História da Matemática Aula 07 -Licenciatura em Matemática

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HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
Aula 7 - As estruturas da História da Matemática: 
		 A evolução do conceito de Número Real
A evolução do conceito de Número Real– AULA 7
HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
AS ESTRUTURAS DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA 
A evolução do conceito de Número Real– AULA 7
HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
A evolução do conceito de Número Real– AULA 7
HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO DESTA AULA
 Analisar alguns aspectos históricos sobre a evolução do conceito de número;
Verificar o Método da Exaustão de Arquimedes para encontrar o valor de π;
Verificar a incomensurabilidade, entre o lado e a diagonal do pentágono;
• Vídeo: A História da Matemática - Os Gênios do Oriente - Parte 2 de 2 
A evolução do conceito de Número Real– AULA 7
HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
A evolução do conceito de Número Real– AULA 7
HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
 A partir do século XIX, a História da Matemática passa a assumir um caráter verdadeiramente didático.
 Um exemplo disso é o trabalho de Moritz Benedict Cantor, em quatro volumes, publicados entre 1880 e 1908. 
A obra de Cantor trata especificamente da evolução do pensamento matemático puro.
A HISTÓRIA DA MATEMATICA DA MODERNIDADE
A evolução do conceito de Número Real– AULA 7
HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
 A obra segue um critério rigorosamente cronológico. 
Moritz Cantor é o mais notável escritor geral do século XIX sobre História da Matemática. Com Cantor, o sistema cronológico de narração fica claramente estabelecido. 
Os quatro volumes estão disponíveis na Biblioteca da Matemática da USP.
A HISTÓRIA DA MATEMATICA DA MODERNIDADE
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HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
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HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
A HISTÓRIA DA MATEMATICA DA MODERNIDADE
A Apesar do surgimento de outras formas de se trabalhar a História da Matemática - por tópico, por civilização, por biografias etc -, a visão cronológica não foi abandonada. Exemplos de tal perspectiva no século XX são a Introdução à Historia da Matemática (1964), de Howard Eves e A História da Matemática (1968) de Carl Benjamin Boyer. 
A evolução do conceito de Número Real– AULA 7
HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
A evolução do conceito de Número Real– AULA 7
HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
 O número natural nasceu da necessidade de se compararem umas grandezas às outras.
Muitos séculos se passaram, até chegarmos à Grécia antiga e à escola pitagórica. 
É neste momento que os números deixam apenas de servir às contagens e passam a assumir um caráter abstrato, por vezes místico e esotérico, em que as leis matemáticas traduziam a harmonia universal, construindo os alicerces da moderna teoria dos números. 
A EVOLUÇÃO HISTÓRICA DO CONCEITO DE NÚMERO
A evolução do conceito de Número Real– AULA 7
HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
 Segundo pesquisas sobre a natureza do conhecimento matemático, as habilidades numéricas elementares estão associadas à essa visão imediata e aproximada do "tamanho" da quantidade que se quer contar.
 Sem contar diretamente, é difícil diferenciar “ooooooo” de “oooooooo”. 
Mas utilizando a comparação de comprimentos, vemos que a diferença é visível por simples percepção.
A EVOLUÇÃO HISTÓRICA DO CONCEITO DE NÚMERO
ooooooo
oooooooo
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HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
 A criança, antes de saber contar, está consciente de que há pilhas maiores e pilhas menores de moedas ou balas. 
 Kamii registra explicitamente esse fato com fotos e esquemas, como o abaixo, mostrando que a criança normalmente acredita que a fila de baixo tem mais que a fila de cima.
A EVOLUÇÃO HISTÓRICA DO CONCEITO DE NÚMERO




