Mecânica e Reologia de Partículas Cerâmicas

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EET-507 INTRODUÇÃO AOS MATERIAIS CERÂMICOS
7. MECÂNICA E REOLOGIA DE PARTÍCULAS
	O comportamento mecânico de um sistema para processamento é muito dependente das características da partícula e da quantidade, distribuição e propriedades do líquido misturado e dos aditivos de processamento. A seleção e desempenho de maquinaria para processamento e as mudanças microestruturais efetuadas são também muito dependentes da estrutura e do comportamento de escoamento do sistema processado. Parâmetros usados para descrever o empacotamento (empilhamento) de sistemas partícula são discutidos na Seção 7.1 (ou no Capítulo 13 do livro do REED[1]). Nós vamos examinar o escoamento e o comportamento de deformação de pós coesivos e materiais cerâmicos plásticos usando princípios de mecânica dos sólidos na Seção 7.2 (ou no Capítulo 14 do livro do REED[1]). Princípios de reologia e o comportamento de escoamento de lamas e pastas são discutidas na Seção 7.3 (ou no Capítulo 15 do livro do REED[1]).
7.1 - CARACTERÍSTICAS DE EMPILHAMENTO (EMPACOTAMENTO) DE 
 PARTÍCULAS
	Sistemas de processamento com particulares distribuições de tamanhos e formas de partículas são produzidas por seleção e mistura de matérias primas com características iniciais diferentes e por subsequentes operações de britagem, moagem, dispersão, classificação e granulação. As características geométricas do sistema de partículas têm um significativo impacto sobre os arranjos de partículas e a densidade de empilhamento (empacotamento), tamanho e forma dos interstício de poro, resistência à permeação por um fluido, escoamento massivo e comportamento de deformação, comportamento de secagem e desenvolvimento de microestrutura durante a queima.
	Pós para cerâmicas eletrônicas e técnicas de fina granulação e alta densidade são usualmente submicrométricas ou mais finas do que uns poucos micrômetros e aproximadamente log-normal em distribuição de tamanho para evitar exagerado crescimento de grão na sinterização. Sistemas para louças brancas e alguns produtos técnicos sinterizados na presença de uma fase líquida contém partículas variando desde um tamanho máximo de 10 a 100 (m até um tamanho submicrométrico e têm uma distribuição que se empilha (empacota) de maneira relativamente densa. Formas refratário denso convencionais e concreto contém partículas que variam desde cerca de 1 cm até um tamanho submicrométrico e são formulados usando tamanhos discretos para obter uma alta densidade de empilhamento. Em isolamento refratário onde um alto volume de poros finos é requerido, pós floculados misturtados com fibras refratárias são comumente usados.
	Princípios de caracterização de partícula foram discutidos num Capítulo anterior. Nesta Seção nós vamos examinar modelos para o empilhamento (empacotamento) de partículas e resultados experimentais para sistemas tanto finos quanto grossos. O empilhamento (empacotamento) de partículas variando em tamanho e forma, tal como em muito sistemas cerâmicos, pode ser muito complexo; muitos diferentes arranjos são possíveis, e vários parâmetros devem ser definidos para considerar o empilhamento e porosidade. Nós vamos ver que modelos de trabalho comuns são baseados em partículas esféricas e servem melhor para aproximar a densidade média de empilhamento e tamanho médio de poro para sugerir mudanças nesses quando a distlribuição de tamanhos é mudada. Parâmetros de partícula e de ligante que dificultam o movimento e empilhamento (empacotamento) são também brevemente discutidos.
7.1.1 - CARACTERÍSTICAS DE EMPILHAMENTO DE ESFERAS UNIFORMES
	O empilhamento de esferas não porosas de tamanho uniforme é estudado em cursos de iniciação sobre estrutura de sólidos. Aqueles resultados provêem uma aproximação das características geométricas de partículas cerâmicas monotamanho empilhadas e provêem valores de referência e uma base para comparar resultados experimentais para sistemas de partícula real.
