
ϕ
3
=
3pia
2
.
4.2 Problemas e exercícios
38. Achar o comprimento dos arcos das curvas:
16
(a) y = lnx, x ∈ [√3,√8]
(b) 24xy = x4 + 48, 2 ≤ x ≤ 4
(c) 6xy = x4 + 3, x ∈ [1, 2]
(d) y = ln (1− x2), 0 ≤ x ≤ 1/2
(e) y = 2
√
x, x ∈ [0, 1]
(f) y = arcsin e−x, x ∈ [0, 1]
(g)
{
x = a(t− sin t)
y = a(1− cos t)
(h) y = arcsin e−x, 0 ≤ x ≤ 1
Respostas: (a) 1 + 1/2 ln 3/2 , (b) 17/6, (c) 17/12,
(d) ln 3 − 1/2 , (e) √2 + ln (1 +√2) , (f) ln (e+√e2 − 1) , (g) 8a ,
(h) ln (e+
√
e2 − 1) .
39. Achar o comprimento dos arcos das curvas:
(a) y = x2/4− lnx/2 ,
1 ≤ x ≤ 2
(b) y = ln
5
2x
,
√
3 ≤ x ≤ √8
(c) y = − ln cosx, 0 ≤ x ≤ pi/6
(d) y = 2 + arcsin
√
x+
√
x− x2 ,
1/4 ≤ x ≤ 1
(e) y = ln (1− x2), 0 ≤ x ≤ 1/4
(f) y = ex + 26 ,
ln
√
8 ≤ x ≤ ln√24
40. Achar o comprimento dos arcos das curvas em forma paramétrica:
(a)
{
x = 5(t− sin t),
y = 5(1− cos t),
0 ≤ t ≤ pi
(b)
{
x = 4(cos t+ t sin t),
y = 4(sin t− t cos t),
t ∈ [0, 2pi]
(c)
{
x = 10 cos3 t,
y = 10 sin3 t,
t ∈ [0, pi/2]
(d)
{
x = 3(t− sin t),
y = 3(1− cos t),
0 ≤ t ≤ pi/2
41. Achar o comprimento dos arcos das curvas em coordenadas polares:
(a) ρ = aϕ, 0 ≤ ϕ ≤ 2pi, (b) ρ = a(1 + cosϕ).
Respostas: (a) pia
√
1 + 4pi2 +
a
2
ln (2pi +
√
1 + 4pi2) , (b) 8a.
17
5 Trabalho de força
5.1 Teoria
Suponhamos que um ponto material M está sob a acção de uma força
F e move-se ao longo de uma recta Os . A direcção da força coincide
com a direcção do movimento. Se F é constante o trabalho da força (por
definição!) é igual ao produto
A = Fs
onde s é comprimento do caminho percorrido.
Se F = F (s) , isto é, a força depende de posição do ponto material,
deve ser introduzida outra definição de trabalho. Consideremos o trabalho
efectuado pela força F para deslocar o ponto M da posição s = a à
posição s = b . Então, a força F é uma função F (s) da posição s quando
a ≤ s ≤ b . O trabalho da força exprime-se pela formula
(1.1) A =
∫ b
a
F (s)ds.
Em particular, desta formula decorre que se a força F for constante, o
trabalho A é dado pelo produto de F pelo caminho percorrido, ou seja
A =
∫ b
a
F (s)ds = F (b− a).
Exemplo 9. Calcular o trabalho necessário para distender uma mola da po-
sição de equilíbrio para l (mm). A força de resistência é proporcional a
extensão x : F = kx .
Solução. Conforme a fórmula (1.1)
A =
∫ b
a
F (x)dx =
∫ l
0
kx dx = k
x2
2
∣∣∣∣
l
0
= k
l2
2
.
Notemos que neste caso o trabalho é igual ao produto Fml onde Fm = kl/2
é força média.
Em geral, para encontrar um trabalho pode ser utilizado o método de
partição em infinitésimas:
A =
∫
dA.
Exemplo 10. Calcular o trabalho necessário para retirar a água que se en-
contra num cubo cónico com o vértice para baixo, sendo o raio da base R
e altura é H .
