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Imagine um objeto em movimento com uma certa velocidade. O que devemos 
fazer para alterar a velocidade do mesmo? Na física dizemos que basta aplicar 
Do ponto de vista físico, as forças são os agentes responsáveis pela mudança 
da velocidade de um objeto. Se ele muda de velocidade então sobre ele age 
Ao chutarmos uma bola em repouso, vamos 
colocá-la em movimento. Esse movimento 
resulta da força aplicada (sobre ela) pelo 
nosso pé direito (ou o pé esque
Forças são muito comuns no nosso cotidiano. Ao segurarmos uma pedra, ao 
caminharmos ou no exercício de várias atividades humanas.
As forças resultam da capacidade das várias partes do Universo (e da matéria) 
Forças resultam da i
Apesar de o termo "força" abrigar uma noção quase intuitiva, é importante 
entender que, do ponto de vista da Física, 
relacionada com a alteração do estado de movimento de uma partícula
isto é, a presença de forças entre as partes da matéria se faz sentir através de 
um movimento ou de afastamento (forças repulsivas) ou de aproximação 
 
Para que o aluno tenha pleno êxito no entendimento da 
dinâmica, ele deve, ao se dep
envolvem o movimento de um corpo, identificar todas 
as forças que atuam sobre ele. Esse passo deve ser o 
primeiro e ele é fundamental. Por isso, vamos analisar, 
neste e nos próximos capítulos, as principais forças 
com que o estudante deverá se deparar ao longo deste 
curso de Mecânica. Analisaremos também as suas 
características.
FORÇA 
Imagine um objeto em movimento com uma certa velocidade. O que devemos 
fazer para alterar a velocidade do mesmo? Na física dizemos que basta aplicar 
ao objeto uma força. 
 
Do ponto de vista físico, as forças são os agentes responsáveis pela mudança 
da velocidade de um objeto. Se ele muda de velocidade então sobre ele age 
uma força (ou mais forças). 
Ao chutarmos uma bola em repouso, vamos 
la em movimento. Esse movimento 
resulta da força aplicada (sobre ela) pelo 
nosso pé direito (ou o pé esquerdo). 
 
Forças são muito comuns no nosso cotidiano. Ao segurarmos uma pedra, ao 
caminharmos ou no exercício de várias atividades humanas.
 
As forças resultam da capacidade das várias partes do Universo (e da matéria) 
de interagirem. 
Forças resultam da interação da 
matéria. 
Apesar de o termo "força" abrigar uma noção quase intuitiva, é importante 
entender que, do ponto de vista da Física, a noção de força está intimamente 
relacionada com a alteração do estado de movimento de uma partícula
presença de forças entre as partes da matéria se faz sentir através de 
um movimento ou de afastamento (forças repulsivas) ou de aproximação 
(forças atrativas) das mesmas. 
Para que o aluno tenha pleno êxito no entendimento da 
dinâmica, ele deve, ao se deparar com problemas que 
envolvem o movimento de um corpo, identificar todas 
as forças que atuam sobre ele. Esse passo deve ser o 
primeiro e ele é fundamental. Por isso, vamos analisar, 
neste e nos próximos capítulos, as principais forças 
deverá se deparar ao longo deste 
curso de Mecânica. Analisaremos também as suas 
características. 
 
Imagine um objeto em movimento com uma certa velocidade. O que devemos 
fazer para alterar a velocidade do mesmo? Na física dizemos que basta aplicar 
Do ponto de vista físico, as forças são os agentes responsáveis pela mudança 
da velocidade de um objeto. Se ele muda de velocidade então sobre ele age 
Forças são muito comuns no nosso cotidiano. Ao segurarmos uma pedra, ao 
caminharmos ou no exercício de várias atividades humanas. 
As forças resultam da capacidade das várias partes do Universo (e da matéria) 
Apesar de o termo "força" abrigar uma noção quase intuitiva, é importante 
a noção de força está intimamente 
relacionada com a alteração do estado de movimento de uma partícula, 
presença de forças entre as partes da matéria se faz sentir através de 
um movimento ou de afastamento (forças repulsivas) ou de aproximação 
 
As forças são divididas em duas categorias: as interações fundamentais e as 
interações que derivam dessas. 
 
 
Na Dinâmica usaremos exclusivamente o 
Sistema Internacional de Unidade (SI), que 
tem, para unidade de intensidade de força, o 
newton, cujo símbolo é N. Observe que, de 
acordo com as regras de escrita do SI, a 
unidade "newton" se escreve com letra 
minúscula, embora venha do nome próprio 
"Newton". 
Por razões históricas, às vezes aparece uma 
outra unidade de força, que não pertence ao SI: 
é o quilograma-força, cujo símbolo é kgf e tal 
que 
 
 
 
1) A interações gravitacionais e eletromagnéticas são ditas de longo alcance. 
Contudo, apenas a interação gravitacional é relevante para avaliar fenômenos 
em escala cosmológica. Explique o porquê deste fato. 
2) O dina é a unidade de força no sistema cgs (centímetro-grama-segundo). 
Dado que força deve ter dimensão de aceleração vezes massa, defina as 
unidades do dina e estabeleça sua relação com a unidade do SI, o newton. 
 
A dinâmica é a parte da mecânica que se dedica ao estudo dos movimentos 
levando em conta as suas causas: as forças. 
O problema básico da mecânica é aquele de determinar a posição e a 
velocidade de uma partícula, uma vez conhecidas as forças agindo sobre ela. 
 
 
 
 
A inércia e a lei da inércia 
 
Existe na natureza uma tendência de não se alterar o estado de movimento de 
uma partícula, isto é, uma partícula em repouso tende naturalmente a 
permanecer em repouso e uma partícula com velocidade constante tende a 
manter a sua velocidade constante. 
Essa tendência natural de tudo permanecer como está é conhecida como 
inércia. No caso da Mecânica, essa observação a respeito do comportamento 
da natureza levou Newton a enunciar a sua famosa Lei da Inércia, que diz: 
"Qualquer corpo em movimento retilíneo e uniforme (ou em repouso) 
tende a manter-se em movimento retilíneo e uniforme (ou em repouso)." 
Esta é a primeira Lei de Newton. 
 
A inércia pode ser pensada como uma propriedade inata da matéria. Trata-se 
de um poder de resistir, mediante o qual cada corpo, no que depender de si, 
continua no seu estado presente, seja de repouso seja em movimento retilíneo 
e uniforme. 
 
