Matrizes Determinantes Sistema

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Disciplina: ÁLGEBRA LINEAR Atividade Teórica 
Profa. Chang Rodrigues Data: ___/___/____ 
 
 
M A T R I Z E S 
 
1 – INTRODUÇÃO 
 Em leituras de jornais e revista frequentemente encontramos tabelas ilustram os artigos. 
Essas tabelas servem para uma melhor visualização dos dados e facilitam a interpretação do 
conteúdo do texto. Veja os exemplos a seguir: 
 
EXEMPLO 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
http://www.unicamp.br 
 
 
EXEMPLO 2 
 
 
 
EXEMPLO 3 
 
Resistores são componentes que têm por finalidade oferecer uma oposição à passagem de corrente 
elétrica. Faixas coloridas são pintadas no corpo do resistor para indicar o valor nominal de suas 
resistência e a porcentagem na qual a resistência pode variar seu valor nominal. 
A tabela de cores abaixo é utilizada para determinar a grandeza dos resistores. 
 
 
 
 
2 
 
 
 
 
 
 
2 – DEFINIÇÃO 
 Chama-se matriz nm (lê-se m por n) toda tabela retangular formada por nm  números 
reais, dispostos em m linhas e n colunas. Dizemos que a matriz é do tipo nm ou de ordem nm . 
 Tal tabela deve ser representada entre parênteses   , entre colchetes   ou entre 
barras duplas . 
 
Exemplos: 












31
65
49
23A 







 63
45
22B 51431 C 
 
OBSERVAÇÕES: 
 Quando 1m , a matriz é chamada matriz linha:  231  
 Quando 1n , a matriz é chamada matriz coluna: 



2
1
 
 
3 – REPRESENTAÇÃO GENÉRICA DE UMA MATRIZ 
 Por convenção, os elementos ou termos de uma matriz são indicados por ija , onde i 
representa a linha e j representa a coluna na qual o elemento se encontra. 
 
 
 
3 
 
 Analisando a matriz 













9126
01045
1523
 , podemos observar que: 
 O elemento 3 está na 1a linha e na 1a coluna; indica-se: 311 a (lê-se a um um igual a 3). 
 O elemento 10 está na 2a linha e na 3a coluna; indica-se: 1023 a (lê-se a dois três igual a 10). 
 Da mesma forma, 521 a , 024 a , 232 a . 
 
Genericamente, a matriz A, do tipo nm , será escrita: 
















mnmmm
n
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa





321
3333231
2232221
1131211
 
 De maneira abreviada, podemos escrever: 
 
nmij
aA

 , com mi 1 , nj 1 e ji, IN 
 (lê-se: matriz A, dos elementos ija , do tipo nm ). 
 
EXERCÍCIOS 
 
1) Uma indústria têxtil vai fabricar tecidos com fios diferentes. Na matriz abaixo, ija representa 
quantos rolos de fio j serão empregados para fabricar uma peça do tecido tipo i. 











124
310
205
A 
a) Quantos rolos de fio 3 serão empregados para produzir o tecido tipo 2? 
 
 
b) Quantos rolos do fio 1 serão empregados para fabricar cinco peças do tecido tipo 1, quatro 
peças do tipo 2 e duas do tipo 3 
 
2) Escrever a matriz  
23
 ijaA tal que jiaij  5 . 
 
 
 
4 – MATRIZES ESPECIAIS 
 
4.1 – MATRIZ QUADRADA 
 Quando o número de linhas é igual ao número de colunas  nm  , diz-se que a matriz é 
quadrada de ordem nn ou simplesmente de ordem n. 
Exemplos: 






26
53
 é uma matriz quadrada de ordem 2 
 
 
 
4 
 










987
654
321
 é uma matriz quadrada de ordem 3 
 
 Os elementos ija com ji  formam a diagonal principal da matriz quadrada de ordem n e 
os elementos ija com 1 nji formam a diagonal secundária. 
 
 Diagonal secundária Diagonal secundária 
 





26
53
 










987
654
321
 
 Diagonal principal Diagonal principal 
 
4.2 – MATRIZ TRIANGULAR 
 Matriz triangular é aquela que tem os elementos acima ou abaixo da diagonal principal todos 
nulos. ( 0ija para ji  ou 0ija para ji  ) 
 
Exemplos: 










 597
038
002












1000
7400
7830
9651
 
 
4.3 – MATRIZ DIAGONAL 
 Matriz diagonal é aquela que tem os elementos acima e abaixo da diagonal principal todos 
nulos. ( 0ija para ji  e 0ija para ji  ) 
 
Exemplos: 










300
050
001
 














1000
0500
0020
0006
 
 
4.4 – MATRIZ IDENTIDADE 
 Matriz identidade é a matriz quadrada de ordem n em que todos os elementos da diagonal 
principal são iguais a 1 e os outros elementos são iguais a zero. 
( 1ija para ji  e 0ija para ji  ) 
Exemplos: 
 11 I , 





10
01
2I , 











100
010
001
3I , 













1000
0100
0010
0001
4I 
 Uma matriz identidade é matriz quadrada, matriz triangular e matriz diagonal. 
 
 
 
 
5 
 
4.5 – MATRIZ NULA 
 Matriz nula é aquela que tem todos os elementos iguais a zero. A matriz nula de ordem 
nm vamos simbolizar por nm0 e a matriz nula de ordem n por n0 . 
Exemplos: 
 











00
00
00
0 23 , 





00
00
02 ,  00000 41  
 
EXERCÍCIO 
3) (UFOP-MG) Observe a matriz 









 
y00
4x0
321
. Chama-se traço de uma matriz quadrada a soma 
dos elementos de sua diagonal principal. Determine x e y na matriz acima de tal forma que seu 
traço valha 9 e x seja o triplo de y. 
 
 
5 – IGUALDADE DE MATRIZES 
 Duas matrizes A e B são iguais se, e somente se, têm a mesma ordem e seus elementos 
correspondentes são iguais. 
 Dadas as matrizes  
nmij
aA

 e  
nmij
bB

 , temos simbolicamente: 
 ijij babA  , com mi 1 e nj 1 
 
 Elementos correspondentes são aqueles que ocupam a mesma posição em matrizes de mesma 
ordem. 
Considerando as matrizes 











3231
2221
1211
aa
aa
aa
A e 











3231
2221
1211
bb
bb
bb
B , são exemplos de elementos 
correspondentes: 11a e 11b ; 32a e 32b 
 
EXERCÍCIOS 
4) Determine x e y para que sejam iguais as matrizes 





yx
yx
332
223
 e 



 32
27
. 
 
5) Seja  ijaA  uma matriz quadrada de ordem 2 tal que jiaij  . Determine x, y, z e t para que 
se tenha A
zttx
zxyx








3
. 
 
 
6 – ADIÇÃO DE MATRIZES 
 A soma de duas matrizes do mesmo tipo  
nmij
aA

 e  
nmij
bB

 , que se indica por BA  , 
é a matriz  
nmij
cC

 tal que : 
 ijijij bac  , para todo i e j , mi 1 e nj 1 
 
 
 
6 
 
 Cada elemento da matriz C é igual à soma de seus correspondentes em A e B. 
 Matriz oposta de uma matriz A (representa-se por –A) é a matriz que, somada com A, dá como 
resultado uma matriz nula. 
 
