Aula Inversao matrizes

Prévia do material em texto

Métodos Computacionais para 
Engenharia Elétrica
UNIVERSIDADE FEDERAL 
FLUMINENSE
Departamento de Engenharia Elétrica
11
Engenharia Elétrica
TEE00141
Professor: Thales Terrola e Lopes
thalesterrola@id.uff.br
2 – Método de Cholesky
1
Inversão de Matrizes
�Matriz [A] é quadrada, então existe outra 
matriz [A]–1, chamada inversa de [A]:
[A][A]–1= [A] = [I][A]–1
�Procedimento padrão:
2
Inversão de Matrizes
�Cálculo numérico da inversa:
� A inversa pode ser calculada coluna a coluna, 
gerando soluções para vetores unitários como 
constantes do lado direito.
� se o vetor do lado direito tem um 1 na primeira posição e 
3
� se o vetor do lado direito tem um 1 na primeira posição e 
zeros no resto, a solução resultante será a primeira coluna da 
matriz inversa.
� se um vetor unitário com um 1 na segunda linha é usado, o 
resultado será a segunda coluna da matriz inversa.
Inversão de Matrizes
� Cálculo numérico da inversa:
– A melhor forma de implementar o cálculo da 
inversa é com o uso do algoritmo de 
decomposição LU.
– Uma das grandes vantagens da decomposição LU – Uma das grandes vantagens da decomposição LU 
é que ela fornece uma forma eficaz de calcular 
diversos vetores do lado direito. � ideal para 
manipular os vetores unitários necessários para 
calcular a inversa.
4
Inversão de Matrizes
�Exemplo:
� Cálculo numérico da inversa: Substituição progressiva, utilizando as 
5
� Cálculo numérico da inversa: Substituição progressiva, utilizando as 
matrizes L e U. 
Inversão de Matrizes
�Exemplo:
� Cálculo numérico da inversa: Substituição progressiva, 
6
� Cálculo numérico da inversa: Substituição progressiva, 
utilizando as matrizes L e U. 
Inversão de Matrizes
�Exemplo:
� Cálculo numérico da inversa: Substituição progressiva, 
7
� Cálculo numérico da inversa: Substituição progressiva, 
utilizando as matrizes L e U. 
Inversão de Matrizes
�Exemplo:
8
� A validade do resultado é verificada por:
[A][A]–1= [I]
Exercícios Teste
1. Implemente o algoritmo para a fatoração de 
Cholesky, de acordo com o algoritmo da 
transparência a seguir.
2. Realize as implementações computacionais 2. Realize as implementações computacionais 
para o cálculo da inversa de uma matriz, a 
partir das matrizes L e U.
Fatoração de Cholesky
Algoritmo para resolução de Ax= b pela Fatoração de Cholesky.
Obtenção do Fator de 
Cholesky – Matriz G. G: n x n
G: triangular inferior 
A: n x n
A: simétrica e 
definida positiva
Resolução do 
Sistema Triangular
G: triangular inferior 
com diagonal positiva