O exemplo mais simples, do ponto de 
vista da observação da inércia dos 
corpos, é aquele dos passageiros 
num ônibus. Quando o veículo é 
brecado, os passageiros tendem a 
manter-se no seu estado de 
movimento.
Por isso, as pessoas "vão para a frente" do ônibus quando este breca. Na 
realidade, a mudança do estado de movimento é apenas do ônibus.
Os passageiros simplesmente tendem a manter
resultam os ferimentos em acidentes no tráfego.
Por que a utilização do cinto de segurança?
 
A segunda lei de Newton é a lei fundamental da Mecânica. A partir dela e 
através de métodos matemáticos, podemos fazer previsões (velocidade e 
posição, por exemplo) sobre o movimento dos corpos.
Qualquer alteração da velocidade de uma partícula é atribuída, sempre, a um 
agente denominado força. Basicamente, o que produz mudanças na 
velocidade são forças que agem sobre a partícula. Como a variação de 
velocidade indica a existência de aceleração, 
relação entre a força e a aceleração. De fato, Sir Isaac Newton percebeu que 
existe uma relação muito simples entre força e aceleração, isto é, a força é 
O exemplo mais simples, do ponto de 
vista da observação da inércia dos 
corpos, é aquele dos passageiros 
num ônibus. Quando o veículo é 
brecado, os passageiros tendem a 
se no seu estado de 
movimento. 
s "vão para a frente" do ônibus quando este breca. Na 
realidade, a mudança do estado de movimento é apenas do ônibus.
Os passageiros simplesmente tendem a manter-se como estavam. Da inércia 
resultam os ferimentos em acidentes no tráfego. 
utilizaçãodo cinto de segurança? 
A 2ª lei de Newton 
 
A segunda lei de Newton é a lei fundamental da Mecânica. A partir dela e 
através de métodos matemáticos, podemos fazer previsões (velocidade e 
posição, por exemplo) sobre o movimento dos corpos.
 
Qualquer alteração da velocidade de uma partícula é atribuída, sempre, a um 
agente denominado força. Basicamente, o que produz mudanças na 
velocidade são forças que agem sobre a partícula. Como a variação de 
velocidade indica a existência de aceleração, é de se esperar que haja uma 
relação entre a força e a aceleração. De fato, Sir Isaac Newton percebeu que 
existe uma relação muito simples entre força e aceleração, isto é, a força é 
 
s "vão para a frente" do ônibus quando este breca. Na 
realidade, a mudança do estado de movimento é apenas do ônibus. 
se como estavam. Da inércia 
 
 
A segunda lei de Newton é a lei fundamental da Mecânica. A partir dela e 
através de métodos matemáticos, podemos fazer previsões (velocidade e 
posição, por exemplo) sobre o movimento dos corpos. 
Qualquer alteração da velocidade de uma partícula é atribuída, sempre, a um 
agente denominado força. Basicamente, o que produz mudanças na 
velocidade são forças que agem sobre a partícula. Como a variação de 
é de se esperar que haja uma 
relação entre a força e a aceleração. De fato, Sir Isaac Newton percebeu que 
existe uma relação muito simples entre força e aceleração, isto é, a força é 
sempre diretamente proporcional à aceleração que ela provoca: 
 
onde m é a massa do corpo. 
Esta relação simples entre força e aceleração é conhecida como a 2ª Lei de 
Newton. 
 
No enunciado da lei de Newton, o termo tanto pode representar uma força 
como a força que resulta da soma de um conjunto de forças. 
Sendo a força uma grandeza vetorial, o mesmo acontecendo com a 
aceleração, podemos escrever para a lei de Newton, numa notação vetorial: 
 
Em componentes ao longo dos eixos x, y e z podemos escrever: 
Fx = max , Fy = may , Fz = maz . 
No caso em que mais de uma força atua sobre uma partícula, a lei de Newton 
deve ser entendida como: 
 
onde indica a soma das forças, ou seja, a somatória das forças que atuam 
sobre o objeto é igual à massa vezes a aceleração. 
Em termos das componentes, escrevemos: 
 
 
Ação e reação a 3ª lei de Newton 
 
 
Como foi dito no Capítulo 8, as forças resultam da interação de um corpo com 
outro corpo. É de se esperar, portanto, que, se um corpo A exerce uma força 
sobre um corpo B (chamada de ação), A também experimenta uma força 
(chamada de reação) que resulta da interação com B. 
Newton percebeu não só que isso acontece sempre mas, indo mais longe, 
especificou as principais características das forças que resultam da interação 
entre dois corpos. Essa questão foi objeto da sua terceira lei, cujo enunciado é: 
"Para toda força que surgir num corpo como 
resultado da interação com um segundo corpo, 
deve surgir nesse segundo uma outra força, 
chamada de reação, cuja intensidade e direção 
são as mesmas da primeira mas cujo sentido é o 
oposto da primeira." 
Desse modo, Newton se deu conta de três características importantes das 
forças de interação entre dois objetos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em primeiro lugar, uma força nunca aparece sozinha. Elas aparecem aos pares 
(uma delas é chamada de ação e a outra, de reação). 
Em segundo lugar, é importante observar que cada uma dessas duas forças 
atua em objetos distintos. 
Finalmente, essas forças (aos pares) tem a mesma magnitude mas diferem 
uma da outra pelo sentido: elas têm sentido oposto uma da outra. 
 
 
 
Unidades de massa 
 
No SI , a unidade de massa é o quilograma (kg). Esta é a 
massa de um cilindro de platina iridiada mantido no 
Bureau Internacional de Pesos e Medidas (Paris). 
 
Independência das leis de Newton 
 
À primeira vista pode parecer que se pode deduzir a primeira lei a partir da 
segunda. Na realidade, na ausência de forças, o movimento de uma partícula é 
uma trajetória retilínea e o movimento é uniforme e isso se pode deduzir da 
segunda lei. 
 
O enunciado da primeira lei procura definir um conjunto de sistemas de 
referência ditos inerciais. Para qualquer um desses sistemas inerciais uma 
partícula, não estando sob a ação de forças, tem um movimento retilíneo e 
uniforme. Isso, como veremos depois, não é válido para sistemas não-inerciais. 
 
Uma vez definidos os sistemas inerciais, podemos estabelecer, para esses 
sistemas, a relação entre força e aceleração (a segunda lei). 
 
As equações de Newton podem ser escritas em coordenadas cartesianas, sob 
a forma mais geral como 
 
 
Determinado a posição de uma partícula 
 
O problema central da mecânica se resume àquele de encontrar as soluções 
das equações de Newton. Trata-se de resolver, para o caso de se determinar a 
posição (x(t), y(t), z(t)) como função do tempo, um conjunto de equações 
diferenciais de segunda ordem no tempo. A dificuldade principal está no fato 
dessas equações estarem acopladas umas às outras. 
 
