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Fenômeno dos Transportes Industriais
Aula 01 - Introdução:
Fenômenos de Transporte é uma disciplina que trata de conceitos físicos. 
Sabe-se que, além de se entender e interpretar um problema físico, o que se chama análise qualitativa, também é necessária a resolução deste problema, a análise quantitativa. Esta se dá através da manipulação de grandezas. 
Uma grandeza é definida através do seu valor numérico e de sua unidade.  Porém, uma mesma grandeza possui diversos sistemas de unidade, e cada um desses sistemas possui seus múltiplos e submúltiplos. 
Muitas vezes, na resolução de um problema, ocorre a necessidade de se transformar unidades, achar uma determinada unidade para uma grandeza ou até definir se a resolução está correta através da análise das unidades. Então, torna-se necessária uma introdução a respeito das principais grandezas utilizadas para que sejam entendidos os Fenômenos de Transporte.
“Fluido é uma substância que se deforma continuamente sob a aplicação de uma tensão de cisalhamento (tangencial) não importa quão pequena ela seja.”
Grandeza Fisica:
Uma grandeza física descreve qualitativamente e quantitativamente as relações entre as propriedades físicas. Medir uma grandeza significa compará-la com outra grandeza de mesma espécie.
Em geral, todas as grandezas físicas podem ser expressas em função de outras grandezas fundamentais, e a representação dimensional destas é feita por meio de símbolos.
 
 
Equação Dimensional:
Podemos então observar que a grandeza Velocidade depende das grandezas de espaço e de tempo, ou seja, houve o dimensionamento da grandeza.  
Tratando-se de uma lei física, a equação que a traduz é homogênea, ou seja, as parcelas apresentam os mesmos símbolos dimensionais e, portanto, possuem a mesma dimensão.
Vamos observar o exemplo a seguir:
 Verifique se há homogeneidade para a equação da segunda lei de Newton:
 F = m x a.
Sabemos que a unidade de força no SI é o Newton, cujo símbolo é N, e que, por definição,  1N é a força que produz uma aceleração de 1m/s2 quando esta é aplicada a um corpo de massa m = 1 Kg.
Logo, temos:
Agora vamos dimensionar a outra parcela da equação, também no SI:
 
[m] = Kg e [a] =  ;   então, temos:
[F] = [m] x [a]
Tensão de cisalhamento
Viscosidade absoluta ou dinâmica
τ = µ dv/dy
 µ é denominada viscosidade dinâmica, e é uma propriedade do fluido depender, dentre outros fatores, da pressão e da temperatura à qual ele está sendo submetido em uma determinada ocasião.
Unidades de viscosidade
 
Unidades da massa específica e unidades de pressão
 
Aula 02 - Fundamentos de Hidrostática (I)
Nesta aula, você terá a compreensão do motivo pelo qual o fabricante estipula a troca do óleo do motor em determinados períodos; faremos um estudo da propriedade do fluido que interfere diretamente na ação lubrificante do óleo e o que ocorre com esta propriedade ao longo do funcionamento do carro.
Em seguida, analisaremos o fator que leva à mudança de valores da pressão atmosférica, a depender do local em que medimos.
Propriedades dos Fluidos
Massa especifica (ρ) ou Densidade absoluta
Define-se como o quociente entre a massa e o volume desse corpo. Desta forma pode-se dizer que a densidade mede o grau de concentração de massa em determinado volume. A unidade SI para a densidade é kg/m3.
A Massa especifica (ρ) ou Densidade absoluta é a relação da massa e o volume de um fluido.
 
Essa propriedade tem dimensão de M/L3.
Sua unidade no SI é Kg/m3; no CGS é g/cm3.
Peso específico
O Peso específico (γ) é a relação entre o peso do fluido e seu volume.
Substituindo o peso em função da massa, tem-se:
 
A dimensão do peso específico é F/L3, logo sua unidade no SI é N/m3.
Volume Especifico 
é, por definição, o volume ocupado pela unidade de massa de uma substancia, ou seja, é o inverso da massa especifica, sendo dado por
A unidade SI para o volume específico é m3/kg.
Densidade relativa
Densidade relativa é a razão entre a massa específica do fluido e a massa específica de um fluido considerado como padrão, a uma dada temperatura. Normalmente, esse padrão é água para líquidos.
A densidade relativa também pode ser a razão entre o peso específico do fluido e o peso específico do fluido considerado como padrão, já que multiplicando e dividindo por g não alteramos o seu valor.
 
