Conjuntos Numéricos e Expressões Algébricas

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CARIRI
Revisa˜o - Pre´-Ca´lculo
Professora: Clarice
Conjuntos Nume´ricos
Nu´meros Naturais: N= {0,1,2,3, . . .}.
Nu´meros Inteiros: Z= {. . . ,−3,−2,−1,0,1,2,3, . . .}.
Nu´meros Racionais: Q= {ab |a,b ∈ Z,b 6= 0}.
Nu´meros Irracionais: Podem ser escritos na forma decimal com infinitas ca-
sas decimais e na˜o sa˜o perio´dicos (
√
2 = 1,4142136 . . . ,pi = 3,1415926 . . . ,e =
2,7182818284).
Nu´meros Reais: R= Q∪ I
Expresso˜es Nume´ricas
A ordem para resolver as expresso˜es nume´ricas e´ a seguinte:
1. Potenciac¸a˜o e Radiciac¸a˜o
2. Multiplicac¸a˜o e Divisa˜o
3. Adic¸a˜o e Subtrac¸a˜o
Em uma expressa˜o nume´rica, as posic¸o˜es dos pareˆnteses, colchetes e chaves
alteram o resultado da expressa˜o. Deve-se comec¸ar a resoluc¸a˜o pelas expresso˜es
dentro destes sinais. Caso um esteja dentro do outro, deve-se partir do mais interno
ao mais externo, em geral, primeiro os pareˆnteses, depois os colchetes e por fim,
as chaves.
Exemplo 1
52 +
√
9− [(20) : (−4)+3]−{2.[(1+4).(5−2)]}=
25+3− [(−5)+3]−{2.[(5).(3)]}=
25+3− [−2]−{2.[15]}=
25+3+2−{30}=
30−30 = 0
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Ca´lculo Alge´brico
Expresso˜es alge´bricas sa˜o aquelas que conteˆm nu´meros e letras, por exemplo
2ax3 +bx. Chamamos varia´veis as letras das expresso˜es alge´bricas que represen-
tam um nu´mero real e que a princı´pio na˜o possuem um valor definido. O valor
nume´rico de uma expressa˜o alge´brica e´ o nu´mero obtido quando as varia´veis sa˜o
substituı´das por nu´meros e, em seguida, sa˜o efetuadas as operac¸o˜es.
Monoˆmio: os nu´meros e letras esta˜o ligados apenas por produtos, por exemplo,
3x.
Polinoˆmio: e´ a soma ou subtrac¸a˜o de monoˆmios, 7y−3x.
Termos Semelhantes: sa˜o aqueles que possuem partes literais (varia´veis) iguais.
Por exemplo, 3x2y e 4x2y.
Operac¸o˜es
Adic¸a˜o e Subtrac¸a˜o de Expresso˜es Alge´bricas
Basta somar ou subtrair os termos semelhantes.
Exemplos:
2x3y2z+3x3y2z = 5x3y2z
2x3y2z−3x3y2z =−x3y2z
(x3 +2y2 +1)− (y2−2) = x3 +2y2 +1− y2 +2 = x3 + y2 +3
Multiplicac¸a˜o e Divisa˜o de Expresso˜es Alge´bricas
Deve-se usar a propriedade distributiva:
1. a(x+ y) = ax+ay
2. (a+b)(x+ y) = ax+ay+bx+by
3. x(x2 + y) = x3 + xy
Para multiplicar poteˆncias de mesma base, conserva-se a base e somam-se os
expoentes, por exemplo, 4x2.2x = 8x3.
Na divisa˜o de poteˆncias de mesma base deve-se conservar a base e subtrair os
expoentes, por exemplo, 4x2 : 2x = 2x.
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Produtos Nota´veis
• Soma pela diferenc¸a: (a+b)(a−b) = a2−b2
• Quadrado da soma: (a+b)2 = a2 +2ab+b2
• Quadrado da diferenc¸a: (a−b)2 = a2−2ab+b2
• Cubo da soma: (a+b)3 = a3 +3a2b+3ab2 +b3
• Cubo da diferenc¸a: (a−b)3 = a3−3a2b+3ab2−b3
Fatorac¸a˜o
Fatorar e´ transformar equac¸o˜es alge´bricas em produtos de duas ou mais expresso˜es,
chamadas fatores.