PROPRIEDADES DA ADIÇÃO DE MATRIZES 
 As propriedades da adição de números reais estudadas no ensino fundamental são válidas 
para a adição de matrizes. 
 Números reais Matrizes nm 
Comutativa abba  ABBA  
Associativa    cbacba     CBACBA  
Elemento neutro aaa  00 AAA  00 
Elemento oposto     0 aaaa     0 AAAA 
Cancelamento cbcaba  CBCABA  
 
7 – SUBTRAÇÃO DE MATRIZES 
 Sendo A e B duas matrizes do tipo nm , denomina-se diferença entre A e B (representada 
por BA  ) a soma da matriz A com a matriz oposta de B. 
  BABA  
 
8 – MULTIPLICAÇÃO DE UM NÚMERO REAL PORUMA MATRIZ 
 Se A é uma matriz nm , de elementos ija , e k um número real, então kA é uma matriz 
nm cujos elementos são ijka . 
 
PROPRIEDADES: Sendo A e B matrizes do mesmo tipo e r e s números reais, demonstra-se que: 
   AsArAsr  
   BrArBAr  
    AsrAsr  
 AA 1 
 
EXERCÍCIOS 
6) Dadas as matrizes 











3
6
2
A , 











2
6
1
B e 












2
4
0
C , calcule CBA  . 
 
7) Dadas as seguintes matrizes quadradas de ordem 2: A com 






jipara0
para2 jiji
aij e B com 





jipara0
para3 jii
bij , calcule BA  e AB  . 
 
8) Se 0
7106
123








X , escreva a matriz X, sabendo que 0 é a matriz nula do tipo 32 . 
 
9) Se 





02
31
A , 








21
31
B e 





34
21
C , calcule CBA 423  . 
 
 
 
 
7 
 
9 – EQUAÇÕES MATRICIAIS 
 Equações matriciais são equações cujas incógnitas são matrizes. Para resolvê-las utilizamos 
as operações de adição e subtração de matrizes e multiplicação de um número real por uma matriz. 
 
EXERCÍCIOS 
 
10) Sendo 









 

02
51
31
A e 













42
51
31
B , obtenha a matriz X tal que BAX  . 
11) Sendo 












1
2
3
A e 












3
4
7
B , determine X tal que BAX 32  . 
 
12) Resolva o sistema de equações matriciais tal que 





BAYX
BAYX
232
3
 em que 





21
03
A e 



 
40
21
B . 
 
 
10 – MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES 
 Para multiplicar duas matrizes não basta multiplicar os elementos correspondentes, essa 
operação não é tão simples como as outras já estudadas. 
 
Durante a primeira fase da Copa do Mundo de futebol, realizada na África do Sul em 2010, o grupo 
G era formado por quatro países: Brasil, Portugal, Costa do Marfim e Coreia do Norte. Observe os 
resultados: 
 
 
Para calcular o total de pontos obtidos pelas seleções, podemos utilizar matrizes. Veja a seguir. 
 
 
Seleções Vitória Empate Derrota 













300
111
021
012
A 
Brasil 2 1 0 
Portugal 1 2 0 
Costa do Marfim 1 1 1 
Coreia do Norte 0 0 3 
 
 
 
 
8 
 
 Pelo regulamento, cada vitória corresponde a 3 pontos, cada empate, 1 ponto e cada derrota, 
0 (zero) ponto. Registrando esse fato em uma tabela, temos: 
 
 Número de pontos 











0
1
3
B Vitória 3 
 Empate 1 
 Derrota 0 
 
 A classificação da primeira fase foi obtida com o total de pontos feitos por cada país. Essa 
pontuação pode ser representada por AB (produto de A por B). 
 
 Brasil: 7001132  













0
4
5
7
AB 
 Portugal: 5001231  
 Costa do Marfim: 4011131  
 Coreia do Norte: 0031030  













300
111
021
012
A 
 
Esse exemplo sugere como deve ser feita a multiplicação das matrizes A e B. 
 
141334   ABBA 
 












300
111
021
012











0
1
3
 = 
















031030
011131
001231
001132













0
4
5
7
 
 
 
DEFINIÇÃO MATEMÁTICA: 
 Dada uma matriz  
nmij
aA

 e uma matriz  
pnij
bB

 , o produto da matriz A pela matriz B 
é a matriz  
pmij
cC

 tal que o elemento ijc é calculado multiplicando-se ordenadamente os 
elementos da linha i, da matriz A, pelos elementos da coluna j, da matriz B, e somando-se os 
produtos obtidos. 
 
 pmpmpnnm CABBA   
 
 O produto de duas matrizes só é possível se o número de colunas da primeira matriz for igual ao 
número linhas da segunda. 
 
 
EXERCÍCIOS 
13) Dados 











41
05
23
A e 





26
13
B , determine AB. 
 
 
 
 
9 
 
14) Dados 







150
231
A e 











61
24
03
B , determine AB. 
 
 
PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES 
 A multiplicação de matrizes não é comutativa. Em um produto de duas matrizes A e B, a 
ordem em que os fatores aparecem é importante, pois a multiplicação de matrizes não é 
comutativa, ou seja, AB nem sempre é igual a BA. 
Exemplo: Dadas as matrizes A e B, determine os produtos AB e BA: 
a) 







31
52
A e 





64
23
B 
 
b) 







501
752
A e 














1841
0552
1751
B 
 
c) 







11
01
A e 





21
02
B 
 
 
 Na multiplicação de matrizes não vale a propriedade do cancelamento. Se A, B e C são 
matrizes tais que ACAB  , não podemos garantir que B e C sejam iguais. 
Exemplo: Dadas as matrizes 





21
21
A , 





74
03
B e 





60
211
C , calcule AB e AC. 
 
 Na multiplicação de matrizes não vale a propriedade do anulamento. Se A e B são matrizes 
tais que 0AB , não podemos garantir que uma delas (A ou B) seja nula. 
Exemplo: Dadas as matrizes 








22
11
A e 





55
55
B , calcule AB. 
 
 
 Elemento neutro. Se A é uma matriz quadrada de ordem n, então AAIAI nn  ; se A é uma 
matriz de ordem nm , com nm  , então AAIAI mn  . 
Exemplo: 
a) Dada a matriz 













521
243
012
A , determine nAI e AI n . 
 
b) Dada a matriz 







201
135
A , determine 3AI e AI 2 . 
 
 
 
 
 
10 
 
 As propriedades associativa e distributiva valem para a multiplicação de matrizes. 
Demonstra-se que : 
 CABBCA )(   BCACCBA    ACABCBA  
 
 
EXERCÍCIOS 
15) As matrizes 





03
21
A e 





53
yx
B comutam. Calcule x e y. 
 
16) Dadas as matrizes 











102
210
001
A e 











1
3
2
B , determine a matriz X na equação matricial 
BAX  . 
 
17) Sendo 





30
12
A , determine a matriz X tal que 2IAX  . 
 
 
 
11 – MATRIZ TRANSPOSTA 
 Se A é uma matriz do tipo nm , denomina-se matriz transposta de A (indica-se por tA ) a 
matriz mn cujas linhas são, ordenadamente, as colunas de A. 
Exemplo: 




















61
210
03
620
1103 tAA 
 
PROPRIEDADES DA MATRIZ TRANSPOSTA 
  AA tt    tt AkkA    ttt BABA    ttt ABAB  
 
MATRIZ SIMÉTRICA 
 Dada a matriz quadrada  
nij
aA  , dizemos que A é simétrica se, e somente se, jiij aa  , 
para todo ni 1 e nj 1 .  tAA  
 
MATRIZ ANTISSIMÉTRICA 
 Dada a matriz quadrada  
nij
aA  , dizemos que A é anti-simétrica se, e somente se, 
jiij aa  , para todo ni 1 e nj 1 .  tAA  
EXERCÍCIOS 
 
18) Calcule a, b e c sabendo que a matriz 












854
13
32
cb
a
 é simétrica. 
 