As condições iniciais 
 
A solução completa das equações de Newton requer que informações sobre a 
velocidade da partícula e sua posição sejam conhecidas em algum instante de 
tempo anterior ao tempo t. 
 
Em geral admitimos que no instante de tempo t = 0 a posição e a velocidade da 
partícula são conhecidas 
 
Assim, do ponto de vista matemático, o problema da mecânica se reduz a 
encontrar as soluções para as equações de Newton dadas as condições 
iniciais. Isto é, se forem conhecidas a velocidade e a posição da partícula no 
passado, podemos determiná-las no futuro, uma vez conhecidas as forças 
agindo sobre ela. 
Quando a aceleração vetorial de um corpo é nula, dizemos que ele está em 
equilíbrio. Sabemos, porém, que se a aceleração vetorial é nula podemos 
ter dois casos: velocidade nula ou movimento retilíneo uniforme. No 
primeiro caso (velocidade nula), dizemos que o equilíbrio é estático e no 
segundo (M.R.U.), dizemos que o equilíbrio é dinâmico. 
 
 
 
1) Um bloco de massa m está sobre um plano inclinado de 30o com a 
horizontal. Dado que o módulo da força de atrito entre o bloco e o plano é 
, onde N é o módulo da força normal de contato entre os dois e o 
coeficiente de atrito entre as duas superfícies, determine para que o bloco 
não escorregue plano abaixo. 
 
 
 
O termo Energia incorporou-se, em caráter definitivo, no 
cotidiano das pessoas. Este é o reconhecimento de que o 
consumo de energia determina, e muito, o padrão de vida dos 
habitantes da Terra. Ter energia, sob as mais diversas 
formas, à disposição é uma condição necessária para o 
desenvolvimento econômico e social de um país. 
 
 
 
Energia é a capacidade de realizar tarefas (os físicos preferem 
dizer realizar trabalho). Por tarefas entendemos atividades das 
mais diversas naturezas, como bater uma estaca no solo (para 
dotar um futuro prédio de bases sólidas), acender uma lâmpada, 
acionar as turbinas (ou reator) de um submarino nuclear, 
movimentar uma locomotiva ou aquecer a água dentro de uma 
panela. 
Energia é, portanto, a mola propulsora do desenvolvimento, do progresso. Por 
isso, a relevância de programas de geração e conservação de energia. A busca 
por fontes alternativas de energia será perene. 
Formas de energia 
 
 
A capacidade de realizar tarefas origina-se dos mais 
distintos processos físicos. Existem, pois, formas 
distintas de geração (ou armazenamento) de energia. A 
cada forma de energia associamos um nome para 
lembrar sua origem. Por exemplo, na detonação de uma 
bomba atômica existe a liberação (produção) de umaenorme quantidade de energia. Essa forma de energia 
se origina de processos que ocorrem no núcleo dos 
átomos (divisão de núcleos). Por isso, essa forma de 
energia recebe o nome de energia nuclear. 
 
 
Se a energia gerada tem origem no 
aproveitamento dos ventos, ela recebe o nome 
de energia eólica. Se a energia gerada se origina 
do aproveitamento de energia armazenada pela 
presença de campos elétricos (e magnéticos), 
temos a energia elétrica (ou magnética). O calor 
também é uma forma de energia (energia 
térmica). 
 
Existe, portanto, um número apreciável de formas de energia. Nos próximos 
capítulos estaremos estudando a Energia Mecânica. Ela é composta de 
outras duas formas: a Energia Cinética e a Energia Potencial. 
Formas de energia 
 
 
A capacidade de realizar tarefas origina-se dos mais 
distintos processos físicos. Existem, pois, formas 
distintas de geração (ou armazenamento) de energia. A 
cada forma de energia associamos um nome para 
lembrar sua origem. Por exemplo, na detonação de uma 
bomba atômica existe a liberação (produção) de uma 
enorme quantidade de energia. Essa forma de energia 
se origina de processos que ocorrem no núcleo dos 
átomos (divisão de núcleos). Por isso, essa forma de 
energia recebe o nome de energia nuclear. 
 
 
Se a energia gerada tem origem no 
aproveitamento dos ventos, ela recebe o nome 
de energia eólica. Se a energia gerada se origina 
do aproveitamento de energia armazenada pela 
presença de campos elétricos (e magnéticos), 
temos a energia elétrica (ou magnética). O calor 
também é uma forma de energia (energia 
térmica). 
 
Existe, portanto, um número apreciável de formas de energia. Nos próximos 
capítulos estaremos estudando a Energia Mecânica. Ela é composta de 
outras duas formas: a Energia Cinética e a Energia Potencial. 
Energia cinética 
 
 
Existe uma forma de energia que está associada inteiramente ao 
movimento, isto é, está associada ao estado de movimento (à velocidade, 
mais precisamente). Tal energia é denominada Energia Cinética (cinético, 
em grego, significa movimento). 
 
Para uma partícula de massa m e velocidade v, a sua energia cinética é 
dada pela expressão: 
. 
Note-se que, quanto maior for a velocidade e a 
massa de um objeto, tanto maior será a sua energia 
cinética. Esta expressão acima está muito de acordo 
com a nossa experiência cotidiana. Sabemos que um 
carro em movimento pode realizar tarefas, algumas 
delas absolutamente desnecessárias, tais como 
derrubar postes, derrubar muros ou deformar laterais 
de outros carros. O estrago provocado em acidentes 
é tanto maior quanto maior a velocidade do veículo. 
Uma jamanta, por outro lado, por ter uma massa 
maior do que um automóvel, é capaz de fazer mais 
estragos do que este (até mesmo a uma velocidade 
menor). 
 
 
Trabalhos realizados por uma força 
 
 
Quando definimos energia dissemos que os físicos preferem definir Energia 
como a capacidade de realizar trabalho (em vez de tarefas). Trabalho é um 
conceito muito abstrato (nada intuitivo, de fato) mas que, por outro lado, 
introduz um rigor matemático e, portanto precisão, na definição de energia. 
Para ser bem preciso, o que se pode afirmar é que, se alguma força 
realizou trabalho, então houve variação de energia. 
O trabalho aqui definido se 
constitui, portanto, numa 
medida de quanto uma forma 
de energia se altera (varia) 
quando um móvel se desloca de 
um ponto A para o ponto B. 
 
