ex 19 pg52 boldrini

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Exercício 19, pág. 52 (Boldrini) - Prof. E.T.Galante.
Chamamos de sistema homogêneo de n equações e m incógnitas aquele sistema cujos
termos independentes - os bi - são todos nulos.
(a) Um sistema homogêneo admite (sempre) pelo menos uma solução. Qual é ela?
Resp: A solução x1 = 0, x2 = 0, . . ., xm = 0, conhecida como solução trivial. Isto
é, um sistema homogêneo nunca é impossível, pois ele sempre admite como solução
�zerar� todas as variáveis.
(b) Encontre os valores de k ∈ R, tais que o sistema homogêneo
2x− 5y + 2z = 0
x+ y + z = 0
2x+ kz = 0
tenha uma solução distinta da solução trivial (x = y = z = 0).
Resp:
Escalonamento:  2 −5 2 | 01 1 1 | 0
2 0 k | 0

L1 ←→ L2  1 1 1 | 02 −5 2 | 0
2 0 k | 0

(−2)L1 + L2 −→ L2
(−2)L1 + L3 −→ L3  1 1 1 | 00 −7 0 | 0
0 −2 k − 2 | 0

(−1/7)L2 −→ L2
2L2 + L3 −→ L3  1 1 1 | 00 1 0 | 0
0 0 k − 2 | 0

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Ainda não terminamos completamente o processo de escalonamento, mas já podemos
claramente ver que se k − 2 = 0, isto é, se k = 2, então a linha L3 será nula. Por
outro lado, se k 6= 2, a linha L3 será não-nula. Ou seja:
k = 2⇒ pc = pa = m⇒ infinitas soluções,
k 6= 2⇒ pc = pa < m⇒ solução única (trivial).
Portanto a resposta do exercício é k = 2.
Abraços. Elias.
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