Gabarito AP2 2016 2

Prévia do material em texto

2a Avaliação Presencial de Física 1A - 2o Semestre de 2016
Gabarito
1a Questão [2,0 pontos] Um carro de corridas percorre em sentido anti-horário uma pista circular com 1
km de diâmetro, inicialmente a uma velocidade constante de 60 km/h. Ao passar pela extremidade sul da
pista, no instante t = 0, o piloto passa a acelerar uniformemente, atingindo 240 km/h em 10 s.
(a) [0,2 pontos] Faça um diagrama da pista e desenhe os vetores velocidade e aceleração ANTES do
carro passar pela extremidade sul.
(b) [0,2 pontos] Faça um diagrama da pista e desenhe os vetores velocidade e aceleração DEPOIS do
carro passar pela extremidade sul.
(c) [0,8 pontos] Que distância o carro percorreu na pista entre t = 0 s e t = 1 s?
(d) [0,8 pontos] Determine o vetor aceleração média do carro entre t = 0 s e t = 10 s.
Solução
(a) Antes do carro passar pela extremidade sul da pista, sua velocidade era constante, portanto ele estava
descrevendo um movimento circular uniforme. Este movimento é caracterizado por uma velocidade
que só possui componente tangencial (isto é, tangente à trajetória circular) e uma aceleração que
só possui componente radial (ou centrípeta, apontando para o centro da trajetória circular descrita).
Portanto os vetores velocidade e aceleração num ponto qualquer da trajetória anterior à extremidade
sul estão desenhados na figura abaixo (figura 1a).
(b) Depois de passar pela extremidade sul da pista, o carro passa a acelerar constantemente e seu movi-
mento passa a ser um movimento circular uniformemente variado. Neste caso, a velocidade continua
tendo apenas componente tangencial, mas a aceleração agora passa a ter uma componente radial e
uma tangencial. Portanto os vetores velocidade e aceleração num ponto qualquer da trajetória pos-
terior à extremidade sul estão desenhados na figura abaixo (figura 1b). Note que a componente
tangencial da aceleração deve ter o mesmo sentido da velocidade, pois o carro está acelerando.
(c) Como se trata de um movimento uniformemente acelerado, a distância s(t) percorrida pela partícula
sobre o círculo obedece à equação
s(t) = s0 + v0t+
1
2
att
2, (1)
onde s0 é a posição inicial do carro (podemos tomar s0 = 0 na extremidade sul), v0 é sua velocidade
inicial (v0 = 60 km/h = 16,7 m/s) e at é a aceleração tangencial. Esta aceleração é constante entre os
instantes t0 = 0 s e t1 = 10 s (onde a velocidade é v1 = 240 km/h = 66,7 m/s) e pode ser calculada
como
1
(a) (b) 
v 
v a a 
Figura 1: vetores velocidade e aceleração para a questão 1.
at =
v1 − v0
t1 − t0 =
66, 7− 16, 7
10− 0 = 5 m/s
2. (2)
Podemos então calcular a distância percorrida entre os instantes t = 0 s e t = 1 s:
s(1) = 16, 7× 1 + 1
2
× 5× 1 = 19, 2 m. (3)
s(t = 1 s) = 19, 2 m. (4)
(d) A aceleração média do carro entre os instantes t0 = 0 s e t1 = 10 s é dada por
−→am =
−→v1 −−→v0
t1 − t0 . (5)
Utilizando o sistema de eixos mostrado na figura 2, podemos escrever −→v0 = 16, 7 ıˆ m/s. Para calcular−→v1 , vamos inicialmente calcular a distância percorrida entre 0 e 10 s, para saber em qual quadrante do
círculo se encontra o carro. Procedendo da mesma forma que no item anterior, obtemos s(10) = 416
m, o quê corresponde a um deslocamento angular de θ(10) = s(10)/R = 416/500 = 0, 83 rad (lem-
brando que a trajetória tem raio R = 500 m). Vemos portanto que em 10 s o carro percorreu menos
de 1/4 da circunferência, e se encontra entre as extremidades sul e leste da pista (como mostrado na
figura 2). Note que o ângulo entre o vetor −→v (10) e a direção horizontal é igual ao ângulo θ = 0, 83
rad percorrido. Podemos então escrever −→v (10) como:
−→v (10) = v(10) cos θ ıˆ+ v(10) sen θ ˆ
= 66, 7× 0, 67 ıˆ+ 66, 7× 0, 73 ˆ
= (44, 7 ıˆ+ 48, 7 ˆ) m/s.