	Esferas uniformes podem empilhar em 5 diferentes arranjos ordenados, como mostrado na Figura 13.1. A fração e a porcentagem do volume global ocupado pelas esferas são referidas como fração de empilhamento (“PF”) e a densidade de empilhamento [“PF(%)”], respectivamente. Como visto na Tabela 13.1, a densidade de empilhamento variade 52% para empilhamento cúbico simples até 74% para empilhamento denso tetraédrico e piramidal e é independente do tamanho das esferas. A densidade de empilhamento de arranjos não ordenados de esferas uniformes maiores do que 1 mm tem sido determinado experimentalmente como sendo cerca de 60% sem vibrações e 64% com vibrações.*
*G.D. Scott e D.M. Kilgour, Br. J. Appl. Phys. Ser.2 2,863(1969).
Figura 13.1 - Arranjos de empilhamento ordenado de esferas uniformes.
Tabela 13.1 - Densidade de Empilhamento de Configurações Regulares de Esferas Uniformes
	A fração de poro intersticial (( ), ou porosidade intersticial (( (%)), indica a porção do volume global presente como interstícios entre as esferas não-porosas. O tamanho de poro é uma função tanto do tamanho das esferas quanto do arranjo de empilhamento. Num empilhamento tetraédrico, área de seção reta A dos interstícios varia a partir de 0,04a2 até 0,21a2 e para empilhamento cúbico simples A = 0,21a2, como indicado na Tabela 13.2. Para empilhamento denso, a área da seção reta dos interstícios é uma fração da área da seção reta de uma esfera, e a área decresce à medida em que o diâmetro das esferas diminui.
Tabela 13.2 - Tamanho de Poro em Empilhamentos Cúbico e Tetraédrico de Esferas Uniformes.
	A linha do centro de um poro contínuo através do empilhamento pode ser tortuoso e o comprimento da linha central em relação ao comprimento da aresta da célula unitária é a tortuosidade (To). Para um empilhamento cúbico, To = 1, e num empilhamento tetraédrico To = 1,3 ; deslocamento das partículas para um empilhamento menos denso reduziria a tortuosidade média.
	O número de partículas por unidade de volume (Np) num distema de esferas empilhadas de tamanho uniforme é
Np = 6(PF)/(a3			(13.1)
O número de contatos de partícula por unidade de volume (Nc) é o produto de Np e a metade do número de coordenação (C N), isto é 
Nc = {3(PF)(CN)}/(a3			(13.2)
Para arranjos de empilhamento regulares, Nc é muito dependente da geometria de empilhamento. 
	Para arranjos de empilhamento não regulares, o número de contatos é uma função do arranjo de grupos locais de esferas e da porosidade. Observa-se que o número de coordenação (CN) varia entre 6 e 10; uma aproximação empírica do número de coordenação médio é (C(N = (/(.** Para empilhamento aleatório, o número médio de coordenação (Nc é aproximado pela equação
(Nc = {3(1 - ()}/(a3			(13.3)
**W. O . Smith et al. , Phys. Ver., 34, 1272, (1929)
McGeary estudou experimentalmente o empilhamento de partículas esféricas monotamanho grossas (>37(m) usando vibrações axiais e observou empilhamento principalmente num arranjo ortorrômbico e uma densidade de empilhamento de 62,5%. Este arranjo pareceu ser estabilizado por leve espalhamento lateral e alojamento de esferas na direção de vibração. Impedimento da parece do recipiente foi insignificante quando a razão diâmetro do recipiente/diâmetro da partícula excedeu a10. 
	A densidade de empilhamento de partículas esféricas aproximadamente monotamanho de sílica e alumina de tamanho coloidal empilhadas por prensagem em filtro de uma lama defloculada é cerca de 60-65%. Domínios mais densamente empilhados nos quais as partículas são ordenadas são separados por regiões de contorno interdomínio contendo um arranjo menos ordenado e poros maiores.
7.1.2 - EMPILHAMENTO EM INTERSTÍCIOS ENTRE PARTÍCULAS MAIORES
	Partículas menores introduzidas e distribuídas nos interstícios de partículas maiores reduzirão a porosidade e o tamanho de poro. Partículas grandes adicionadas a partículas finas deslocam finos e porose reduzem a porosidade. Este modelo de empilhamento é chamado o modelo Furnas* e é mostrado na Figura 13.2.
* C. C. Furnas, U.S.Bur. Mines Rep. Investig. 2894 (1928).