Trabalho realizado por uma força num deslocamento linear 
 
Para uma força constante, o trabalho realizado pela força sobre uma 
partícula, quando esta se desloca linearmente de A até B, é dado pelo 
produto escalar 
, 
onde é o vetor deslocamento de A 
até B: 
. 
Portanto, trabalho é uma grandeza 
escalar e seu valor é 
. 
 
 
 
 
 
Trabalho de uma força não constante 
 
 
 
Trabalho realizados por uma força 
 
Imaginemos que queremos calcular o trabalho de uma força quando a 
partícula percorre um caminho arbitrário do ponto A até o ponto B. 
Podemos dividir o percurso numa 
sucessão de deslocamentos 
(i=1,2,...) como mostra a figura ao 
lado. 
Se tomamos um número de divisões 
muito grande, os deslocamentos 
são muito pequenos e a força 
praticamente não varia ao longo de 
cada . O trabalho realizado por 
no deslocamento é então: 
, 
onde é o valor de no 
deslocamento . 
 
Agora podemos definir o trabalho no percurso total como sendo a soma 
em cada deslocamento parcial: 
 
Na verdade, esse é apenas um valor aproximado do trabalho. Para obter o 
valor exato, devemos fazer o número de divisões tender a infinito e de tal 
forma que as amplitudes de todos os intervalos vão tendendo a zero. Por 
esse processo, a somatória do segundo membro de (15.6) tende para um 
valor bem definido, indicado com 
 
e denominado integral de linha de um vetor ao longo de uma curva . 
Assim, 
. 
Escrevendo o deslocamento infinitesimal ao longo da curva, , na forma 
, 
onde dx, dy e dz são as variações infinitesimais correspondentes de x, y e z 
podemos escrever também 
. 
Essa é a forma usualmente empregada no cálculo do trabalho. 
Trabalhos e variação da enrgia cinética 
 
 
Vamos agora demonstrar, primeiramente sem muito rigor, um resultado 
muito importante; ou seja, o trabalho realizado por uma força (ou a 
resultante das forças que agem sobre o corpo) no deslocamento de A até B 
dá a diferença de energia cinética da partícula entre os pontos B e A: 
. 
Portanto, o trabalho dá uma medida muito precisa de quanto a energia 
cinética variou. Esta variação de energia cinética pode, por exemplo, ter-se 
transformado em outras formas de energia. 
 
Para demonstrarmos esse resultado, basta retomarmos a definição de 
trabalho e usarmos a lei de Newton. Obtemos 
. 
Uma manipulação simples leva a 
. 
O integrando pode ser escrito como uma diferenciação exata se 
lembrarmos que 
. 
Assim, utilizando a equação anterior em 
obtemos 
, 
demonstrando-se portanto, o resultado . 
 
Calculando o trabalho 
 
 
Vamos calcular o trabalho realizado por algumas das forças consideradas nos 
capítulos anteriores. Vamos começar pela força normal. 
 
Trabalho realizado pela força normal 
 
A força normal é sempre perpendicular à direção do deslocamento (e do 
movimento). Isso significa que a projeção da força na direção de deslocamento 
é nula. Matematicamente, 
 
Portanto, o trabalho realizado pela força normal é nulo. 
 
Trabalho realizado pela força gravitacional 
 
Como a força da gravidade na 
proximidade da terra é uma força 
constante m , o trabalho da força da 
gravidade será dada por 
. 
Escolhendo o eixo y de acordo com a 
figura ao lado verifica-se que 
. 
 
 
Observe-se que o trabalho depende apenas da variação da altura. Isso ocorre 
porque deslocamentos na direção horizontal dão contribuição nula para o 
trabalho, pois a força de gravidade é perpendicular a esses deslocamentos. 
 
 
Trabalho realizado por uma força não constante num 
deslocamento linear 
 
Dada uma força dependente de x, podemos dividir o deslocamento entre as 
posições xA e xB em pequenos intervalos . Para cada um desses intervalos 
aplicamos a fórmula para força constante, pois essa divisão procura 
justamente isso, ou seja, busca intervalos tão pequenos que para cada um 
deles possamos utilizar a expressão para força constante. Disso obtemos, 
para o i-ésimo intervalo, o trabalho 
. 
valor esse igual ao da área do retângulo tracejado mostrado na figura 
O trabalho total é o limite da somaquando aumentarmos o número de divisões fazendo os i tenderem a zero, 
isto é, 
. 
O significado de é que ele é igual a área da região compreendida entre 
o eixo x, a curva F(x) e as verticais por xA e xB, considerando-se essa área 
negativa quando F(x) é negativa. 
 
 
Exemplos 
 
No caso da força elástica, F(x) = -k x, 
a curva F(x) é a reta , mostrada na 
figura abaixo. A área do triângulo 
tracejado é, 
. 
Portanto, 
. 
Esse resultado vale também para 
pois, nesse caso, 
 
Introdução 
 
 
A dinâmica newtoniana é voltada para o estudo do movimento de objetos 
puntiformes (por isso dizemos a dinâmica do ponto). Como sabemos, os 
objetos que se movem no nosso Universo se encontram em constante 
interação com os demais. Dessa forma o interesse maior na mecânica é o 
estudo de um sistema de partículas. 
 
Nesse capítulo analisaremos as leis gerais do movimento de um sistema de 
N partículas. Esse número N pode ser relativamente pequeno como 2 ou 3 
até um número muito grande. Faremos uma análise bastante geral, isto é, 
não especificaremos o número de partículas que compõe o sistema. 
 
Consideremos um sistema composto por N partículas. A posição da i-ésima 
partícula é . Sobre ela imaginemos que atuem as forças internas (isto é, 
devido as demais partículas do sistema) e as forças externas (estas devido 
a partículas ou objetos que não pertencem ao sistema). Podemos assim 
escrever para a força sobre a i-ésima partícula: 
. 
As forças internas sobre a i-ésima partícula podem ser escritas como uma 
soma: 
 
onde é a força exercida pela j-ésima partícula sobre a i-ésima partícula. 
Sabemos, ademais, pela terceira lei de Newton, que: 
. 
Utilizando agora a segunda lei de Newton, podemos escrever, para cada 
uma das partículas as quais designamos por 1, 2, 3, ..., N 
 
Conservação do momento linear 
 
 
Se adicionarmos as equações ( ) verificaremos que os termos das forças 
internas na somatória se anulam. Isto decorre de ( ). Portanto, podemos 
escrever para a soma 
. 
Definindo o momento linear total do sistema como a soma dos momentos 
de cada uma das partículas 
. 
Podemos portanto escrever 
 
ou seja, a taxa com que o momento linear total do sistema varia com o 
tempo é igual à soma das forças externas. 
 