1. Fator comum em evideˆncia: ax+ay+az = a(x+ y+ z)
2. Fatorac¸a˜o por agrupamento: ax + ay + bx + by = a(x + y)+ b(x + y) =
(a+b)(x+ y)
3. Fatorac¸a˜o por diferenc¸a de quadrados: a2−b2 = (a−b)(a+b)
4. Fatorac¸a˜o do trinoˆmio quadrado perfeito: a2 +2ab+b2 = (a+b)2
Nu´meros Racionais
Soma e Produto em Q
• Adic¸a˜o: (ab , cd ) 7→ ab + cd
• Soma: ab + cd = ad+bcbd
• Multiplicac¸a˜o: (ab , cd ) 7→ ab . cd
• Produto: ab . cd = acbd
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Propriedades
• Nu´mero racional positivo (r ≥ 0): ab e´ positivo se a,b ∈ N
• Estritamente positivo (r > 0): se a,b ∈ N, a 6= 0
• Dados r,s ∈Q diz-se que r e´ estritamente menor do que s, r < s, se ∃t ∈Q,
com t estritamente positivo, tal que s = r + t
• r ≤ s: r < s ou r = s
• r ≥ s: r > s ou r = s
• Nu´mero racional negativo: (r≤ 0)
(Q,+, .) e´ um corpo
De fato, o conjunto dos nu´meros racionais munido das operac¸o˜es de adic¸a˜o e
multiplicac¸a˜o, satisfaz as seguintes propriedades:
• Associatividade: (x+ y)+ z = x+(y+ z) e (x.y).z = x.(y.z)
• Comutatividade: x+ y = y+ x e x.y = y.x
• Existeˆncia de Elemento Neutro: x+0 = x e x.1 = x
• Existeˆncia de Oposto: ∀x ∈ Q existe um u´nico y ∈ Q tal que x + y = 0
(y =−x)
• Existeˆncia de Inverso: ∀x ∈Q existe um u´nico y∈Q tal que x.y = 1 (y =
x−1)
• Distributividade: x.(y+ z) = x.y+ x.z
Ale´m disso, (Q,+, .,≤) e´ um corpo ordenado:
• Reflexiva: x≤ x
• Anti-sime´trica: x≤ y e y≤ x ⇒ x = y
• Transitiva: x≤ y e y≤ z ⇒ x≤ z
• ∀x ∈Q tem-se x≤ y ou y≤ x
• x≤ y⇒ x+ z≤ y+ z
• x≤ y e 0≤ z⇒ x.z≤ y.z
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Representac¸a˜o Geome´trica (Q)
Todo racional pode ser representado por um ponto na reta, mas nem todo ponto
na reta tem abscissa racional.
Exemplo 2 x2 = 2 na˜o admite soluc¸a˜o em Q.
Os Nu´meros Reais (R)
R = Q∪ I
Adic¸a˜o: dados x,y ∈R tem-se (x,y) 7→ x+ y
Multiplicac¸a˜o: dados x,y ∈ R tem-se (x,y) 7→ x.y.
Tambe´m e´ va´lida a relac¸a˜o ≤, ou seja, (R,+, .,≤) e´ um corpo ordenado.
Outras Propriedades:
Dados x,y,z,w ∈ R, tem-se:
• x≤ y e z≤ w⇒ x+ z≤ y+w
• Lei do Cancelamento: x+ z = y+ z⇒ x = y
• 0≤ x≤ y e 0≤ z≤ w⇒ x.z≤ y.w
• x < y⇔ x+ z < y+ z
• z > 0⇔ z−1 > 0
• z > 0⇔−z < 0
• z > 0,x < y⇔ x.z < y.z
• z < 0,x < y⇔ x.z > y.z
• 0≤ x < y e 0≤ z < w⇒ x.z < y.w
• 0 < x < y⇔ 0 < 1y < 1x
• Tricotomia: x < y ou x = y ou x > y
• Anulamento do Produto: x.y = 0⇔ x = 0 ou y = 0
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Estudo do Sinal e Inequac¸o˜es
Exemplo 3 Resolva a inequac¸a˜o 5x+3 < 2x+7
Exemplo 4 Estude o sinal da expressa˜o x−3
Exemplo 5 Estude o sinal da expressa˜o x+3
x−2
Exemplo 6 Resolva a inequac¸a˜o 3x−1
x+2 ≥ 5
Exercı´cios:
1. Resolva as inequac¸o˜es:
a) 2x−1≥ 5x+3
b) 1−3x > 0
c) 3x−22−x ≤ 0
d) x−12−x < 1
2. Estude o sinal das expresso˜es:
a) x−1
x−2
b) 2−3x
x+2
3. Verifique:
a) x2− y2 = (x−a)(x+a)
b) x3− y3 = (x−a)(x2 +ax+a2)
6
c) x4− y4 = (x−a)(x3 +ax2 +a2x+a3)
d) xn− yn = (x− a)(xn−1 + axn−2 + a2xn−3 + . . .+ an−2x + an−1), onde
n 6= 0,n ∈N
4. Simplifique:
a) x2−1
x−1
b)
1
x2
− 1
p2
x−p
c) (x+3)3−x3h
d) x4−p4
x−p
5. Resolva as inequac¸o˜es:
a) x2−4 > 0
b) 3x2 ≥ 48
Equac¸a˜o do Segundo Grau
Considere o polinoˆmio do segundo grau
ax2 +bx+ c
com a 6= 0,b,c ∈R.
