Lab1 fisicall(correção)

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ 
 
 
 
 
 
 
 
LEONARDO GOUVEIA PAES – 2017008071 
LUIS GUSTAVO RUFINO DE SOUZA – 2017015648 
PEDRO ASSAD ANGELIS – 2017005033 
PEDRO HENRIQUE JACINTO DOS SANTOS – 2017007931 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIS313 – FÍSICA EXPERIMENTAL II 
EXPERIÊNCIA 1 
PÊNDULO SIMPLES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ITAJUBÁ 
2018 
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ 
 
 
 
 
 
LEONARDO GOUVEIA PAES – 2017008071 
LUIS GUSTAVO RUFINO DE SOUZA – 2017015648 
PEDRO ASSAD ANGELIS – 2017005033 
PEDRO HENRIQUE JACINTO DOS SANTOS – 2017007931 
 
 
 
 
 FIS313 – FÍSICA EXPERIMENTAL II 
EXPERIÊNCIA 1 
PÊNDULO SIMPLES 
 
 
 
 
Relatório experimental submetido ao Prof. 
Dr. Marcelos Lima Peres, como atividade da 
disciplina Física Experimental II – FIS313 
do curso de graduação em Engenharia Elé-
trica da Universidade Federal de Itajubá. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ITAJUBÁ 
2018 
 
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RESUMO 
 
O experimento em questão tem por objetivo observar e medir a aceleração da gravidade 
local fazendo-se uso de um pêndulo simples, analisar o seu período, construir e analisar 
gráficos. Por meio da aplicação de conceitos teóricos e clássicos, e também com a utili-
zação de materiais adequados como transferidor, trena e cronômetro realizaram-se expe-
rimentos a respeito do período do pêndulo para concluir com relação a gravidade do am-
biente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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SUMÁRIO 
 
 
1. INTRODUÇÃO ....................................................................................................................... 5 
2. MATERIAIS E MÉTODOS ................................................................................................... 8 
2.1 Materiais ................................................................................................................................ 8 
2.2 Modelo Metodológico ............................................................................................................ 8 
2.3 Obtenção dos Dados .............................................................................................................. 9 
3. ANÁLISE DOS RESULTADOS .......................................................................................... 12 
4. CONCLUSÃO ....................................................................................................................... 14 
REFERÊNCIAS ........................................................................................................................ 15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1. INTRODUÇÃO 
 
O pêndulo simples é constituído por uma partícula de massa “m” suspensa por 
uma corda inextensível de comprimento “L” e de massa desprezível. Quando solta de 
uma posição que faz um ângulo “Ɵ” com a vertical, sob ação da força da gravidade, a 
partícula oscila sob ação da força da gravidade no plano vertical, descrevendo um arco de 
círculo em torno da posição de equilíbrio que é a vertical. 
 
A diferença entre a tensão na corda e a componente do peso da partícula na direção 
radial produz a força centrípeta necessária para que a partícula tenha movimento circular 
no plano vertical. A componente tangencial do peso da partícula obriga o pêndulo a sem-
pre voltar para a posição de equilíbrio e faz o papel da força restauradora. Se medirmos o 
deslocamento angular “Ɵ”, relativo à posição de equilíbrio, no sentido trigonométrico, a 
força restauradora terá sempre sentido oposto ao do aumento do ângulo “Ɵ”. A figura 
exemplifica as forças e a oscilação do pêndulo simples: 
 
Figura 1 – (a) Pêndulo simples em repouso (b)Pêndulo simples em pequenas os-
cilações 
 
Podemos descrever a força restauradora como: 
 
𝐹 = −𝑚𝑔 sen 𝜃. 
 
Como a força restauradora não é proporcional ao ângulo, o movimento do pêndulo 
não é um movimento harmônico simples. Com efeito, a equação do movimento do pên-
dulo é: 
𝑚
𝑑2𝜃
𝑑𝑡2
+ 𝑚𝑔 sen 𝜃 = 0 . 
 