 
 
 
 
 
11 
 
19) Sabendo que C é uma matriz anti-simétrica, calculetCC  . 
 
12 – MATRIZ INVERSA 
 Dada uma matriz quadrada A, de ordem n, se X é uma matriz tal que nIAX  e nIXA  , 
então X é denominada matriz inversa de A e é indicada por 1A . 
 
 Quando existe a matriz inversa de A, dizemos que A é uma matriz inversível ou não-singular. 
 
EXERCÍCIOS 
20) Determine, se existir, a matriz inversa de 





32
85
A . 
21) Determine, se existir, a matriz inversa de 





46
23
A . 
 
16 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
1) (UFJF) Três vereadores da Câmara Municipal de Juiz de Fora foram designados para compor a 
Comissão de Orçamento do Município para o ano de 1994. Eles devem escolher entre si o 
presidente para a referida comissão, sendo que cada vereador pode votar em até dois nomes. 
Cada um recebeu um número de um a três e os votos foram tabulados conforme a matriz A, 
dada abaixo: 











110
100
101
A onde 



ji
ji
aij emvotounãose0
emvotouse1
 
a) Qual o número do candidato mais votado? 
b) Quantos candidatos votaram em si mesmos? 
2) Escreva a matriz quadrada: 
a) de ordem 2, cujo elemento genérico é 324  jiaij ; 
b) de ordem 3 tal que jiaij 23  . 
3) Escreva a matriz diagonal: 
a) de ordem 3, em que jiaij  para ji  ; 
b) de ordem 4, em que iaij  para ji  . 
4) Escreva a matriz triangular: 
a) de ordem 4, em que  







jia
jijia
jia
ij
ij
ij
para2
para
para0
2 
b) de ordem 3, na qual 






jiia
jia
ij
ij
para
para0
3 
5) Determine a, b, x e y para que as matrizes 







bayx
bayx
2
2
 e 




 
70
13
 sejam iguais. 
 
 
 
12 
 
6) Determine a, b e c para que se tenha 230
02
3
01













b
bca
ba
. 
7) Se 0
7106
123








X , escreva a matriz X, sabendo que 0 é a matriz nula do tipo 32 . 
8) Se A e B são duas matrizes quadradas de ordem 2, cujos elementos são dados por  2ijij ab  e 
jiaij 23  . Calcule BA  . 
9) Dados 







10
12
A , 





02
11
B e 







31
41
C , determine: 
a) CBA  23 b)   CBA 42  c) 23 IB  
d)    CBBA  23 e)  CBACA  22 f) 23IBA  
 
10) Determine a matriz X tal que 0 BAX , sendo dados 











5
2
3
A e 











4
2
1
B . 
11) Seja  ijaA  uma matriz quadrada de ordem 2 tal que 32  jiaij . Se 




 
105
23
AX , 
determine X. 
12) Seja X uma matriz quadrada de ordem 2 tal que XAX 225  . Se 





189
918
A , calcule a 
matriz X. 
13) Seja  ijaA  uma matriz quadrada de ordem 2 tal que jiaij 32  e seja 







11
01
B . 
Calcule a matriz X tal que BAX  2 . 
14) Determine as matrizes X e Y que são as soluções do sistema 





BAYX
BAYX
23
3
, sendo 











2
0
1
A 
e 











0
2
4
B . 
15) Sabe-se que 





10
21
A e 





11
21
B . Calcule as matrizes X e Y que verificam as condições 





BAYX
BAYX
32
32
. 
 
16) Dadas as matrizes 





15
32
A e 





12
13
B , determine: 
a) 2A , em que AAA 2 b) 2B , em que BBB 2 
c)   BABA  d) 22 BA  
 
 
 
13 
 
17) Para a fabricação de caminhões, uma indústria montadora precisa de eixos e rodas para seus 
modelos de caminhões, com a seguinte especificação: 
Componentes Modelo A B C 
Eixos 2 3 4 
Rodas 4 6 8 
 
Para os dois primeiros meses do ano, a produção da fábrica deverá seguir a tabela abaixo: 
Modelo Meses Janeiro Fevereiro 
A 30 20 
B 25 18 
C 20 15 
 
Usando a multiplicação de matrizes, responda: nessas condições, quantos eixos e quantas rodas 
serão necessários em cada um dos meses para que a montadora atinja a produção planejada? 
 
18) Sendo 





21
32
A e 





01
30
B , prove que 074 2
2  IBA . 
19) Sendo 











300
040
001
A e 











20
040
002
x
B , calcule o valor de x para que BAAB  . 
20) Escreva o sistema de equações cuja representação matricial é 4
2
5
41
23


















 
y
x
. 
21) Escreva a representação matricial do sistema 





452
103
yx
yx
. 
22) (Vunesp-SP) Determine os valores de x, y e z na igualdade 













 











0
040
00
0
0
00
zy
z
zx
yxx
x
. 
23) Determine, se existir, a inversa de cada uma das seguintes matrizes: 
a) 





20
31
A b) 





42
105
A c) 





54
32
A d) 





31
21
A 
24) Sejam 





41
21
A e 




 
yx
B
12
 duas matrizes quadradas de ordem 2. Se B é a inversa de A, 
determine o valor de yx  . 
25) Seja 





10
01
A uma matriz quadrada de ordem 2. Determine  21 AA . 
26) Dadas as matrizes 





57
23
A e 







21
11
B , calcule 1 AAB . 
27) Sabendo que 







11
01
A e 







13
52
B : 
a) verifique que 





11
011A 
b) determine X tal que BAX  . 
 
 
 
14 
 
 
RESPOSTAS 
 
1) a) 3 
 
 b) 2 
 
 
2) a) 





79
35
 b) 









 
212325
246
531
 3) a) 










600
040
002
 b) 












4000
0300
0020
0001
 
 
4) a) 















64000
23600
22160
2224
 b) 










2700
880
111
 
 
5) 2a ; 5b ; 
1x ; 2y 
7) 







7106
123
 
 
6) 1a ; 0b e 
3
1c 8) 







212
20
 
9) a) 





 05
55
 b) 







140
162
 c) 





16
32
 d) 





 312
63
 e) 







137
67
 f) 





 22
04
 
10) 










1
0
2
 
 
11) 







51
51
 
 
12) 





126
612
 
 
 
13) 





 53
83
 
 
14) 










4
1
4
 ; 










 2
5
9
 
 
15) 





 13/2
21
; 





23/7
42
 16) a) 





1615
919
 b) 





38
411
 c) 





 141
107
 d) 





137
58
 
 
17) 215 eixos para janeiro e 154 para fevereiro; 430 rodas para janeiro e 308 para fevereiro. 18) 
19) 0 
 20) 





84
2023
yx
yx
 21) 
















 4
10
52
31
y
x
 
 
22) 2x ; 2y ; 4z 
 
23) a) 




 
2/10
2/31
 b) não é inversível c) 







12
2/32/5
 d) 







11
23
 
24)0 
 25) 





40
04
 26) 





 205
56
 27) a) sim b) 





45
52
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15 
 
DETERMINANTES 
 
1 – INTRODUÇÃO 
 Determinante é um número associado a toda matriz quadrada. Ele é obtido através de 
operações que envolvem todos os elementos da matriz. 
 Um exemplo de aplicação do determinante é na resolução de sistemas lineares que 
estudaremos no capítulo seguinte. 
 