Como se pode observar, densidade relativa é uma grandeza adimensional, portanto, em uma mesma condição, terá o mesmo valor para qualquer que seja o sistema de unidade.
A densidade relativa também pode ser a razão entre o peso específico do fluido e o peso específico do fluido considerado como padrão já que multiplicando e dividindo por g a equação anterior, não alteramos o seu valor.
Peso específico relativo ou densidade relativa:
É a relação entre o peso específico de um fluido e o peso específico de um outro fluido de referência. Geralmente o fluido de referência para líquidos é a água e para os gases é o ar. Esta propriedade é útil, pois não depende do sistema de unidades (adimensional), isto é, seu valor é o mesmo em qualquer sistema de unidades.
Pressão média (P) e Tensão de cisalhamento média (τ):
A pressão pode ser definida pelo quociente de uma força de módulo constante, perpendicular a uma superfície sujeita à sua ação, dividida pela área dessa superfície. 
A tensão de cisalhamento é a força aplicada sobre um corpo sólido, por unidade de área, e que provoca o deslocamento lateral, paralelamente a si mesmo, de um plano do corpo.
Viscosidade absoluta ou dinâmica
Lei de Newton da viscosidade:
Newton realizou o experimento das duas placas planas e verificou que ao aplicar a força F na placa superior (móvel), esta era inicialmente acelerada até adquirir uma velocidade constante, o que permitiu concluir que o fluido aplicava a placa uma força contrária ao movimento e de mesma intensidade. Após a realização de vários experimentos, chegou a seguinte equação:
 
Viscosidade absoluta ou dinâmica é a propriedade que está relacionada com a resistência do fluido ao movimento. Conforme a lei de Newton, da viscosidade, existe uma proporcionalidade entre a tensão cisalhante e o gradiente de deformação angular de um fluido. Para fluidos Newtonianos, há uma relação direta entre essas grandezas e o coeficiente de proporcionalidade desta relação é a viscosidade absoluta do fluido. Tem-se então:
Pela análise da equação, pode-se dizer que, para uma mesma tensão cisalhante, quanto maior a viscosidade absoluta, menor será o gradiente de deformação angular. Quanto mais viscoso o fluido, maior será sua resistência ao movimento. Vale ressaltar que fluidos mais comuns, como água e ar, fazem parte desta classe de fluidos.
O fluido Não Newtoniano não apresenta a mesma relação entre a tensão cisalhante e o gradiente de deformação angular e a constante de proporcionalidade não é viscosidade.
Há dois fatores que estão diretamente relacionados com a viscosidade absoluta:
• Força de coesão entre as moléculas do fluido;
• Velocidade de transferência da quantidade de movimento.
Para sabermos o efeito da temperatura sobre a viscosidade de um fluido, é só observarmos seu efeito sob uma dessas duas grandezas e identificarmos qual delas é preponderante.
Em um líquido, entre as duas grandezas, aquela de maior efeito é a força de coesão e, quando a temperatura aumenta, a força de coesão entre as moléculas diminui. Como a viscosidade é diretamente proporcional à força de coesão de um líquido, então aumentando-se a temperatura, sua viscosidade irá diminuir.
 
Em um gás, o fator preponderante é a velocidade de transferência da quantidade de movimento. Com o aumento de temperatura, esta grandeza vai aumentar e, como a viscosidade do gás é diretamente proporcional a este fator preponderante, então pode-se concluir que o aumento de temperatura aumenta a viscosidade de um gás.
Vamos encontrar a dimensão da viscosidadepara um fluido newtoniano:
então no sistema FLT, temos,
No sistema MLT:
 
Viscosidade Cinemática
Viscosidade Cinemática é a razão entre a Viscosidade Absoluta e a Massa específica do Fluido.
Nos líquidos, a variação da viscosidade cinemática com a temperatura é menor que a variação da viscosidade cinemática nos gases. Isto ocorre, pois a massa específica dos líquidos pouco varia com a temperatura, o que não ocorre com a massa específica dos gases.
 
Avaliando as dimensões de em MLT:
No Sistema SI, a unidade de viscosidade cinemática é m2/s; no sistema inglês é ft2/s e no CGS é cm2/s, que é conhecida como Stokes.
Na prática...
Para facilitar a compreensão resolveremos a questão 117, modificada, do livro Mecânica dos Fluidos de Franco Brunetti. Vamos lá.
Na figura a seguir, uma placa de espessura desprezível e área A1 igual a 2m2 desloca-se com velocidade constante de V igual a 5m/s, na interface de dois fluidos, por efeito de uma força F igual a 400N. Na parte superior, com altura igual a 1mm, o fluido de viscosidade absoluta µ1 igual a 3.10-2N.s/m2, tem um perfil de velocidade linear. Na parte inferior, há outro fluido de viscosidade µ2igual a 4N.s/m2, sobre uma placa de área A2 = 20m2, que apresenta um perfil de velocidade representado pela equação: V = 5 y2 + 7,5 y.
Agora é sua vez!
A prática é de extrema importância para o desenvolvimento do aprendizado. Para fixar os conceitos aprendidos até aqui, resolva as questões a seguir.
Um bloco pesando 50lbf e com dimensões de 8in em uma aresta pode deslizar para baixo, em uma superfície inclinada, na qual existe uma película de óleo de viscosidade 4,5 x 10-5 lb. s/ft2. Qual é a velocidade na base do bloco, se estimamos uma espessura de óleo de 0,001 pol naquela condição? Usar a premissa de perfil linear.
 