(6)
Podemos agora calcular −→am:
2
v(10) 
v(0) 
y 
x 
θ θ 
Figura 2: vetores velocidade para a questão 1
−→am = (44, 7 ıˆ+ 48, 7 ˆ)− 16, 7 ıˆ
10
= (2, 8 ıˆ+ 4, 9 ˆ) m/s2.
(7)
−→am = (2, 8 ıˆ+ 4, 9 ˆ) m/s2. (8)
2a Questão (3,5 pontos) Um bloco de massa m = 10 kg é solto do alto de um plano inclinado que forma
um ângulo θ = 45◦ com a horizontal. Depois de percorrer uma distância d = 2 m ao longo do plano
inclinado, o bloco colide com uma mola com constante elástica k = 800 N/m, de massa desprezível, que se
encontrava no seu comprimento natural, como mostra a figura abaixo. Sabe-se que o coeficiente de atrito
cinético entre o bloco e o plano é igual a µC = 0, 5.
(a) (0,4 pontos) Faça um diagrama indicando todas as forças que agem no bloco DEPOIS que ele toca a
mola (porém antes da mola atingir sua compressão máxima).
(b) (0,4 pontos) Indique quais dessas forças são conservativas e quais são não-conservativas.
(c) (0,2 pontos) Enuncie o Teorema do Trabalho-Energia.
(d) (0,5 pontos) Sem fazer contas, explique como o Teorema do Trabalho-Energia pode ser usado para
calcular a compressão máxima da mola.
(e) (0,8 pontos) Calcule a compressão máxima da mola.
(f) (0,4 pontos) Qual a energia dissipada pela força de atrito no deslocamento entre o topo do plano
inclinado e o ponto de compressão máxima da mola?
(g) (0,8 pontos) Qual deve ser o valor do coeficiente de atrito estático para que o bloco permaneça em
repouso após a compressão máxima da mola?
Solução
(a) Depois que o bloco toca a mola, ele continua descendo e está sujeito às seguintes forças:
3
k 
d 
θ 
µC 
Figura 3: diagrama da questão 2.
• a força peso −→P , na direção vertical apontando para baixo;
• a força normal −→N exercida pelo plano inclinado ao longo da direção perpendicular ao plano;
• a força de restauração elástica −→Fel, exercida pela mola e que atua na direção paralela ao plano,
no sentido oposto ao seu movimento;
• a força de atrito cinético −−→FatC, exercida pela superfície do plano e que atua na direção paralela
ao plano, no sentido oposto ao movimento.
Essas forças estão desenhadas na figura 4.
P 
N 
Fel 
FatC 
Figura 4: forças que atuam sobre o bloco.
(b) As forças
−→
P e
−→
Fel são conservativas, pois o trabalho realizado por elas entre dois pontos independe
da trajetória tomada. As forças
−→
N e
−−→
FatC não são conservativas, pois o trabalho realizado por ela entre
dois pontos depende da trajetória tomada.
(c) O Teorema do Trabalho-Energia diz que a variação da energia mecânica de uma partícula quando ela
se desloca entre dois pontos é igual ao trabalho realizado pela componente não-conservativa da força
resultante nesse deslocamento.
(d) Para calcular a compressão máxima da mola, podemos aplicar o Teorema do Trabalho-Energia entre
dois pontos apropriados da trajetória do bloco: tomamos o ponto A (onde sua energia mecânica é
EMA) como aquele no topo do plano; tomamos como ponto B (onde o bloco possui energia mecânica
EMB) aquele no qual a mola atinge a compressão máxima. Pelo teorema, temos
4
EMB − EMA = WA→BNC . (9)
Se considerarmos o zero da energia potencial gravitacional no ponto B, a energia mecânica total EMB
será dada simplesmente por (1/2)k(∆xmax)2, onde ∆xmax é a compressão máxima da mola (lembre-
se que nesse ponto o bloco não possui energia cinética). Já no ponto A a energia mecânica será
dada simplesmente por mgh, onde h é a altura em relação ao ponto B (zero da energia potencial
gravitacional). Lembre-se que como o o bloco parte do repouso, sua energia cinética no ponto A é
nula. Portanto, aplicando o teorema temos
1
2
k(∆xmax)
2 −mgh = WA→BNC . (10)
Calculando o trabalho das forças não-conservativas entre os pontos A e B podemos calcular ∆xmax
em termos dos dados do problema.