Solução. O corte axial é apresentado na figura 1.6. Elemento de trabalho
18
R
x
x
dx
H
r
Figura 1.6: Corte de cone
dA = dF · (H − x) onde dF é o peso da parte de água com espessura dx .
Da proporção r/x = R/H temos r = R/H ·x . Elemento de trabalho pode
ser exprimido assim
dA = dF · (H − x) = dm · g(H − x) = ρdV · g(H − x) =
ρdxpir2g(H − x) = ρdxpiR
2x2
2H2
g(H − x).
Agora
A =
∫
dA =
∫ H
0
ρdxpi
R2x2
2H2
g(H − x) =
ρpi
R2
2H2
g
∫ H
0
x2(H − x) dx = ρpi R
2
2H2
g
H4
12
= ρpiR2g
H2
24
=
mgH
8
onde m = 1
3
piR2Hρ é massa de toda água.
5.2 Problemas e exercícios
42. Que trabalho é necessário empregar para estirar uma mola em 5 cm ,
se a força de 1kg a estira em 1 cm .
Resposta: A = 0.125[kgm] .
43. Calcule o trabalho necessário para retirar a água de reservatório cilín-
drico sendo o raio de base R e altura H .
Resposta: A =
piρg
2
R2H2 , onde ρ é densidade, g é aceleração da
gravidade.
19
44. Calcular o trabalho necessário para retirar a água de uma caldeira
semiesférica que tem um raio R .
Resposta: A =
piρg
4
R4 , onde ρ é densidade, g é aceleração da
gravidade.
45. Calcular o trabalho necessário para retirar a água que se encontra em
uma cuba cónica, com o vértice para baixo, sendo o raio da base R e
uma altura H .
Resposta: A =
piρg
12
R2H2 , onde ρ é densidade, g é aceleração da
gravidade.
46. As dimensões da pirâmide de Heopsa aproximadamente são: altura
140m , a base é o quadrado com lado 200m . Densidade da pedra é
2.5
g
cm3
.
Resposta: A = 1.63 · 1010.
47. Calcular o trabalho necessário para retirar, pelo orifício superior, óleo
contido em uma cisterna de forma cilíndrica com o eixo horizontal, se
o peso específico do óleo é γ , o coprimento da cisterna H e o raio da
base R .
Resposta: A = γpiR2H.
6 Momentos estáticos e centro de gravidade
6.1 Teoria
No plano xOy dada uma figura F de densidade 1 tal que a secção dela
pela recta x = const vertical é um segmento do comprimento f(x) . O
momento estático da figura F em relação ao eixo Oy é igual ao integral
My =
∫ b
a
f(x)x dx f(x)
x
y
a b
onde [a, b] é projecção da figura sobre o eixo Ox .
20
Respectivamente o momento estático em relação ao eixo Ox será igual
a
Mx =
∫ d
c
g(y)y dy g(y)
x
y
c
d
onde g(y) é o comprimento da secção pela recta y = const e o segmento
[c, d] é a projecção da figura sobre o eixo Oy .
As coordenadas x e y do centro de gravidade da figura F :
x =
My
S
, y =
Mx
S
x
y
a b
x′
y′
x¯
y¯
onde S é a área da figura F .
Exemplo 11. Achar o momento estático do semicírculo x2+y2 = R2 (x ≥ 0)
em relação ao diâmetro e as coordenadas do centro da gravidade.
Solução. Neste caso f(x) = 2
√
R2 − x2 ,
My =
∫ R
0
2
√
R2 − x2 · x dx = 2
3
R3.
É claro que y = 0 . Temos x =
My
S
=
2R3/3
piR2/2
=
4
3pi
R ≈ 0.4244R.
x2 + y2 = R2
x
y
Teorema 1 (Guldin). A área de superfície obtida pela rotação do arco duma
curva plana em torno de um eixo, situado num mesmo plano que o arco da
curva, mas não interceptada por ela, é igual ao produto do comprimento do
arco pelo cumprimento da circunferência descrita pelo centro de gravidade
da mesma.
Teorema 2 (Guldin). O volume do corpo obtido pela rotação de uma figura
plana em torno de um eixo, situado num mesmo plano que a figura, mas não
interceptada por ela, é igual ao produto da área desta figura pelo cumprimento
da circunferência descrita pelo centro de gravidade da mesma.
