Aula Integral Definida Integral Numerica

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Cálculo Integral – Engenharias – pág.1/11 
 
Integral definida e Integral numérica 
Por Sérgio Noriaki Sato 
“A expressão mais empolgante de se ouvir na ciência, 
a que anuncia novas descobertas, não é ‘Eureca’ (Achei!), 
mas ‘Estranho...’” 
Isaac Asimov (1920 – 1992) 
Escritor e bioquímico americano, nascido na Rússia 
 
 Vimos que a derivada possui a significação geométrica como sendo a tangente do ângulo de 
inclinação da reta tangente a uma curva. E a integral? Qual é sua interpretação geométrica? 
 A integral é numericamente igual à área sob uma curva. 
 Mas para mostrar isto vamos inicialmente estabelecer o que é integral definida. 
 A integral de f(x) definida no intervalo [a;b] é dada por 
)()()( agbgdxxf
b
a

 onde g(x) 
é a função primitiva de f(x) ou seja sua integral indefinida. Note que na aplicação dos limites de 
integração a e b não existe o uso da constante de integração. 
 Vamos analisar alguns casos simples para que se compreenda melhor o que estou dizendo. 
Por exemplo: 
4032724.89.8888
9
4
9
4
9
4
  xdxdx
 
Graficamente: 
 
Observe que a área entre a linha de gráfico e o eixo x, no intervalo de 4 a 9, fecha um retângulo de 
área 40, pois tem altura 8 e base 5 (9 – 4 = 5). 
 
 
Cálculo Integral – Engenharias – pág.2/11 
 
Outro exemplo: 
5,4
2
9
2
0
2
3
2
223
0
23
0

x
xdx
 
Graficamente: 
 
Se considerarmos a área entre a linha de gráfico e o eixo x, no intervalo de 0 a 3, teremos a área de 
um triângulo, que é 
5,4
2
9
2
3.3
2
3).03(
2
.



alturabase
 
 
 
Cálculo Integral – Engenharias – pág.3/11 
 
Mais um exemplo: 
5,22
2
45
2
4
2
49
2
2
2
7
2
227
2
27
2

x
xdx
 
Graficamente: 
 
A área no trecho considerado é a área de um trapézio, que é calculada por 
5,22
2
45
2
5.9
2
5).72(
2
).__(



 alturamaiorbasemenorbase
 
 
 
 
Cálculo Integral – Engenharias – pág.4/11 
 
E o mesmo valerá para outras formas geométricas. 
Por exemplo: 
33,41
3
124
3
1
3
125
3
1
3
5
3
335
1
35
1
2 
x
dxx
 
Graficamente: 
 
A medida da área colorida é de 41,33 
Esta conexão entre a integral definida e a área entre a linha gráfica e o eixo das abscissas permite 
estabelecer um método número de determinação do valor da integral. 
Reconsiderando o exemplo anterior 

5
1
2dxx
 
 
Vamos construir no trecho pedido um retângulo que tenha como base o intervalo de 1 a 5 e que 
tenha como altura o valor da função no centro da base, ou seja, (3)
2
 = 9. 
Ficaremos assim: 
 
Cálculo Integral – Engenharias – pág.5/11 
 
 
A área do retângulo (em preto) não corresponde a integral, tanto por que ele cobre uma área que não 
é a integral (canto superior esquerdo do retângulo principalmente), tanto porque não cobre outras 
áreas, como o que está acima do canto superior direito, principalmente. 
Ainda assim este retângulo possui área igual à base x altura = 4.9 = 36. O que é bem diferente de 
41,33. 
Mas se usássemos dois retângulos mais estreitos da forma a seguir. 
 
É evidente que ainda que somássemos as áreas dos dois retângulos não teríamos ainda a área da 
integral, mas como estes retângulos possuem bases mais estreitas em relação ao primeiro caso, eles 
se ajustam melhor. Veja só 
Área do primeiro retângulo  2.4 = 8 
Área do segundo retângulo  2.16 = 32 
 
Cálculo Integral – Engenharias – pág.6/11 
 
Área total = 8 + 32 = 40. O que já é bem mais próximo de nosso resultado de 41,33. 
Vamos ver com quatro retângulos. 
 
As áreas são, da esquerda para a direita: 
1.(1,5)
2
 = 1.2,25 = 2,25 
1.(2,5)
2
 = 1.6,25 = 6,25 
1.(3,5)
2
 = 1.12,25 = 12,25 
1.(4,5)
2
 = 1.20,25 = 20,25 
Somando-se todas as áreas  2,25 + 6,25 + 12,25 + 20,25 = 41 
O que é muito próximo de 41,33. De fato o erro relativo aqui cometido é de 0,8% (menos que 1 por 
cento). 
O que fizemos aqui para quatro retângulos pode ser sistematizado para n retângulos e quanto maior 
for o valor de n maior será a precisão de nosso resultado. 
Vamos fazer esta sistematização para n retângulos: 
O intervalo total tem largura igual a b – a, onde b é o limite superior e a é o limite inferior. 
A base de cada retângulo será 
n
ab )(  
O centro do primeiro retângulo será 
n
ab
a
2
)( 