Figura 13.2 -Variação teórica de volume de empilhamento para empilhamento de partículas menores entre as partículas maiores. As linhas retas correspondem ao empilhamento ideal quando a razão de tamanho é infinita e a linha cheia indica comportamento típico.
	Quando as partículas maiores num empilhamento estão em contato, a fração teórica de empacotamento máximo Pfmax para uma mistura de partículas grossas, médias e finas é
Pfmax = PFc + (1-PFc)PFm + (1-PFC)(1-PFm)PFf		(13.4)
onde PFc , PFm e PFF são os fatores de empacotamento de partículas grossas, médias e finas, respectivamente. A fração em peso fiw de cada tamanho em PFmax é 
fiw = Wi / Wtotal 				(13.5)
onde Wi é o peso de cada tamanho e Wtotal = (Wi . Para um sistema tricomponente o peso de partículas grossas (Wc), médias (Wm) e finas (Wf) é
Wc = PFcDc				(13.6)
Wm = (1-PFc)PFmDm			(13.7)
Wf = (1 - PFc)(1 - PFm)PFfDf		(13.8)
Para este modelo, a fração de volume de partículas requerida decresce com o tamanho de partícula. Na prática, a fração máxima de empacotamento é obtida quando a razão entre os tamanhos mais próximos é maior do que 7 e as partículas mais finas estão dispersas uniformemente. Partículas finas devem ser suficientemente pequenas para entrar em todas as regiões dos interstícios, como indicado na Figura 13.3. Seguindo este esquema de empacotamento, McGeary obtve experimentalmente uma densidade de empacotamento de 95% para um sistema quaternário de esferas de aço vibradas com os tamanhos indicados na Tabela 13.3.
Figura 13.3 - Empilhamento de esferas finas num interstício planar entre partículas grossas.
Tabela 13.3 - Densidade de empacotamento de Esferas Mistas de Diferentes Tamamhos
	A mistura detamanhos discretos para obter uma alta densidade de empacotamento é prática comum na formulação de refratários e concretos grossamente granulados que têm pouco variação dimensional na queima. Bateladas de refratário para “refratários pesados comuns” compostos de partículas de igual densidade contém aproximadamente 60-65% em peso de partículas grossas em princípio igualmente divididasentre 07-0,17 cm e 0,17-0,06cm e 35-40% de finos abaixo de 74 (m do qual cerca da metade são mais finos do que 44(m; a densidade de empacotamento obtida na vibração de partículas secas é de cerca de 65-70% (Figura 13.4) e ao se prensar essa comumente cresce 5-10%. A densidade de empacotamento aumenta à medida em que a razão de tamanho cresce. Um menor tamanho máximo é usado para alguns produtos refratários tais como mobília de forno, onde a resistência à flexão deve ser maior. Quando se usa partículas de diferente densidade, as proporções por peso para o máximo empacotamento são diferentes das proporções estabelecidas acima. A distribuição de tamanho de partícula de refratários fusíveis e de concreto é similar àquela para os refratários pesados. Cimento hidráulico compõe uma porção dos finos. O requisito de líquido para trabalho e resistência mecânica após cura depende diretamente da densidade de empilhamento de partícula.
Figura 13.4 - Porosidade total calculada e experimental para vibradas misturas bicomponentes de finos de alumina tabular (-200, +325 malhas) e três diferentes frações grossas. (Nota: partículas são porosas).
	No modelo de empacotamento descrito acima, supõe-se que partículas grossas estão em contato; este tipo de microestrutura é importante em refratários onde estabilidade dimensional sob uma carga compressiva é requerida. Outras composições de tamanhos grossos, médios e finos com partículas grossas dispersas podem produzir um máximo relativo em densidade de empacotamento; esses sistemas têm recebido relativamente pouca atenção.