Um resultado muito importante que segue de ( ) é que na ausência de 
forças externas ou se o resultado for nulo 
. 
Então de ( ) segue que o momento linear se conserva 
 
e, consequentemente 
 
onde é um vetor constante. 
 
Este resultado vale independentemente da natureza das forças internas. 
 
O centro de massa 
 
 
A despeito de ser muito difícil, em geral, determinar a posição e a 
velocidade de qualquer uma das partículas do sistema (tendo em vista a 
dificuldade de encontrarmos a solução exata para o sistema de equações ( 
)) existe um ponto no sistema de partículas cujo movimento em um bom 
número de casos é previsível. Esse ponto é o centro de massa. O centro de 
massa é definido pelas suas coordenadas Rx, Ry, e Rz dadas pelas 
expressões: 
, 
onde m de M é a massa total do sistema de partículas 
. 
Podemos assim escrever, vetorialmente, que o vetor de posição do centro 
de massa ( ) é dado por 
. 
No caso de um sistema composto por um número muito grande de 
partículas é preferível tratá-lo como uma distribuição contínua de partículas 
e não discreta. Nesse caso, um dos conceitos mais relevantes é a 
densidade. A densidade de massa é definida como a relação entre a 
quantidade de massa dm contida num elemento infinitesimal de volume dV. 
Definimos, portanto 
 
onde é o vetor posição do elemento de volume dV. 
 
Dada a densidade volumétrica de massa podemos calcular a massa total 
através da integral de volume da densidade 
. 
Para uma distribuição contínua de massa o centro de massa é dado por 
. 
 
Movimento do centro de massa 
 
 
O movimento do centro de massa é bastante simples. Para entendermos 
isso notamos primeiramente que 
 
e portanto, a taxa de variação do vetor posição do centro de massa vezes a 
massa total é igual ao movimento linear total 
. 
Consequentemente, de ( ) e ( ) segue que 
. 
Assim, o centro de massa é tal que ele se movimenta como se todas as 
forças externas estivessem atuando sobre ele. Não é assim muito difícil 
determinar a posição do centro de massa de um sistema de partículas. 
 
No caso em que as forças externas se anulam ou são nulas, temos que 
 
e portanto, o centro de massa tem um movimento retilíneo e uniforme 
independentemente das forças internas. 
Sistema de duas partículas 
 
 
Consideremos o caso mais simples de um sistema de partículas. Aquele 
composto por apenas duas partículas. Nesse caso as equações ( ) se 
reduzem a apenas duas: 
 
No caso do sistema constituído por apenas duas partículas definimos além 
do centro de massa 
 
a coordenada relativa 
 
definimos, além da massa total, 
 
a massa reduzida 
. 
A utilidade das grandezas físicas assim definidas podem ser entendidas ao 
adicionarmos e subtrairmos as equações ( ). A adição nos leva a 
. 
Ao passo que a subtração nos leva, depois de dividirmos a primeira 
equação por m1 e a segunda por m2, a 
. 
A primeira equação representa o resultado já conhecido de que o centro de 
massa se move de tal maneira que tudo se passa como se todas as forças 
externas estivessem atuando sobre ele. 
 
Para entendermos a relevância da coordenada relativa e de massa reduzida 
consideremos o caso em que o sistema de duas partículas não está sujeito 
a forças externas. Nessas circunstâncias as equações ( ) se escrevem 
agora 
 
Uma vez conhecida a força (ou forças) de interação entre as duas partículas 
podemos determinar a partir de ( ) e utilizando ( ). Uma vez 
conhecidos e podemos determinar e utilizando ( ). Isto é 
 
O centro de massa como sistema de referência 
 
 
Em muitos casos é útil fazer uso de um sistema de coordenadas cuja 
origem coincide com o centro de massa do sistema. Assim a posição de 
uma partícula genérica do sistema (i-ésima partícula) é dada por 
. 
Sua velocidade é composta por dois termos 
 
onde representa a velocidade de partícula relativa ao sistema centro de 
massa. A aceleração é dada por 
 
onde, novamente aqui, a barra representa a grandeza (no caso a 
velocidade) relativa ao centro de massa. 
 
Multiplicando a equação ( ) por mi, efetuando a soma e lembrando ( ) 
notamos uma propriedade da coordenada relativa ao centro de massa. Tal 
propriedade se resume, assim 
. 
Se considerarmos um sistema contínuo, então a propriedade análoga ( ) 
para um sistema contínuo é: 
. 
Veremos que a propriedade ( ), ou equivalentemente ( ), é muito útil na 
simplificação da expressão de várias grandezas físicas quando expressas 
em termos do centro de massa. 
 
Momento angular de um sistema de partículas 
 
 
O momento angular de uma partícula é dado por 
 
e a taxa de variação do momento angular em respeito ao tempo é 
. 
O primeiro termo se anula uma vez que é paralelo a . Utilizando a lei de 
Newton, escrevemos 
. 
O lado direito da equação acima é o torque da força definido como 
 
portanto, a taxa de variação do momento angular é igual ao torque aplicado 
pela força agindo sobre o corpo. Portanto 
. 
Para um sistema de partículas, o momento angular total é dado por 
. 
No caso de uma distribuição contínua de partículas escrevemos para o 
momento angular 
. 
Utilizando o sistema centro de massa verificamos que de ( ) e ( ) 
. 
e portanto, o momento angulardo sistema pode ser expresso como o 
momento angular do centro de massa mais o momento angular de cada 
uma das partículas relativas ao centro de massa. 
A conservação do momento angular total 
 
 
A taxa de variação do momento angular total é dada por 
 
lembrando a terceira lei de Newton, notamos que o último termo se escreve 
. 
Como é paralelo a , temos 
. 
Donde o resultado que 
 
ou seja, a taxa de variação com o tempo, do momento angular total é igual 
à soma dos torques das forças externas 
. 
No caso em que esses torques se anulem ou tornem nulos temos o 
resultado de que o momento angular total deve ser conservado, isto é: 
. 
Energia cinética de um sistema de partículas 
 
 
A energia cinética do sistema é dada pela soma de energia cinética de cada 
uma das partículas que o compõe. Temos assim 
. 
Considerando-se o sistema centro de massa, utilizando a definição ( ) 
temos 
. 
Tendo em vista a propriedade ( ) o segundo termo se anula e portanto 
. 
E portanto, a energia cinética é dada pela energia cinética do centro de 
massa mais a energia cinética das partículas no seu movimento relativo ao 
centro de massa. 
Energia potencial do sistema 
 
 
Admitindo que as forças externas sejam conservativas teremos 
 
onde 
. 
Admitindo ainda que as forças internas são conservativas, isto é, admitindo 
que 
 
onde 
. 
Então a energia potencial do sistema será dada por 
. 
 
