Aula 10 Áreas, volumes e comprimento de arco

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Disciplina: Análise Matemática para
Engenharia I
Aula 10: Áreas, volumes e comprimento de arco
Apresentação
Em nossa última aula, veremos diversas aplicações para as integrais de�nidas e veri�caremos a importância deste conceito
nas diferentes disciplinas do seu curso de Engenharia.
A proposta é que você, ao �nal desta aula, possa responder, com propriedade, ao questionamento mais comuns nas aulas
desta disciplina: Para que serve isso? Vamos praticar!
Objetivos
Calcular a área de �guras planas;
Determinar o volume de sólidos de revolução;
Identi�car o comprimento de arcos.
Área entre curvas
Aluno, esta aula contém um documento <galeria/aula10/pdf/aula10.pdf> com todos os exemplos da aula sintetizados. Durante a
leitura, os exemplos serão referenciados para que os consulte.
Nas aulas anteriores, estudamos o conceito de integral de�nida e, posteriormente, de integral inde�nida. Por meio da soma de
Riemann, tivemos uma noção de como encontrar a área de uma região, lembra?
Agora, aprenderemos a encontrar as áreas de regiões no plano coordenado integrando as funções que de�nem as fronteiras
das regiões. Posteriormente, veremos como os cálculos de tais áreas serão extremamente úteis na determinação do centro de
massa de objetos.
Vamos começar?
Considere a seguinte situação:
Você quer encontrar a área de uma região limitada superiormente pela curva y=f(x), inferiormente pela curva y=g(x) e à esquerda e
à direita, respectivamente, pelas retas x=a e x=b (Figura 1).
 Figura 1: Região S compreendida entre as curvas y=f(x) e y=g(x) e as retas x=a e x=b. Fonte: Google Imagens.
http://estacio.webaula.com.br/cursos/go0023/galeria/aula10/pdf/aula10.pdf
Por vezes, a região S apresenta uma forma cuja área você pode determinar geometricamente. Porém, se f e g forem funções
contínuas arbitrárias, geralmente, você precisa encontrar a área com uma integral.
Para determinar qual deve ser a integral, primeiro você deve aproximar a região com n retângulos verticais com bases em uma
partição P = xo, x1, …, xn de [a, b] (Figura 2a).
A área do k-ésimo retângulo (Figura 2b) é:
A área da região pode ser obtida, aproximadamente, por meio da soma das áreas dos n retângulos. Veja:
{ }
∆ Ak = altura × largura = f ck - g ck ∙ ∆ xk[ ( ) ( )]
A ≈ ∑nk = 1 ∆ Ak = ∑
n
k = 1 f ck - g ck ∙ ∆ xk Soma de Rieman[ ( ) ( )]
 Figura 2: (a) Aproximação da região por meio de retângulos perpendiculares ao eixo x; (b) ∆A_k=área do k-ésimo retângulo, f(c_k )-g(c_k )=altura e ∆x_k=largura. Fonte: Google
Imagens.
Conforme ||P|| → 0, as somas à direita aproximam-se do limite ∫ba [f(x) - g(x)]dx porque f e g são contínuas.
Você pode tomar a área da região como o valor dessa integral. Ou seja:
Assim sendo, observe a de�nição:
A = lim || P || → 0 ∑nk = 1 f ck - g ck ∙ ∆ xk = ∫
b
a[f(x) - g(x)]dx[ ( ) ( )]
Se f e g são contínuas com f(x) ≥ g(x) ao longo de [a, b], então,
a área da região entre as curvas y = f(x) e y=g(x) desde a até b 
é a integral de [f - g] desde a até b :
A = ∫ba[f(x) - g(x)]dx
Dica
Para aplicar a de�nição em um problema, você deve seguir o seguinte procedimento:
Passo 1: Esboce o grá�co das curvas e desenhe um retângulo representativo. Isso revelará qual curva é f (curva superior) e
qual é g (curva inferior). Isso também ajuda a determinar os limites de integração.
