Movimentos Periódicos: representação vetorial

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Aula 5 2010 
 
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Movimentos Periódicos: representação vetorial 
 
A experiência mostra que uma das maneiras mais úteis de descrever 
o movimento harmônico simples é representando-o como uma 
projeção perpendicular de um ponto descrevendo um movimento 
circular uniforme sobre um dos diâmetros do círculo. 
 
 
 
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Consideremos um ponto P descrevendo um movimento circular 
uniforme no sentido anti-horário como na figura acima. Observe que 
a projeção perpendicular do ponto P sobre o eixo horizontal Ox ou 
sobre o eixo vertical Oy descreve um movimento harmônico 
simples. 
 
Vamos supor que o movimento circular uniforme do ponto P se dá 
com velocidade angular ω. Vamos supor também que o movimento 
circular uniforme teve início a partir de um ponto P0 cujo vetor OP0 
faz um ângulo α0 com o eixo Ox (figura abaixo). 
 
 
 
A projeção instantânea do ponto P sobre o eixo Ox é dada então por 
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)(coscos)( 0αωθ +== tAAtx . (1) 
 
Notem que esta equação é idêntica à que foi deduzida na aula 1 
passada para descrever o movimento harmônico simples (equação 
8). 
 
A representação do movimento harmônico simples em termos do 
movimento circular uniforme de um ponto P sobre um círculo de 
raio A é chamada de representação em termos do vetor girante OP. 
O círculo de raio A é chamado de círculo de referência. 
 
A experiência também mostra que o uso de números complexos para 
representar movimentos oscilatórios é muito útil, especialmente 
quando combinada com a representação do vetor girante. Por isso, 
vamos continuar esta aula fazendo uma revisão (ou introdução, para 
aqueles que nunca viram) de números complexos. 
 
Um número complexo pode ser representado algebricamente por 
ibaz += , (2) 
onde i é a chamada unidade imaginária 
1−=i , (3) 
ou seja, 
i2 = –1. 
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Um número complexo z também pode ser representado 
geometricamente no plano x-y (veja a figura abaixo). 
 
Quando se trata de representar números complexos, o plano x-y é 
chamado de plano complexo. O eixo x é chamado de eixo real e o 
eixo y é chamado de eixo imaginário. 
 
O número complexo z = a + ib pode ser representado no plano 
complexo como um vetor cuja projeção no eixo x é a e cuja projeção 
no eixo y é b. Para passar da representação geométrica para a 
algébrica, multiplica-se a projeção sobre o eixo y por i. Portanto, um 
vetor de coordenadas (a, b) no plano x-y representa o número 
complexo z = a + ib. 
 
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Dizemos que a componente a do número complexo z é a parte real 
de z e que a componente b é a parte imaginária de z: 
zb
za
Im
Re
=
=
. 
Também dizemos que o ponto de coordenadas (a, b) no plano 
complexo é a imagem do número complexo z = a + ib nesse plano. 
 
A soma de dois números complexos z1 e z2 é definida como, 
( ) ( ) ( ) ( ),21 dbicaidcibazz +++=+++=+ (4) 
que pode ser representada geometricamente pela soma vetorial dos 
vetores que representam esses dois números complexos no plano 
complexo (veja a figura abaixo). 
 
O complexo conjugado z* do número complexo z = a + ib é definido 
como: 
( ) ibaibaz −≡+= ** . (5) 
 
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A imagem do complexo conjugado z* no plano complexo é simétrica 
à imagem de z em relação ao eixo real (veja a figura abaixo). 
 
Mostre como exercício que: 
( )*
2
1Re zzz += 
( ).
2
1Im *zz
i
z −= 
 
O produto de dois números complexos é definido em termos da 
propriedade distributiva da multiplicação: 
( )( ) ( ) ( )bcadibdacidcibazz ++−=++=21. . (6) 
 
O módulo z do número complexo z = a + ib é definido como, 
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22 baz += , (7) 
que pode ser escrito em termos do complexo conjugado z* como 
(mostre como exercício): 
zzz *= . (8) 
 
O quociente de dois números complexos pode ser calculado 
multiplicando-se o numerador e o denominador pelo complexo 
conjugado do denominador: 
( )( )
( )( ) 2222 dc
adbci
dc
bdac
idcidc
idciba
idc
iba
+
−
+
+
+
=
−+
−+
=
+
+
. (9) 
 
Uma das mais belas fórmulas da matemática é a chamada fórmula 
de Euler, deduzida pelo grande matemático suíço Leonhard Euler 
(1707-1783) por volta de 1740: 
xixeix sencos += . (10) 
 
Nas suas Lectures on Physics, o físico norte-americano Richard 
Feynman (1918-1988) se referiu a esta fórmula como “nossa jóia” e 
“uma das mais notáveis, quase surpreendente, fórmulas de toda a 
matemática”. Baseado na fórmula de Euler se escreve a chamada 
identidade de Euler, 
01=+πie , (11) 
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que é considerada por muitos como a maior equação de todos os 
tempos, por envolver três das principais constantes matemáticas (i, π 
e e) e os dois primeiros números (0 e 1). 
 
