Lista 4 Calculo 1

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1) Uma pedra lançada numa lagoa provoca uma série de ondulações concêntricas. 
Se o raio da onda exterior cresce uniformemente à taxa de , determine 
a taxa com que a área perturbada está crescendo: 
 
a) quando ; 
 
b) quando . 
 
2) Despeja-se areia sobre um monte no formato de um cone invertido à taxa 
constante de . As forças de atrito na areia são tais que a altura do 
monte é sempre igual ao raio de sua base. Com que velocidade a altura do 
monte aumenta quando ele tem de altura? 
 
3) Suponha que um tumor no corpo de uma pessoa tenha forma esférica. Se, 
quando o raio do tumor for , o raio estiver crescendo a uma taxa de 
 por dia, qual será a taxa de aumento do volume do tumor naquele 
instante? Qual será a taxa de crescimento da área da superfície externa do 
tumor nesse mesmo instante? 
 
4) Um funil cônico tem diâmetro de na parte superior e altura de . Se o 
funil é alimentado à taxa de e tem uma vazão de , determine 
quão rapidamente está subindo o nível da água quando esse nível é de . 
 
5) Um ponto se move ao longo da curva de tal forma que sua distância à 
origem aumenta à razão constante de unidades por segundo. Determinar 
 
 
 
em √ . 
 
6) Dois navios A e B partem de O ao mesmo tempo. O navio A navega rumo a leste 
a milhas por hora e o navio B navega em linha reta segundo um ângulo de 
 com o rumo de A e a milhas por hora. Com que velocidade se afastam um 
do outro ao cabo de duas horas? 
 
Instituto de Matemática - IM/UFRJ 
MAC118 – Cálculo Diferencial e Integral I 
Prof. Rodrigo Cardoso 
Lista 4 
 
7) Um carro indo em direção norte, a , e um caminhão indo em direção 
leste a , deixam um cruzamento ao mesmo tempo. Qual é a taxa de 
variação da distância entre eles horas depois? 
 
8) Um automóvel se aproxima de um cruzamento a uma velocidade de . 
Quando o automóvel está a metros do cruzamento, um caminhão a uma 
velocidade de atravessa o cruzamento. O automóvel e o caminhão estão 
em ruas que se cruzam em ângulo reto. Com que velocidade o automóvel e o 
caminhão estarão se afastando um do outro segundos após o caminhão ter 
passado pelo cruzamento? 
 
9) Uma jovem com de altura está correndo a uma velocidade de e 
passa debaixo de uma lâmpada em um poste, situada acima do solo. 
Encontrar a velocidade com que o comprimento da sombra da jovem aumenta. 
 
10) Um objeto de de altura que está sobre uma mesa se afasta de um ponto de 
luz também situado sobre a mesa, a uma altura de , com uma velocidade 
de . Qual é a velocidade da sombra da parte superior do objeto? 
 
11) Uma lâmpada está no solo a de um edifício. Um homem de de 
altura anda a partir da luz em direção ao edifício a . Ache a taxa de 
variação do comprimento de sua sombra quando: 
 
a) ele estiver a do edifício; 
 
b) ele estiver a do edifício. 
 
12) Uma pedra é jogada de uma altura de . Um foco de luz está localizado no 
mesmo nível, a da posição inicial da pedra. A altura da pedra após 
 segundos será de metros. Com que velocidade a sombra da 
pedra se moverá sobre o chão segundo após a pedra ser jogada. 
 
13) Um avião está voando com velocidade constante a uma altitude de sobre 
uma linha reta que irá passar diretamente acima de um observador no chão. 
Num dado instante, o observador nota que o ângulo de elevação do avião é de 
 e está aumentando a uma taxa de . Ache a velocidade do 
avião. 
 
14) Um menino mantém uma pipa empinada a uma altura de e o vento a 
afasta do menino, horizontalmente, à razão de . Com que velocidade deve 
o menino dar linha quando a pipa estivera dele? 
 
15) Um bote está sendo puxado para o cais por meio de uma corda com uma 
extremidade amarrada ao bote e a outra passando por uma polia simples 
localizada na beira do cais a acima do nível do bote. Se se puxa a corda a 
 , com que velocidade o bote se aproxima do cais no instante em que há 
ainda de corda para fora? 
 
16) De uma praia, um homem observa um farol gigante . A luz gira a cada 
minuto e o foco de luz percorre uma parede diretamente atrás do homem a uma 
velocidade de . A parede é perpendicular à reta que une o homem ao 
farol. Qual a distância do farol à parede? 
 
17) O topo de uma escada de está deslizando por uma parede. Quando a base 
da escada estiver situada a da parede, está deslizando com velocidade de 
 . 
 
a) Qual o ângulo entre a parede e a escada naquele instante? 
 
b) Com que velocidade o ângulo está crescendo naquele momento? 
 
18) Um tanque com a forma de um cone invertido está sendo esvaziado a uma taxa 
de . A altura do cone é de e o raio da base é de . Achar a 
velocidade com que o nível de água está abaixando, quando a água tiver 
profundidade de . 
 
19) Ao ser inflado um balão esférico, seu raio (em ) após minutos é dado por 
 √ 
 
 para o intervalo . Ache a taxa de variação em relação a 
 quando minutos: 
 
a) do raio ; 
 
b) do volume do balão; 
 
c) da área da superfície do balão. 
 
20) Dois lados paralelos de um retângulo aumentam a uma velocidade de , 
enquanto os outros dois lados diminuem, de tal modo que o retângulo resultante 
permanece com a sua área constante de . Qual é a velocidade do 
perímetro, quando o comprimento do lado que aumenta é de ? Quais são 
as dimensões do retângulo quando o perímetro para de diminuir? 
 
21) Estima-se que a receita anual de um jornal obtida com os anúncios seja 
 milhares de reais, quando a circulação é de milhares 
de exemplares. A circulação atual do jornal é de exemplares e está 
crescendo numa taxa de exemplares por ano. Qual é a taxa de crescimento 
anual da receita obtida com os anúncios? 
 
22) Um estudo do meio ambiente de uma comunidade suburbana conclui que a taxa 
média diária de monóxido de carbono no ar é de √ partes por 
milhão, quando a população é de milhares. Estima-se que daqui a anos a 
população será milhares. Qual será a taxa de variação, com 
relação ao tempo, da taxa de monóxido de carbono daqui a anos? 
 
23) Uma piscina tem metros de largura, metros de comprimento, metro de 
profundidade nas extremidades e metros no meio, de modo que fundo seja 
formado por dois planos inclinados. Despeja-se água na piscina a uma taxa de 
 . Seja a altura da água em relação à parte mais profunda. Com que 
velocidade estará variando no instante em que ? 
 
24) O ponto está fixo a uma roda de de raio, que rola, sem deslizar, 
sobre o eixo . O ângulo está variando a uma taxa constante de . 
Expresse as velocidades da abscissa e da ordenada de em função de . 
 
25) Uma mulher de de altura corre em direção a um muro à razão de . 
Diretamente atrás dela, a do muro está um refletor acima do nível do 
solo. Quão rapidamente o comprimento da sombra da mulher estará variando 
no muro quando ela estiver a meio caminho entre o refletor e o muro? A sombra 
estará aumentando ou diminuindo?