Considerando que a densidade do mercúrio é 13,6. Determine: 
a) O peso específico em lbf/ft3 e em N/m3.
b) A massa específica em slug /ft3 e em g/ft3.
Para viscosidade absoluta igual a 2,0 x 10-4 slug/ft.s, qual o valor da viscosidade em lbf.s/ft2?
Para viscosidade cinemática igual a 3x10-4 stokes e massa específica igual a 0,8 g/cm3, qual a viscosidade absoluta em slug/ft.s?
Estudo da Pressão
A pressão é dada pela relação da:
A pressão atmosférica é o peso da coluna de ar acima da superfície por unidade de área.
Escalas de pressão:
• Pressão absoluta: quando o referencial é o zero absoluto de pressão.
• Pressão efetiva ou manométrica: quando o referencial é a pressão atmosférica local.
Temos a seguinte fórmula:
PABS.= Pef. + Patm
A pressão absoluta jamais pode ser negativa, enquanto a pressão efetiva pode ser positiva ou negativa. Quando a pressão efetiva é negativa tem-se o vácuo. Neste caso, a pressão absoluta desse ponto será menor que a pressão atmosférica local.
A figura a seguir apresenta as escalas de pressão.
Observe que a pressão atmosférica local é variável, pois vai depender da coluna de ar acima da superfície no local. O local que esteja acima do nível do mar tem uma coluna de ar menor que ao nível do mar e, portanto, terá uma pressão atmosférica menor do que a pressão atmosférica normal, que é aquela ao nível do mar e que tem valores correspondentes a:
1 atm = 760 mm Hg = 14,7 psi = 10,33 m de H2O = 101325 N/m2 (ou Pascal – Pa).
A pressão atmosférica na escala efetiva é sempre zero, independentemente da altitude do local, já que na escala efetiva o referencial é a pressão atmosférica do local.
A pressão absoluta nunca pode ser negativa pois o referencial é o zero absoluto de pressão.
Exemplo: 1 bar = 14,51 lb/in² (PSI); 1 Mpa = 10,0 bar
Uma pressão atmosférica normal igual a 10,33 m de água indica que a coluna de ar acima do nível do mar exerce a mesma pressão que uma coluna de 10,33 m de água.
Atividades
Finalizaremos esta aula com mais algumas atividades.
Imagine que um equipamento, localizado em um local cuja pressão atmosférica apresenta um valor de 14.50psi, teve uma leitura manométrica de – 0,5psi. Com base nesses resultados, responda as questões a seguir.
a) O local em que está localizado o equipamento está acima ou abaixo do nível do mar? Justifique.
b) Qual a pressão absoluta do equipamento?
Leia o texto “Tudo o que você precisa saber sobre areia movediça - e como sobreviver a ela”, onde encontrará explicações sobre a atuação da areia movediça que está baseada em algumas propriedades e grandezas estudadas nesta aula.
Após sua leitura, responda às seguintes perguntas:
1. Que propriedades e/ou grandezas foram tratadas no texto?
2. A areia movediça é um fluido newtoniano ou não newtoniano? Qual a principal característica desta classificação?
3. Qual a relação entre a massa específica da areia e a massa específica média de uma pessoa? Esta relação justifica o afundamento completo da pessoa?
A Tabela a seguir apresenta valores de massa específica e de viscosidade absoluta de alguns fluidos.
Um reservatório graduado contém 500 ml de um líquido que pesa 6 N. Determinar o peso específico, a massa específica e a densidade do líquido (considerar g = 9,81 m/s2 ). 
Peso Especifico (γ):
V = 500 ml 0,50 litro = 0.50 10-3 m3
γ = (G / V) = 6 N / 0.50 10-3 m3 = 12.000 (N/ m3)
Massa Especifica (ρ):
γ = ρ.g ρ = (γ / g) = 12.000 (N/ m3) / 9,81 (m/s2) = 1.223,2 (kg/m3)
Densidade (d):
d = γf / γ (H2O) = 12.000 / 9.810 = 1,22
Duas placas planas paralelas estão situadas a 3 mm de distância. A placa superior move-se com velocidade de 4m/s, enquanto que a inferior está imóvel. Considerando que um óleo (cuja viscosidade cinemática é 0,15 stokes e a massa específica 905 kg/m3) ocupa o espaço entre elas, determinar a tensão de cisalhamento que agirá sobre o óleo. 
ν = 0,15 stokes = 0,15 cm2/s = 1,50 . 10-5 m2/s 
 = ν ρ = 1,50 . 10-5 (m2/s) 905 (kg/m3) = 0,0136 (N. s / m2)  
τ = .v0/e τ = 0,0136 (N.s/m2) . 4(m/s)/0,003 (m) = 18,1 (N/m2)  
portanto, τ = 18,1 Pa
Aula 3 - Protocolos de enlace e protocolos de acesso múltiplo
Teorema de Stevin
O Teorema de Stevin nos diz que...
A imagem, abaixo, mostra a pressão de dois pontos A e B e a diferença entre eles.
A diferença de pressão entre os dois pontos é:
pR – pQ = (d.hR.g) – (d.hQ.g)
pR – pQ = d.g (hR - hQ)
pR – pQ = d.g.∆h
Teorema de Stevin ∆p = d.g.∆h
Observe que o ponto mais baixo tem maior pressão já que tem maior coluna de fluido. Faremos sempre a pressão do ponto mais baixo menos a pressão do ponto mais alto.
Quaisquer dois pontos sob um mesmo fluido com mesma altura terão a mesma pressão.
Observações importantes:
a) O Teorema de Stevin só se aplica a fluidos em repouso.
b) ∆h é a diferença de cotas e não a distância entre os dois pontos considerados.
c) Todos os pontos de um fluido num plano horizontal tem a mesma pressão.
d) A pressão independe da área, ou seja, do formato do recipiente.
Observe que o ponto mais baixo tem maior pressão já que tem maior coluna de fluido. Faremos sempre a pressão do ponto mais baixo menos a pressão do ponto mais alto. Quaisquer dois pontos sob um mesmo fluido com mesma altura terão a mesma pressão.