Passo 2: Determine os limites de integração.
Passo 3: Escreva uma fórmula para f(x) - g(x). Simpli�que, se puder.
Passo 4: Integre [f(x) - g(x)] desde a até b. O valor obtido é a área.
Para compreender a de�nição acima, observe os exemplos 1, 2 e 3 no documento.
Integração numérica
Você aprendeu que o modo ideal para calcular uma integral de�nida ∫abfxdx é encontrar uma fórmula F(x) para uma das
primitivas de f(x) e calcular o número F(b) - F(a).
No entanto, algumas primitivas são difíceis de encontrar, e outras ainda não têm fórmulas elementares co mo, por exemplo, 
sin x
x .
Seja qual for a razão, você ainda pode calcular o valor da integral de�nida
recorrendo aos métodos numéricos, como a Regra do Trapézio e a Regra de
Simpson, que serão vistas a partir de agora.
Aproximações trapezoidais
Quando a primitiva de uma função f não pode ser determinada, a integração ainda é possível. Neste caso, o intervalo de
integração precisa ser dividido e a função f substituída por um polinômio ajustado bem próximo a f em cada subintervalo.
Os polinômios são integrados e os resultados somados para aproximar a integral de f . Com este objetivo, você deve começar
com segmentos de reta que dão trapézios.
Observe a Figura 6, se [a, b] for dividido em n subintervalos de igual comprimento h =
( b - a )
n , chamado de tamanho do passo, o
grá�co de f em [a,b] pode ser aproximado por um segmento de reta em cada subintervalo.
 Figura 6: A regra do trapézio aproxima pequenos trechos da curva y=f(x) por segmentos de reta. Para fazer uma aproximação para a integral de f de a até b, somamos as áreas
assinaladas dos trapézios obtidos pela união do final de cada segmento com o eixo x.
A região entre a curva e o eixo x é, então, aproximada pelos trapézios e a área de cada trapézio é o comprimento de sua “altura”
horizontal vezes a média de suas duas “bases” verticais.
As áreas são adicionadas contando a área acima do eixo x como positiva e a área abaixo do eixo x como negativa.
Assim:
Para fazer uma aproximação para ∫ba f(x)dx, use:
Os ‘y’s são os valores de f nos pontos de divisão:
T =
1
2 yo + y1 h +
1
2 y1 + y2 h + … +
1
2 yn - 2 + yn - 1 h +
1
2 yn - 1 +
T = h
1
2 yo + y1 + y2 + … + yn - 1 +
1
2 yn
T =
h
2 ∙ yo + 2y1 + 2y2 + … + 2yn - 1 + yo
Onde yo = f(a); y1 = f x1 ; …; yn - 1 = f xn - 1 ; yn = f xn
( ) ( ) ( ) (
( )
( )
( ) ( ) ( )
A regra do trapézio diz: use T para estimar a integral f de a até b.
T =
h
2 ∙ yo + 2y1 + 2y2 + … + 2yn - 1 + yo( )
xo = a; x1 = a + h; x2 = a + 2h; …; xn - 1 = a + (n - 1)h; xn = h
Onde h =
( b - a )
n .
Veja o exemplo 4 no documento.
Atenção
Os dados sugerem que a magnitude de erro:
A aproximação trapezoidal diminuirá quando o tamanho do passo h decrescer, porque os trapézios se ajustam melhor à curva
conforme seu número aumenta.
Um teorema do cálculo avançado garante que esse será o caso se f tiver uma segunda derivada contínua.
A estimativa do erro absoluto na regra do trapézio seria, então, de�nida como:
Se f'' for contínua e M for qualquer limite superior para os valores de |f'' | em [a, b], então:
Onde h =
( b - a )
n
Voltando ao Exemplo 4, teríamos:
O número M pode ser qualquer limite superior para a magnitude da segunda derivada de f x = x2 ao longo de [1,3].