Esta equação diferencial não é linear e requer métodos especiais para ser resol-
vida. Entretanto, se o ângulo for pequeno, podemos escrever que sen Ɵ é aproximado ao 
próprio Ɵ (em radianos). Logo, o deslocamento da partícula ao longo do arco é s= LƟ. 
Podemos dizer que: 
 
 
6 
 
𝐹 = −𝑚𝑔 sen 𝜃 ≈ −𝑚𝑔𝜃 = −
𝑚𝑔𝑠
𝐿
 . 
Isto é, a força pode ser considerada como proporcional ao deslocamento e o mo-
vimento, como no harmônico simples. A tabela abaixo mostra vários valores de Ɵ, senƟ 
e a diferença percentual entre esses valores: 
 
Tabela 1 – Valores Ɵ, sen Ɵ e diferença percentual 
 
 
 
A equação do movimento do pêndulo fica, então, com essas aproximações: 
ou: 
 
𝑚
𝑑2𝑠
𝑑𝑡2
+
𝑚𝑔𝑠
𝐿
= 0 . 
ou, ainda, 
𝑑2𝑠
𝑑𝑡2
+
𝑔
𝐿
𝑠 = 0 . 
 
cuja solução é: 
𝑑2𝑠
𝑑𝑡2
+ 𝜔0
2𝑠 = 0 ; 
 
 
𝜔0
2 =
𝑔
𝐿
 . 
 
 
em que é a amplitude do movimento. 
 
𝑠 = 𝑠𝑚 cos(𝜔0𝑡 + ∅). 
 
O período do pêndulo simples em movimento harmônico simples independe da 
massa dele. Com efeito, da definição de período: 
 
𝑇 =
2𝜋
𝜔0
= 2𝜋√
𝐿
𝑔
 . 
 
Essa equação mostra também que o período independe da amplitude do movi-
mento (desde que ela seja pequena!). Embora o movimento oscilatório do pêndulo dimi-
nua com o tempo por causa da ação de forças dissipativas, o período continua pratica-
mente constante. Por isso, ele foi o primeiro mecanismo usado em relógios mecânicos. 
Em um relógio de pêndulo, a perda de energia é compensada por um mecanismo que foi 
inventado por Christian Huygens (1629 – 1695). 
 
7 
 
Para grandes amplitudes, o período do pêndulo pode ser colocado na forma: 
𝑇2𝜋√
𝐿
𝑔
 [1 +
1
2!
sen2
𝑠𝑚
2
+
1
2!
32
42
sen4
𝑠𝑚
2
+ ⋯] , 
 
 
o que mostra que o período depende da amplitude. 
 
Relacionando o período do pêndulo simples com a aceleração da gravidade temos 
que: 
𝑔 = 4𝜋2
𝑙
𝑇2
 . 
 
 
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2. MATERIAIS E MÉTODOS 
 
2.1 Materiais 
 
• Uma esfera de plástico ou metálico; 
• Uma haste com um barbante de comprimento a ser determinado, ligando a haste até a 
esfera; 
• Um transferidor, para realizar a medida do ângulo durante o tempo de oscilação do 
pêndulo; 
• Uma trena para medida do comprimento do barbante; 
• Um cronômetro analógico e um cronômetro digital, para medidas do tempo de oscilação 
do pêndulo. 
 
 
 
Figura 2 – Esquema da montagem do experimento 
 
2.2 Modelo Metodológico 
 
Durante a aula prática, em laboratório, foram feitas medidas em quatro pêndulos 
diferentes, que estavam montados em quatro bancadas diferentes. O grupo se alternou 
entre quatro bancadas aleatoriamente, para fazer as medidas. 
O grupo selecionou dois integrantes para fazerem as medidas, esses integrantes 
foram denominados “A” e “B”. O primeiro passo desses integrantes foi medir o compri-
mento L do pêndulo, este passo foi repetido 5 vezes. (Para encontrar o comprimento do 
pêndulo a medida foi feita do início do fio até o centro da bolinha de metal). 
9 
 
O “medidor A” utilizou o cronometro analógico e, o medidor B o cronometro di-
gital. Com os cronômetros os medidores mediram 9 oscilações completas dos pêndulos 
(o penduloteve uma posição θ ≤ 10°). Este procedimento foi repetido 7 vezes, e as me-
didas foram anotadas em uma tabela. 
 