21
Exemplo 12. Achar as coordenadas de centro de gravidade de uma quarta
parte de circulo x2 + y2 ≤ r2, x ≥ 0, y ≥ 0 .
Solução. Virando uma parte de circulo pelo eixo Ox obtemos semi-
esfera. Como sabemos o volume da semi-esfera é V =
1
2
· 4pir
3
3
=
2pir3
3
.
De outro lado, de acordo com o teorema de Guldin,
V =
(
pir2
4
)
· (2piy),
onde y é a coordenada de y de centro de gravidade. Daqui, y =
2V
pi2r2
=
4pir3
3pi2r2
=
4r
3pi
. O centro de gravidade fica no eixo de simetria (ou na bissectriz
do ângulo do primeiro quadrante). Por isso, x = y =
4r
3pi
.
x2 + y2 = R2
x
y
6.2 Problemas e exercícios
48. Achar as coordenadas do centro da gravidade do semicírculo de raio
r .
49. Achar as coordenadas do centro da gravidade da figura limitada pelas
rectas
x = 0, y = 0, x+ y = 2.
50. Determinar o centro da gravidade da figura limitada pelas curvas
y = x2; y =
√
x.
51. Determinar as coordenadas do centro de gravidade do segmento da
parábola y2 = ax cortada pela recta x = a.
52. Determinar o centro de gravidade da figura delimitada pela parábola
x2 + 4y − 16 = 0 e o eixo x.
53. As coordenadas do rectângulo são: O(0, 0), A(a, 0), B(a, b), C(0, b).
Uma parábola y2 = kx divide o rectângulo em duas partes. O vértice
22
da parábola coincide com umvértice do rectângulo. Um ramo da pa-
rábola passa pelo vértice oposto do rectângulo. Achar as coordenadas
dos centros de gravidade das duas figuras obtidas.
54. Achar as coordenadas do centro de gravidade da figura limitada pelos
eixos ox e oy e pela parábola
√
x+
√
y =
√
a ,
55. Achar as coordenadas do centro de gravidade da figura limitada pelos
eixos ox e oy e pelo arco da elipse x2/a2 + y2/b2 = 1 situada em
primeiro quadrante.
Respostas:
48. C
(
4r
3pi
; 0
)
49. C
(
2
3
;
2
3
)
50. C
(
9
20
;
9
20
)
51. C
(
3a
5
; 0
)
52. C
(
0;
8
5
)
53. C1
(
3a
5
;
3b
8
)
,
C2
(
3a
10
;
3b
4
)
54. C
(a
5
;
a
5
)
55. C
(
4a
3pi
;
4b
3pi
)
23
Capítulo 2
Integrais impróprios
1 Definições
Neste capítulo introduzem-se extensões da noção do integral definido para
os casos seguintes
1. a função não é limitada
2. o intervalo de integração é infinito
Nestes casos o integral
b∫
a
f(x)dx é chamado impróprio.
1.1 Função não é limitada
Vamos supor que a função f(x) tem um ponto ou um número finito de
pontos de descontinuidade no intervalo [a, b] . Alem disso, em qualquer
vizinhança de cada um destes pontos a função não é limitada. Neste caso
o integral definido
∫ b
a
f(x) dx não existe porque não se cumpre a condição
necessária de existência do integral definido. Mas pode ser introduzida outra
definição para envolver e este caso e considerar o integral como integral
impróprio.
Consideremos várias situações a seguir:
A função f(x) tem a descontinuidade infinita no ponto x = b
(2.1)
b∫
a
f(x)dx = lim
ε→0+
b−ε∫
a
f(x)dx
Veja a figura 2.1.
24
y = f(x)
x
y
a b
Figura 2.1: Descontinuidade infinita
no ponto x = b
y = f(x)
x
y
a b
Figura 2.2: Descontinuidade infinita
no ponto x = a
A formula (2.1) é a definição do integral impróprio. Se o limite existe o
integral diz-se convergente. No caso contrário o integral é divergente.