2 – DETERMINANTE DE UMA MATRIZ QUADRADA DE ORDEM UM 
 Seja  11aA  , uma matriz quadrada de ordem um, por definição, o determinante de A é 
igual ao número 11a ,. 
 
 11det aA  
Exemplos:   4det4  AA 
   2det2  BB 
 
3 – DETERMINANTE DE UMA MATRIZ QUADRADA DE ORDEM DOIS 
 Se A é uma matriz quadrada de ordem 2, calculamos seu determinante fazendo o produto dos 
elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária. 
 
 





2221
1211
aa
aa
A 
 21122211det aaaaA  
 ou 
 21122211
2221
1211 aaaa
aa
aa
 
 
EXERCÍCIOS 
1) Se 
52
31

a , 
103
62
b e 
10
82

c , calcule o valor de cba 232  . 
 
2) Resolva a equação 1
31
25

 xx
 
 
3) Dadas as matrizes 







21
13
A e 








10
51
B , calcule: 
a)  BAdet b)  ABdet c)  BAdet 
 
 
4 – MENOR COMPLEMENTAR 
 Sendo A uma matriz quadrada de ordem 2n , denomina-se menor complementar de A pelo 
elemento ija o determinante ijD associado à matriz quadrada que se obtém de A ao se suprimir a 
linha e a coluna que contém o elemento ija considerado. Esse determinante é indicado por ijD . 
 
 
 
 
 
16 
 
EXEMPLO: 
Sendo 

















5554535251
4544434241
3534333231
2524232221
1514131211
aaaaa
aaaaa
aaaaa
aaaaa
aaaaa
A , o menor complementar de A pelo elemento 23a é: 
55545251
45444241
35343231
15141211
23
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
D  . 
 
EXERCÍCIO 
4) Se 












1010
461
352
A , determine 21D e 33D . 
 
 
5 – COFATOR 
 Sendo A uma matriz quadrada de ordem 2n , denomina-se cofator do elemento ija de A o 
número real   ijjiij DA  1 em que ijD é o menor complementar de A pelo elemento ija . 
No exemplo anterior:  
55545251
45444241
35343231
15141211
32
23 1
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A   
 Se ji  é par ijij DA  
 Se ji  é ímpar ijij DA  
 
EXERCÍCIO 
5) Se 













261
410
253
A , determine o cofator de 21a e de 13a . 
 
 
 
6 – DEFINIÇÃO DE LAPLACE 
 O determinante associado a uma matriz quadrada de ordem 2n é o número que se obtém 
pela soma dos produtos dos elementos de uma linha (ou de uma coluna) qualquer pelos respectivos 
cofatores. 
 
 
 
 
17 
 
EXERCÍCIOS 
7) Sendo 













341
025
132
A , calcule o determinante de A: 
a) escolhendo os elementos da 1a linha; 
b) escolhendo os elementos da 3a coluna. 
 
8) Calcule o determinante da matriz 













301
430
112
A . 
 
 
 
7 – REGRA DE SARRUS 
 A regra de Sarrus é uma regra prática para calcular determinantes de terceira ordem. 
 Seja a matriz 











333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A . Usando a definição de Laplace escolhendo os elementos 
da 1a linha temos: 
     
3231
222131
13
3331
232121
12
3332
232211
11 111det aa
aa
a
aa
aa
a
aa
aa
aA   
     312232211331233321123223332211det aaaaaaaaaaaaaaaA  
312213332112322311322113312312332211det aaaaaaaaaaaaaaaaaaA  
 
 Resolvendo o determinante dessa forma, muitas vezes é gasta-se muito tempo. Para as 
matrizes de 3a ordem, podemos usar a Regra de Sarrus seguindo os passos abaixo: 
 Repetimos as duas primeiras colunas à direita da matriz e efetuamos as seis multiplicações 
como indicado: 
 
3231333231
2221232221
1211131211
aaaaa
aaaaa
aaaaa
 
 
1s 2s 3s 1p 2p 3p 
onde 
3221133
3123122
3322111
aaap
aaap
aaap



 
3321123
3223112
3122131
aaas
aaas
aaas



 
 Os produtos obtidos na direção da diagonal principal  321 ,, ppp permanecem com o 
mesmo sinal, os produtos obtidos na direção da diagonal secundária  321 ,, sss mudam de 
sinal. 
 O determinante é a soma dos valores assim obtidos.  321321det ssspppA  
 
 
 
 
 
18 
 
EXERCÍCIOS 
9) Resolva a equação 0
423
121
53
x
x
 
10) Dadas as matrizes 





93
2 x
A e 













121
32
011
xB , determine o valor de x para que se tenha 
BA detdet  . 
 
11) Calcule o determinante da matriz 

















6230
1250
3124
0132
A . 
 
12) Calcule Adet , sendo 




















43010
22020
25243
13010
01023
A . 
 
 
8 – PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES 
1) Se todos os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz quadrada M forem iguais a 
zero, seu determinante será nulo, isto é, 0det M . 
 
Exemplos: 0
50
480


0
781
000
941


 
 
2) Se os elementos correspondentes de duas linhas (ou duas colunas) de uma matriz quadrada 
M forem iguais, seu determinante será nulo, isto é, 0det M . 
Exemplos: 0
ba
ba
 0
321
984
321
 
 
3) Se uma matriz quadrada M possui duas linhas (ou duas colunas) proporcionais, seu 
determinante será nulo, isto é, 0det M . 
Exemplos: 0
kckbka
fed
cba
  0k 0
603
251
824
 
4) Se todos os elementos de uma linha (ou de uma coluna) de uma matriz quadrada são 
multiplicados por um mesmo número real k, estão seu determinante fica multiplicado por k. 
 
 
 
19 
 

















nnnnn
n
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A





321
3333231
2232221
1131211
 

















nnnnn
n
n
n
aaaa
aaaa
kakakaka
aaaa
B





321
3333231
2232221
1131211
 
 
 Usando a definição de Laplace pela 2a linha: 
 nn AaAaAaAaA 22232322222121det   
 nn AkaAkaAkaAkaB 22232322222121det   
  nn AaAaAaAakB 22232322222121det   
 AkB detdet  
 
 Para um determinante de terceira ordem podemos escrever: 
 
ihg
fed
cba
k
ihg
fed
kckbka
 com k IR 
 
 
5) Se uma matriz quadrada M de ordem n é multiplicada por um número real k, o seu 
determinante fica multiplicado por nk , isto é   nnn MkkM detdet  . 
ihg
fed
cba
k
kikhkg
kfkekd
kckbka
3 com k IR 
 
6) O determinante de uma matriz quadrada M é igual ao determinante de sua transposta, isto é, 
 tMM detdet  . 
Exemplos: a) 





dc
ba
A bcadA det 





db
ca
At bcadAt det 
 tAA detdet  
 
 b) 











ihg
fed
cba
B Bdet 
 











ifc
heb
gda
B t tBdet 
 tBB detdet  
 
7) Se trocarmos de posição entre si duas linhas (ou duas colunas) de uma matriz quadrada M, o 
determinante da nova matriz obtida é oposto do determinante da matriz anterior. 
 
 
 
20 
 











ihg
fedcba
A afhbdicegcdhbfgaeiA det 











fed
ihg
cba
B aeibfgcdhcegbdiafhB det 
BA detdet  
 
8) O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal 
principal. 






