Gabarito EP Extra

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Rotac¸a˜o - Coˆnicas
1. Reduza por meio de uma rotac¸a˜o ou uma translac¸a˜o a equac¸a˜o
4xy − 3y2 = 36
a` sua forma canoˆnica. Determine os pricipais elementos desta coˆnica e fac¸a um esboc¸o da curva.
2. Sejam OX, OY um sistema de eixos ortogonais e OX, OY o sistema obtido por uma rotac¸a˜o positiva de
300 dos eixos OX e OY .
(a) Se a curva nas coordenadas x, y e´ dada por
(x− 1)2 + 4(y + 1)2 = 4,
determine os ve´tices, os focos e a reta focal da coˆnica nas coordenadas x, y.
(b) Fac¸a um esboc¸o da curva no sistema OX, OY .
(c) Mostre que a reta −x+√3y = 1 na˜o intercepta a coˆnica.
3. Efetuando uma rotac¸a˜o positiva de 45o nos eixos cartesianos, fac¸a um esboc¸o detalhado da figura de
equac¸a˜o xy + x+ y = −1
4. Por uma mudanc¸a de coordenadas passou-se do sistema OXY para O′X ′Y ′. O ponto (3, 1), em OXY ,
e´ a origem O′, e os pontos (5, 2) e (2, 3), em OXY , pertencem aos semi-eixos positivos O′X ′ e O′Y ′,
respectivamente. Quais sa˜o as coordenadas do ponto (6, 6) no sistema O′X ′Y ′?
Gabarito
1. Substituindo na equac¸a˜o dada x = xcosθ−ysenθ e y = xsenθ+ycosθ, obtemos a equac¸a˜o nas coordenadas
x, y:
(4cosθ senθ − 3sen2θ)x2 + (4cos2θ − 4sen2θ − 6senθ cosθ)xy + (−3cos2θ − 4senθ cosθ)y2 = 36.
Queremos que na nova equac¸a˜o na˜o aparec¸a o termo xy e enta˜o devemos ter o coeficiente de tal termo igual
a zero: 4cos2θ−4sen2θ−6senθ cos2θ = 0. Lembramos que cosθ 6= 0 e, por isso, podemos dividir a u´ltima
equac¸a˜o por cos2θ, obtendo 4−4tg2θ−6tgθ = 0. Resolvendo esta equac¸a˜o do segundo grau em func¸a˜o de
tgθ, obtemos tgθ =
6±
√
36−4(−4)(4)
−8 =
6±10
−8 . Como convencionamos tgθ > 0, segue que tgθ =
6−10
−8 =
1
2 .
Assim senθcosθ =
1
2 , isto e´, cosθ = 2senθ, que substituido na igualdade cos
2θ+ sen2θ = 1, fornece os valores:
senθ = 1√
5
e cosθ = 2√
5
. Essas u´ltima igualdades substitu´ıdas nas igualdades x = xcosθ − ysenθ e
y = xsenθ + ycosθ nos fornece
x =
2x√
5
− y√
5
e y =
x√
5
+
2y√
5
(∗)
Esses novos valores de x e y substituidos na equac¸a˜o 4xy − 3y2 = 36 nos fornece a equac¸a˜o da coˆnica no
sistema OX¯Y¯ :
x2 − 4y2 = 36.
Esta coˆnica e´ uma hiperbole de esboc¸o:
2
A reta focal e´ no sistema OX¯Y¯ e´ y = 0, ou ainda, e´ formada por pontos de coordenadas (x, y) =
(0, t), com t ∈ R. Essas coordenadas substitu´ıdas nas igualdades em (∗), nos fornece a parametrizac¸a˜o
{(x, y) = ( 2t√
5
, t√
5
); t ∈ R} para reta focal ou a equac¸a˜o cartesiana x − 2y = 0. Com um racioc´ınio
ana´logo obtemos as equac¸o˜es das ass´ıntotas: 4x − 3y = 0 e y = 0. Nos dois sistemas, o centro tem
coordenadas (0, 0). No sistema OX¯Y¯ os ve´rtices focais teˆm coordenadas (±6, 0), que substitu´ıdas em
(∗) nos fornece as coordenadas (−12
√
5
5 ,−6
√
5
5 ) e (
12
√
5
5 ,
6
√
5
5 ) em OXY . No sistema OX¯Y¯ , os focos teˆm
coordenadas (±3√5, 0) que substitu´ıdas em (∗) nos fornece as coordenadas (−6,−3) e (6, 3) em OXY .
2. (a) Primeiro consideramos a relac¸a˜o entre os dois sistemas:
x = cos (pi6 )x− sen (pi6 )y =
√
3x
2 − y2
y = sen (pi6 )x+ cos (
pi
6 )y =
x
2 +
√
3y
2
(∗)
Segue da equac¸a˜o dada no exerc´ıcio que temos uma elipse, onde a = 2, b = 1 e c =
√
3. Logo, no
Sistema OXY temos:
• C = (1,−1) como coordenadas do centro.
• F1 = (1 +
√
3,−1) e F2 = (1−
√
3,−1) como coordenadas dos focos.