7.1.3 - EMPACOTAMENTO DE DISTRIBUIÇÕES DE TAMANHO CONTÍNUAS
	Muitas cerâmicas são produzidas a partir de um material tendo uma contínua distribuição de tamanhos de partículas entre algum tamanho máximo e um tamanho mínimo finito. Pós calcinados e moídos para cerâmicas técnicas finamente granuladas são às vezes log-normais numa boa aproximação. Valores típicos do desvio padrão geométrico (g estão na faixa de 1,4 a 2,4. A calculada fração mínima de poro para um empilhamento randômico de uma distribuição log-normal de esferas aumenta à medida em que o desvio padrão geométrico de tamanhos cresce, mas para um aumento em (g de 1,4 para 2,4, a máxima densidade de empacotamento para partículas esféricas é calculada para aumentar a partir de 65% para 69%. A fração de máximo empacotamento de quatro aluminas moídas com uma distribuição log-normal de tamanhos, determinada por prensagem mecânica (defloculada) de bolo de filtro, está listada na Tabela 13.4. A fração de máximo empacotamento experimental é ligeiramente maior para os pós de maior desvio padrão geométrico, como previsto. Os valores de densidade de empacotamento são menores do que aqueles calculados para uma distribuição (log-normal (“LN”) de esferas porque as partículas maiores nas aluminas calcinadas grossas são agregados porosos com uma forma não esférica.
	Uma alumina calcinada mostrada na Figura 13.5 que não é log-normal em distribuição de tamanho tem uma maior fração de empacotamento máximo. A densidade de empacotamento depende significativamente da forma da distribuição de tamanho do mesmo modo que a faixa de tamanho de partícula. Em louças brancas cerâmicas, os minerais argila, quartzo e feldspato, cada qual tendo uma contínua distribuição de tamanho, são misturados em proporções que produzem uma distribuição contínua que se compacta mais densamente. A distribuição de tamanho da mistura é aproximada pela equação de Andreasen* para o empacotamento denso:
FM(a) = [ a / amax]n			(13.9)
e
fM(a) = (n/a) [ a / amax]n		(13.10)
onde amax é o tamanho máximo de partícula e l/n é oo módulo de distribuição.
* A . H. M. Andreasen e J. Anderson, Z. Kolloid 50, 217-228 (1930).
Figura 13.5 - Distribuição de tamanho de partícula e máxima densidade de empacotamento de várias aluminas calcinadas do processo Bayer.
	Neste modelo, a quantidade de um particular tamanho é uma fração constante da quantidade total mais fina do que aquele tamanho; isto é, a proporção de finos cresce à medida em que o tamanho de partícula decresce, como indicado na Figura 13.6. Andreasen reconheceu que para um particular amax , a porosidade das partículas empilhadas decresce à medida em que n decresceu; seus experimentos indicaram que uma faixa prática de n foi 0,33 a 0,50. Equação 13.9 com n igual a 0,33 e 0,50 e dados de tamanho para um corpo de porcelana elétrica que tinha uma densidade de empacotamento máximo de 75% são mostrados na Figura 13.7. Os dados experimentais para tamanhos maiores do que cerca de 1 (m caem dentro dos limites de Andreasen, mas em tamanhos menores a distribuição se torna encurvada.
Figura 13.6 - (a) Cumulativa e (b) distribuição de tamanho de partícula fracional log-normal, materiais de Andreasen e Gaudin Schuhmann tendo o mesmo tamanho máximo.
Figura 13.7 - Gráfico log -log da distribuição de tamanho de partícula de um corpo cerâmico de porcelana elétrica e distribuição de Andreasen tendo o mesmo tamanho máximo.
	Andreasen supôs que as menores partículas seria infinitesimalmente pequenas. Dinger e Funk* reconheceram que as partículas mais finas em materiais reais são de tamanhos finitos e rededuziram a equação de Andreasen usando um tamanho mínimo amin. A equação de Dinger e Funk para empacotamento denso é
FM(a) = [na - aminn] / [amaxn - aminn ]			(13.11)
*D.R. Dinger e J.E. Funk, Particle Packing: Review of Packing Theories, Fine Particle Society, 13th Annual Meeting, September 1982, Chicago.
	Na Figura 13.7, a curvatura dos dados de tamanho é da formaprevista pela Equação 13.11. Em geral, para distribuições de tamanho aproximadas pelas Equações 13.10 e 13.11, a densidade de empacotamento pode crescer como 1/n e a faixa de tamanhos cresce e a densidade de empacotamento pode exceder a 80%. A alumina calcinada na Figura 13.5 com uma densidade de 77% é grosseiramente aproximada pela Equação 13.11, mas com n > 0,5.
