2014-1gabaap3

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Instituto de Física
UFRJ
Gabarito da AP3 de Física IA
15 de junho de 2014
1a Q
2a Q
3a Q
4a Q
Nota
*Alunos fazendo esta AP3 juntamente com a de outra disciplina bimestral de física no mesmo dia
devem indicar qual outra disciplina no início da folha de respostas e fazer apenas as questões 2 e 4.
Todas as respostas devem ser justificadas.
1. [3,0 pontos] Uma esfera bem pequena é abandonada a partir do repouso no interior de um tubo
vertical no qual existe um gás que oferece resistência ao seu movimento. A sua queda é filmada
e, escolhendo-se a origem do eixo vertical OY na posição inicial da esfera, encontra-se que a
função-movimento que melhor descreve os dados registrados no filme é dada por
y = A
(
β t+ e−β t − 1
)
;
onde A e β são constantes positivas e o eixo OY aponta para baixo.
(a) [0,6 ponto] Determine as unidades no SI em que se expressam as constantes A e β.
Estando no expoente, o termo βt deve ser adimensional. Sendo assim, a constante β de
ter unidade de [β] = s−1 = Hz. A constante A deve ter a mesma unidade de y. Portanto
[A] = m.
(b) [1,4 pontos] Determine a velocidade da esfera para t ≥ 0 e sua velocidade terminal (aquela
que a esfera atingiria no limite de um tempo infinito). Esboce o gráfico da velocidade versus
tempo indicando nele a velocidade terminal.
A velocidade é obtida derivando-se a função movimento:
vy = Aβ
(
1− e−βt
)
.
De acordo com a definição de velocidade terminal vt, temos
vt = lim
t→∞
vy = Aβ
.
tO
vy
Aβ
(c) [0,5 ponto] Qual a velocidade média da esfera entre os instantes t = 1s e t = 2s?
A velocidade média entre os instantes t1 e t2 é, por definição,
vm =
x(t2)− x(t1)
t2 − t1
=
(
2.Aβ + A.e−2β − A
)
−
(
Aβ + A.e−β − A
)
2− 1
1
vm = Aβ + A.e
−β
(
e−β − 1
)
(d) [0,5 ponto] Qual a aceleração média da esfera entre os instantes t = 0s e t = 1s?
A aceleração média é
am =
v(t2)− v(t1)
t2 − t1
=
(
Aβ − Aβe−β
)
− (Aβ − Aβe0)
1− 0
= Aβ(1− e−β)
2. (*) [2,5 pontos] Lucas e Felipe estão brincando em um quintal. Felipe está em cima de uma árvore,
localizado a uma altura de h = 4metros do solo. Em um certo instante, Lucas, que está deitado no
chão, a uma distância horizontal de d = 10 metros da árvore onde está Felipe, resolve atirar uma
pedra, com a ajuda de uma atiradeira, no amigo. Lucas faz a mira exatamente onde se encontra
Felipe, de maneira que o vetor velocidade inicial da pedra aponta na direção que une os dois. Ao
ver a intenção de seu amigo, para tentar escapar de levar a pedrada, Felipe se solta da árvore no
exato instante em que a pedra sai da atiradeira. Utilize que a pedra sai da atiradeira com velocidade
de módulo v0 = 20 m/s e que que a aceleração da gravidade é g = 10m/s
2. Despreze efeitos de
resistência do ar.
(a) [1,0 ponto]Qual o tempo que a pedra leva para atingir a posição da árvore?
A pedra é atirada com um ângulo θ com a direção horizontal e segue um movimento de
projétil. Escolhendo a origem dos eixos no ponto onde a pedra parte da atiradeira e o sistema
de eixos usual (OY vertical para cima e OX horizontal, a coordenada x obedece a seguinte
equação
x(t) = v0 cos(θ)t
No instante em que a pedra atinge a árvore, temos que x = d = 10m. Portanto
d = v0 cos(θ)tf ⇒ tf =
d
v0 cos(θ)
O ângulo θ pode ser encontrado com a informação de que o vetor velocidade inicial aponta
de Lucas para Felipe:
tan θ =
h
d
=
4
10
⇒ θ ≈ 22o
Portanto
tf ≈
10
20 cos 22o
≈ 0,54 s
(b) [0,5 ponto]A que altura do chão ela atinge a posição da árvore?
A coordenada y obedece a equação
y(t) = v0sen(θ)t−
gt2
2
Quando a pedra atinge a árvore a coordenada será
y(tf ) = v0sen(θ)
d
v0 cos(θ)
−
g
2
d2
v20 cos
2(θ)
= 4− 1,45 ≈ 2,55m
2
(c) [1,0 ponto]A pedra atinge Felipe? Justifique e interprete o resultado.