Introdução 
 
 
A análise das colisões elásticas no caso geral fica enormemente facilitada pelo 
uso do sistema centro de massa e o uso das coordenadas em relação a esse 
sistema ( e ). Lembrando que em relação ao centro de massa. 
 
 
 
e que a coordenada relativa é 
definida por 
, 
temos 
 
e 
 
 
e, portanto, as velocidades das duas partículas relativas ao centro de massa 
são: 
 
e 
, 
 
onde é a velocidade de m1 com respeito a m2. 
Numa colisão elástica, a conservação da energia cinética nos leva a 
 
 
onde e são as velocidades relativas no estado inicial e no estado final e 
 
é a massa reduzida. Temos, portanto 
 
e consequentemente, só existe uma mudança de direção na velocidade 
relativa. Escrevemos, portanto 
 
onde é um versor que indica a direção na velocidade relativa no estado 
final. 
 
A partir desses resultados podemos escrever 
, 
, 
onde o último termo é a velocidade constante do centro de massa. 
 
Portanto, 
 
 
onde é o momento linear total (constante) em relação ao sistema de 
laboratório. 
 
 
Utilizando vetores, temos o seguinte diagrama para as equações acima: 
 
Se uma das partículas (digamos a partícula 2) estiver em repouso, temos as 
três possibilidades abaixo: 
Os ângulos , e são ângulos de espalhamento da partícula 1 como vistos 
nos dois sistemas. O ângulo é o ângulo de recuo da partícula 2 no sistema 
de laboratório. 
Os diagramas das figuras anteriores são muito úteis para obtermos todos os 
parâmetros a partir de apenas um, dado como conhecido. 
 
Por exemplo, uma simples inspeção geométrica nos fornece a seguinte 
relação entre os ângulos , e . 
 
Vemos também que 
 
istó é, 
. 
Tomando o quadrado de 
e 
 
vemos que 
 
e 
. 
Vamos analisar os três casos relevantes. 
a) m1 > m2 
Observando a figura notamos que, nesse caso, 
 
e o ângulo atinge um valor máximo dado por 
 
 
b) m1 < m2 
Nesse caso a velocidade da primeira partícula 
pode ter qualquer direção. Nesse caso 
 
c) m1 = m2 
Todas as equações e resultados se simplificam. 
Olhando para a figura vemos que 
 
De 
 
e 
 
segue que 
 
 
Colisões analisadas do sistema centro de massa 
 
 
A colisão vista do sistema centro de massa é, em alguns casos, bem mais 
simples do que do sistema do laboratório. 
 
No caso da colisão entre duas partículas temos que, em função de 
, 
, 
o mesmo valendo para o estado final, isto é 
. 
Portanto, visto do sistema centro de massa as duas partículas estarão 
sempre em movimento. 
 
Sendo a velocidade relativa das duas partículas, podemos escrever 
 
 
Introdução 
 
 
O movimento de rotação é bastante comum no nosso mundo físico. Hoje 
sabemos que o nosso mundo - a Terra - está em rotação em torno de um 
eixo imaginário no espaço. A conseqüência disso é uma sucessão de dias 
intercalados com noites. 
 
A Terra, portanto, ilustra bem o exemplo de rotação em torno de um eixo. O 
pião é outro exemplo de objeto que executa movimento de rotação. No 
entanto, o seu movimento pode ser bem mais complexo do que a simples 
rotação em torno de um eixo. 
 
As portas das casas são fixadas aos batentes utilizando-se de duas ou três 
dobradiças. O efeito das dobradiças é o de permitir o movimento de rotação 
da porta em torno do batente da porta. Para fazermos uma porta girar 
devemos aplicar uma força sobre a porta. Certamente, você já notou que é 
mais fácil abrir a porta empurrando-a cada vez mais longe das dobradiças. 
O que é movimento de rotação 
 
 
O que caracteriza o movimento em geral é a variação do vetor de posição. 
Dizemos assim que houve movimento se o vetor de posição r passou para 
outro vetor de posição r', isto é, 
 
 
Nós dizemos que o movimento é de rotação pura se a direção e o sentido 
do vetor posição mudam, ou seja, se apenas o módulo do vetor permanece 
constante. Portanto, numa rotação pura: 
 
Rotação em torno de um eixo 
 
 
Consideremos uma maçã sobre a qual marcamos uma pinta vermelha (r). 
Façamos agora a rotação da maçã em torno de seu eixo de simetria por um 
ângulo muito pequeno . A nova posição é agora . O deslocamento 
durante a rotação é dada por 
 
No caso de rotação de um ângulo em torno de um eixo podemos escrever 
a seguinte relação entre as coordenadas do vetor depois da rotação ( ) e o 
vetor antes da rotação (r). 
 
Para ângulos pequenos ( ) temos: 
 
Portanto, o vetor deslocamento tem coordenadas 
 
Vê-se pois que podemos escrever 
 
onde k é um versor, cuja direção e sentido angular são aqueles do eixo de 
rotação. 
O vetor k é o vetor deslocamento angular 
 
Esse vetor é deominado por . 
= vetor deslocamento angular. 
O vetor deslocamento angular pode agora ser escrito para angulas bem 
pequenos como: 
 
Observe que o vetor deslocamento angular é apenas uma generalização, 
para grandezas vetoriais, da relação entre espaço percorrido e ângulo, no 
caso do movimento circular. Lembramos que, naquele caso, 
 
 
O vetor deslocamento angular 
 
 
Podemos expressar o deslocamento devido à rotação como função do vetor 
posição r. Para isso, introduzimos o vetor deslocamento angular. O vetor 
deslocamento angular é definido (como todo vetor) a partir do seu módulo, 
direção e sentido. 
 
Direção 
 
A direção do vetor deslocamento angular é dada pelo eixo de rotação. 
 
Sentido 
 
O sentido é dado pela regra da mão direita. Com a mão direita leve r para a 
novo posição . O polegar indica o sentido. 
 
 
 
Módulo 
 
O módulo é igual à variação (do ângulo de rotação). 
O vetor velocidade angular 
 
 
A partir do vetor deslocamento angular podemos definir o vetor velocidade 
angular através do processo limite 
 
Dividindo por e tomando o limite, teremos: 
 
Portanto, a velocidade de um ponto devido à rotação é: 
 
Essa velocidade está associada estritamente à rotação. Estamos 
imaginando o corpo sem movimento de translação. Essa é a velocidade 
percorrida por alguém que observaa partícula ou corpo em rotação em 
torno do eixo. 
 