Em um vaso comunicante, pontos nivelados e unidos por um mesmo fluido, terão a mesma pressão. A linha que une pontos de mesma pressão é chamada de linha isobárica.
A próxima imagem apresenta vasos comunicantes onde podemos visualizar linhas isobáricas e abordarmos alguns pontos importantes.
Observe que o ponto mais baixo tem maior pressão já que tem maior coluna de fluido. Faremos sempre a pressão do ponto mais baixo menos a pressão do ponto mais alto. Quaisquer dois pontos sob um mesmo fluido com mesma altura terão a mesma pressão.
Em um vaso comunicante, pontos nivelados e unidos por um mesmo fluido, terão a mesma pressão. A linha que une pontos de mesma pressão é chamada de linha isobárica.
A próxima imagem apresenta vasos comunicantes onde podemos visualizar linhas isobáricase abordarmos alguns pontos importantes.
Todos os pontos contidos na linha A, têm a mesma pressão, assim como todos na linha B, portanto elas representam linhas isobáricas. Na superfície livre (onde o fluido está em contato com o ar atmosférico), todos os pontos têm a pressão atmosférica.
Vale ressaltar que pontos da linha B têm uma única pressão, e ela é maior que a pressão dos pontos contidos na isobárica A; nesta linha, a altura de água é menor.
Quando um reservatório contém mais de um fluido podemos aplicar o teorema de Stevin em cada um dos fluidos.
Por ser uma mistura, a gasolina tem uma densidade variando, em uma faixa, a depender dos percentuais dos seus componentes. Vamos considerar a densidade média da gasolina à temperatura ambiente, igual a 0,75, e sendo o γH2O igual a 104 N/m3, substituindo esses valores na eq. 1:
P2efetiva = 104 N/m3 . 1 m + 0,75 . 104 N/m3 . 5 m = 4,75 . 104 N/m2 ou 47,5 kN/m2
Medidores de pressão
Você saberia citar os medidores de pressão mais comuns? Veja, a seguir.
BARÔMETRO
Pela sua forma, já podemos concluir que só mede a pressão atmosférica.
Deseja-se medir a pressão atmosférica PB. Aplicando-se a equação de diferença de pressão, tem-se:
PB - PA = ΥHg . h
A leitura barométrica é h. Como a pressão de vapor do mercúrio, Hg, é muito pequena, pode ser desprezada. Ouve-se muito, a pressão barométrica sendo dada em coluna de mercúrio.
Ao nível do mar essa leitura tem o valor de 760 mmHg. Para se ter a real dimensão de pressão, basta que se multiplique pelo peso específico do mercúrio.
A pressão atmosférica normal que representa a pressão ao nível do mar, nas condições ambiente padrão, tem os valores de:
1 atm = 760 mmHg = 34 ft de H2O = 101,325 kPa = 1,01325 bar = 14,7 psi (lbf/in2)
BARÔMETRO ANEROIDE
Mede apenas a pressão atmosférica. É menos preciso que o barômetro. É constituído de uma cápsula fechada — que não permite a entrada de ar no seu interior — contendo um diafragma metálico flexível e uma mola.
A câmara se comprime quando a pressão do ar aumenta e se dilata quando a pressão do ar diminui, movimentando assim os ponteiros que vão indicar, no mostrador, a pressão do ar atmosférico.
A imagem mostra o aneroide e esquematiza o seu funcionamento.
MANÔMETRO DE BOURDON
Mede pressões efetivas. É um dos medidores de pressão mais utilizados. Seu funcionamento consiste em uma escala circular sobre a qual gira um ponteiro indicador ligado a um jogo de engrenagens e alavancas, sob efeito externo, do ar atmosférico e interno, da pressão a ser medida.
Observe, abaixo, um Manômetro de Bourdon e esquema do seu funcionamento.
PIEZÔMETROS
Consiste de um tubo de vidro, vazio e com escala de comprimento. Quando conectado a um duto ou a um reservatório, o próprio fluido, que se encontra no duto ou reservatório, vai indicar a leitura piezométrica.
Esse equipamento tem várias limitações como:
• só pode ser usado quando já se sabe que a pressão a ser medida é uma pressão efetiva positiva;
• só pode ser conectado a líquidos;
• não pode ser usado para pressões efetivas muito grandes, pois o líquido pode transbordar no tubo.
Como encontrar a pressão em A, tendo-se a leitura manométrica?
Se não for dada a pressão atmosférica, é mais conveniente trabalharmos na escala efetiva evitando fazer a consideração de que o equipamento encontra-se num local ao nível do mar.
Aplicando a equação de diferença de pressão:
PA – Patm . = ΥA. h, na escala efetiva, a pressão atmosférica é nula em qualquer local, logo temos PA efetiva = ΥA . h . O ΥA deve ser conhecido e h lido no piezômetro.
TUBO EM U
Pode medir qualquer diferença de pressão pela flexibilidade que apresenta. Um fluido manométrico com peso específico maior, menor será a altura manométrica.
Na imagem abaixo, o manômetro I está com os dois ramos abertos para a atmosfera; em II, está conectado à direita com a atmosfera e, à esquerda, conectado a um ponto de pressão maior que a pressão atmosférica, por isso a sua pressão efetiva é positiva; no III, a pressão no ponto que está conectado à esquerda é menor que a pressão atmosférica, portanto tem pressão efetiva negativa, o que indica um vácuo.
A próxima imagem mostra uma conexão de manômetros medindo a diferença de pressão entre os pontos A e B de uma tubulação de ar. As duas linhas horizontais são linhas isobáricas.
Considerando o peso específico do fluido azul, Υ1, do fluido amarelo, Υ3, a diferença de pressão entre A e B é dado por:
PA - PB = Υ3 (h2 – h1)
O princípio de Pascal
O princípio de Pascal nos diz que...
 