20
35
A Adet 
 











413
021
005
B Bdet 
 
9) Sendo A e B duas matrizes quadradas de mesma ordem e AB a matriz-produto, então 
  BAAB detdetdet  (Teorema de Binet). 
Para matrizes de 2a ordem, temos: 






dc
ba
A , 





wz
yx
B , 








dwcydzcx
bwaybzax
AB 





yzxwB
bcadA
det
det   yzxwbcadBA detdet (1) 
 
       dzcxbwaydwcybzaxAB det 
  bdzwadyzbcxwacxybdzwbcyzadxwacxyAB det 
     yzxwbcyzxwadAB det 
    yzxwbcadAB det (2) 
Comparando as equações (1) e (2), concluímos que:   BAAB detdetdet  
 
Consequências: 
i) Dada a matriz quadrada A, para existir 1A (matriz inversa de A), devemos ter 0det A
. 
 
A
AAAIAAIAA nn det
1det1detdetdetdet 1111   , para 0det A . 
 
ii) Mesmo quando BAAB  temos    BAAB detdet  
A multiplicação de números reais é comutativa, logo: 
ABBA detdetdetdet  
 
 
 
 
 
 
21 
 
10) Seja A uma matriz quadrada. Se multiplicarmos todos os elementos de uma linha (ou coluna) 
pelo mesmo número e somarmos os resultados aos elementos correspondentes de outra linha 
(ou coluna), formando a matriz B, então BA detdet  (Teorema de Jacobi) 











ihg
fed
cba
A e 














ihgkg
fedkd
cbaka
B 
afhbdicegcdhbfgaeiA det 
           hgkafbakdiedkcghgkcdbakfgedkaiB det 
afhafgkbdiadikcegcdgkcdhcdgkabfafgkaeiadikB det 
 
afhbdicegcdhbfgaeiB det 
BA detdet  
 
 Essa propriedade pode ser utilizada para facilitar a resolução de determinantes pela 
definição de Laplace, pois podemos fazer com que apareçam “zeros” nas linhas ou colunas 
antes de resolver o determinante. 
 
EXERCÍCIO 
 
13) Sendo 

















2335
2112
0212
6423
A , calcule Adet . 
 
 
 
9 – APLICAÇÃO DOS DETERMINANTES 
 Uma das aplicações dos determinantes é no cálculo da matriz inversa. Vimos que dada a 
matriz quadrada A, para existir 1A (matriz inversa de A), devemos ter 0det A . 
Se 0det A nIAAAAA   111 | 
 
 MATRIZ DOS COFATORES 
Seja  ijaA  uma matriz quadrada de ordem n. A matriz dos cofatores de A (indica-se A’) a 
matriz que se obtém substituindo cada elemento ija de A pelo seu respectivo cofator ijA . 
 
 MATRIZ ADJUNTA 
Considerando a matriz quadrada A de ordem n, denomina-se matriz adjunta de A (indica-se A ) 
a matriz transposta da matriz dos cofatores de A, isto é:  tAA ' 
 
 
EXERCÍCIOS 
14) Dada 












314
602
531
A , calcule A’ e A . 
 
 
 
 
 
22 
 
15) Dada 





25
32
A , calcule A’ e A . 
 
 DETERMINAÇÃO DA MATRIZ INVERSA 
Se A é tal que 0det A , então A é inversível e A
A
A 
det
11 
 
Verificação para a matriz 





dc
ba
A : 
0det  bcadA , 








ab
cd
A' e 








ac
bd
A 










ac
bd
bcad
A
A
A 1
det
11















bcad
a
bcad
c
bcad
b
bcad
d
 
 
210
01
I
bcad
adbc
bcad
cdcd
bcad
abab
bcad
bcad
bcad
a
bcad
c
bcad
b
bcad
d
dc
ba













































 
210
01
I
dc
ba
bcad
a
bcad
c
bcad
b
bcad
d

























 
 
EXERCÍCIOS 
16) Dada a matriz 




 
03
21
A , determine 1A , se existir. 
 
17) Determine a inversa de 











100
242
121
A , se existir. 
 
18) Determine a inversa de 











100
230
121
A , se existir. 
 
19) Calcule 1det A , sendo 














1000
4200
0210
8523
A . 
 
 
 
 
 
23 
 
10 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
1) Calcule Adet , sendo: 
a)  ijaA  uma matriz quadrada de 2a ordem, com ijiaij  2 ; 
b) A a matriz dos coeficientes das incógnitas do sistema 





652
1037
yx
yx
, na posição em que 
aparecem. 
 
2) Dado 





42
01
A , calcule 1det A . 
3) Resolva as equações: 
a) 2
53
62

x
 b) 0
11
53



x
x
 
c) 
1
11
1
11
11
1
x
x
x
 
4) Sabendo que 
11
23


a , 
02
31
b e 
74
42


c , calcule o número real x tal que 
223 cbax  . 
5) Determine os valores de x que anulam o determinante 
xx
x
3
2
. 
6) Dadas as matrizes 




 
010
321
A e 











01
03
56
B , calcule ABdet . 
7) Sendo x e y, respectivamente, os determinantes das matrizes 





dc
ba
 e 





db
ca
33
22
, calcule o 
valor de 
x
y . 
8) Seja  ijaA  a matriz quadrada de ordem 3 em que 








jiji
jiji
ji
aij
se
se,
se,0
. Calcule Adet . 
9) Sabendo que 
22
31
x e 
313
122
131
y , determine yx 22  . 
10) Para que valores de x o determinante 
213
42
142
x é positivo? 
11) Lembrando que 1cossen 22  xx , calcule o determinante associado à matriz quadrada 











11sen
0cossen
1cossen 2
x
xx
xx
A . 
 
 
 
24 
 
12) Se 
314
013
212



a e 
143
012
201


b , calcule baba 32  . 
13) Seja a matriz quadrada 













12
13
31
xx
x
xx
A . Calcule x de modo que 0det A . 
14) Aplicando a definição de Laplace, calcule os determinantes: 
a) 
350
211
124
det 

A b) 
2001
7302
3011
0240
det


A 
15) Uma matriz quadrada A, de ordem 2n , é chamada de matriz de Vandermonde quando tem a 
seguinte forma: 

















 11
3
1
2
1
1
22
3
2
2
2
1
321
1111
n
n
nnn
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
A





 
Nesse caso, é possível encontrar o determinante fazendo: 
         1321231312det  nnnnn aaaaaaaaaaaaaaA  
Dentre as matrizes seguintes, determine qual é a de Vandermonde e, com ela, calcule o 
determinante pela regra de Sarrus e depois pela regra indicada acima: 












4106
253
111
A 











102
101
111
B 











2594
532
111
C 
 
16) Se 20det A , calcule  tAdet . 
17) Se 10det 
dc
ba
A , calcule: 
a) 
cd
ab
B det b) 
dc
ba
B
44
det  
18) Seja A uma matriz quadrada de ordem 3 tal que mA det . Calcule  A2det em função de m. 
19) Sendo 















10000
1500
1030
3152
A , calcule Adet .20) Sejam A e B duas matrizes quadradas de mesma ordem. Sabendo que 6det A e 4det B , 
calcule  ABdet . 
 
 
 
25 
 
21) Seja M uma matriz quadrada de 2a ordem tal que DM det . Constrói-se uma nova matriz 
quadrada N de 2a ordem em que cada elemento é igual ao triplo dos elementos da matriz M. 
Calcule Ndet . 
22) Determine a matriz inversa de: 
a) 





20
31
A 
 
b) 





52
31
A 
 
c) 











100
072
431
A 
23) Sendo 





31
21
A , calcule det 1A . 
24) Dada a matriz 











110
223
21 a
A , calcule a para que A seja inversível. 
25) Dada a matriz 











100
210
032
A e sendo 1A a sua inversa, determine o valor do elemento 23a de 
1A . 
 