Observe que:
1. x2 +bx+ c = [(x+ b2a)
2− ∆4ac2 ], onde ∆ = b2−4ac
2. Se ∆≥ 0, as raı´zes de ax2 +bx+ c, sa˜o x = −b±
√
∆
2a
3. x1 = −b+
√
∆
2a e x2 =
−b−
√
∆
2a (∆≥ 0). Tem-se: x1 + x2 = −ba e x1x2 = ca
4. x2 +bx+ c = a(x− x1)(x− x2)
Exercı´cios:
1. Fatore o polinoˆmio do segundo grau:
a) x2−3x+2
b) x2−6x+9
c) x2− x−2
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Desigualdades Lineares
Conjunto soluc¸a˜o de ax+b≥ 0
ax+b≥ 0⇔ ax≥−b.
Logo,
• Se a > 0 enta˜o x≥ −b
a
e o conjunto-soluc¸a˜o e´ igual a [−b
a
,+∞)
• Se a < 0 enta˜o x≤ −b
a
e o conjunto-soluc¸a˜o e´ igual a (−∞, −b
a
]
Desigualdades Quadra´ticas
ax2 +bx+ c = 0,
onde ∆ = b2 − 4ac e x1 e x2 sa˜o suas raı´zes (x1 ≤ x2). O conjunto soluc¸a˜o S
depende de a e ∆:
• ∆ > 0
– Se a > 0:
∗ ax2 +bx+ c≥ 0⇒ S = (−∞,α]∪ [β ,+∞)
∗ ax2 +bx+ c≤ 0⇒ S = [α,β ]
– Se a < 0:
∗ ax2 +bx+ c≥ 0⇒ S = [α,β ]
∗ ax2 +bx+ c≤ 0⇒ S = (−∞,α]∪ [β ,+∞)
• ∆ = 0
– Se a > 0
∗ ax2 +bx+ c≥ 0⇒ S = R
∗ ax2 +bx+ c≤ 0⇒ S = {α}
– Se a < 0
∗ ax2 +bx+ c≥ 0⇒ S = {α}
∗ ax2 +bx+ c≤ 0⇒ S = R
• ∆ < 0
– Se a > 0
∗ ax2 +bx+ c > 0⇒ S = R
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∗ ax2 +bx+ c≤ 0⇒ S = /0
– Se a < 0
∗ ax2 +bx+ c≥ 0⇒ S = /0
∗ ax2 +bx+ c < 0⇒ S = R
Exemplo 7 Ache a soluc¸a˜o de x2− x−2≥ 0
Exercı´cios
1. Resolva as inequac¸o˜es:
a) x2 + x+1 > 0
b) 3x2− x≤ 0
c) x2−3x+2 < 0
d) x2−4x+4 > 0
Mo´dulo de um Nu´mero Real ou Valor Absoluto
|x|= { x, x≥ 0−x, x < 0
ou seja, |x| ≥ 0, ∀x.
Propriedades:
Para todo x,y ∈ R, tem-se:
• |x.y|= |x|.|y|
• | xy |= |x||y| desde que y 6= 0
• Desigualdade Triangular: |x+ y| ≤ |x|+ |y|.
Intervalos
Intervalos sa˜o subconjuntos de R. Sejam a,b ∈R,a < b, tem-se:
• [a,b] = {x ∈R|a≤ x≤ b}
• ]a,b[= {x ∈R|a < x < b}
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• ]a,b] = {x ∈R|a < x≤ b}
• [a,b[= {x ∈R|a≤ x < b}
• ]−∞,a] = {x ∈ R|x≤ a}
• ]−∞,a[= {x ∈ R|x < a}
• [a,+∞[= {x ∈ R|x≥a}
• ]a,+∞[= {x ∈ R|x > a}
• ]−∞,+∞[= R
Exercı´cios
1. Resolva as equac¸o˜es e inequac¸o˜es:
a) |2x−1|= 1
b) |x|= 2x+1
c) |3x−1|<−2
d) |2x2−1|< 1
2. Expresse o conjunto das soluc¸o˜es da inequac¸a˜o dada em notac¸a˜o de inter-
valo:
a) 2+3x < 5x+8
b) 4 < 3x−2≤ 10
c) 7
x
> 2
d) 2x−1
x+3 > 0
e) x2−9≤ 0
Raı´zes
Teorema 1 Sejam a > 0 um real e n≥ 2 um natural. Enta˜o existe um u´nico real
α > 0 tal que αn = a
Notac¸a˜o: Sejam a > 0 um real e n ≥ 1 um natural. O u´nico real positivo α tal
que αn = a e´ indicado por n
√
a. Diz-se que e´ a raiz n-e´sima positiva de a.
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Propriedades de Raı´zes
a) n√a. n√b = n√a.b
b) n√ap = mn√amp
c) n
√
m
√
a = mn
√
a
d) a < b⇔ n√a < n√b
Poteˆncias
Sejam a > 0 um real e r = m
n
,n > 0, um racional. Define-se
ar = a
m
n =
n
√
am.
Pela propriedade b) das raı´zes, segue que essa definic¸a˜o na˜o depende da frac¸a˜o
particular m
n
,n > 0 que foi tomada como representante do racional r.
Propriedades
a) ar.as = ar+s
b) (ar)s = ars
c) ar
as
= ar−s
d) (ab)r = arbr
e) Se a > 1 e r < s, enta˜o ar < as
f) Se 0 < a < 1 e r < s, enta˜o ar > as
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