(e) Do item anterior, temos que
1
2
k(∆xmax)
2 −mgh = WA→BNC . (11)
Vamos inicialmente calcular h, a altura do ponto A em relação ao ponto B. Pela geometria do pro-
blema, é fácil notar que sen θ = h/(d + ∆xmax), ou seja, h = (d + ∆xmax) sen θ. Podemos agora
calcular o trabalho das forças não-conservativas(a normal
−→
N e a forca de atrito
−−→
FatC). Como a normal
age somente na direção ortogonal ao movimento do bloco, ela não realiza trabalho:
WA→BNC =
∫ B
A
−→
N · d−→r = 0. (12)
Vamos agora calcular o trabalho realizado pela força de atrito cinético. Tomando um sistema de eixos
como o da figura 5, podemos escrever esta força como
−−→
FatC = µCN ıˆ. (13)
P 
N 
Fel 
FatC 
θ 
y 
x 
Figura 5: sistema de eixos para decomposição das forças.
Para calcular o valor da normal, basta considerarmos o diagrama de forças que agem sobre o bloco:
na direção y, temos apenas a normal
−→
N e a componente
−→
Py. Como não há movimento ao longo dessa
direção, temos
5
−→
N +
−→
Py = 0. (14)
Do diagrama da figura 5, vemos que Py = mg cos θ, e então
N −mg cos θ = 0 =⇒ N = mg cos θ. (15)
A força de atrito cinético pode então ser escrita como:
−−→
FatC = µCmg cos θ ıˆ. (16)
Podemos agora calcular o trabalho das forças não-conservativas, lembrando que
−−→
FatC é constante entre
os pontos A e B:
WA→BNC = W
A→B
FatC = −FatC∆x = −µCmg cos θ(∆xmax + d), (17)
onde utilizamos o fato de que a distância ∆x percorrida entre A e B é simplesmente ∆xmax + d.
Aplicando o Teorema do Trabalho-Energia, obtemos:
1
2
k(∆xmax)
2 −mg(d+ ∆xmax) sen θ = −µCmg cos θ(∆xmax + d). (18)
Rearranjando os termos, podemos escrever essa equação na seguinte forma:
1
2
k(∆xmax)
2 + ∆xmaxmg (µC cos θ − sen θ) +mgd (µC cos θ − sen θ) = 0. (19)
Obtivemos então uma equaçnao do 2o grau para ∆xmax, que pode ser resolvida literalmente. Mas o
processo será simplificado se substituirmos as variáveis pelos valores numéricos fornecidos. Temos
então:
400(∆xmax)
2 + ∆xmax100
(
1
2
√
2
2
−
√
2
2
)
+ 200
(
1
2
√
2
2
−
√
2
2
)
= 0. (20)
400(∆xmax)
2 − 25
√
2∆xmax − 50
√
2 = 0. (21)
As raízes dessa equação são dadas por
∆xmax =
25
√
2±
√
1250 + 4× 400× 50√2
800
=
25
√
2± 285
800
. (22)
A raíz de valor negativo deve ser descartada (pois ∆xmax deve ser uma grandeza positiva) e obtemos
então
∆xmax = 0, 4 m . (23)
6
(f) A energia dissipada pela força de atrito é igual ao trabalho realizado por essa força (não consideramos
o sinal negativo pois está sendo pedida a energia dissipada):
∆EFatC = |WA→BFatC | = µCmg cos θ (∆xmax + d) (24)
∆EFatC = 0, 5× 10× 10×
√
2
2
× (0, 4 + 2) . (25)
∆EFatC = 84, 9 J. (26)
(g) Uma vez que a mola atinja sua compressão máxima, se o coeficiente de atrito estático µE tiver um
valor suficientemente alto, o bloco permanecerá em repouso. Nesse caso. o bloco estrá sob a ação das
forças
−→
P ,
−→
N ,
−→
Fel e
−−→
FatE (força de atrito estático), como mostrado na figura 6. Note que
−−→
FatE aponta
para a base do plano inclinado, pois se opõe à força elástica que tende a empurrar o bloco para o topo.