A fórmula de Euler pode ser provada usando-se a expansão de uma 
função em série de Taylor em torno da origem, 
...
6
)0(
2
)0()0()0()(
32
+ʹʹʹ+ʹʹ+ʹ+=
xfxfxffxf . (12) 
 
A expansão em série de Taylor em torno da origem para a função 
exponencial ex é então (lembre-se da propriedade da derivada de ex: 
dex/dx = ex): 
...
2462
1
432
+++++=
xxxxex 
e a expansão de eix é: 
eix =1+ ix + ix( )
2
2 +
ix( )3
6 +
ix( )4
24 +...⇒ 
eix =1+ ix − x
2
2 − i
x3
6 +
x4
24 +... . (13) 
 
Por outro lado, as expansões em série de Taylor em torno da origem 
para cos x e sen x são: 
...
242
1cos
42
++−=
xxx (14) 
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e 
...
1206
sen
53
−+−=
xxxx (15) 
 
Observe que agrupando as partes real e imaginária da expansão de ex 
podemos escrever, 
eix = 1− x
2
2 +
x4
24 +...
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟+ i x − x
3
6 +
x5
120 +...
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ . 
 
Comparando a expressão acima com as expansões em série de 
Taylor para cos x e sen x, pode-se ver que os termos real e 
imaginário são idênticos (até a ordem que se queira) às expansões 
para o cosseno e o seno, respectivamente. Portanto: 
eix = cos x + isenx . 
 
A fórmula de Euler relaciona a função exponencial com funções 
trigonométricas. Mostre como exercício que ela permite definir as 
funções seno e cosseno como: 
( ) ( )ixixix eee
i
x Im
2
1sen =−= − (16) 
( ) ( )ixixix eeex Re
2
1cos =+= − (17) 
 
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Agora veremos como usar a fórmula de Euler para representar um 
número complexo no plano complexo. 
 
Afigura abaixo mostra a imagem do número complexo z = x + iy. 
 
Se passarmos da representação cartesiana (x, y) para a representação 
em coordenadas polares (r, θ) teremos: 
θ
θ
sen
cos
ry
rx
=
=
. (18) 
E o número complexo z fica escrito como 
( )θθθθ sencossencos irirriyxz +=+=+= . 
 
Usando a fórmula de Euler, z pode ser escrito como: 
θirez = . (19) 
 
Esta é a chamada forma trigonométrica do número complexo z. 
 
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O termo 22 yxr += é chamado de módulo de z (r = |z|) e o 
ângulo θ é chamado de argumento de z. 
 
Um número complexo de módulo unitário (r = 1) é escrito como z = 
eiθ e a sua imagem no plano complexo é um vetor com extremidade 
no círculo unitário fazendo um ângulo igual a θ com o eixo x (veja a 
figura abaixo). 
 
Um número complexo de módulo unitário é chamado de fator de 
fase. 
 
Em termos da representação trigonométrica, o produto de dois 
números complexos 111
θierz = e 222
θierz = é dado por: 
( )( ) ( )2121 212121. θθθθ +== iii errererzz . (20) 
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O módulo do produto é o produto dos módulos e o argumento do 
produto é a soma dos argumentos. 
 
Um caso particular de (20) é quando z1 é um fator de fase, 
( ) ( )θααθθ +== iiii rereeze , (21) 
ou seja, a multiplicação de um número complexo por um fator de 
fase de argumento θ equivale a uma rotação de θ (no sentido anti-
horário0 na imagem do número complexo. 
 
Na representação trigonométrica, o quociente de dois números 
complexos é escrito como: 
( )21
2
1
2
1
2
1
2
1 θθ
θ
θ
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
== ii
i
e
r
r
er
er
z
z
. (22) 
O módulo do quociente é o quociente dos módulos e o argumento do 
quociente é a diferença dos argumentos. 
 
A função exponencial de um número complexo z = a + ib é definida 
como: 
( )bibeeee aibaiba sencos +==+ . (23) 
 
Vamos agora combinar o que foi visto sobre números complexos 
com o oscilador harmônico simples. 
 
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Para começar, vamos considerar novamente a equação diferencial 
para um MHS. Só que agora vamos supor que a variável que a 
obedece é uma função complexa z(t): 
)()( 22
2
tz
dt
tzd
ω−= . (24) 
 
Quando resolvemos esta equação para uma variável real x(t) na aula 
1, mostramos, por substituição, que as funções funções 
trigonométricas sen(ωt) e cos(ωt) são soluções dela. Vamos aqui 
também resolver a equação (24) por substituição. Vamos propor que 
a solução de (24) seja a seguinte função complexa, 
ticetz ω=)( , (25) 
onde c é uma constante complexa. 
 
Substitua (25) em (24) e mostre como exercício que se obtém uma 
identidade. Ou seja, (25) é solução de (24). 
 
Como a equação (24) é de 2a ordem, a sua solução é determinada a 
menos de duas constantes reais arbitrárias. No caso da aula 1, essas 
constantes eram a amplitude A e a fase inicial φ0. No caso da solução 
(25) isso também é assim, pois a constante complexa c pode ser 
escrita como, 
0ϕiAec = , (26) 
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com A e φ0 constantes. 
 
Portanto, a solução geral da equação diferencial complexa (24) é 
( )otitii AeeAetz ϕωωϕ +== 0)( . (27) 
 
Esta é a solução de uma equação diferencial complexa. Isto 
aparentemente nada tem a ver com física, pois as grandezas físicas 
são todas reais. Notem, porém, que a parte real da solução (27) é 
exatamente igual à solução da equação diferencial para o MHS real: 
( ) )(cos)(Re 0 txtAtz =+= ϕω (28) 
 
Isto nos sugere um método de resolver problemas envolvendo 
oscilações: usar a representação complexa para resolver os 
problemas e depois tomar a parte real das soluções como a solução 
do problema físico real em questão. 
 
A vantagem de se usar a representação complexa é que é mais fácil 
trabalhar com exponenciais do que com senos e cossenos. Além 
disso, a própria representação geométrica de um número complexo 
Aeiθ corresponde a um vetor de módulo A formando um ângulo θ 
com o eixo real, que é a representação do vetor girante para um 
movimento oscilatório. 
 
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