ET = ∫
b
af(x)dx - T
ET ≤
b - a
12 h
2M| |
ET ≤
3 - 1
12 ∙
2
5
2
∙ M ∴ ET ≤
2
75 ∙ M| | ( ) | |
( )
Aproximações usando parábolas
Até o momento, utilizamos a soma de Riemann e a regra do trapézio para obter aproximações razoáveis de integrais de funções
contínuas em intervalos fechados.
A regra do trapézio é mais e�ciente, fornece uma aproximação melhor para pequenos
valores de n, o que torna o algoritmo mais rápido para integrações numéricas.
No entanto, a regra do trapézio depende de segmentos retos para fazer a aproximação de arcos curvos. Agora, vamos conhecer
um algoritmo que usa parábolas para a aproximação das curvas: a regra de Simpson.
A regra de Simpson para fazer aproximações em ∫ba f(x)dx baseia-se em fazer aproximações para f com polinômios quadráticos
em vez de lineares.
A integral do polinômio quadrático y = Ax2 + Bx + C desde x = - h até x = h é:
A regra de Simpson resulta da partição em [a, b] em um número par de subintervalos de comprimento h igual, aplicando-se a
equação (1) em pares de intervalos sucessivos e somando-se os resultados.
Para fazer aproximações em ∫ba f(x)dx, você deve usar:
Os ‘y’s usados são valores de f nos pontos de divisão.
O número n é par e h = (b - a) /n.
∫h- h Ax
2 + Bx + C dx =
h
3 ∙ yo + 4y1 + y2 Equação 1( ) [ ]
S =
h
3 ∙ yo + 4y1 + 2y2 + 4y3 + … + 2yn - 2 + 4yn - 1 + yn[ ]
xo = a; x1 = a + h; x2= a + 2h; …; xn - 1 = a + (n - 1)h; xn = b
 Figura 8: Regra de Simpson para a aproximação de pequenos trechos de curvas usando arcos parabólicos. Fonte: Google Imagens.
Veja o exemplo 5 no documento.
Atenção
A magnitude do erro na regra de Simpson,
diminui com o tamanho do passo, como era de se esperar.
Contudo, a inequação para controlar o erro na regra de Simpson admite que f tenha uma quarta derivada contínua em vez de
apenas uma segunda derivada contínua.
A fórmula, mais uma vez do cálculo avançado, é:
“Se f ( 4 ) for contínua e M for um limite superior para os valores de f ( 4 ) em [a, b], então:
Es = ∫
b
af(x)dx - S
| |
Es ≤
b - a
180 h
4M
Em que h =
( b - a )
n .”
| |
A regra de Simpson é mais precisa do que a regra do trapézio. Contudo, a regra do
trapézio é útil em várias aplicações especí�cas, pois leva a expressões muito mais
simples. Além disso, ela é a base da integração de Rhomberg, um dos métodos
mecânicos mais satisfatórios quando é necessário ter alta precisão.
Aplicações variadas: trabalho em molas, bombeamento e
levantamento
Quando um corpo percorre uma distância d ao longo de uma reta, como resultado da aplicação de uma força F constante no
sentido do movimento, você pode calcular o trabalho w realizado sobre o corpo com a fórmula:
W = Fd
No sistema internacional de unidades (SI), a força é expressa em newtons (N) e a distância em metros (m).
Dessa forma, o trabalho W deve ser expresso em newton-metro (N. m) ou joule (J) .
Se a força que você aplica varia ao longo do trajeto, a fórmula de trabalho deve ser substituída por uma fórmula integral que leve
em consideração a variação de F.
Assim:
O trabalho realizado por uma força variável F(x) na direção do eixo x, de x = a a x = b é
W = ∫baF(x) ∙ dx
A Lei de Hooke diz que a força necessária para esticar ou comprimir uma mola com x unidades de comprimento, partindo de sua
posição original (não forçada), é proporcional a x.
Em símbolos:
F=kx
Onde a constante k, medida em unidades de força por comprimento unitário, é uma característica da mola, denominada
constante de força da mola (ou constante da mola).
