5111 20110601 000640 5111 ep12 de calculoiii aluno 2011 1pdf

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Gabarito da EP12 de Ca´lculo III
Exerc´ıcio 1: Calcule os seguintes limites, se existir
(a) lim
(x,y)→(0,0)
(
x3y
x2 + y2
,
y4
x2 + 2y2
)
(b) lim
(x,y)→(0,0)
(
xy
x2 + y2
,
x3
x2 + y2
)
Exerc´ıcio 2: Determine os pontos de continuidade das seguintes func¸o˜es:
(a) f(x, y) =
(
x2 + y2 + 1
(x− 1)2 + (y − 1)2 − 4 ,
x2
x2 + y2
)
(b) f(x, y, z) =
(
x+ y
x+ y + z − 1 ,
x2
x2 + y2 + z2 + 1
, 2xyz
)
(c) f(x, y, z) =
(
ln(x2 + y2 + z2 + 1), x2 + y2 + z2,
√
2− (x2 + y2 + z2)
)
Exerc´ıcio 3: Seja f : R3 → R3 definida por f(x, y, z) = (ex+z, x2yz, x2 + y2 + z2).
Calcule a matriz jacobiana (ou derivada de f).
Exerc´ıcio 4: Seja f(ρ, ϕ, θ) = (ρsenϕcosθ, ρsenϕsenθ, ρcosϕ) onde 0 < ρ <∞,
0 < ϕ < pi e 0 < θ < 2pi.
(a) Calcule f ′(ρ, ϕ, θ)
(b) Determine d(1,pi
4
,pi
4
)f(ρ, ϕ, θ)
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