2.3 Obtenção dos Dados 
 
 Abaixo segue as tabelas das medições realizadas pelos medidores “A” e “B” com 
relação ao comprimento de cada pêndulo e o período de oscilação: 
 
Tabela 2 – Medidas dos comprimentos do fio dos pêndulos simples (cm). 
 
Tabela 3 – Medidas dos períodos dos pêndulos simples (s). 
 
 A partir disso foram calculados a média dos comprimentos de cada pêndulo e 
também o valor médio do período dos pêndulos simples e seus respectivos desvios pa-
drões, a partir da equação: 
 
�̅� =
∑ 𝑥𝑖
𝑁
𝑖=1
𝑁
 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pêndulo 1 Pêndulo 2 Pêndulo 3 Pêndulo 4 
A B A B A B A B 
86.0 85.9 128.5 128.6 80.5 80.6 91.6 91.4 
86.0 86.1 128.6 128.6 80.5 80.5 91.5 91.4 
86.0 86.0 128.6 128.7 80.4 80.5 91.5 91.5 
85.9 85.9 128.7 128.6 80.5 80.6 91.6 91.4 
86.0 86.0 128.7 128.6 80.5 80.6 91.5 91.5 
Pêndulo 1 Pêndulo 2 Pêndulo 3 Pêndulo 4 
A B A B A B A B 
1.83 1.80 2.24 2.22 1.76 1.75 1.89 1.91 
1.80 1.82 2.24 2.24 1.78 1.77 1.87 1.90 
1.80 1.82 2.31 2.25 1.78 1.79 1.92 1.91 
1.82 1.83 2.24 2.23 1.77 1.77 1.89 1.91 
1.82 1.80 2.24 2.22 1.77 1.78 1.91 1.89 
1.82 1.84 2.25 2.24 1.78 1.78 1.89 1.90 
1.80 1.82 2.20 2.23 1.78 1.79 1.91 1.89 
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Tabela 4 – Valor médio do comprimento do fio dos pêndulos. 
 
 
Tabela 5 – Valor médio do período dos pêndulos simples 
 
Após esse procedimento foi calculada aceleração da gravidade local média, g, em 
metros por segundo ao quadrado (m/s2) para cada pêndulo. E juntamente determinando o 
desvio padrão propagado do g experimental. Seguem abaixo as equações utilizadas: 
 
𝑇 = 2𝜋√
𝐿
𝑔
 ; 
 
𝜎𝑓 = √(
𝜕𝑓
𝜕𝑥
)
2
𝜎𝑥2 + (
𝜕𝑓
𝜕𝑦
)
2
𝜎𝑦2 + (
𝜕𝑓
𝜕𝑧
)
2
𝜎𝑧2 + ⋯ . 
 
 
Tabela 6 – Valor da aceleração da gravidade para cada pêndulo 
 
 
Novamente foi calculado, a partir das mesmas equações dadas acima, a média e 
propagação do erro da aceleração calculada de cada pêndulo: 
g = 10,10 ± 0,12[m/s²]. 
 