Novamente aqui notamos a semelhança com o movimento circular no qual 
escrevemos: 
Portanto a definição () é uma generalização necessária visando a 
estabelecer relações entre grandezas vetoriais. 
 
Momento angular 
 
 
O momento angular, L, é uma grandeza física muito importante, 
especialmente em se tratando de rotações, mas cuja definição é um tanto 
quanto abstrata. Ela é definida como o produto vetorial do vetor posição e 
do vetor quantidade de movimento. 
L = r x p 
Vê-se que L é um vetor perpendicular a r e a p e, por isso, na maioria das 
vezes, ela acaba levando a dificuldades de visualização. No entanto, é uma 
quantidade física fundamental e importante no estudo da rotação de um 
corpo. 
A quantidade de movimento de um corpo pode ser nula (o que significa que 
ele nã está em movimento de translação) e ainda assim ter momento 
angular total diferente de zero. 
O momento angular total está para o movimento de rotação assim como a 
quantidade de movimento total está para o movimento de translação. 
Como p = mv, e usando expressão , podemos escrever o 
momento angular em termos de velocidade angular, como 
. 
Para um sistema de partículas, definimos o momento angular total como a 
soma dos momentos angulares de cada uma das partículas. Para um 
sistema de N partículas, temos: 
. 
Um corpo em rotação tem um valor definido para o momento 
angular. 
Pode-se, portanto, dizer que, se o corpo está em rotação, ele tem momento 
angular e vice-versa. 
 
O torque 
 
 
O torque ( ) de uma força (F) é definido como o produto vetorial entre a 
posição onde aplicamos a força. 
. 
Trata-se, portanto, de uma grandeza vetorial. 
Analogamente, definimos, quando mais de uma força atua sobre o corpo, o 
torque total como a soma dos torques produzidos por cada uma das forças. 
. 
Para duas forças F1 e F2, temos: 
. 
Um exemplo muito simples é o binário de duas forças. Nesse caso, 
aplicamos a um corpo a mesma distância (a partir de uma origem comum) 
duas forças de mesmo módulo mas sentidos opostos. 
Nesse caso, a força total é nula, mas a soma dos torques, não. 
 
Torque e rotação 
 
 
Um corpo se coloca em rotação quando aplicamos torques sobre ele. A 
variação de velocidade angular ocorre sempre como resultado de torques 
aplicados a um corpo. 
Rotações ocorrem como resultado de torques aplicados a um corpo. 
Para entendermos isso, notamos que a variação de momento angular pode 
ocorrer como resultado da variação da posição e da quantidade de 
movimento. Da definição () segue que: 
. 
Se dividirmos esta expressão por e tomarmos o limite quando , 
teremos: 
. 
O primeiro termo do lado direito se anula por 
v x p = 0 
Donde concluímos que 
. 
ou seja, 
Torque é igual à taxa de variação do momento 
angular. 
Isso significa qu os torques aplicados às partículas levam a alteração no 
momento angular. 
No caso sistema binário (de duas forças opostas), o corpo sujeito ao binário 
se colocará em rotação pura (sem movimento de translação). 
Conservação do momento angular 
 
 
Se os torques aplicados às partículas ou a um sistema de partículas tiverem 
uma resultante nula, o momento angular se conserva, isto é, L é constante 
no tempo. Escrevemos 
L = L0 
onde L0 é um vetor constante. 
 
Movimento do corpo rígido 
 
 
O corpo rígido é um caso particular de um sistema de N partículas. Ele é 
particular no sentido de manter as distâncias, entre as várias partes que o 
compõem (átomos), invariáveis. As distâncias entre os vários pontos do 
corpo rígido são fixas (só nesse sentido a rigidez). 
Qualquer deslocamento de um ponto P do corpo rígido pode sempre ser 
dado como uma soma de dois termos. Um deles associado ao movimento 
de translação do corpo rígido como um todo e o outro associado a uma 
rotação pura do corpo rígido. Escrevemos, assim 
. 
 
Para entendermos isso 
basta imaginarmos um 
sistema de referência 
solidário ao corpo rígido, 
com origem num ponto O, 
arbitrariamente escolhido, 
do mesmo. A posição de 
um ponto P do corpo 
rígido, com respeito a um 
sistema de referência S, 
será dada por 
, 
onde é a posição do 
ponto O e o vetor 
posição relativa a ele. 
Portanto 
 
 
onde descreve o deslocamento do ponto O do corpo e corresponde 
ao deslocamento associado à rotação em torno de O. Já vimos que 
, 
onde é o vetor deslocamento angular. Portanto, podemos escrever para 
a velocidade de um ponto do corpo rígido: 
, 
onde é a velocidade de O. 
Como o movimento mais geral do corpo rígido consiste de um movimento 
de translação e um outro de rotação, dizemos que o corpo rígido requer seis 
graus de liberdade para descrevê-lo: 
Translação: 3 coordenadas do ponto O. 
Rotação: 3 ângulos de Euler. 
Caráter absoluto da velocidade angular 
 
 
A velocidade angular do corpo rígido é a mesma em relação a qualquer um 
de seus pontos. Para entendermos isso, consideremos o caso em que ao 
invés do ponto O, toma-se outro ponto como referência, isto é, um ponto O'. 
Agora escrevemos 
 
onde é a posição da origem do novo sistema e , é a posição do ponto 
relativa a esse novo sistema. Podemos escrever 
 
De podemos escrever 
 
e, portanto, 
 
Sendo, pela equação , 
, 
temos estão 
 
 
 
Por outro lado, é dada também por . Temos assim 
 
isto é, 
 
Levando em conta , vem 
 
Como é arbitrário, pois P é um ponto qualquer do corpo rígido, podemos 
concluir que 
. 
Eixo instantâneo de rotação 
 
 
Contanto que exista um ponto O cuja velocidade seja perpendicular a , 
existe um eixo cujos pontos tem velocidade nula e em torno do qual o 
movimento do corpo é visto como uma rotação pura. Muitas vezes isso não 
é muito útil porquanto esse eixo pode mudar de direção. O movimento 
portanto, só é de rotação pura instantaneamente. Para determinarmos esse 
eixo consideremos os pontos do corpo que tem velocidade igual a zero: 
 
A solução dessa equação são os pontos situados sobre uma reta (ou 
seja, um eixo) paralela a que passa por um ponto C cuja posição em 
relação a O é dada pelo vetor. 
. 
Esse eixo é conhecido como eixo instantâneo de rotação e se encontra a 
uma distância d dada por 
. 
 