O Principio de Pascal representa uma das mais significativas contribuições práticas para a mecânica dos fluidos no que tange a problemas que envolvem a transmissão e a ampliação de forças através da pressão aplicada a um fluido.
 O seu enunciado diz que: “quando um ponto de um líquido em equilíbrio sofre uma variação de pressão, todos os outros pontos também sofrem a mesma variação”.
Uma importante aplicação desse princípio é o elevador hidráulico que encontramos nas oficinas automotivas.
Observe o exemplo, abaixo, onde o fluido está confinado e a pressão gerada pela força F1, na área A1, será transmitida integralmente, camada a camada, até atingir a área A2 que é maior que A1 e, consequentemente, como a pressão é a mesma, a força gerada em A2, será maior que F1 e equivale à capacidade elevatória do equipamento.
P1 = P2
↓
F1/A1 = F2/A2
↓
F2 = A2/A1 . F1 eq. 2
Pela equação 2, podemos concluir que quanto maior a relação de área (A2/A1), maior será a força F2, que corresponde à capacidade do elevador.
Na prática...
Vamos agora fazer aplicações daquilo que apresentamos, nesta aula, para facilitar sua compreensão.
Vamos analisar uma questão retirada do livro: CENGEL, Yunus A. e CIMBAL, John M. Mecânica dos Fluidos – fundamentos e aplicações, com adaptações:
Duas câmaras com um mesmo fluido na base estão separadas por um pistão com peso de 20 N, como mostra a figura abaixo.
Dado: Pressão barométrica = 1,1 atm
Com base nas informações e em conhecimentos de Estática dos Fluidos, iremos responder cada item:
Qual a pressão gerada pelo pistão sob o fluido, em N/m2, representada pelo ponto C?
Qual a pressão efetiva, em Pascal, no fundo do reservatório?
Qual a pressão absoluta, em mm Hg, no fundo reservatório?
Calcule a pressão manométrica do ar, na câmara A, em atm.
Atividade
Compreendeu os conceitos apresentados até aqui? Agora, é a sua vez de pô-los em prática.
Observe o esquema abaixo, julgue cada alternativa e marque a verdadeira.
 X No reservatório em que se encontra o ponto A, tem uma pressão efetiva negativa.
Um medidor de vácuo conectado a uma câmara exibe a leitura de 5,8 psi em um local onde a pressão atmosférica é de 14,5 psi. Sabendo que a pressão atmosférica normal é 14,7 psi, marque a alternativa verdadeira.
X A pressão absoluta na câmara é igual a 8,7 psi.
Aula 4 - Fundamentos de hidrostática (III) e conceitos básicos de hidrodinâmica
O Princípio de Arquimedes
Você conhece a história do descobrimento do Princípio de Arquimedes?
Conta-se que, na Grécia Antiga, o Rei Herão II, confiou a um artesão, a confecção de uma coroa de ouro maciço, material este fornecido pelo rei.
Ao receber a coroa, o Rei Herão desconfiou que o artesão tivesse substituído parte do ouro fornecido por prata e confiou a Arquimedes descobrir uma prova irrefutável do roubo. Conta a lenda que o sábio desvendou o fato ao tomar banho, observou que o nível de água aumentou ao entrar na tina.
No mesmo momento, ele associou a quantidade de água deslocada com o volume da parte imersa do seu corpo e logo fez a conexão com o problema da comprovação do material da coroa. Comparando o volume deslocado pela coroa e o volume de igual peso de ouro puro, ele poderia determinar o grau de pureza da coroa.
Conta-se que nesse instante, Arquimedes sai subitamente do banho e corre pelas ruas gritando “Eureka! Eureka!”que significa descobri.
Assim foi descoberto o importante Princípio de Arquimedes que diz:
Para facilitar a compreensão, vamos observar a imagem a seguir.
Logo, o empuxo que a água exerce sobre a esfera é igual ao peso da água deslocada.
O peso da água deslocada pode ser calculado através do seu peso específico:
Pesoágua deslocada = Y . VH2O, deslocada = Pesfera. g . Vesfera
Como a esfera está totalmente submersa, o volume de água deslocado é igual ao volume da esfera.
E = YH2O . VH2O, deslocado, sendo sempre na direção vertical e sentido para cima.
Podemos observar que:
Se o ρliq é maior que o ρcorpo, o empuxo é maior que o peso do corpo, logo este flutuará.
Se o ρliq é menor que ρcorpo, o empuxo é menor que o peso do corpo, logo este afundará.
Se ρliq é igual ao ρcorpo o empuxo é igual ao peso do corpo, logo este, quando totalmente submerso, estará em equilíbrio.
Encontramos outro bom exemplo da aplicação do Princípio de Arquimedes no submarino. Ele é munido de reservatórios de água que servem de controle para os movimentos do submarino.
Formulação Matemática do Empuxo
Como citado, o Princípio de Arquimedes diz que o empuxo é igual ao peso do líquido deslocado, portanto, pode-se escrever que:
Na equação apresentada, E representa o empuxo e mL a massa do líquido deslocado. Essa mesma equação pode ser reescrita utilizando-se considerações de massa específica, pois como visto anteriormente: 
 portanto, assim: 
Nesta equação, ρL representa a massa específica do líquido e VL o volume de líquido deslocado. Pela análise realizada é possível perceber que o empuxo será tento maior quanto maior for o volume de líquido deslocado e quanto maior for a densidade deste líquido.
Densímetro e Princípio de Arquimedes
Densímetro é nome dado ao aparelho usado para medir densidade de líquidos. Seu tipo mais comum foi feito com base no Princípio de Arquimedes. É formado por um bulbo fechado cuja base contém um lastro de chumbo granulado fixado por uma resina e uma haste graduada em g/mL ou qualquer outra unidade de densidade absoluta.
O momento que estabiliza tem-se o peso do densímetro igual ao empuxo exercido pelo líquido sobre o densímetro quando se faz a leitura da densidade.
Dá-se o nome de peso aparente a diferença entre o peso real do corpo e o empuxo sobre ele. Esta grandeza, como podemos concluir, é sempre menor do que o peso real do corpo.
 