 
 
 
 
RESPOSTAS 
1) a) –2 b) 41 2) ¼ 3) a) {6} b) {-4,2} c) {0} 4) 13 
5) 0 ou 6 6) –15 7) 6 8) 48 9) 32 10) 1x 
11) x3sen 12) 47 13) 7/3 14) a) –17 b) –38 15) A matriz C; 70det C 
16) 20 17) a) –10 b) 40 18) 8m 19) 300 20) 24 21) 9D 
22) a) 




 
2/10
2/31 b) 












100
812
2837
 c) 







12
35 
 
23) 1 
 
 
24) 2a 
 
 
25) –2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
26 
 
SISTEMAS LINEARES 
 
1 – EQUAÇÕES LINEARES 
 Equação linear é toda equação que pode ser escrita na forma: 
bxaxaxaxa nn  332211 na qual naaaa ,,,, 321  são números reais chamados 
coeficientes das variáveis; nxxxx ,,,, 321  são as variáveis e b é o termo independente. 
 As variáveis ,,, 321 xxx geralmente aparecem como, x, y, z, ... 
Exemplos: 
723  yx é uma equação linear nas variáveis x e y. 
10232  zyx é uma equação linear nas variáveis x, y e z. 
 
2 – SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 
 Sistema linear é o conjunto de m equações lineares em n incógnitas que pode ser 
representado assim: 









mnmnmmm
nn
nn
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa



332211
22323222121
11313212111
...........................................................
 
Exemplos: 





103
623
yx
yx
 







8
12
02
zyx
zyx
zyx
 





63
124
zyx
zyx
 
 
3 – SISTEMAS LINEARES 2 x 2 
 A resolução de sistemas lineares já foi vista no Ensino Fundamental por meio de alguns 
métodos como adição, substituição, comparação e outros. Geometricamente, os pares de números 
reais que são soluções de uma equação linear com duas variáveis determinam, no plano cartesiano, 
uma reta. A interseção das duas retas das equações do sistema determina a solução do sistema, se 
existir. 
Vamos resolver os sistemas a seguir pelo método da adição e fazer a sua representação 
geométrica. 
 
a) 





152
103
yx
yx
 
b) 





242
52
yx
yx
 
 
RESOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES 2 x 2 PELA REGRA DE CRAMER 
 A Regra de Cramer é um outro método de resolução de sistemas lineares que permite 
descobrir a solução por meio de determinantes, quando o sistema é possível e determinado. 
 Vamos resolver o sistema 





222
111
cybxa
cybxa
 pelo método da adição: 
 
 
  









212112
122121
1222
2111
cbybbxba
cbybbxba
bcybxa
bcybxa
 
 
 
 
27 
 
  21121221 cbcbxbaba   1 
 
 
  









212121
121221
1222
2111
caybaxaa
caybaxaa
acybxa
acybxa
 
  12211221 cacaybaba   2 
 
 
 Observe os determinantes de matrizes obtidas a partir do sistema: 
 
 1221
22
11 baba
ba
ba
D  2112
22
11 cbcb
bc
bc
Dx  1221
22
11 caca
ca
ca
Dy  
 Comparando as igualdades  1 e  2 com os valores D , xD e yD , podemos escrever: 
 xDxD  e yDyD  
Então, se 0D , temos uma única solução para o sistema, dada por: 
D
D
x x e 
D
D
y y 
 
EXERCÍCIOS 
1) Resolva os sistemas pela regra de Cramer: 
a) 





1623
252
yx
yx
 
b) 
 





xyx
yxyx
3422
215
 
 
 
2) Resolva a equação matricial 















 
1
4
52
11
y
x
, usando a regra de Cramer. 
 
3) Resolva o sistema 








132
311
yx
yx
 , usando a regra de Cramer. 
 
 
CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR 2 x 2 
 O sistema 





222
111
cybxa
cybxa
 pode ser resolvido calculando os determinantes D , xD e yD . 
22
11
ba
ba
D  
22
11
bc
bc
Dx 
22
11
ca
ca
Dy  sendo D
Dx x e 
D
D
y y 
 
 Podemos classificar o sistema de acordo com cada uma das três situações: 
 
 0D 
 
 
 
28 
 
Sistema possível e determinado (SPD), existe uma única solução 
 
 0D e  0ou0  yx DD 
Sistema impossível (SI), não tem solução 
 
 0D , 0xD e 0yD 
Sistema possível e indeterminado (SPI), possui infinitas soluções. 
 
EXERCÍCIO 
4) Classifique os sistemas: 
a) 





24
423
yx
yx
 
 
b) 





193
562
yx
yx
 
 
c) 





426
23
yx
yx
 
 
 
DISCUSSÃO DE UM SISTEMA LINEAR 2 x 2 
 Discutir um sistema linear consiste em descobrir para que valores de parâmetros 
desconhecidos o sistema é possível e determinado, impossível ou possível e indeterminado. 
 
EXERCÍCIOS 
5) Discutir o sistema 





42
3
yax
byx
. 
 
6) Discuta o sistema 





32
1
yx
kyx
. 
 
7) Para que valores de a e b o sistema 





byx
yax 22
 é possível e indeterminado? 
 
 
8) Determine os valores de a para que o sistema linear 





aayx
ayax
3
3
 seja possível e determinado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
29 
 
 
4 – SISTEMAS LINEARES nxn, COM 2n 
 A regra de Cramer também pode ser utilizada na resolução de sistemas com mais de duas 
variáveis. 
Exemplo: 







3333
2222
1111
dzcybxa
dzcybxa
dzcybxa
 
333
222
111
cba
cba
cba
D 
333
222
111
cbd
cbd
cbd
Dx 
333
222
111
cda
cda
cda
Dy 
333
222
111
dba
dba
dba
Dz  
 
D
D
x x 
D
D
y y 
D
Dz z 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
9) Classifique e resolva os sistemas: 
a) 







32
6
32
zyx
zyx
zyx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
30 
 
b) 







131152
0273
52
zyx
zyx
zyx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 







3734
2523
12
zyx
zyx
zyx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10) Determine m para que o sistema 







22
03
12
zx
zyx
zymx
 seja possível e determinado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 – SISTEMAS LINEARES HOMOGÊNEOS 
 Sistema linear homogêneo é o sistema que tem todos os termos independentes nulos. 
Exemplos: 
 
 
 
31 
 





0
0
22
11
ybxa
ybxa
 







0
0
0
333
222
111
zcybxa
zcybxa
zcybxa
 









0
...........................................................
0
0
332211
2323222121
1313212111
nmnmmmnn
nn
xaxaxaxa
xaxaxaxa
xaxaxaxa



 
 
 O sistema linear homogêneo é sempre possível, pois admite pelo menos a solução trivial
 0000  . 
 Aplicando a regra de Cramer, concluímos que: 
 0D o sistema é possível determinado e admite como solução a solução trivial. 
 0D o sistema é possível indeterminado e além da solução trivial, admite outras soluções. 
 
