Gab 3ºEE 2012.1

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1ª Questão: (2,0 pontos) Determine, utilizando integrais duplas, o volume da pirâmide de faces iguais e 
eixo vertical com altura 1 e base horizontal quadrada com área 2. 
Sugestão: Subdivida o sólido em 4 partes semelhantes, sob cada uma das faces da pirâmide. 
 
 
Dividindo o sólido em 4 partes similares, como indicado acima, representamos cada uma das faces como 
um plano inclinado em ℝ�escolhendo um sistema de coordenadas conveniente como: 
 
Como a base é um quadrado de área 2, seus lados tem medida √2,	e portanto, no sistema de coordenadas 
acima, a face corta o eixo �� em (1,0,0) e o eixo �	 em (0,1,0), e, uma vez que a altura da pirâmide é 1, 
o eixo �
 em (0,0,1).Temos portanto que a função linear que tem como gráfico este plano inclinado é: 
 = �
�, 	� = �� + �	 + � 
1 = �
0,0� = �. 0 + �. 0 + �	 ⇒ � = 1, 
0 = �
1,0� = �. 1 + �. 0 + 1 ⇒ � = −1, 
0 = �
0,1� = −1.0 + �. 1 + 1 ⇒ � = −1, 
Este plano inclinado corta o plano �	 em 
 = −1� − 1	 + 1 = 0,	ou seja, 	 = −� + 1. Finalmente 
temos portanto que o volume da pirâmide será dado pela integral dupla: 
� = 4 �� � 
1 − � − 	�	�		�����
 
�
 
! = 4� �	 − �	 − 	"2 ! 
���
���
 
= 4� �
1 − �� − �
1 − �� − 
1 − ��"2 ! 	��
�
 
= 4� #12 − � −
�"
2 $
�
 
��
= 4 ��2 −
�"
2 −
��
6 ! 
�
= 46 =
2
3. 
 
3ª Questão: Determine, utilizando integrais triplas em coordenadas cilíndricas, o volume contidos pelas 
seguintes superfícies: 
a) (1,0 ponto) Esfera de raio 1; 
b) (1,0 ponto) Cone com eixo vertical de altura 1 e base horizontal de raio 1; 
c) (1,0 ponto) Cilindro com eixo vertical de altura 1 e faces horizontais de raio 1. 
a) A esfera unitária, convenientemente centrada na origem, é dada por: �" + 	" + 
" = 1,	e portanto 
 
varia entre as funções contínuas '1− �" − 	" e −'1 − �" − 	", ou, em coordenadas cilíndricas, 
√1 − (" e −√1− (" A região de integração é o interior de um círculo unitário, caracterizado em 
coordenadas polares como ( = 1. Portanto o volume da esfera, calculado por integral tripla em 
coordenadas cilíndricas é: 
� = � � � 		(	�
	�(	�)√��*
+
�√��*+
�
 
",
 
							[0,5	ponto] 
Logo � = 4 �)", 	 ∙ 		4 (62√1 − ("7	�(� , ou, tomando 8 = 1 − (", e portanto �8 = −2(	�(, ( = 0 ⇒
8 = 1,	e ( = 1	 ⇒ 8 = 0, temos que � = 29 :−4 √(	�( � ; = 29 <*
=/+
�/" ? 
� = @,� .							[0,5	ponto] 
b) Para obter o volume de um cone reto de raio e altura unitários, é mais simples colocar a origem no seu 
ápice e o eixo 
 orientado para baixo, caracterizando a superfície cônica simplesmente como 
 = ( e a 
base circular como 
 = 1, ( = 1. A projeção deste sólido no plano 
 = 0 é o interior do círculo ( = 1, 
portanto: 
� = � � � (	�
	�(	�)�
*
�
 
",
 
							[0,5	ponto] 
Logo � = 4 �)", 	 ∙ 		4 (
1 − (�	�(� 	= 	29 <*
+
" − *
=
� ? 
� = 29 <�"− ��? = ",A = ,� .							[0,5	ponto] 
c) A maneira mais simples de representar um cilindro reto de raio e altura unitários é tomar o eixo 
 como 
seu eixo de simetria e o círculo unitário em torno da origem no plano �	 como base; assim sua face 
superior é também um círculo unitário no plano 
 = 1,	 centrado em 
0,0,1�. Portanto: 
� = � � � (	�
	�(	�)�
 
�
 
",
 
							[0,5	ponto] 
Logo � = 4 �)", 	 ∙ 		4 (
1 − 0�	�(� 	= 	29 <*
+
" ? 
� = 9.							[0,5	ponto]