 
Os centros dos retângulos estão distantes consecutivamente de uma distância igual a 
n
ab )(  
 
Cálculo Integral – Engenharias – pág.7/11 
 
A altura de cada retângulo é a imagem na função do centro de cada retângulo. 
As áreas dos retângulos podem ser encontradas pelo produto entre as bases de cada retângulo e suas 
respectivas alturas. 
A integral será a soma das áreas de todos os retângulos. 
De fato como todas as bases individuais são iguais podemos determinar a integral somando as 
alturas e depois multiplicando esta soma pela base individual. 
Vamos ver o último exemplo para n = 10 
Intervalo total  5 – 1 = 4 
Base individual = 4/10 = 0,4 
Centro do primeiro retângulo  1 + 0,4/2 = 1 + 0,2 = 1,2 
Os dez centros serão então  1,2; 1,6; 2,0; 2,4; 2,8; 3,2; 3,6; 4,0; 4,4 e 4,8 
Calculando a imagem de cada um dos centros na função x
2
 temos: 
1,44; 2,56; 4,00; 5,76; 7,98; 10,24; 12,96; 16,00; 19,36 e 23,04 
A soma de todas estas alturas é igual a 103,347 
A integral é  103,347 . 0,4 = 41,34 
O erro cometido aqui é de 0,02% (dois décimos de por cento!) 
Fica melhor se organizarmos em um quadro de cálculo: 
Início Fim Centro Altura Área 
1,0 1,4 1,2 1,44 0,576 
1,4 1,8 1,6 2,56 1,024 
1,8 2,2 2,0 4,00 1,600 
2,2 2,6 2,4 5,76 2,304 
2,6 3,0 2,8 7,98 3,192 
3,0 3,4 3,2 10,24 4,096 
3,4 3,8 3,6 12,96 5,184 
3,8 4,2 4,0 16,00 6,400 
4,2 4,6 4,4 19,36 7,744 
4,6 5,0 4,8 23,04 9,216 
INTEGRAL  41,34 
 
Em termos operacionais o quadro acima, mais explícito, se reduz ao que realmente interessa no 
quadro a seguir. 
Centro Altura 
1,2 1,44 
1,6 2,56 
2,0 4,00 
2,4 5,76 
2,8 7,98 
 
Cálculo Integral – Engenharias – pág.8/11 
 
3,2 10,24 
3,6 12,96 
4,0 16,00 
4,4 19,36 
4,8 23,04 
SOMA  103,347 
INTEGRAL  41,34 
 
Vamos para mais um exemplo já usando esta versão mais compacta. 
Considere o problema: 

10
2
dxe x
 que será resolvido com dez partições (dez retângulos). 
Base individual de cada partição = (10 – 2)/10 = 8/10 = 0,80 
Centro da base do primeiro retângulo = 2 + 0,80/2 = 2,40 
Centro Altura 
2,4 11,02318 
3,2 24,53253 
4,0 54,59815 
4,8 121,5104 
5,6 270,4264 
6,4 601,845 
7,2 1339,431 
8,0 2980,958 
8,8 6634,244 
9,6 14764,78 
SOMA  26803,35 
INTEGRAL  21442,68 
 
Analiticamente o problema é: 
08,22019389056,747,22026210
10
2
10
2
 eeedxe
xx
 
As funções de potência tendem a apresentar mais diferença e por isto costumam necessitar mais 
partições. Ainda assim o erro cometido aqui é de 2,6%. 
Se este último exemplo for realizado com 30 partições encontramos 21953,97 que já apresenta erro 
de 0,3%. O processo numérico é perfeito para computadores que podem realizá-los por milhares de 
interações de tal modo que o erro torna-se desprezível. Usando apenas o MS-Excel com 100 
interações o resultado encontrado já é 22013,20 que tem erro de 0,027%. 
 
Cálculo Integral – Engenharias – pág.9/11 
 
Exercícios 
01) Utilizando três casas decimais se necessário determine analiticamente os valores das 
integrais definidas a seguir: 
a. 

2
0
2dxx
 
b. 
 





1
0
2
1
2
dx
x
 
c. 
  
2
0
4 1 dxx
 
d. 

2
1
1
dx
x
 
e. 

4
0
dxx
 
f. 

8
1
3 dxx
 
g. 
 
1
0
1
1
dx
x
 
h. 
 
2
0
2 1dxxx
 
02) Refaça com 5 partições os exercícios do item (01). 
03) A engenharia de minas na prospecção de minério de ferro modela a probabilidade da 
concentração de ferro no minério. Considerando que x é a proporção de ferro no minério a 
probabilidade P é dada por 

b
a
x dxexbxaP ...2)(
23
 onde 0  a  b  1. A partir destas 
informações determine com dez partições a probabilidade que o minério contenha entre 0% 
e 25% de ferro no minério. 
04) Verifique para o item (03) que P(0  x  1) = 1. 
05) Com o preço previsto do combustível, em milhões de dólares por ano, uma companhia aérea 
modelou que entre 2007 e 2013 que seu custo será C1 = 568,5 + 7,15.t, onde t = 7 
corresponde a 2007. Com motores mais eficientes para os aviões espera-se que o custo passa 
a ser C2 = 525,6 + 6,43.t. No período considerado qual a economia esperada pela empresa? 
Resp.: 301 milhões de dólares. 
06) Verifique a integral a seguir com cinco partições: 
 