A Lei de Hooke apresenta bons resultados desde que a força não distorça a estrutura
da mola.
Veja o exemplo 6 no documento.
Comprimento de arco do grá�co de uma função
Outra aplicação para a integral de�nida é feita no cálculo do comprimento do arco do grá�co de uma função.
O comprimento de um arco deve ser entendido como um número puro, isto é, sem
unidades.
Suponha que a função f seja contínua no intervalo fechado [a, b]. Além disso, suponha que existe um número L tendo as
seguintes propriedades:
Para todo ε > 0, existe um δ > 0 tal que para toda partição ∆ do intervalo [a, b] seja verdade que:
Assim, escrevemos:
L é chamado de comprimento do arco da curva y = f(x) do ponto A(a, f(a)) ao ponto B(b, f(b)). .
Se o limite (1) existir, o arco é reticável e temos:
Se a função f e sua derivada f’ forem contínuas no intervalo fechado [a, b], então, o comprimento do arco da curva y = f(x) do
ponto (a, f(a)) ao ponto (b, f(b)) será dado por
Quando x é expresso como uma função de y, o comprimento do arco de uma curva será:
Se a função g e sua derivada g’ forem contínuas no intervalo fechado [c, d], então, o comprimento do arco da curva x = g(y) do
ponto (g(c), c) ao ponto (g(d), d) será dado por
Seǁ ∆ ǁ < δ então ∑ni = 1
-
Pi - 1Pi - L < ε| | | |
L = lim || ∆ || → 0 ∑ni = 1
-
Pi - 1Pi 1| | | | ( )
L = ∫ba 1 + f
' x 2dx√ [ ( )]
L = ∫dc 1 + g
' x 2dy√ [ ( )]
Veja o exemplo 7 no documento.
O volume de sólidos por discos e anéis circulares
A de�nição de área de uma região plana levou você à de�nição da integral de�nida. No desenvolvimento, você utilizou a fórmula
para a área de um retângulo, da Geometria Plana.
Agora, usará um processo similar para obter volumes de determinados tipos de sólidos. Um deles é um cilindro reto.
Um sólido será um cilindro reto se for limitado por duas regiões planas congruentes R1 e R2, situadas em planos paralelos, e por
uma superfície lateral gerada por um segmento de reta, tendo seus extremos sobre os limites de R1 e R2, que se move de modo
que seja sempre perpendicular aos planos R1 e R2.
A altura do cilindro é a distância perpendicular entre os planos de R1 e R2 e a base é R1 ou R2.
 Figura 11: Cilindro retos. Quando a base for encerrada por um retângulo, temos um paralelepípedo retângulo. Quando a base for encerrada por círculo, temos um cilindro
circular reto. Fonte: Google Imagens.
Se a área da base de um cilindro reto for A unidades quadradas e a altura for h unidades, então, da geometria dos sólidos, se V for
o volume: V = Ah.
A partir desta fórmula, você obtém um método para o cálculo da medida do volume de um sólido.
Veja:
Seja um sólido tal que S esteja entre os planos perpendiculares ao eixo x em a e b. Se a medida da área da secção plana de S
no plano perpendicular ao eixo x em x for dada por A(x), onde A é contínua em [a, b], então, a medida do volume de S será
dada por:
V = ∫baA(x)dx
Determinação do volume de um sólido de revolução
A de�nição pode ser aplicada para a determinação do volume de um sólido de revolução, que é um sólido obtido com a rotação
de uma região em um plano em torno de uma reta no plano, chamada de eixo de revolução que pode ou não interceptar a região.
Considerando o primeiro caso em que o eixo de revolução é uma fronteira da região que gira e os n retângulos que irão gerar n
discos circulares, temos:
Seja f uma função contínua em [a,b] e suponha que f(x) ≥ 0 para todo x em [a,b].
