Aula Sistemas Nao Lineares NR 022016

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Métodos Computacionais para 
Engenharia Elétrica
UNIVERSIDADE FEDERAL 
FLUMINENSE
Departamento de Engenharia Elétrica
11
Engenharia Elétrica
TEE00141
Professor: Thales Terrola e Lopes
thalesterrola@id.uff.br
3 – Solução de Sistemas Não Lineares
Solução de sistemas não lineares
�Dada uma função não linear, o objetivo é encontrar as 
soluções para:
F(x) = 0; com F = (f1, f2, f3, ..., fn)
2
Exemplo:
Considerações para solução de Sistemas Não Lineares 
I. F(X) tem derivadas contínuas no domínio da função;
II. Existe pelo menos um ponto X * em D, tal que F(X * ) = 0.
Solução de sistemas não lineares
Vetor Gradiente de fi(x)
� Linearização do sistema de equações não lineares.
3
Vetor Gradiente de fi(x)
� Vetor das derivadas parciais da função fi(x).
Iteratividade
� A partir de um ponto inicial x0, geram seqüências de solução 
xk.
Critérios de Convergência
� Verificar o módulo de F(xk). Ou seja, se este é inferior ao 
Solução de sistemas não lineares
4
� Verificar o módulo de F(x ). Ou seja, se este é inferior ao 
erro de convergência:
� Verificar se o resíduos das variáveis são inferiores ao erro de 
convergência:
� Limitar o número de iterações k em um número máximo.
� Este é o método mais amplamente utilizado para resolver
sistemas de equações não lineares.
� Caso mono variável x caso multi variável.
� O método combina duas idéias básicas comuns nas
aproximações numéricas:
Métodos Numéricos- Método de Newton-Raphson:
Solução de sistemas não lineares
aproximações numéricas:
5
1) Linearização
� Procura-se substituir, numa certa vizinhança, o problema por
sua aproximação linear. Essa aproximação pode ser obtida
tomando-se os primeiros termos de uma expansão usando Série
de Taylor.
2) Iteração
� Repetição do procedimento, até que se garanta a
convergência para a solução do sistema ou o fim desejado.
Caso Escalar ou Mono variável:
Solução de sistemas não lineares
Método de Newton-Raphson:
� Expandindo essa equação, usando a Série de Taylor, próximo a um ponto 
inicial (x0,f(x0)), e tomando-se apenas os primeiros termos desta expansão, 
tem-se:
f(x) = 0
Série de Taylor
6
Série de Taylor
� Truncando Taylor no segundo termo, e tomando-se o ponto x0 como partida:
Solução de sistemas não lineares
Método de Newton-Raphson:
�Assim: f(x) = 0
Onde f’(x0) é a primeira derivada de f em x0.
7
De modo iterativo!
� Caso mono variável: f(x) = 0.
� Solução de sistemas algébricos não lineares.
Derivada no ponto.
Solução de sistemas não lineares
Método de Newton-Raphson:
8
Solução de sistemas não lineares
Método de Newton-Raphson:
Interpretação Gráfica
9
Solução de sistemas não lineares
Método de Newton-Raphson:
Caso Vetorial ou Multi-variável:
10
Solução de sistemas não lineares
Método de Newton-Raphson:
Caso Vetorial ou Multi-variável:
� Truncando Taylor no segundo termo da Série, tem-se:
11
Matriz 
Jacobiana
Solução de sistemas não lineares
Método de Newton-Raphson:
Caso Vetorial ou Multi-variável:
De forma genérica torna-se:
12
)()()1( kkk
xxx ∆+=+
Matriz Jacobiana J(X):
Solução de sistemas não lineares
13
Exemplo Numérico
Solução de sistemas não lineares
Método de Newton-Raphson:
Resolver o sistema de equações não-lineares utilizando o 
Método de Newton-Raphson para o vetor de condições iniciais 
abaixo. Considerar uma tolerância para a convergência do 
processo iterativo igual a 0,01. 
14
ε = 0,01
043
042
01
2
32
2
1
3
2
2
2
1
2
3
2
2
2
1
=+−
=−+
=−++
xxx
xxx
xxx
Solução:
Solução de sistemas não lineares
Método de Newton-Raphson:
043
042
01
2
32
2
1
3
2
2
2
1
2
3
2
2
2
1
=+−
=−+
=−++
xxx
xxx
xxx
15
Para k = 0 (Primeira iteração).
321
Exemplo Numérico
Solução de sistemas não lineares
Método de Newton-Raphson:
16
Para k = 0 (Primeira iteração).