P 
N 
Fel 
FatE 
θ 
y 
x 
Figura 6: forças que atuam no bloco após a compressão máxima da mola.
Como não há movimento ao longo do eixo x, temos
−→
Fel +
−−→
FatE +
−→
Px = 0. (27)
Fel − FatE − Px = 0. (28)
Como Fel = k∆xmax e Px = mg sen θ, temos:
FatE = Fel − Px = k∆xmax −mg sen θ. (29)
Mas FatE = µEN = µEmg cos θ, e obtemos então
µE =
k∆xmax
mg cos θ
− tg θ. (30)
Substituindo os valores numéricos, obtemos:
7
µE =
800× 0, 4
50
√
2
− 1 = 3, 5. (31)
µE = 3, 5. (32)
Obs.: uma rápida consulta a uma tabela de valores de µE mostra valores máximos próximos de 1,4,
o quê mostra que na prática seria muito difícil encontrar um par de materiais (bloco e plano) para o
qual essa situação ocorreria.
3a Questão (2,5 pontos) Considere um fio ideal de comprimento l, com sua extremidade superior presa
ao teto e sua extremidade inferior presa a uma partícula de massa m. Suponha que essa partícula descreva
um movimento circular uniforme. Esse sistema é conhecido como pêndulo cônico. Sabe-se que o ângulo
entre o fio e a direção vertical é θ, como indica a figura abaixo.
3. [3,0 pontos] Uma pedra é atirada do alto de um prédio de altura h = 30m em relação ao solo para
o alto de outro prédio de altura H = 40m por meio de uma atiradeira. A distância entre os prédios
é de d = 30m e observa-se que a pedra atinge o alto do outro prédio após um tempo tq = 2s.
Considere que a aceleração da gravidade tem módulo g = 10m/s2.
X
Y
O
h
H
d
(a) Faça um esboço da trajetória da pedra.
(b) Determine o módulo e o ângulo que o vetor velocidade com que a pedra foi lançada faz com
a direção horizontal.
(c) Escreva os vetores posição e velocidade da pedra no instante em que ela se encontra no ponto
mais alto da trajetória. Utilize o sistema de eixos apresentado na figura. Desenhe, na própria
figura, tais vetores.
4. [2,5 pontos] Considere um fio ideal de comprimento `, cujo extremo superior está preso ao teto, e
o inferior preso a uma partícula de massa m. Suponha que essa partícula descreva um movimento
circular uniforme. Esse sistema é conhecido como pêndulo cônico. Sabe-se que o ângulo entre o
fio e a vertical é θ, como indica a figura abaixo.
m
`
θ
(a) Faça um diagrama indicando as forças que atuam sobre a massa m.
(b) Qual o módulo da tensão a que o fio está submetido?
(c) Qual o módulo da velocidade com que a massa m descreve o movimento circular uniforme?
2
Figura 7: pêndulo cônico.
(a) (0,5 pontos) Faça um diagrama indicando as forças que atuam sobre a massa m.
(b) (1,0 ponto) Qual o módulo da tensão a que o fio está submetido?
(c) (1,0 ponto) Qual o módulo da velocidade com que a massa m descreve o movimento circular uni-
forme?
Solução
(a) Sobre a massa m agem a força peso
−→
P (na direção vertical, orientada para baixo) a a tração
−→
T
exercida pelo fio (na direção do fio, orientada a partir da massa (veja a figura 8).
(b) Considerando um sistema de eixos como o da figura 9, podemos decompor a tração em componentes
x e y. Como não há movimento ao longo da direção y, temos
−→
P +
−→
Ty = 0 =⇒ −mg + T cos θ = 0. (33)
T =
mg
cos θ
. (34)
8
3. [3,0 pontos] Uma pedra é atirada do alto de um prédio de altura h = 30m em relação ao solo para
o alto de outro prédio de alturaH = 40m por meio de uma atiradeira. A distância entre os prédios
é de d = 30m e observa-se que a pedra atinge o alto do outro prédio após um tempo tq = 2s.