Utilizando por meio do software SciDAVis, e das tabelas 4 e 5, foi traçado um 
gráfico do comprimento em função do quadrado do período de cada um dos pêndulos: 
 
 
 
 
 
 
 Pêndulo 1 Pêndulo 2 Pêndulo 3 Pêndulo 4 
L 85,98 ± 0,06 [cm] 128,12 ± 0,06 [cm] 80,52 ± 0,06 [cm] 91,49 ± 0,07 [cm] 
 Pêndulo 1 Pêndulo 2 Pêndulo 3 Pêndulo 4 
T 1,82 ± 0,01 [s] 2,24 ± 0,02 [s] 1,78 ± 0,01 [s] 1,90 ± 0,01 [s] 
 Pêndulo 1 Pêndulo 2 Pêndulo 3 Pêndulo 4 
G 10,25 ± 0,11 [m/s²] 10,12 ± 0,18 [m/s²] 10,03 ± 0,11 [m/s²] 10,00 ± 0,10 [m/s²] 
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Gráfico 1 – Pêndulo simples (comprimento em função do período ao quadrado) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3. ANÁLISE DOS RESULTADOS 
 
A partir do Gráfico 1, pode-se encontrar a aceleração da gravidade, a partir do 
gráfico da função: 
𝐿 = 𝑔
𝑇2
4𝜋2
 . 
 
 
Podemos tratar essa função como na forma y = ax+b 
Onde: 
x = T^2 (ordenadas - eixo vertical) 
b = 0 (coeficiente linear da reta) 
a = g/4^2 (coeficiente angular da reta) 
y = L (elongação - abscissas, eixo horizontal) 
 
Assim, obtendo o coeficiente angular da reta, como: 
 
𝑎 =
𝑔
4𝜋2
 . 
 
 
O software nos forneceu os valores dos coeficientes linear e angular como sendo: 
 
a= (0,25±0,00); 
b= (0,01±0,00). 
 
Sendo assim, pelos coeficientes, temos que: 
 
𝐿 ≅ 0,25𝑇2 + 0,01. 
 
Sendo assim temos a aceleração da gravidade e seu respectivo erro como: 
 
𝑔 = 𝑎4𝜋2 ; 
 
𝜎𝑔 = √(
𝜕𝑔
𝜕𝑎
𝜎𝑎)
2
= √(4𝜋2𝜎𝑎)2 ; 
 
𝜎𝑔 = 4𝜋
2𝜎𝑎 . 
 
 
Desta forma, a aceleração da gravidade experimental encontrada através do grá-
fico foi de: 
 
g = (9,87 ± 0,00) m/s². 
 
Já a aceleração obtida teoricamente pelo cálculo da média das acelerações de cada 
pêndulo, obteve-se 
g = (10,10 ± 0,12) m/s². 
 
13 
 
Apesar de serem relativamente próximos os valores da aceleração da gravidade a 
experimental e teórica não são iguais, mesmo respeitando as margens de erro. Isso pode 
se dar principalmente por erros na obtenção dos dados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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4. CONCLUSÃO 
 
Com as análises finais a partir dos resultados obtidos, afirmamos os conceitos ad-
quiridos em sala de aula nos experimentos em laboratório. 
 
O experimento referente ao pêndulo simples mostra que o período é diretamente 
proporcional ao comprimento do fio e inversamente proporcional a aceleração gravitaci-
onal. Confirmando a equação estudada no laboratório e nas aulas teóricas que nos serviu 
de base em todo processo do experimento. 
 
 Além disso com a experiência conseguiu-se calcular a aceleração da gravidade 
local com grande êxito, aproximando-se muito da gravidade tabelada na Terra ao nível 
do mar, possuindo o valor aproximado de 9,80665 m/s². 
 
Apesar das diferenças, pôde-se concluir que o experimento foi um sucesso pois 
alcançou os resultados esperados dentro das variáveis de um sistema desconsiderando 
algumas intervenções. 
 
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REFERÊNCIAS 
 
Roteiro FIS313: Experiência 1: Pêndulo Simples – Universidade Federal de Itajubá, 
Instituto de Física & Química, Disciplina de Física II, Profª Sandra Nakamatsu. 
 
Aulas teóricas com Prof. Dr. Marcelos Lima Peres, onde foram apresentados os méto-
dos para realização dos cálculos utilizados nesse relatório. 
 
HALLIDAY, D., RESNICK, R., WALKER, J. – “Fundamentos de Física 2” – São 
Paulo: Livros Técnicos e Científicos Editora, 4ª edição, 1996.