Atividade 02 - Oscilação de um Pêndulo Simples

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LABORATÓRIO DE FÍSICA GERAL II 
 
Atividade 02 – Movimento oscilatório: pêndulo simples 
 
 
Grupo: 
✓ Franciele de Cássia 
✓ Edilson Mioli 
✓ Gabriela Purcino 
✓ Meline Trinca 
 
Turma: Engenharia de produção 
 
Data: 27/08/2020 
 
 
Objetivo 
 
Obtenção da aceleração da gravidade local, obtida pela medição do período de oscilação de um pêndulo simples. 
 
Introdução 
 
O pêndulo simples é definido como uma pequena massa m pendurada em uma corda de comprimento L. 
Quando a massa presa pela corda é deslocada de sua posição de equilíbrio de um ângulo pequeno 1 em relação à 
vertical, uma força resultante diferente de zero (força restauradora) surge para restaurar a massa em sua posição de 
equilíbrio. Esta massa quando passa pela posição de equilíbrio, devido a sua inércia, continua em movimento e uma 
situação análoga se repete do outro lado da posição de equilíbrio, fazendo um ângulo 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜igual ao ângulo 𝜃 que 
fora solto inicialmente em relação à vertical (desde que forças dissipativas não estejam agindo sobre este sistema). A 
massa retorna pela mesma trajetória passando novamente pela sua posição de equilíbrio e novamente atinge a posição 
inicial completando um ciclo. O tempo decorrido para completar este movimento chama-se período (T). Este 
movimento, sem forças contrárias e dissipativas (atrito e resistência do ar) continua indefinidamente. A análise da 
dinâmica do movimento é feita usando a 2ª lei de Newton para o movimento de rotação, levando-se em conta que o 
torque sobre o pêndulo é causado pela força peso �⃗� = 𝑚𝑔 , ou seja, 𝜏 = 𝑟 × �⃗� = 𝑟 × 𝑚𝑔 . Na expressão para o torque, 
o vetor 𝑟 é o vetor que vai do eixo de rotação até a massa pendurada pelo fio do pêndulo (veja a figura abaixo). A outra 
força que atua na massa é a tração do fio, porém ela provoca um torque nulo, uma vez que esta força é antiparalela a 𝑟 . 
O momento de inércia do pêndulo é 𝐼 = 𝑚𝐿2, onde 𝑚 é o valor da massa pendurada e 𝐿 o comprimento do pêndulo. 
 
 
1 Ângulo menor que 10 em relação à vertical. 
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 Aplicando então estas observações à 2ª lei de Newton para rotação, e para 𝛼 a aceleração angular, tem-se 
 
∑𝜏 = 𝐼𝛼 
 
 𝑟 × (𝑚𝑔 + �⃗� ) = 𝐼𝛼 
 
 −𝐿𝑚𝑔 sin 𝜃 = 𝑚𝐿2
𝑑2𝜃
𝑑𝑡2
 
 
Resultando na equação diferencial do oscilador harmônico simples, para a posição angular 𝜃, se fizermos a 
aproximação de que sin 𝜃 ≅ 𝜃 
 
𝑑2𝜃
𝑑𝑡2
+ 𝜔2𝜃 = 0 
 
cuja solução é (sendo 𝜃0 a posição angular inicial): 
 
𝜃(𝑡) = 𝜃0 cos(𝜔𝑡 + 𝛿) 
 
Na equação (diferencial) de movimento e na sua solução definiu-se a frequência angular 𝜔 pela expressão: 
 
𝜔2 =
𝑔
𝐿
 𝑜𝑢 𝜔 = √
𝑔
𝐿
 
 
Na solução 𝜃(𝑡) da equação de movimento, devido ao pêndulo ser solto do repouso, a constate de fase é nula, ou seja, 
𝛿 = 0. Como a frequência angular é 2𝜋𝑓, onde 𝑓 é a frequência, que se relaciona com o período de oscilação 𝑇, por 
𝑓 = 𝑇−1, obtêm-se uma relação entre o período de oscilação 𝑇 e o comprimento 𝐿 do pêndulo, que envolve a 
aceleração da gravidade 𝑔: 
 
2𝜋
𝑇
= √
𝑔
𝐿
 → 𝑇 = 2𝜋 ∙ √
𝐿
𝑔
 
 
 
 
Materiais 
 
Linha, massa densa (bola de aço), cronômetro com sensor óptico, régua. 
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Procedimento 
 
1. Monte um pêndulo com a linha uma massa. Tome o cuidado de escolher uma massa muito maior que a massa do 
fio. 
 
 
 
 
 
2. Meça o comprimento L do fio (do ponto de apoio até o centro da massa). Anote na tabela, que está no item 4 
abaixo, o valor de 𝐿 medido. 
 
3. Ligue o cronômetro utilizando a função F4 para medir o período de 10 oscilações. Para o comprimento medido, 
coloque o pêndulo em oscilação (para posição angular inicial menor que 10 em relação ao ângulo de equilíbrio). 
Faça uma média dos períodos registrados e anote na tabela o valor do período encontrado para este comprimento 
do pêndulo. 
 
4. Repita o procedimento dos itens 2 e 3, para pelo menos oito comprimentos diferentes do pêndulo, obtendo 
períodos diferentes e complete a tabela abaixo. Para melhores resultados do gráfico que você irá construir, tente 
incluir medidas próximas ao eixo de rotação. 
 