Atividade
Agora é hora de praticar. Leia atentamente e tente resolver a aplicação, abaixo:
Um hidrômetro de massa 2,2 g, tem uma haste cilíndrica na sua parte superior medindo 3 mm de diâmetro. Qual será a diferença de altura de flutuação do hidrômetro em um óleo de densidade 0,780 e em álcool de densidade 0,821?
Estabilidade de corpos submersos ou flutuantes em um fluido em repouso
Segundo Young, um corpo está em uma posição de equilíbrio estável se, quando perturbado, retorna à posição de equilíbrio original. De modo inverso, o corpo está em uma posição de equilíbrio instável se ele se move para uma nova posição de equilíbrio após ser perturbado (mesmo que a perturbação seja bastante pequena).
As considerações sobre o equilíbrio são importantes na análise dos corpos submersos e flutuantes porque os centros de empuxo e de gravidade necessariamente não são coincidentes.
Assim, uma pequena rotação pode resultar em um movimento de restituição ou de emborcamento.
Quando um corpo totalmente submerso e o centro de gravidade está abaixo do centro de empuxo (ou centro de carena), ele estará sempre em uma posição de equilíbrio estável.
Porém, quando o centro de gravidade está acima do centro de empuxo, haverá o emborcamento do corpo e este se movimentará para uma nova posição de equilíbrio, a posição de equilíbrio é, portanto, instável.
Conceitos Básicos de Hidrodinâmica
A hidrodinâmica estuda os fluidos em movimento. Para compreender o comportamento dos fluidos em movimento é necessário conhecermos as leis básicas que justificam o comportamento dos fluidos na hidrodinâmica.
Leis básicas
Já percebemos que a hidrodinâmica estuda os fluidos em movimento. Mas, para compreender o comportamento dos fluidos em movimento, é necessário conhecermos as leis básicas que justificam o comportamento dos fluidos na hidrodinâmica. Essas leis independem da natureza do fluido.
MÉTODO DE LAGRANGE
Descreve o movimento de cada partícula acompanhando-a em sua trajetória real;
Apresenta grande dificuldade nas aplicações práticas;
Para a engenharia normalmente não interessa o comportamento individual da partícula e sim o comportamento do conjunto de partículas no processo de escoamento.
Consiste em adotar um intervalo de tempo, escolher uma seção ou volume de controle no espaço e considerar todas as partículas que passem por este local.
Volume de controle é uma região arbitrária e imaginária, no espaço, através do qual o fluido escoa.
Condutos Forçados
São aqueles onde o fluido apresenta um contato total com suas paredes internas. A figura mostra um dos exemplos mais comuns de conduto forçado, que é o de seção transversal circular. 
Condutos Livres
São aqueles onde o fluido apresenta um contato apenas parcial com suas paredes internas.
Neste tipo de conduto observa-se sempre uma superfície livre, onde o fluido está em contato com o ar atmosférico.
Os condutos livres são geralmente denominados de canais, os quais podem ser abertos ou fechados.
 