• A1 = (3,−1) e A2 = (−1,−1) como coordenadas dos ve´rtices focais.
• V1 = (1, 0) e V2 = (1,−2) como coordenadas dos ve´rtices na˜o focais.
Agora, para obter as coordenadas de C no sistema OXY , substitu´ımos x = 1 e y = −1 no sistema
(∗) e obtemos C = (1+
√
3
2 ,
1−√3
2 ). Repitindo o mesmo racioc´ınio, obtemos as coordenadas dos focos
e ve´rtices no sistema OXY como:
• F1 = (4+
√
3
2 ,
1
2) e F2 = (
−2+√3
2 ,
1−2√3
2 ) .
• A1 = (1+3
√
3
2 ,
3−√3
2 ) e A2 = (
1−√3
2 ,
−1−√3
2 ).
• V1 = (
√
3
2 ,
1
2) e V2 = (
2+
√
3
2 ,
1−2√3
2 ).
Como na˜o foi exigido o tipo de equac¸a˜o, vamos calcular no sistema OXY as equac¸o˜es parame´tricas
da reta focal r. Sabemos que r passa por F1 e F2, por isso temos que o vetor
−→
F1F2= (−3,−
√
3).
Mas para facilitar as contas, podemos considerar como vetor paralelo a` reta r o vetor ~v = (3,
√
3) e
podemos escolher, por exemplo, o ponto F1 para obter as equac¸o˜es parame´tricas (lembrem-se que
esta reta coincide com o eixo OX:
r :
{
x = 4+
√
3
2 + 3t
y = 12 +
√
3t
com t ∈ R.
3
Mas com as te´cnicas ja´ conhecidas do material dida´tico, das equac¸o˜es parame´tricas podemos chegar
na seguinte equac¸a˜o cartesiana: r : −√3x+ 3y = −2√3.
(b)
(c) Multiplicando a equac¸a˜o da reta l : −x+√3y = 1 por √3, obstemos a equac¸a˜o l : −√3x+ 3y = √3.
Logo l e´ paralela a` reta r ( e portanto ao eixo OX) e a distaˆncia entre elas e´ |
√
3+2
√
3|√
12
= 32 , que e´
maior que a distaˆncia do centro da elipse ao ve´rtice V1 ( distaˆncia essa que vale b = 1). Logo l na˜o
vai interceptar a elipse!
3. Efetuando uma rotac¸a˜o de 45o nos eixos, obtemos um novo sistema O′X ′Y ′, tal que
x =
x′ − y′√
2
; y =
x′ + y′√
2
Substituindo essas duas igualdades na equac¸a˜o xy + x + y = −1, obtemos (x′ +√2)2 − y′2 = 0, isto e´,
temos duas retas concorrentes em O′X ′Y ′: r′2 : y′ = x′ +
√
2 e r′1 : y′ = −x′ −
√
2. No sistema O′X ′Y ′, a
reta r′2 passa pelos pontos (0,
√
2) e (−√2, 0) (que em OXY equivale os respectivos pontos A = (−1, 1) e
B = (−1,−1)), e a reta r′1 passa pelos pontos (0,−
√
2) e (−√2, 0) (que em OXY equivale os respectivos
pontos C = (1,−1) e B = (−1,−1))
4. Nomeando O′ = (3, 1), B = (5, 2) e C = (2, 3), veja no gra´fico como fica o sistema O′X ′Y ′:
4
Observe que para chegar no sistema O′X ′Y ′, o sistema OXY sofreu uma translac¸a˜o para o sistema O′X¯Y¯
(a origem deste sistema tem coordenadas (3,1) no sistema OXY ) e este u´ltimo sofreu uma rotac¸a˜o de
aˆngulo θ para chegar no sistema O′X ′Y ′.
Agora passemos as relac¸o˜es entre os sistemas:{
x¯ = x− 3
y¯ = y − 1 (∗) e
{
x′ = cos θ x¯+ sen θ y¯
y′ = −sen θ x¯+ cos θ y¯ (∗∗)
Ale´m disso, |DB| = 1, |O′D| = 2 e, aplicando o Teorema de Pita´goras no triaˆngulo retaˆngulo O′DB,
temos que |O′B| = √5. Assim, cos θ = 2√
5
, sen θ = 1√
5
e, consequentemente, o sistema (∗∗) pode ser
escrito como {
x′ = 2x¯√
5
+ y¯√
5
y′ = − x¯√
5
+ 2y¯√
5
(∗ ∗ ∗)
Agora, vamos ver quem sa˜o as coordenadas no sistema O′X ′Y ′ do ponto de coordenadas cartesianas
(6, 6). Primeiro substitu´ımos x = 6 = y no sistema (∗) e obtemos, no sistema O′X¯Y¯ , as coordenadas
deste ponto iguais a` (x¯, y¯) = (3, 5). Finalmente, substitu´ımos essas u´ltimas coordenadas no sistema (∗∗∗)
para obter as coordenadas desejadas: (x′, y′) = ( 11√
5
, 7√
5
).