1
0
2
.
1
4
dx
x

 
07) Certo medicamento teve modelado sua absorção pelo organismo com o uso de marcadores 
radioativos. Verificou-se que 
)42ln(8 2  tt
dt
dC
 é a taxa de absorção do 
medicamento, em miligramas por hora, para um período entre 0 e 12 horas depois que o 
medicamento é ingerido. Use o método dos retângulos, com 7 partições, para determinar a 
quantidade total de medicamentos absorvido nas 12 horas. 
 
Cálculo Integral – Engenharias – pág.10/11 
 
08) Os psicólogos acompanham a capacidade de memorização, M, de uma criança entre zero e 
quatro anos, em uma escala de zero a dez, a partir do modelo matemático a seguir: 
M = 1 + 1,6.t.lnt, onde 0 < t  4 anos. Determine o valor médio desse modelo entre o 
primeiro e o segundo aniversários da criança. Dado que o valor médio de uma função 
contínua é calculado por 

b
a
dxxf
ab
).(.
1
. Trabalhar analiticamente. 
09) Um depósito de $ 2250 é feito em uma aplicação financeira a uma taxa de juros anual de 
6%, capitalizada continuamente. Determine o saldo médio na conta durante os primeiros 
cinco anos. Usar o conceito de valor médio apresentado no item (08). Leve em consideração 
que o saldo S em dado instante t é dado por S = S0.(1+i)
t
, onde i é taxa (decimal) de juros 
por tempo t e S0 é o saldo inicial ou capital. 
10) A taxa de variação nas vendas da PetSmart, Inc. de 1998 a 2005 pode ser modelada pela 
expressão 
te
dt
dS .23,0.7,15
, em que S são as vendas (em milhões de dólares) e t = 8 
corresponde a 1998. Em 1998, as vendas da PetSmart foram de $2109,3 milhões. (Fonte: 
PetSmart, Inc
1
.). Escreva um modelo para as vendas como função de t. Qual foi a média de 
vendas entre 1998 e 2005? Usar o conceito de valor médio apresentado no item (08). Resp.: 
S = 68,26.e
0,23.t
 + 1679,49 e $ 2748,09 milhões. 
11) No Mar do Norte, o bacalhau está em perigo de extinção porque grande parte da população é 
pescada antes que possa atingir a idade reprodutiva. As cotas de pesca no Reino 
Unido entre 1999 e 2006 podem ser aproximadas pela equação a seguir: 
y = 0,7020.t3 + 29,802.t2  422,77.t + 2032,9, na qual y é o peso total do que é pescado 
(em toneladas) e t é o ano, com t = 9 correspondendo a 1999. Determine a cota média 
recomendada durante os anos de 1995 e 2006. (Fonte: International Council for Exploration 
of the Sea
2
). Resp.: 141 t 
12) A figura a seguir mostra uma mancha de óleo na superfície do mar causada pelo vazamento 
de uma plataforma de prospecção. Use a regra dos retângulos (também conhecida como 
regra do ponto médio) para estimar a área da superfície. Dê a resposta em milhas quadradas 
e quilômetros quadrados. 
 
1
 http://phx.corporate-ir.net/phoenix.zhtml?c=93506&p=irol-irhome 
2
 http://www.ices.dk/indexfla.asp 
 
Cálculo Integral – Engenharias – pág.11/11 
 
 
13) Isaac Newton fez estudos sobre o arrefecimento de um corpo sob um jato de ar de 
temperatura constante e determinou que a temperatura do corpo varia com o tempo 
proporcionalmente à diferença de temperatura entre o corpo e o jato de ar. De fato esta lei, 
provou-se posteriormente vale também para o aquecimento de um corpo. De qualquer modo 
).( ark
dt
d  
. Um corpo inicialmente está a 100 °C. Após ser exposto por 2 minutos 
em um fluxo de ar contínuo a temperatura do corpo passou para 78 °C. A temperatura do 
fluxo é constante e igual a 20 °C. Nestas condições pede-se determinar: a) a constante de 
arrefecimento; b) a função horária da temperatura do corpo; c) a temperatura do corpo após 
uma exposição de 4 minutos. 
14) A população brasileira entre 1900 e 2000 pode ser modelada pela função P = 18,186.e0,0224.t, 
em milhões de habitantes, onde t = 0 corresponde a 1900. Determinar a população brasileira 
média entre 1980 e 1990. O IBGE estabelece como média para esta década o valor de 124 
milhões de habitantes. 
15) A probabilidade de um transistor falhar com entre t = a meses e t = b meses é dada pela 
expressão 


b
a
tC dteCP ..
; onde C é uma constante. Sabendo-se que a probabilidade de 
falha dentro dos seis primeiros meses é de 10% determine o valor de C. Determine a 
probabilidade do transistor falhar nos segundos seis meses. Resp.: C = 0,01756 e 9%.