A função f(x) tem a descontinuidade infinita no ponto x = a
(2.2)
b∫
a
f(x)dx = lim
ε→0+
b∫
a+ε
f(x)dx (figura 2.2)
A função f(x) tem a descontinuidade infinita num ponto interior
x = c onde a < c < b
Neste caso o integral impróprio defina-se por meio de redução aos casos
considerados em cima
b∫
a
f(x)dx =
c∫
a
f(x)dx+
b∫
c
f(x)dx
y = f(x)
x
y
a bc
Deve existir cada um dos integrais no lado direito. Um ou dois des-
tes integrais são impróprios e podem ser calculados usando uma das regras
precedentes.
25
Exemplos
Exemplo 13. Calcule o integral
4∫
0
dx
x
√
x
Solução. A função
1
x
√
x
tem a descontinuidade infinita no ponto x = 0
que pertence ao intervalo de integração. Segundo a formula (2.1) temos
4∫
0
dx
x
√
x
= lim
ε→0
4∫
ε
dx
x
√
x
= lim
ε→0
[
− 2√
x
]4
ε
= lim
ε→0
(
−1 + 2√
ε
)
=∞,
Então o integral impróprio diverge.
Exemplo 14. Calcule o integral
9∫
0
dx
3
√
(x− 1)2 .
Solução. Neste caso a função
1
3
√
(x− 1)2 tem o ponto de descontinui-
dade x = 1 dentro do intervalo da integração [0, 9]. Então
9∫
0
dx
3
√
(x− 1)2 = limε→+0
1−ε∫
0
dx
3
√
(x− 1)2 + limε→+0
9∫
1+ε
dx
3
√
(x− 1)2 =
lim
ε→+0
[
3 3
√
(x− 1)
]1−ε
0
+ lim
ε→+0
[
3 3
√
(x− 1)
]9
1+ε
= 9.
Então o integral impróprio converge.
Nota 1. Se a primitiva da função for contínua no intervalo de integração
[a, b] o integral impróprio puder ser calculado por meio da formula de Newton
- Leibniz: ∫ b
a
f(x) dx = F (x)
∣∣∣∣
b
a
= F (b)− F (a).
No último exemplo o integral
9∫
0
dx
3
√
(x− 1)2 = 3
√
x− 1∣∣9
0
= 3(2 + 1) = 9
Exemplo 15. Calcular o integral
∫
2
0
dx
x− 1 .
Solução. O integral não existe no ponto x = 1 . Por isso intervalo de
26
y = f(x)
x
y
a
Figura 2.3: Intervalo [a,+∞)
y = f(x)
x
y
a b
Figura 2.4: Intervalo (−∞, b]
integração dividimos por intervalos [0, 1) e (1, 2]
∫
2
0
dx
x− 1 =
∫
1
0
dx
x− 1 +
∫
2
1
dx
x− 1 = limε→0
∫
1−ε
0
dx
x− 1 + limε→0
∫
2
1+ε
dx
x− 1 =
(2.3)
lim
ε→0
ln |x− 1|
∣∣∣1−ε
0
+ lim
ε→0
ln |x− 1|
∣∣∣2
1+ε
.(2.4)
O primeiro integral não existe (ln 0 = −∞). Então não temos de calcular
mais. O integral
∫
2
0
dx
x− 1 é divergente.
Se o ponto de descontinuidade for desconsiderado obtemos
∫
2
0
dx
x− 1 = ln |x− 1|
∣∣∣∣
2
0
= ln 1− ln | − 1| = 0,
este resultado é errado.
1.2 Intervalo de integração é infinito
f(x) é uma função contínua no intervalo infinito [a,+∞)
Por definição
+∞∫
a
f(x)dx = lim
b→+∞
b∫
a
f(x)dx (figura 2.3)
f(x) é contínua no intervalo infinito (−∞, b]
O integral defina-se
b∫
−∞
f(x)dx = lim
a→−∞
b∫
a
f(x)dx (figura 2.4)
27
f(x) é contínua sobre todo o eixo (−∞,+∞)
Por definição
+∞∫
−∞
f(x)dx =
0∫
−∞
f(x)dx+
+∞∫
0
f(x)dx. y = f(x)
x
y
a b
Exemplos
Exemplo 16. Investigar o integral
∫
0
−∞
dx
x2 + 9
.
Solução.
∫
0
−∞
dx
x2 + 9
= lim
a→−∞
∫
0
a
dx
x2 + 9
= lim
a→−∞
1
3
(arctan 0− arctan a) = 1
3
(
0 +
pi
2
)
=
pi
6
,
portanto, o integral é convergente.