=










∆
∆
∆










−
−
00,1
25,1
25,0
143
412
111
)0(
3
)0(
2
)0(
1
x
x
x
[ ]Tox 125,00375,0)( −=∆










=










−
+










=∆+=
375,0
5,0
875,0
125,0
0
375,0
5,0
5,0
5,0
)0()0()1(
xxx
[ ]Tx 375,05,0875,0)1( =
F(x) (0) > ε & ∆x(0) > ε Processo não convergiu!
Exemplo Numérico
Solução:
Solução de sistemas não lineares
Método de Newton-Raphson:
Para k = 1 (Segunda iteração) �








−
−=
7500,00000,42500,5
0000,40000,15000,3
7500,00000,17500,1
)( )1(xJ
[ ]Tx 375,05,0875,0)1( =
17




 − 7500,00000,42500,5
)( )1(xF
TxF ]4375,02813,01563,0[)( )1( =
Solução de sistemas não lineares
Método de Newton-Raphson:
Para k = 1 (Segunda iteração):










=










∆
∆
∆










−
−
4375,0
2813,0
1563,0
7500,00000,42500,5
0000,40000,15000,3
7500,00000,17500,1
)1(
)1(
2
)1(
1
x
x
x
Solução:
18





∆ − 4375,07500,00000,42500,5
)1(
3x
[ ]Tx 0051,00034,000852,0)1( −−−=∆










=










−
−
−
+










=∆+=
3699,0
4966,0
7898,0
0051,0
0034,0
00852,0
375,0
5,0
875,0
)1()1()2(
xxx
[ ]Tx 3699,04966,07898,0)2( =
F(x) (1) > ε & ∆x(1) > ε Processo não convergiu!
Solução:
Solução de sistemas não lineares
Método de Newton-Raphson:
Para k = 2 (Terceira iteração):








−
−= 000,49932,01593,3
7399,09932,05796,1
)( )2(xJ
[ ]Tx 3699,04966,07898,0)2( =
19




 − 7399,00000,47389,4
)( )2(xF
0218,03699,04966,047898,03
0145,0369944966,07898,02
0073,013699,04966,07898,0
22
22
222
=+×−×
=×−+×
=−++
TxF ]0218,00145,00073,0[)( )2( =
Solução:
Solução de sistemas não lineares
Método de Newton-Raphson:
Para k = 2 (Terceira iteração):










−
−
−
=








∆
∆
∆










−
−
0218,0
0145,0
0073,0
7399,00000,47389,4
000,49932,01593,3
7399,09932,05796,1
)2(
)2(
2
)2(
1
x
x
x
20
−




∆ − 0218,07399,00000,47389,4
)2(
3x
[ ]Tx 0000,00000,00046,0)2( −=∆










=









−
+










=∆+=
3699,0
4966,0
7852,0
0000,0
0000,0
0046,0
3659,0
4966,0
7898,0
)2()2()3(
xxx
Exemplo Numérico
Solução Final:
Solução de sistemas não lineares
Método de Newton-Raphson:






=




−
+





=∆+= 4966,0
7852,0
0000,0
0046,0
4966,0
7898,0
)2()2()3(
xxx
21





=





+





=∆+=
3699,0
4966,0
0000,0
0000,0
3659,0
4966,0xxx
Processo convergiu 
em 3 iterações!










=
3699,0
4966,0
7852,0
)4(
x
F(x) (2) < ε & ∆x(2) < ε
Algoritmo
Solução de sistemas não lineares
Método de Newton-Raphson:
22
Primeiro termo da série de Taylor
Solução de sistemas não lineares
Método de Newton-Raphson - Caso mono variável, f(x) = 0.
23
Primeira derivada 
igual a zero. Matriz das 
derivadas em 
relaçãoas 
variáveis a 
serem 
calculadas
Primeiro termo da série de Taylor
Solução de sistemas não lineares
Método de Newton-Raphson - Caso Multivariável, F(x) = [0] .
24
����Matriz Jacobiana.