Se S for o sólido de revolução obtido pela rotação efetuada, em torno do eixo x, da região limitada pela curva y = f(x), pelo eixo
x e pelas retas x = a e x = b, e se V for o número de unidade cúbicas no volume de S, então:
V = π∫ba[f(x)]
2dx
 Figura 12: Sólido de revolução que será gerado pela função y=f(x) e os discos circulares que serão usados no cálculo do volume. Fonte: Google Imagens.
Veja o exemplo 8 no documento.
Eixo de revolução fora da fronteira da região a ser rotacionada
Suponha, agora, que o eixo de revolução não esteja na fronteira da região a ser rotacionada.
Neste caso, temos:
Sejam f e g funções contínuas no intervalo fechado [a, b] e suponha que f(x) ≥ g(x) ≥ 0 para todo x em [a, b].
Então, se V unidades cúbicas for o volume do sólido de revolução, em torno do eixo x, da região limitada pelas curvas y = f(x)
e y = g(x) e pelas retas x = a e x = b,
V = π∫ba (f(x))
2 - (g(x))2 dx[ ]
 Figura 14: O n anéis circulares (arruelas) são usados para a determinação do volume do sólido de revolução gerado. Fonte: Google Imagens.
Veja o exemplo 9 no documento.
Volumes de sólidos por invólucros cilíndricos (casca cilíndrica)
Na seção anterior, você encontrou o volume de um sólido de revolução, tomando elementos retangulares de área perpendiculares
ao eixo de revolução e o elemento de volume era um disco circular ou um anel circular. Porém, para alguns sólidos de revolução
esse método não é viável.
Nesses casos, o método do invólucro cilíndrico torna-se útil.
Ele pode ser enunciado como:
Seja f uma função contínua no intervalo fechado [a, b], onde a ≥ 0. Suponha que f(x) ≥ 0 para todo x em [a, b]. Se R for a região
limitada pela curva y = f(x), pelo eixo x e pelas retas x=a e x=b, se S for o sólido de revolução obtido pela sua rotação R em
torno do eixo y e se V unidades cúbicas for o volume de S, então:
V = ∫ba2π(Raio da casca)(Altura da casca)dx = 2π∫
b
ax ∙ f(x)dx
Veja o exemplo 10 no documento.
Atividade
1. Calcule a área compreendida entre as curvas y = x2 e y = 2x.
2. Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo x, da região limitada por y = x2, x = 2 e x=0
3. Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo x, da região limitada por y = e - x, x = 1, x = 0 e y = 0.
4. Determine a área da região limitada por f(x) = 8 - x2 e g(x) = x2.
5. Calcule o volume gerado pela rotação, em torno do eixo x, da região limitada pela curva y = x2, oeixo x e as retas x = 1 e 
x = 2 .
Notas
Referências
ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo. Volume 1. Porto Alegre: Artmed Editora S.A., 2007.
BROCHI, A. Cálculo Diferencial e Integral I. Rio de Janeiro: SESES, 2015.
FERNANDES, D. B. Cálculo. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2014.
PANONCELI, D. M. Análise Matemática. Curitiba: Intersaberes, 2017.
Explore mais
Para concluir nossa discussão sobre integrais, seguem sugestões de vídeos:
“Cursos Unicamp: Cálculo 1 / aula 46 - Volumes - parte 1” <https://youtu.be/njO-gPgQbjs> ;
“Cursos Unicamp: Cálculo 1 / aula 47 - Volumes - parte 2” <https://youtu.be/agEKx6LzGKw> ;
“Cursos Unicamp: Cálculo 1 / aula 48” <https://www.youtube.com/watch?v=5q8Ad7EK7cE&feature=youtu.be> ;
“Cursos Unicamp: Cálculo 1 / aula 49 - Volumes por Cascas Cilíndricas - parte 2” <https://www.youtube.com/watch?
v=8bIx_Tg6v6w&feature=youtu.be> ;
https://youtu.be/njO-gPgQbjs
https://youtu.be/agEKx6LzGKw
https://www.youtube.com/watch?v=5q8Ad7EK7cE&feature=youtu.be
https://www.youtube.com/watch?v=8bIx_Tg6v6w&feature=youtu.be