EXERCÍCIOS 
11) Resolva os sistemas 
a) 





096
064
yx
yx
 
 
 
 
 
b) 







052
02
0
zyx
zyx
zyx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12) Determine a para que o sistema 
 






01
0
0
zyax
zayx
azyx
 admita outras soluções além da solução 
trivial  000 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
32 
 
13) Resolva o sistema 







042
0
053
zyx
zyx
zyx
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14) Discuta o sistema 







0
0
0
mzx
zmy
ymx
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 – SISTEMAS LINEARES EQUIVALENTES 
 Dois sistemas lineares são equivalentes quando possuem o mesmo conjunto solução. 
 
EXERCÍCIO 
15) Calcule a e b para que os sistemas 





5
9
yx
yx
 e 





202
12
byx
yax
 sejam equivalentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
33 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 – ESCALONAMENTO DE SISTEMAS LINEARES 
 Escalonamento é um outro método utilizado para classificar, resolver e discutir sistemas 
lineares que pode ser usado tanto nos sistemas nn como nos sistemas nm . 
 Considerando um sistema genérico nm , dizemos que ele está escalonado quando os 
coeficientes ija , com ji  , são todos nulos. 
 Exemplos: 
 







84
123
752
z
zy
zyx
 





1054
92
tz
tzyx
 
 
PROCEDIMENTOS PARA ESCALONAMENTO DE UM SISTEMA LINEAR 
 Eliminamos uma equação que tenha todos os coeficientes e o termo independente nulos. 
Por exemplo: 0000  zyx pode ser eliminada, pois todos os ternos de números reais 
são soluções; 
 Podemos trocar a posição das equações. Exemplo: 











623
14
14
623
yx
yx
yx
yx
 
 Podemos multiplicar todos os termos de uma equação pelo mesmo número real diferente 
de zero: 
1022653  zyxzyx 
 Podemos multiplicar os 2 membros de uma equação por um mesmo número real 
diferente de zero e somarmos aos membros correspondentes da outra equação. Exemplo: 
 











43
742
25953
3742
zy
zyx
zyx
zyx
 
 Se no processo de escalonamento obtivermos uma equação com todos os coeficientes 
nulos e o termo independente diferente de zero, esta equação é suficiente para se afirmar 
que o sistema é impossível, isto é, tem S . 
 
 
 
34 
 
 7000 zyx S  
 
EXERCÍCIOS 
16) Escalone, classifique e resolva os sistemas lineares abaixo: 
a) 







8253
2172
72
zyx
zyx
zyx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 







6242
13
32
zyx
zyx
zyx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 





111563
61042
zyx
zyx
 
 
 
 
 
 
d) 







54
23
523
yx
yx
yx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
35 
 
 
 
 
 
e) 







096
1064
42
yx
yx
yx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f) 







462
10155
693
yx
yx
yx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17) Discutir o sistema 







bbyx
yx
yx
534
0
 
a) usando escalonamento; 
b) sem usar escalonamento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
36 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18) Descubra o valor de k para que o sistema abaixo tenha apenas a solução trivial. 







0
032
02
zyx
kzyx
zyx
 
 
a) sem escalonamento; 
b) com escalonamento 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1) Resolva cada sistema linear 2 x 2 usando o método da adição; classifique quanto ao número 
de soluções e faça sua representação gráfica. 
a) 





52
424
yx
yx
 b) 





865
1223
yx
yx
 c) 





642
15105
yx
yx
 
 
2) Resolva os sistemas lineares usando a regra de Cramer: 
 
 
 
37 
 
a) 





123
42
yx
yx
 
 
b) 








923
411
yx
yx
 
 
3) Classifique e resolva os sistemas lineares: 
a) 





832
103
yx
yx
 b) 





40104
2052
yx
yx
 c) 





522
10
yx
yx
 
 
4) Discuta o sistema linear 





1
2
yx
ymx
. 
5) Calcule os valores de a para que o sistema 





06
123
yax
yx
 seja possível e determinado. 
6) Determine os valores de m para que o sistema linear 
   
 



032
752
ymx
ymxm
 seja possível e 
determinado. 
7) Resolva a equação matricial 
















 7
7
31
12
y
x
. 
8) Determine m para que o sistema linear 





68
32
ymx
myx
 tenha uma única solução. 
9) (Fuvest-SP) 
a) Resolva o sistema 





2
32
yx
yx
 em que x e y são números reais. 
b) Usando a resposta do item a, resolva o sistema 
   
   





211
3112
22
22
ba
ba
. 
10) (UFMT) Discuta o sistema 





1
1
ayx
yax
 segundo os valores reais de a. 
11) Determine a solução do sistema 







443
5534
12
zyx
zyx
zyx
. 
12) Quais são os valores de a para que o sistema linear 







2
0
4
zx
zayx
zyax
 seja possível e 
determinado? 
13) Se ax  , by  e cz  são as soluções do sistema 







104
4
3
zy
zx
yx
 calcule o valor de abc. 
 
 
 
38 
 
14) Resolva o sistema 










4
7
5
1
wyx
wzy
wzx
zyx
. 
15) Resolva a equação matricial 































 8
2
2
115
632
741
z
y
x
. 
16) Determine o valor de w no sistema 










734
02
12
0
zy
wzy
wyx
wzyx
. 
17) Classifique quanto ao número de soluções o sistema linear 







03
04
02
zyx
yx
zyx
. 
18) Calcule os valores de a para os quais o sistema 








0
0
0
2
22
zyx
zyax
zayxa
 admita outras soluções 
além de 0 zyx . 
19) Qual é o valor de k para que o sistema 







0
3
253
kzx
zyx
yzx
 admita somente a solução nula? 
20) Os sistemas 





4
20
yx
yx
 e 





203
322
byx
yax
 são equivalentes. Calcule a e b. 
21) Escalone, classifique e resolva os sistemas lineares abaixo: 
a) 







014
032
042
zx
zyx
zyx
 b) 







02
833
132
zy
zyx
zyx
 
c) 





5232
2
zyx
zyx
 
 
22) (Unicamp-SP) Resolva o seguinte sistema de equações lineares: 









42
32
22
12
wzyx
wzyx
wzyx
wzyx
. 
23) (Unicamp-SP) Encontre o valor de a para que o sistema 







13347
32
32
zyx
zyx
azyx
 seja possível. 
Para o valor encontrado de a ache a solução geral do sistema, isto é, ache expressões que 
representem todas as soluções do sistema. Explicite duas dessas soluções. 
24) O latão é uma liga metálica composta basicamente de cobre e zinco. Em geral, a 
porcentagem de zinco na liga varia de 20 a 35%, dependendo das características que se quer 
 
 
 
39 
 
dar ao latão. Uma empresa possuía em estoque dois grandes lotes de latão, sendo um lote de 
4 toneladas de latão com 23% de zinco na sua composição e um lote de 5 toneladas de latão 
com 33% de zinco. Essa empresa foi consultada sobre a possibilidade de fazer uma entrega 
de uma certa quantidade de latão, de modo que no total a porcentagem de zinco fosse de 
25%. 
a) Para cada tonelada com 25% de zinco, quantos quilos de cada tipo de latão que a empresa 
tinha em estoque seriam necessários? 
b) Qual a quantidade máxima que ela poderia obter de latão com 25% de zinco, com base em 
seus estoques atuais? 
 