Considere que a aceleração da gravidade tem módulo g = 10m/s2.
X
Y
O
h
H
d
(a) Faça um esboço da trajetória da pedra.
(b) Determine o módulo e o ângulo que o vetor velocidade com que a pedra foi lançada faz com
a direção horizontal.
(c) Escreva os vetores posição e velocidade da pedra no instante em que ela se encontra no ponto
mais alto da trajetória. Utilize o sistema de eixos apresentado na figura. Desenhe, na própria
figura, tais vetores.
4. [2,5 pontos] Considere um fio ideal de comprimento `, cujo extremo superior está preso ao teto, e
o inferior preso a uma partícula de massam. Suponha que essa partícula descreva um movimento
circular uniforme. Esse sistema é conhecido como pêndulo cônico. Sabe-se que o ângulo entre o
fio e a vertical é θ, como indica a figura abaixo.
m
`
θ
(a) Faça um diagrama indicando as forças que atuam sobre a massam.
(b) Qual o módulo da tensão a que o fio está submetido?
(c) Qual o módulo da velocidade com que a massam descreve o movimento circular uniforme?
2
P 
T 
Figura 8: forças que atuam sobre a massa m.
3. [3,0 pontos] Uma pedra é atirada do alto de um prédio de altura h = 30m em relação ao solo para
o alto de outro prédio de alturaH = 40m por meio de uma atiradeira. A distância entre os prédios
é de d = 30m e observa-se que a pedra atinge o alto do outro prédio após um tempo tq = 2s.
Considere que a aceleração da gravidade tem módulo g = 10m/s2.
X
Y
O
h
H
d
(a)Faça um esboço da trajetória da pedra.
(b) Determine o módulo e o ângulo que o vetor velocidade com que a pedra foi lançada faz com
a direção horizontal.
(c) Escreva os vetores posição e velocidade da pedra no instante em que ela se encontra no ponto
mais alto da trajetória. Utilize o sistema de eixos apresentado na figura. Desenhe, na própria
figura, tais vetores.
4. [2,5 pontos] Considere um fio ideal de comprimento `, cujo extremo superior está preso ao teto, e
o inferior preso a uma partícula de massam. Suponha que essa partícula descreva um movimento
circular uniforme. Esse sistema é conhecido como pêndulo cônico. Sabe-se que o ângulo entre o
fio e a vertical é θ, como indica a figura abaixo.
m
`
θ
(a) Faça um diagrama indicando as forças que atuam sobre a massam.
(b) Qual o módulo da tensão a que o fio está submetido?
(c) Qual o módulo da velocidade com que a massam descreve o movimento circular uniforme?
2
P 
T Ty 
y 
x 
θ 
Figura 9: decomposição das forças que atuam sobre a massa m.
(c) Como a massa descreve um movimento circular uniforme, ela está sujeita a uma aceleração centrípeta
aC. Portanto a força resultante é a força centrípeta, de módulo FC = maC. No plano da trajetória
descrita pela partícula, a única força que atua é a componente x da tração (Tx = T sen θ). Temos
então:
FC = maC =⇒ T sen θ = maC. (35)
Mas a aceleração centrípeta pode ser escrita como aC = v2/r, onde r é o raio do cîrculo descrito pela
partícula. Esse raio pode ser relacionado com o comprimento l do fio e o ângulo θ através da equação
sen θ = r/l. Substiuindo esse valores, obtemos:
9
T sen θ = m
v2
r
= m
v2
sen θ
. (36)
v =
√
T l sen2 θ
m
. (37)
Mas no item anterior obtivemos que T = (mg)/ cos θ e portanto
v =
√
mgl sen2 θ
m cos θ
= sen θ
√
lg
cos θ
. (38)
v = sen θ
√
lg
cos θ
. (39)
4a Questão (2,0 pontos) Um aluno de Física 1A realizou a prática com o trilho de ar inclinado, que é o
segundo experimento da Aula 7 dos Módulos de Física 1. Nessa prática, o carrinho se movimenta sobre o
trilho de ar, que está inclinado em relação à direção horizontal. A tabela abaixo mostra os pontos medidos
para a posição do carrinho e a velocidade do mesmo em função do tempo t.
