MA23 exerciciosU8

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Sociedade Brasileira de Matemática
Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional
MA23 - Geometria Analítica
Unidade 8 - Equação Geral do Segundo Grau
Exercícios recomendados
1. Encontre os autovalores e autovetores das matrizes
(a) A =
(
1 −3
3 1
)
(b) B =
(
2 −4
2 −7
)
(c) C =
(
9 12
12 2
)
2. Mostre que a única maneira da matriz
M =
(
cos θ sin θ
− sin θ cos θ
)
ter autovalores (reais) é se ela for ±I. Você consegue interpretar isto geo-
metricamente?
3. O objetivo deste exercício é estudar a parábola de foco F (2, 2) e diretriz
L : x + y = 0 via uma rotação de eixos. Para tanto, considere um sistema
de coordenadas OX̄Ȳ rodando o sistema OXY de π
4
radianos na direção
positiva.
(a) Quais as coordenadas de F no sistema OX̄Ȳ ? Qual a equação de L?
(b) Qual é a equação da parábola no sistema OX̄Ȳ ?
(c) Usando o item anterior, determine a equação da parábola no sistema
OXY .
(d) Mostre que esta parábola é tangente aos eixos coordenados em (4, 0) e
(0, 4), e esboce o gráfico desta parábola.
4. Identifique e esboce as cônicas representadas pelas equações, determinando
seus principais elementos nos casos não degenerados:
1
(a) xy = 1.
(b) x2 − 4xy + 4y2 + x− 2y = 0.
(c) 16x2 − 24xy + 9y2 − 144x− 192y = 0.
(d) 5x2 + 6xy + 5y2 = 5.
5. Seja OXY um sistema de eixos ortogonais, e OX̄Ȳ obtido a partir de OXY
por uma rotação de ângulo θ. Suponha que a equação
Ax2 +Bxy + Cy2 +Dx+ Ey + F = 0
é equivalente (via mudança de coordenadas) a
Āx̄2 + B̄x̄ȳ + C̄ȳ2 + D̄x̄+ Ēȳ + F̄ = 0
Mostre que os traços e determinantes das matrizes associadas às formas
quadráticas contidas nestas equações são respectivamente iguais, isto é, mostre
que
A+ C = Ā+ C̄
B2 − 4AC = B̄2 − 4ĀC̄
2