25) (FMTM-MG) Três pacientes usam, em conjunto, 1830 mg por mês de um certo medicamento 
em cápsulas. O paciente A usa cápsulas de 5 mg, o paciente B, de 10 mg, e o paciente C, de 
12 mg. O paciente A toma metade do número de cápsulas de B e os três tomam juntos 180 
cápsulas por mês. O paciente C toma um número de cápsulas por mês igual a: 
a) 30. 
b) 60. 
c) 75. 
d) 90. 
e) 120. 
26) (Fuvest-SP) Um senhor feudal construiu um fosso, circundado por muros, em volta de seu 
castelo, conforme a planta abaixo, e uma ponte para atravessá-lo. Em um certo dia , ele deu 
uma volta completa no muro externo, atravessou a ponte e deu uma volta completa no muro 
interno. Esse trajeto foi completado em 5320 passos. No dia seguinte, ele deu duas voltas 
completas no muro externo, atravessou a ponte e deu uma volta completa no muro interno, 
completando esse novo trajeto em 8120 passos. Pode-se concluir que a largura L do fosso, 
em passos, é: 
a) 36. 
b) 40. 
c) 44. 
d) 48. 
e) 50. 
 
 
 
 
 
 
27) (Uniube-MG) O supermercado da rede Comprebem em Uberaba gasta o dobro da energia 
elétrica do que o de Araxá, e o depósito da rede em Uberaba gasta o triplo da energia elétrica 
do que o de Araxá. Em tempos de racionamento de energia elétrica, o proprietário negociou 
com a concessionária e consegui uma cota mensal de 13000kWh para a soma do consumo 
dos seus dois estabelecimentos de Uberaba e de 5000kWh para a soma dos consumos 
mensais dos seus dois estabelecimentos de Araxá. Considerando que as cotas foram 
utilizadas em sua totalidade, a soma dos consumos mensais dos dois depósitos deve ser igual 
a: 
a) 10000 kWh 
b) 8000 kWh 
c) 12000 kWh 
d) 14000 kWh 
 
 
 
Muro interno 
Muro externo 
L
L
L
L
ponte 
fosso
 
 
 
40 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESPOSTAS 
1) a) sistema impossível, S b)sistema possível e determinado,   3,2S 
 c) sistema possível e indeterminado, 










 
2
3,S 
2) a)   2,1 b) 











3
1,1 
3) a) Possível e determinado;   4,2S b) Possível e indeterminado; 










 
5
220, kkS 
 c) Impossível; S 
4) 1m : SPD; 1m : SI 5) 9a 6) 4m e 1m 
7) 



1
4
; 4x e 1y 
8) 4m e 4m 9) a)   1,1 b)     2,0;0,0 
10) 1a e 1a : SPD; 1a : SI; 1a : SPI 
11) 



  kkk ,
5
1,
5
77 , com k IR 
12) 1a e 2a 13) –6 14)   6,1,0,2 
15)   1,2,1  ; 










1
2
1
 
 
16) 8 
 
17) possível e determinado 
 
18) 1a ou 1a 
 
19) 1k 
 
20) 4/3 e 2 
21) a) possível e indeterminado;   kkkS ,9,14  
 b) Possível e determinado;   2,1,1S 
 c) Possível e indeterminado;   kkkS ,41,51  
22)   2,1,0,1 23) 2a ; 



  kkk ,
5
45,
5
57 ; por exemplo: 



 0,
5
4,
5
7 , 



 1,
5
9,
5
2 
24) a) latão com 23% de zinco: 800kg para cada tonelada e latão com 33% de zinco: 200kg para 
cada tonelada. 
 
 b) 5 toneladas. 
25) D 26) B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
De olho no
 
1) (Enem 2012) Um aluno registrou as notas bimestrais de algumas de suas disciplinas numa 
tabela. Ele observou que as entradas
poderia calcular as medias anuais dessas disciplinas usando produto de matrizes. Todas as 
provas possuíam o mesmo peso, e a tabela que ele conseguiu é mostrada a seguir.
 
 1º bimestre 
Matemática 5,9 
Português 6,6 
Geografia 8,6 
História 6,2 
 
Para obter essas médias, ele multiplicou a matriz obtida a partir da tabela por 
a) 1 1 1 1
2 2 2 2
 
  
 
 
b) 1 1 1 1
4 4 4 4
 
  
 
 
c) 
1
1
1
1
 
 
 
 
 
 
 
 
41 
27) C 
De olho no 
 
Um aluno registrou as notas bimestrais de algumas de suas disciplinas numa 
tabela. Ele observou que as entradas numéricas da tabela formavam uma matriz 4x4, e que 
poderia calcular as medias anuais dessas disciplinas usando produto de matrizes. Todas as 
provas possuíam o mesmo peso, e a tabela que ele conseguiu é mostrada a seguir.
 2º bimestre 3º bimestre 4º bimestre 
6,2 4,5 5,5 
7,1 6,5 8,4 
6,8 7,8 9,0 
5,6 5,9 7,7 
Para obter essas médias, ele multiplicou a matriz obtida a partir da tabela por 
 
 
 
Um aluno registrou as notas bimestrais de algumas de suas disciplinas numa 
numéricas da tabela formavam uma matriz 4x4, e que 
poderia calcular as medias anuais dessas disciplinas usando produto de matrizes. Todas as 
provas possuíam o mesmo peso, e a tabela que ele conseguiu é mostrada a seguir. 
Para obter essas médias, ele multiplicou a matriz obtida a partir da tabela por 
 
 
 
42 
 
d) 
1
2
1
2
1
2
1
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) 
1
4
1
4
1
4
1
4
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) (Enem 2009) O Indicador do CadÚnico (ICadÚnico), que compõe o cálculo do Índice de 
Gestão Descentralizada do Programa Bolsa Família (IGD), é obtido por meio da 
médiaaritmética entre a taxa de cobertura qualificada de cadastros (TC) e a taxa de 
atualização de cadastros (TA), em que NV NATC , TA ,
NF NV
  NVé o número de cadastros 
domiciliares válidos no perfil do CadÚnico, NF é o número de famílias estimadas como público 
alvo do CadÚnico e NA é o número de cadastros domiciliares atualizados no perfil do 
CadÚnico. 
Portaria n° 148 de 27 de abril de 2006(adaptado). 
 
Suponha que o IcadÚnico de um município específico é 0,6. Porém, dobrando NF o IcadÚnico 
cairá para 0,5. Se NA + NV = 3.600, então NF é igual a 
a) 10.000. 
b) 7.500. 
c) 5.000. 
d) 4.500. 
e) 3.000. 
 
3) (Enem 2000) Uma companhia de seguros levantou dados sobre os carros de determinada 
cidade e constatou que são roubados, em média, 150 carros por ano. 
O número de carros roubados da marca X é o dobro do número de carros roubados da marca 
Y, e as marcas X e Y juntas respondem por cerca de 60% dos carros roubados. 
O número esperado de carros roubados da marca Y é: 
a) 20. 
b) 30. 
c) 40. 
d) 50. 
e) 60. 
 
 
 
 
43 
 
4) (Enem 2013) Na aferição de um novo semáforo, os tempos são ajustados de modo que, em 
cada ciclo completo (verde-amarelo-vermelho), a luz amarela permaneça acesa por 5 
segundos, e o tempo em que a luz verde permaneça acesaigual a 2
3
do tempo em que a luz 
vermelha fique acesa. A luz verde fica acesa, em cada ciclo, durante X segundos e cada ciclo 
dura Y segundos. 
Qual a expressão que representa a relação entre X e Y? 
a) 5X – 3Y + 15 = 0 
b) 5X – 2Y + 10 = 0 
c) 3X – 3Y + 15 = 0 
d) 3X – 2Y + 15 = 0 
e) 3X – 2Y + 10 = 0 
 
 
Respostas 
1) E 
2) C 
3) B 
4) B