t (ms) x (cm) v (cm/s)
0 0,0± 0,2 -
50 2,9± 0,2 59± 1
100 5,9± 0,2 63± 1
150 9,2± 0,2 68± 1
200 12,7± 0,2 73± 1
250 16,5± 0,2 78± 1
300 20,5± 0,2 82± 1
350 24,7± 0,2 85± 1
400 29,0± 0,2 90± 1
450 33,7± 0,2 94± 1
500 38,4± 0,2 -
Obs.: o aluno sabia que a incerteza no tempo de
centelhamento era muito menor que a incerteza na
medida da posição e, por isso, foi desprezada. Para
responder todos os itens posteriores não se esqueça
que toda grandeza obtida experimentalmente deve
ser acompanhada de sua incerteza!
(a) (0,5 pontos) Utilizando o papel milimetrado em anexo, faça um gráfico da velocidade do carrinho v
em função do tempo.
(b) (0,5 pontos) Obtenha, a partir do gráfico, a aceleração do carrinho durante o movimento e a velocidade
em t = 0. Estime a incerteza na aceleração e na velocidade inicial como 5% dos valores obtidos.
(c) (0,5 pontos) O quê ocorreria com o gráfico v × t se a inclinação do trilho em relação à direção
horizontal for aumentada?
(d) (0,5 pontos) Suponha que o carrinho seja lançado da extremidade mais baixa do trilho em direção à
extremidade mais alta; esboce o gráfico posição × tempo.
Solução
(a) O gráfico deve ser construído de acordo com as instruções presentes na Aula 7 do material didático
(veja um exemplo na última página desse gabarito). Em particular, o gráfico deve:
10
• possuir um título;
• ter as grandezas físicas medidas e suas unidades claramente indicadas nos eixos;
• ter escalas bem escolhidas para os eixos, de maneira a facilitar sua leitura e ocupar a maior parte
do espaço disponível;
• apresentar sobre seus eixos apenas os valores que definem as escalas, e não os valores dos pontos
experimentais;
• apresentar barras de erro representando as faixas de incerteza das medidas experimentais;
• ter uma curva traçada - uma reta, no caso - que melhor se ajuste aos p[ontos experimentais
(b) Observamos, conforme esperado, que o movimento é uniformemente acelerado fazendo com que a
velocidade do carrinho aumente linearmente com o tempo. Ajustando uma reta aos pontos podemos
obter a velocidade do carrinho em t = 0 lendo diretamente o valor da velocidade para o qual o tempo
é zero. No gráfico encontramos que esse ponto é
v(0) = (55± 3) cm/s, (40)
onde foi adotada uma incerteza de 5% conforme pedido no enunciado e são apresentados os valores
com um ou dois significativos. A aceleração é o coeficiente angular da reta ajustada:
a =
∆v
∆t
=
88, 0− 66, 0
0, 375− 0, 125 = 88, 0 cm/s
2. (41)
a = (88± 4) cm/s2 (42)
(c) Desprezando a resistência do ar, podemos considerar o carrinho que desliza sobre o trilho de ar como
uma partícula que se desloca sem atrito. Nesse caso, se o trilho faz um ângulo θ com a direção
horizontal, sua aceleração será dada por g sen θ. Portanto se a inclinação do trilho for aumentada, o
movimento continuará sendo um movimento retilíneo uniformemente variado, mas a aceleração será
maior (quanto maior θ maior será o valor de sen θ e maior será a aceleração). O gráfico de v × t
continuará sendo uma reta, mas seu coeficiente angular (que é a aceleração, pois v = v0 + at) será
maior. Portanto a reta obtida no gráfico v × t será mais inclinada.
(d) O carrinho descreverá um movimento uniformemente retardado, pois estará sendo freado. A variação
da posição com o tempo é dada por s(t) = s0 + v0t + (1/2)at2, portanto o gráfico s × t será uma
parábola com concavidade voltada para baixo.
11
0 0,1 0,2 0,3 0,4
52
60
70
80
90
t (s)
v(cm/s)
6
Figura 10: gráfico v × t.
12