Tipos de Escoamento
Veja, a seguir, os tipos de escoamento:
 
ESCOAMENTO LAMINAR E TURBULENTO
Neste tipo as partículas do fluido percorrem trajetórias paralelas. O escoamento laminar é também conhecido como lamelar ou tranquilo.
Reynolds executou um experimento com um tubo de vidro conectado a um reservatório de água e uma injeção de corante, no centro da tubulação, representado na imagem.
Ao gerar uma vazão baixa, observou que entre a camada de corante e a camada de água não havia nenhuma interferência já que a camada de corante não apresentava nenhuma ondulação.
Parecia um fio de linha dentro da tubulação. Porém, aumentando a vazão chegou a um determinado ponto que a camada de corante começou a sofrer ondulações, mas ainda se identificava o que era corante e o que era água até que, aumentando mais ainda a vazão, houve completa mistura entre corante e água.
Daí então Reynolds chamou de regime laminar aquele em que cada camada apenas deslizava sobre a outra, sem nenhuma troca de massa. Aquele que ainda se diferenciava o que era água e o que era corante, mas com ondulações, ele chamou de regime detransição e aquele que havia total interferência de uma camada com a outra ele chamou de regime turbulento.
Tubulento: As trajetórias são curvilíneas e irregulares. Elas se entrecruzam, formando uma série de minúsculos remoinhos. O escoamento turbulento é também conhecido como “turbilhonário” ou “hidráulico”. Na prática, o escoamento dos fluidos quase sempre é turbulento. È o regime encontrado nas obras e instalações de engenharia, tais como adutoras, vertedores de barragens, fontes ornamentais etc. 
No escoamento turbulento as perdas de energia por atrito variam com o quadrado da velocidade, enquanto no regime laminar as perdas são menores e variam linearmente com a velocidade.
ESCOAMENTO REVERSÍVEL E IRREVERSÍVEL
O escoamento reversível ocorre sem perda de energia, ou seja, sem atrito, o que indica ser um escoamento teórico; o irreversívelé aquele que ocorre com perdas. Um escoamento real jamais será reversível, mas poderá ser próximo da reversibilidade.
ESCOAMENTO PERMANENTE E VARIADO OU TRANSIENTE
O escoamento permanente é aquele em que nenhuma propriedade varia com o tempo em qualquer ponto. Já no transienteocorre a alteração das propriedades ao longo do tempo.
ESCOAMENTO UNIFORME E NÃO UNIFORME
No escoamento uniforme o vetor velocidade é o mesmo em todos os pontos de uma mesma linha de corrente e, obviamente,nonão uniforme o vetor velocidade não é o mesmo para pontos distintos de uma mesma linha de corrente.
Aula 5 - Fundamentos de Hidrodinâmica (I)
Conceito de linhas de corrente
São linhas que representam a trajetória das partículas de um fluido em movimento. Segundo Livi, linha de corrente, em um instante, é uma linha imaginária traçada no campo de escoamento, de forma que, em cada ponto, os vetores velocidade de escoamento são tangentes a ela.
Assim, as configurações de linhas de corrente fornecem informações sobre as direções e as velocidades de escoamento.
Apresentação de linhas de corrente ao redor de um cilindro e as componentes de velocidade do vetor velocidade no ponto P
Classificação de fluidos
Os fluidos podem ser classificados em:
Fluidos Newtonianos
Os fluidos newtonianos são aqueles que apresentam a tensão cisalhante diretamente proporcional à deformação, e a constante de proporcionalidade é sua viscosidade absoluta. Para eles, é válida a expressão:
São exemplos de fluidos newtonianos: a água, o ar, a glicerina e muitos outros.
Fluidos não Newtonianos
Os fluidos não newtonianos não apresentam a relação de linearidade entre a tensão cisalhante e a deformação. Para eles, é válida a expressão:
Esta é uma equação empírica onde k é chamado de índice de consistência e n é o índice de comportamento escoamento. Pode-se observar que para n = 1 a equação reduz-se à equação 01, para fluidos newtonianos, sendo k igual à viscosidade absoluta.
Observe o gráfico de Tensão de cisalhamento versus Taxa de deformação para fluidos newtonianos e não newtonianos.
Ainda podemos classificar um fluido, quanto à compressibilidade em:
Conceito de sistema, volume de controle e a expressão matemática que os relaciona
Conceitua-se sistema como uma quantidade fixa de massa. Quando o fluido está em movimento, na maioria dos casos, torna-se impossível acompanhar essa massa fixa e, por esta razão trabalha-se com volume de controle que é definido como uma região arbitrária do espaço através do qual o fluido escoa.
As superfícies de separação do volume de controle para o meio externo são chamadas de superfícies de controle que podem ser reais ou imaginárias.
Como podemos observar, existem superfícies de controle reais e imaginárias. A que coincide com as paredes do tubo (real) e as outras duas (seções transversais) são imaginárias.
Na maioria das vezes, ao estudarmos um escoamento, fazemos o uso de um volume de controle, onde vamos observar uma determinada propriedade do escoamento e, utilizando uma expressão matemática, ampliamos análise do volume de controle para o sistema.
A expressão matemática de que nos apropriamos para relacionar Volume de Controle e Sistema está representada, a seguir, na Eq.3 sendo N uma propriedade extensiva do sistema — aquela que depende da massa-; η corresponde a uma propriedade intensiva, N/M.
Equação da continuidade para um regime permanente com fluido incompressível
Na aula 04, representamos a equação da continuidade para qualquer tipo de escoamento:
Como geralmente trabalhamos com volume de controle, vamos aplicar a eq. 3, onde:
N = M
η = M/M = 1
Substituindo o termo, na equação 3, temos:
Juntando 4 à eq. 5, resulta em:
A eq.6 pode ser usada para qualquer tipo de escoamento quando trabalhamos com volume de controle.
Para um escoamento permanente, nenhuma propriedade pode variar com o tempo em um fixo deste e, se o fluido é incompressível, a sua massa específica é constante e a equação 6 se resume a:
O produto ρVA corresponde à vazão mássica (Qmássica) enquanto V A, corresponde à vazão volumétrica (Qvolumétriva ou simplesmente Q). Podemos verificar esta informação através da análise dimensional de cada um desses termos. Vejamos:
Agora, iremos praticar com uma aplicação da equação da continuidade para um escoamento permanente com fluido incompressível. Vamos lá.
Considere o escoamento permanente de água (ρágua = 103Kg/m3) através do dispositivo mostrado no diagrama. As áreas são: A1 = 0,0186m2, A2 = 0,046 m2 e A3 = A4 = 0,037 m2. A vazão em massa saindo da seção 3 é dada como 56,54 Kg/s. A taxa de escoamento volumétrico para dentro da seção 4 é dada como 0,028 m3/s e a velocidade para dentro da seção 1 é dada por v1 = 3,05 m/s. Se as propriedades forem consideradas uniformes através de todas as seções de fluxo, determine a velocidade do escoamento na seção 2.
 
