Representação dos Números Reais - Explicação e Exercícios

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2. REPRESENTAÇÕES DOS NÚMEROS
	
	Complexos 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	Números
	
	Irracionais
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	Reais
	
	Inteiros
	(-146 , 10)
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	Racionais
	
	Ordinários
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	Fracionários
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	Decimais
	(-2,13 ; 0,333)
2.1. REPRESENTANDO UM NÚMERO REAL NA FORMA:
a ( é inteiro 
a1, a2, a3, ...( são algarismos de 0 a 9 “dígitos”
Exemplo:
	a) 
	(finita)
	
b) 
	(finita)
	
c) 
	(infinita)
		d) 
	(infinita)
2.2 CONVERSÃO DE NÚMEROS NOS SISTEMAS DECIMAL E BINÁRIO
Um número pode ter representação finita em uma base e infinita em outras bases.
Atualmente a base binária, decimal e hexadecimal são as mais empregadas. Na antigüidade, foram utilizados outros sistemas (romano) e outras bases ( base 12), etc.
UM NÚMERO NA BASE ( PODE SER ESCRITO NA FORMA:
am(m + am-1(m-1 + . . . + a2(2 + a1(1 + a0(0 + a-1( -1 + a-2( -2 + . . . + an( n
ou		
, 	onde:
ai – são dígitos 0 ( ai ( ( ((1 (
n, m – números inteiros, com n ( 0 e m ( 1
Exemplo:
337,53(10) = 3x102+3x101+7x100+5x10-1+3x10-2
101010001(2) = 1x28+0x27+1x26+0x25+1x24+0x23+0x22+0x21+1x20
101010001(2) = 337(10)
CONVERSÃO DE UM NÚMERO NA BASE 10 PARA A BASE (
Parte Inteira:
	Utiliza-se o método das divisões sucessivas, isto é, dividi-se o número r pela base ( até que o último quociente seja menor que a base (.
Parte Fracionária:
Utiliza-se o método das multiplicações sucessivas, isto é, multiplica-se o número fracionário por (, a parte inteira do resultado será o primeiro dígito do número na base (. O processo se repete até que o último produto seja igual a zero. 
2.3 PONTO FIXO E PONTO FLUTUANTE
Armazenamento Numérico em uma Máquina
Usam-se basicamente duas formas para se armazenar números em máquinas:
Ponto Fixo (para valores inteiros)
Ponto Flutuante (valores fracionários)
As memórias são constituídas de unidades de tamanho padronizado.
Dígitos Binários (bit): 8, 16, 32, 64, ... bits. 
	
A Unidade assim constituída e chamada de “Palavra”
	
Exemplo:
Um aspecto esquemático de uma palavra de 12 bits seria:
	a
	b10
	b9
	b8
	b7
	b6
	b5
	b4
	b3
	b2
	b1
	b0
a - Bit representativo do sinal algébrico do número (0: +, 1: -)
bi - Valor absoluto do número representado na base 2 (0 ou 1)
Uma Palavra de 12 bits é capaz de armazenar um inteiro de:
	
	1
	1
	1
	1
	1
	1
	1
	1
	1
	1
	1
–(211-1) = -2.047 até 211 =2.048
Uma Palavra de 24 bits: -8.388.607 até 8388.608.
Aritmética do Ponto Flutuante 
É a forma que um computador ou uma máquina de calcular eletrónica representa um número real (r).
Representação de r neste sistema:
r = ( (.m1 m2 m3 m4 m5 ...mt)( exp
( é a base em que a máquina opera;
t é o número de dígitos da máquina;
0 ( mi ( ( ((1 (, m1(0;
exp é o expoente no intervalo [I, S];
I é o limite inferior; I ( (;
S é o limite superior, S > 0.
Os números Fracionários são normalizados para forma:
	(1)
	(2)
	(3)
	(4)
	s
	m1 m2 m3 m4 m5 m6...
	s
	c1 c2 c3...
(1) Sinal da mantissa (0: +, 1: - )
(2) Valor da mantissa, binário
(3) Sinal da característica 
(4) Valor da característica, binário
Exemplo:
Seja uma máquina de calcular cujo sistema de representação utilizado tenha: ( = 2, t = 10, I = - 15 e S = 15, o número 25 na base decimal é, assim representado:
25(10) = l1001(2) = 0,l1001 . 25 = 0,l1001 . 2101
25=(.1100100000).2101 ou,
	0
	1
	1
	0
	0
	1
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	1
	0
	1
De uma forma mais compacta:
	Mantissa
	Característica
	1 1 0 0 1 0 0 0 0 0
	0101
Cada dígito é chamado de bit, assim, nesta máquina são utilizados:
	10
	bits para mantissa
	4
	bits para o expoente
	1
	bit para o sinal da mantissa
	1
	bit para o sinal do expoente (característica)
	Total
	16 bits
Exemplo:
Nesta máquina o zero é representado na seguinte forma:
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	1
	1
	1
	1
	1
O número mais próximo de zero “m” ( positivo ou negativo) é representado nesta máquina da seguinte forma:
	
	1
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	1
	1
	1
	1
	1
Exemplo:
O maior e o menor número “M”, representado, ( positivo sinal 0 e o negativo sinal 1), é:
	
	1
	1
	1
	1
	1
	1
	1
	1
	1
	1
	0
	1
	1
	1
	1
M = ± (1x214+1x213+1x212+1x211+1x210+1x29+1x28+1x27+1x26+1x25)
M = ± 32736
Através desses exemplos pode-se concluir que o conjunto dos números representáveis neste sistema é um subconjunto dos números reais, dentro do intervalo.
G = { x ( ( ( m( | x | ( M}
Se uma operação apresentar resultado fora da faixa permitida da máquina o valor não poderá ser apresentado.
Região de Underflow ( (-m , 0 ) ou (0 , m)
Região Overflow ( (-( , -M) ou (M , ()
O número de elementos deste conjunto é dado pela fórmula:
2(( -1)(S- I + 1) (t - l +1
ou seja:
2 . (2-1) . (15 - (-15) + 1) . 210-1 + 1 = 31745
 Estes números não estão igualmente espaçados dentro do intervalo.
2.5. ERROS DE ARREDONDAMENTO E TRUNCAMENTO
2.5.1 Erro de truncamento
Erro provocado pelo encerramento de um processo que pode se prolongar por muitas iterações, ou por muito tempo,ou até mesmo parar.
Exemplo:
Calcular xn+1 = xn + l, n = 0, 1, 2, 3, . . . , e x0= 0.
Como este processo é infinito, podemos limitar para n = 15.
2.5.2 Erro de arredondamento
Erro obtido pela ação de se considerar apenas alguns algarismos do valor a ser representado.
Exemplo:
( = 3,141592..., mas no cálculo de uma área, A = (r2, podemos utilizar o valor 
 = 3,1416 , como aproximação, por excesso, (.
Exercício de fixação.
Utilizando a mesma máquina, represente:
	-3,5 
	7,1250
	625,025
	0,005
	2,5x102
	-6,354x103
	1,0x10-3
	35x103
	–1,5x10-3
	-330x103
�PAGE �1�
�PAGE �6�
_1138197878.unknown
_1138201276.unknown
_1153313147.unknown
_1153313189.unknown
_1153313208.unknown
_1153313176.unknown
_1138201289.unknown
_1138197889.unknown
_1138197894.unknown
_1138197412.unknown
_1138197525.unknown
_1137596273.unknown
_1138197372.unknown
_1090326039.unknown