2 Convergência e avaliação de integral impróprio
Em muitos casos é bastante estabelecer que o integral impróprio converge ou
diverge e avaliar o seu valor. Mostremos os teoremas que permitem avaliar
o integral.
Teorema 3. Se, qualquer que seja x ≥ a , se tem a desigualdade 0 ≥
f(x) ≥ ϕ(x) e se
∫ ∞
a
ϕ(x)dx converge,
∫ ∞
a
f(x)dx converge também e
∫ ∞
a
ϕ(x)dx ≥
∫ ∞
a
ϕ(x)dx
Teorema 4. Se, qualquer que seja x (x ≥ a) , se tem a desigualdade 0 ≥
ϕ(x) ≥ f(x) e se
∫ ∞
a
ϕ(x)dx diverge o
∫ ∞
a
f(x)dx diverge também
Teorema 5. Se
∫ ∞
a
f(x)dx converge, o mesmo sucede o
∫ ∞
a
|f(x)|dx .
Exemplo 17. Estudar a convergência do integral∫ ∞
1
sin2 x
x2
dx
28
Solução: Como
sin2 x
x2
≤ 1
x2
então ∫ ∞
1
sin2 x
x2
dx ≤
∫ ∞
1
1
x2
dx = 1
Por conseguinte, o integral
∫ ∞
1
sin2 x
x2
dx converge.
3 Integrais impróprios (exercícios)
56. Calcular os integrais impróprios ou mostrar que o integral é divergente:
(a)
∞∫
1
dx
x4
(b)
∞∫
−∞
2x
x2 + 1
dx
(c)
∞∫
2
lnx
x
dx
(d)
∞∫
0
x
(x+ 1)3
dx
(e)
∞∫
0
xe−xdx
(f)
∞∫
0
e−
√
xdx
Respostas: (a)
1
3
, (b) diverge, (c) diverge, (d)
1
2
, (e)
1
2
, (f) 2.
57. Calcular os integrais impróprios ou mostrar que o integral é divergente:
(a)
∞∫
1
dx
x4
(b)
∞∫
−∞
2x
x2 + 1
dx
(c)
∞∫
1
dx√
x
(d)
∞∫
−∞
dx
x2 + 2x+ 2
(e)
∞∫
1
dx
x2(x+ 1)
(f)
∞∫
√
2
dx
x
√
x2 − 1
(g)
∞∫
0
x sinx dx
(h)
∞∫
1
arctanx
x2
dx
Respostas: (a) 1/3 , (b) diverge , (c) diverge , (d) pi , (e) 1−ln 2 ,
(f) pi/4 , (g) diverge , (h) pi/4 + (ln 2)/2 .
29
58. Calcular os integrais impróprios ou estabelecer as suas divergências:
(a)
1∫
0
dx√
1− x2
(b)
2∫
1
xdx√
x− 1
(c)
1/e∫
0
dx
x ln2 x
(d)
e∫
0
dx
x
√
lnx
(e)
2∫
0
dx
x2 − 4x+ 3
(f)
1∫
0
x lnxdx
(g)
2∫
1
dx
x lnx
(h)
1∫
−1
3x2 + 2
3
√
x2
(i)
1∫
1
x+ 1
5
√
x3
dx
(j)
1∫
−1
x− 1
3
√
x5
Respostas: (a) pi/2 , (b) 8/3 , (c) 1 , (d) 2 , (e) diverge,
(f) −1/4 , (g) diverge , (h) 144
7
, (i)
10
7
, (j) diverge .
59. Calcular a área da figura limitada pela linha y =
1
1 + x2
e pela sua
assimptota.Resposta: pi .
60. Calcular a área da figura limitada pela linha y = xe−x
2/2 e pela sua
assimptota.
Resposta: 2.
61. Calcular a área da figura à direita de x = 3 e entre a curva y =
1
x2 − 1
e o eixo Ox .
Resposta:
1
2
ln 2
62. Mostre que a área da região no primeiro quadrante sob a curva y =
e−2x é 1/2 unidades quadradas e que o volume gerado pela rotação
da região em torno do eixo dos Ox é
1
pi
unidades cúbicas.
30