Aplicaremos a equação da continuidade para um escoamento permanente com um fluido incompressível representada na equação 7:
Temos entrada ou saída de fluido nas seções 1, 2, 3 e 4 (que são as superfícies de controle), portanto o somatório é representado por:
Como V . A é o produto escalar e ρ é o mesmo em todas as seções, temos:
No diagrama a seguir, representamos o vetor área em cada superfície de controle. O vetor área sempre aponta para fora da superfície. Como o ângulo θ é formado pelo vetor área e o vetor velocidade, podemos encontrar os valores de cada um deles.
Substituindo cada termo na eq. 8:
Como o resultado deu positivo, o módulo de velocidade é positivo, o que nos faz concluir que o cos θ2 também tem que ser positivo e, igual a +1 (já que ou é +1 ou é -1), logo θ2 só pode ser 00, o que nos faz concluir que o vetor velocidade tem o mesmo sentido do vetor área que é para baixo. Podemos então representar o vetor velocidade  = - 0,61 m/s.
Atividades
Agora, é sua vez. Observe o tubo da imagem e determine a vazão em volume, em massa, em peso e a velocidade média na seção 2, sabendo que o fluido é água e que A1 = 10 cm2 e A2 = 5 cm2 (ρH2O = 1.000 kg/ m3 e g = 10 m/s)
GABARITO
Temos apenas duas superfícies de controle que estarão envolvidas na equação da continuidade:0
Lembrando que o vetor área sempre aponta para fora da superfície, podemos encontrar os valores dos ângulos:
Como o fluido é o mesmo, também podemos escrever:
Substituindo os valores, temos:
Para calcularmos a vazão volumétrica, tem-se que Q1 = Q2 = Q, ou seja, podíamos, mesmo sem o valor de V2 já calcularmos através de Q1.
Qem volume = Q1 = A1. V1 = 10-3m2 . 1 m/s = 10-3 m3/s ou 1 L/s
Para calcularmos a vazão em massa basta multiplicar a vazão em volume, já encontrada, pela massa específica do fluido.
Para termos a vazão em peso, basta multiplicarmos a vazão em massa pela aceleração da gravidade.
Qem peso = 1 Kg/s . 10 m/s2 = 10 N/s