Felipe se movimenta no eixo OY . Ele descreve uma queda livre a partir do instante em que
a pedra é lançada, a partir de uma altura h. Sua posição (no sistema de eixos escolhido) é
yF (t) = h−
gt2
2
Portanto, no instante em que a pedra atinge a árvora, a posição de Felipe será
vF (tf ) = 4−
g
2
d2
v20 cos
2(θ)
≈ 2,55m
Portanto, a pedra atinge Felipe. A explicação para esse fato é que, tanto a pedra quanto
Felipe descrevem a mesma queda na coordenada Y de qualquer projétil. Portanto, o tanto
que a pedra “perde”em relação a altura h é a mesma quantidade que Felipe perde, no mesmo
tempo.
3. [2,0 pontos] Sobre a prática referente à Aula 20, responda os itens abaixo, justificando-os clara-
mente.
(a) [0,5 ponto] Na prática é preciso obter a aceleração do carrinho a partir do gráfico da veloci-
dade em função do tempo para o movimento do carrinho no plano inclinado. Um erro muito
comum dos alunos é calcular a aceleração a partir da subtração de 2 velocidades tiradas dire-
tamente da tabela de pontos obtidos, dividindo-a pelo intervalo de tempo. Explique o porquê
desse procedimento estar errado.
Quando fazemos várias medidas e as colocamos no gráfico, traçamos a reta que melhor se
ajusta a todos os pontos medidos. Sendo assim, o correto é calcular a aceleração a partir
de dois pontos da reta, o que nos dá uma medida muito mais confiável do que dois pontos
quaisquer.
(b) [0,5 ponto] Também é preciso construir um gráfico da velocidade do carrinho em função
do tempo. A partir desse gráfico é possível encontrar a aceleração do carrinho durante seu
movimento no plano inclinado. Um erro muito comum dos alunos é afirmar que a aceleração
do carrinho é a tangente do ângulo de inclinação da reta obtida no gráfico da velocidade em
função do tempo. Explique o porquê de ser errado fazer essa afirmação.
A tangente de um ângulo é uma quantidade adimensional enquanto a aceleração tem dimen-
são. Se mudamos a escala, por exemplo, mudamos o ângulo de inclinação da reta enquanto
a aceleração não pode mudar. O correto é dizer que a aceleração é o coeficiente angular da
reta velocidade versus tempo.
(c) [1,0 ponto] Um aluno quer calcular a aceleração do carrinho a partir do valor conhecido para
a aceleração da gravidade g = 9,78m/s2 e do ângulo medido que o trilho de ar faz com a
direção vertical θ = 80,5o ± 0,5o. Sabendo que a aceleração deve ser a = g cos θ, encontre o
valor da aceleração, apresentando-o com sua respectiva incerteza.
A aceleração será
a = g cos 80,5 = 1,614166...
A incerteza na aceleração será
δa =
∂a
∂θ
δθ = gsenθδθ ⇒ δa ≈ 0,0842,
Onde a incerteza em θ deve ser escrita em radianos. Portanto
a = (1,61± 0,08)m/s2
O resultado foi apresentado com 1 algarismo significativo. Poderia também, ser apresentado
com 2.
3
4. (*) [2,5 pontos] Um bloco de massa mB está pendurado e conectado, por meio de um fio ideal, a
um outro bloco de massamA através de uma polia, também ideal, conforme a figura abaixo. Sabe-
se que o coeficiente de atrito cinético entre o bloco de massamA e a superfície onde ele se encontra
é µc e observa-se que, após ser abandonado do repouso, o bloco de massa mB se movimenta para
baixo e o de massamA para a direita.
X
Y
mB
mA
~PB
~TB~PA
~N
~TA
~Fat
(a) [0,8 ponto] Faça um diagrama, indicando as forças que atuam sobre cada um dos blocos.
Atuam sobre o bloco mB apenas seu peso e a traçao ~TB exercida pela corda. Sobre o bloco
mA atuam seu peso, a normal, a tração ~TA exercida pelo fio e a força de atrito. As forças
estão indicadas na própria figura.
(b) [1,0 ponto] Utilizando o sistema de eixos indicado na própria figura, quais são os vetores
aceleração dos blocosmA emB?
Aplicando a Segunda Lei de Newton nos blocos
~PB + ~TB = mB~aB; ~PA + ~TA + ~N + ~Fat = mA~aA
Uma vez que o fio é ideal, sabemos que |~aB| = |~aA| = a e que |~TB| = |~TA| = T . Portanto,
escrevendo as componentes da Segunda Lei de Newton
−PA+N= 0⇒ N = mAg; T−mBg = −mBa; T−µcN = mAa⇒ mAa = −mBa+mBg−µcmAg
Portanto
a =
g(mB − µcmA)
mA +mB
; ~aA =
g(mB − µcmA)
mA +mB
uˆx; ~aB = −
g(mB − µcmA)
mA +mB
uˆy
(c) [0,7 ponto] Qual o maior valor que pode ter o coeficiente de atrito estático para que o sistema
entre em movimento?
A força de atrito estática deve ser |~Fat| ≤ µe| ~N | Quando o bloco está em equilíbrio, temos
que Fat = T = mBg. Portanto
µemaxmAg = mBg ⇒ µemax =
mB
mA
4