 
Momento angular 
 
 
O momento angular do corpo rígido com respeito a origem do sistema S é 
dado por 
 
onde é a densidade de massa do corpo rígido e dV é o elemento de volume. 
Lembrando e e considerando o ponto O como sendo 
o centro de massa, obtemos 
 
Sendo 
= massa total do corpo rígido = M 
e 
, 
Temos o momento angular composto por dois termos: 
. 
O primeiro corresponde ao momento angular do centro de massa e está 
associado ao movimento de translação do corpo rígido como um todo. O 
segundo, que indicaremos com , diz respeito estritamente à rotação e 
será analisado em seguida. 
 
Momento de inércia 
 
 
Utilizando a identidade vetorial 
, 
a expressão 
 
transforma-se em 
 
Para as componentes no sistema solidário do corpo rígido, temos 
. 
A i-ésima componente pode ser escrita como 
, 
onde 
 
são as componentes do tensor de inércia. 
Utilizando uma notação mais compacta temos 
, 
onde I é o tensor de inércia escrito de uma forma matricial 
. 
Observe-se que sob uma rotação 
do sistema de eixos solidário ao 
corpo rígido, as coordenadas 
sofrem a transformação 
. 
Espera-se pois que sob uma 
rotação o tensor Iij também se 
transforme: 
. 
Para determinarmos como o 
tensor Iij se transformasob uma 
rotação, lembremo-nos de que as 
coordenadas se transformam de 
acordo com 
. 
A partir da equação anterior podemos verificar facilmente que após a 
rotação o tensor Iij se transforma da seguinte maneira 
. 
Em notação matricial dizemos que o tensor I se transforma como 
, 
onde 
. 
Uma transformação dada pela equação anterior e é conhecida 
por transformação de semelhança e onde sabemos que, no caso de 
rotação, 
. 
Teorema dos eixos paralelos 
 
 
Em alguns casos pode haver 
interesse na relação entre o 
momento de inércia num 
determinado sistema no centro 
de massa e aquele de um 
sistema de eixos paralelos a 
esse. Façamos, portanto, a 
translação 
. 
Substituindo a relação acima na expressão de I'ij obtemos 
. 
O integrando é portanto: 
 
Substituindo em , obtemos 
 
 
Lembrando que 
 
temos finalmente 
. 
Este é o teorema dos 
eixos paralelos. Para a 
situação mostrada na 
figura ao lado, temos 
reduzindo-se a relação 
anterior a 
 
 
 
Energia cinética 
 
 
Consideremos agora a expressão para a energia cinética do corpo rígido. Sua 
energia cinética é dada por 
. 
Lembrando agora que a 
velocidade do ponto do corpo 
rígido localizado na posição 
(em relação ao centro de 
massa) é dada por 
, 
segue que 
. 
Lembrando as propriedades 
= massa total do corpo 
rígido = M e e 
que: 
obtém-se 
. 
 
E portanto, a energia cinética se constitui de duas partes. A primeira é a 
energia cinética de translação do corpo como um todo (é a energia cinética do 
centro de massa). A segunda está associada à rotação do corpo rígido.
 
Lembrando a identidade 
. 
Podemos escrever T sob a forma 
 
Lembrando a definição do momento angular , notamos que T pode então ser 
então escrito agora como 
. 
Vemos que a energia cinética de rotação é dada por 
, 
ou, de um modo equivalente, 
 
ou ainda 
. 
Introdução 
 
 
A equação básica descrevendo o movimento de rotação é a equação de 
movimento para o momento angular total: 
. 
Note-se que como o tensor de inércia é determinado num sistema preso ao 
centro de massa e como esse está em rotação, podemos lembrar a 
expressão e escrever: 
 
Utilizando a equação em temos: 
 
Levando em onta que 
 
e tomando as componentes da equação ao longo dos 
eixos principais, vamos obter 
. 
Estas equações são conhecidas como equações de Euler. 
Máquina de Atwood 
 
 
A máquina de Atwood é um dispositivo 
bastante simples e que permite, pela 
determinação da aceleração dos corpos em 
movimento, testar as leis da mecânica. Ela 
consiste de dois corpos de massas m1 e m2 
presos por um fio que passa por uma 
roldana. Nos problemas mais simples 
simplificamos o problema admitindo que ela 
não tenha massa. Isso é claramente uma 
aproximação. A roldana tem um momento 
de inércia dado por 
 
e devemos então levar em conta o seu 
movimento de rotação. Assim, além das 
equações usuais do movimento das 
partículas de massa m1 e m2 
 
onde T1 e T2 são as forças tensoras nos fios 
, temos agora a equação de movimento da 
roldana 
 
. 
Note-se que T2 = T1 só é possível se desprezarmos a massa da roldana. 
Lembrando que 
, 
temos de e que 
. 
A solução torna-se agora, utilizando as equações 
 
, 
. 
Se tomarmos inicialmente as duas partículas em repouso e a mesma altura 
(z = 0) teremos para a energia total 
E = 0 
Quando elas se deslocam de uma altura h em relação à posição original, a 
energia será 
 
E portanto, 
 
Donde obtemos que 
. 
Movimento de iodô 
 
 
O ioiô é um carretel sobre cujo eixo central 
enrolamos um fio esticado. Prendemos a 
extremidade do fio e soltamos o ioiô o qual rola 
para baixo até o fio acabar. Nesse ponto volta a 
enrolar o fio, tornando a subir. 
O movimento de translação do ioiô é devido à 
força tensora no fio e ao peso. Temos, portanto, 
para o centro de massa do ioiô, 
, 
ao passo que o movimento de rotação é descrito 
pela equação 
, 
onde R é o raio do eixo central e I é o momento 
de inércia ao redor do eixo passando pelo centro 
da massa. 
Como 
 
, 
a equação é escrita como: 
 
e portanto, de , temos 
 
e 
 
A energia cinética será dada por 
 
A energia conservada será dada por 
 
Admitindo E = 0 (o ioiô parado em X = 0), obtemos 
 
Para cada posição do ioiô temos duas velocidades 
 
O sinal + é válido quando o ioiô desce. O sinal - é associado ao movimento 
de subida. 
O maior valor da velocidade é atingido quando todo o fio de comprimento L 
está desenrolado 
 
Ao mudar de sinal existe uma variação de momento dada por 
 
e consequentemente uma força (puxão no fio) dada por 
, 
onde é o intervalo de tempo no qual houve a variação de momento.