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A EVOLUÇÃO DO CONCEITO DE NÚMERO
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A EVOLUÇÃO DO CONCEITO DE NÚMERO
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EXPLORANDO O TEMA
Os Gênios do Oriente - Parte 2 de 2
http://www.youtube.com/watch?v=e66iV23ghhs
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APLICANDO O CONHECIMENTO
No vídeo Os Gênios do Oriente - Parte 1 de 2), podemos observar que, usando as noções de trigonometria e a informação de que 
sen (1/7)° = 0,0025, os matemáticos indianos, demonstraram que a distância entre a Terra e o Sol vale, aproximadamente, _________ vezes a distância entre a Terra e a Lua.
a) 100
b) 200
c) 300
d) 400
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HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
APLICANDO O CONHECIMENTO
No vídeo Os Gênios do Oriente - Parte 1 de 2), podemos observar que, usando as noções de trigonometria e a informação de que sen (1/7)° = 0,0025, os matemáticos indianos, demonstraram que a distância entre a Terra e o Sol vale, aproximadamente, _________ vezes a distância entre a Terra e a Lua.
a) 100
b) 200
c) 300
d) 400
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MÉTODO DA EXAUSTÃO DE ARQUIMEDES
Arquimedes  usou o método da exaustão para tentar calcular o valor de π preenchendo o círculo com polígonos de um número cada vez maior de lados. 
O quociente formado pela área desses polígonos dividido pelo quadrado do raio do círculo pode ser tão arbitrariamente próximo do real valor de π tanto quanto for grande o número de lados do polígono.
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MÉTODO DA EXAUSTÃO DE ARQUIMEDES
 Arquimedes conseguiu isso desenhando um polígono regular inscrito e outro circunscrito a um mesmo círculo. Aumentando-se o número de lados do polígono regular, ele se torna uma aproximação mais precisa de um círculo. 
Quando os polígonos tinham 96 lados cada um, ele calculou os comprimentos de seus lados e mostrou que o valor de π está entre 31⁄7 (aproximadamente 3,1429) e 310⁄71 (aproximadamente 3,1408), consistente com o seu valor real de cerca de 3,1416. 
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HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
 A incomensurabilidade entre duas grandezas refere-se ao fato de a sua razão não poder ser expressa por um número racional e, consequentemente, ao fato de os números racionais serem insuficientes para descrever a realidade. 
Por exemplo, sabe-se que a razão entre o perímetro de uma circunferência e o seu diâmetro é um número irracional que se convencionou designar por  π. 
 As primeiras demonstrações matemáticas da existência de grandezas incomensuráveis remontam à Grécia Antiga, nomeadamente as demonstrações da incomensurabilidade entre a diagonal e o lado do quadrado e do pentágono regular.
INCOMENSURABILIDADE
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Quando traçadas as cinco diagonais do primeiro pentágono regular, estas formam um segundo pentágono regular, este sendo menor que o primeiro. 
Repetindo-se o processo neste segundo pentágono, obteremos o mesmo resultado, e assim por diante, infinitamente, o que nos deixa claro que a divisão (razão) entre diagonal e lado em qualquer pentágono regular é um número não-comensurável.
INCOMENSURABILIDADE
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O PENTAGRAMA E A INCOMENSURABILIDADE
 O pentagrama é baseado em triângulos isósceles cujos ângulos da base são o dobro do ângulo remanesnescente;
 Todos os ângulos na Figura são múltiplos do ângulo fundamental:BÂC =36 graus.
 Por semelhança de triângulos, temos que: 
AF = BE. 
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O PENTAGRAMA E A INCOMENSURABILIDADE
Aplicando o algoritmo de antifairese entre o lado AB e a diagonal AD temos:
 AB = AE + EB = AD + EG; onde EG é a diagonal do pentágono menor e é menor do que AD;
AD = AF + FE; onde FE é o lado do pentágono menor e é menor do que AF.
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O PENTAGRAMA E A INCOMENSURABILIDADE
Aplicando o algoritmo de antifairese, entre a diagonal e o lado do pentágono teremos, após dois passos, que repetir o processo para o pentagrama menor, e este processo continua indefinidamente.
Usando isso como critério de incomensurabilidade temos que o lado e a diagonal do pentágono são incomensuráveis. 
				
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RESUMINDO
 Identificou alguns aspectos históricos sobre a evolução do conceito de número;
Verificou o Método da Exaustão de Arquimedes para encontrar o valor de π;
Verificou que, pelo critério de incomensurabilidade, temos que o lado e a diagonal do pentágono são incomensuráveis;
• Assistiu ao Vídeo: A História da Matemática - Os Gênios do Oriente - Parte 2 de 2 
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AS ESTRUTURAS DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA 
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