 
L (m) 
 
0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 
T (s) 
 
0,6360
 
0,7800
 
0,9000
 
1,0050
 
1,1010
 
1,1900
 
1,2720
 
1,3490
 
1,4230
 
1,4920
 
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5. Plote os valores encontrados como pontos num gráfico de 𝑇 × 𝐿. (Pretende-se encontrar uma função do período 
como função do comprimento). Não faça o ajuste de curvas para este gráfico, porém a tabela e o gráfico devem ser 
anexados ao relatório. 
 
 
 
 
 
6. Como pode ser observado, os pontos no gráfico não estão sobre uma reta, a forma deste gráfico é de uma raiz 
quadrada, pois já vimos da teoria que o período é função da raiz quadrada do comprimento, 𝑇 = (2𝜋 √𝑔⁄ )𝐿1 2⁄ . O 
período 𝑇 como função do comprimento 𝐿 tem a forma da equação 𝑇 = 𝐶𝐿𝑃, onde o coeficiente 𝐶 e o expoente 𝑃 
serão determinados experimentalmente a partir da linearização desta função. Para linearizá-la, aplique o logaritmo 
natural aos dois lados da equação 𝑇 = 𝐶𝐿𝑃. Qual nova variável deve ser colocada no eixo 𝑌 e qual nova variável 
deve ser colocada no eixo 𝑋 para que a expressão seja a de uma função linear nestas novas variáveis? 
 
Cálculos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: 𝑌 = 𝐿𝑛(𝑇) 𝑋 = 𝐿𝑛(𝐿) 
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7. Faça outro gráfico, agora com as novas variáveis encontradas no item 6. Se o gráfico apresentar comportamento 
linear, faça um ajuste de curvas e reproduza aqui os resultados encontrados, indicando: a forma da função 
encontrada, os valores dos coeficientes da equação linear com suas respectivas incertezas e o coeficiente de 
correlação. Registre corretamente os valores obtidos com atenção aos algarismos significativos da sua resposta. A 
tabela, o gráfico e a análise como foram encontrados no software também devem ser anexados a este relatório. 
 
Resposta: 
 
 
6 
 
 
 
 
8. Mediante seus resultados do item 7, e comparando com suas respostas para o item 6, pode-se determinar quais 
são o coeficiente 𝐶 e o expoente 𝑃 da função 𝑇 = 𝐶𝐿𝑃. Qual o resultado experimental, com as suas incertezas, 
para 𝐶 e 𝑃? Lembre que toda incerteza é representada pela diferencial da função, ou seja, você precisa determinar 
𝑑𝐶, e 𝑑𝑃 sabendo que 𝐶 e 𝑃 são funções dos coeficientes encontrados no ajuste linear da curva. Mostre seus 
cálculos para as incertezas. 
 
Cálculos: 
 
A= 0,4998008 +/- 0,0003 
 
B= 0,6986646 +/- 0,0004 
 
R= 0,9999 
 
 
 
 
Resposta: 𝐶 = 2,01 𝑃 = 0,5 
 
 
 
 
 
 
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9. Comparando o resultado teórico, 𝑇 = (2𝜋 √𝑔⁄ )𝐿1 2⁄ com o resultado experimental, 𝑇 = 𝐶𝐿𝑃, determine o valor da 
aceleração da gravidade terrestre em Poços de Caldas, com a sua respectiva incerteza. Observe que a aceleração 
da gravidade 𝑔 é um a função do coeficiente 𝐶. Para encontrar a incerteza de 𝑔 e o valor esperado de 𝑔 você deve 
encontrar esta função 𝑔(𝐶). 
 
Cálculos: 
 
 
 
Resposta: 𝑔 = 9,7716 𝑚/𝑠² 
 
 
10. Dois valores encontrados na experiência são importantes para a confiabilidade dos resultados da experiência. Um é 
o coeficiente de correlação, e o outro é o expoente encontrado para a função 𝑇(𝐿). O resultado encontrado para 𝑔 
é o esperado? Segundo seus resultados, comente sobre a confiabilidade para o valor encontrado da gravidade. 
 
Resposta: Tecnicamente o valor encontrado está muito próximo do valor da gravidade segundo sistema universal 
de medidas, entretanto podemos considerar que por conta de algumas aproximações nos valores e levando em 
conta a porcentagem de erro, o resultado era esperado. 
 
 
11.Se a massa for alterada, mantendo o comprimento do pêndulo, o que acontece com o período? Explique a sua 
resposta. 
 
Resposta: O período não será influenciado pois a conservação de energia não depende da massa. 
 
 
12. Como é ajustado um relógio de pêndulo? 
 
Resposta: O pêndulo oscila com um período que varia com a raiz quadrada do seu comprimento efetivo. Para as 
pequenas oscilações do período T , o tempo para um ciclo completo (dois balanços), é 
 
 
onde L é o comprimento do pêndulo e g é o local de aceleração da gravidade . Todos os relógios de pêndulo têm 
um meio de ajuste da taxa. Esta é geralmente uma porca de ajuste sob o pêndulo prumo que se move a prumo 
para cima ou para baixo na sua haste. Movendo o bob(Um bob é o peso na extremidade de um pêndulo 
encontrados mais comumente) se reduz o comprimento do pêndulo, reduzindo o período do pêndulo para que o 
relógio ganha tempo. Em alguns relógios de pêndulo, de ajuste fino é feito com um ajustamento auxiliar, que pode 
ser um pequeno peso que é movido para cima ou para baixo a haste pendular. Em alguns relógios master e relógios 
de torre, o ajustamento é conseguido por uma pequena bandeja montada na haste onde pequenos pesos são 
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colocados ou removidos para alterar o comprimento efetivo, assim que a taxa pode ser ajustada sem parar o 
relógio.