	Distribuições de tamanho fracionárias para a log-normal, as equações de Gaudin-Schuhmann e Andreasen (amax = 40 (m) são mostradas na Figura 13.6. Para a distribuição log-normal, a distribuição fracional tem um máximo relativo em contraste à distribuição de Andreasen, onde a proporção relativa de massa aumenta com o decréscimo do tamanho.
7.1.4 - EMPACOTAMENTO IMPEDIDO
	Em sistemas de partícula real, o movimento de partículas para dentro da configuação de mínima porosidade durante o processamento é impedido por fatores tanto externos quanto internos. O estabelecimento de pontes entre partículas e aglomerados com superfícies rugosas entre as paredes de “tooling” (usinagem com ferramenta?) é bastante significativo quando o espaçamento entre as superfícies externas é menor do que 10 diâmetros de partícula. Isto é especialmente um problema quando as superfícies de partículas e agregados são ásperas (Figura 3.2) e quando a fricção na interface entre as partículas e a “tooling”(usinagem com ferramenta?). Vibração mecânica pode momentaneamente reduzir as forças de estabelecimento de ponte e facilitar o rolamento e o deslizamento de partículas secas para dar uma configuração mais densa (Figura 13.8). Lubrificação de todas as superfícies pode ajudar na obtenção de uma maior densidade de empacotamento. Entretanto, forças mecânicas que causam fratura de algumas partículas pode ser requerida para se aproximar da configuração de mínima porosidade. A densidade de empacotamento vibrado de partículas angulares grossas de tamanho uniforme é 50-60%, em contraste com 65% de densidade para esferas lisas.
Figura 3.2 - Micrografias eletrônicas de varredura de (a) quartzo britado de 140 malhas e (b) caulim calcinado mostrando superfícies rugosas.
Figura 13.8 - Dependência da densidade de empacotamento de diferentes frações de tamanho de alumina em relação ao número de ciclos de vibração de baixa frequência.
	Coagulação, floculação e forças de adesão, que retarda o movimento de partícula, pode também impedir o empacotamento (Figura 13.9). Arranjos aleatórios de partículas anisométricas tipicamente tem uma maior porosidade e uma maior faixa de tamanhos de poros do que para um arranjo ordenado, como mostrado na Figura 13.10. Uma maior porosidade é geralmente observada quando a razão de aspecto das partículas é maior e quando um maior conteúdo de fibras é adicionado num pó contendo partículas isométricas (Figura 1.2).
Figura 1.2 - Microestruturas comparativas em (a) um alumina convencional de 98% de densidade; (b) uma alumina oticamente transparente excedendo a 99,9% de densidade.
Figura 13.9 - Dependência de fração de poros de um corpo de alumina formado por filtragem sob pressão de lamas de alumina sobre defloculaçãousando poliacrilato de amônio.
Figura 13.10 -Estruturas de poro em arranjos aleatórios e ordenados de partículas anisométricas.
Figura 13.11 - Moléculas de ligantes volumosas reduzem a densidade de empacotamento a baixa tensões efetivas.
	Moléculas de ligante adsorvidase partículas coloidais podem impedir o movimento de partícula e reduzir a densidade de empacotamento de uns poucos porcentos quando o impedimento não é superado por tensão aplicada (Figura 13.11). O impedimento estereográfico aumenta à medida em que a massa molecular do ligante cresce e quando as moléculas fazem ponte entre as partículas. Finos misturados com um ligante pegajoso podem recobrir partículas maiores em vez entrar nos interstícios. A densidade de empacotamento num aglomerado não-disperso pode ser maior do que num aglomerado de partículas dispersas com um filme de ligante e um líquido; estas desomogeneidades de empacotamento tendem a ser mais pronunciadas quando as partículas são de tamanho coloidal e quando as concentrações de ligante são maiores.
SUMÁRIO
A distribuição de tamanhos de partículanum sistema de processamento tem um significativo efeito sobre o empacotamento de partículas e estrutura de poro e o comportamento durante a conformação, secagem e queima. Modelos para o empacotamento de partículas monotamanho indicam que a densidade de empacotamento cresce à medida em que o número de coordenação aumenta e que o tamanho médio de poro decresce à medida em que o tamanho de partícula e a porosidade decrescem. A densidade de empacotamento de cerca de 62% para um sistema monotamanho pode ser aumentada acima de 75% pela adição de uma proporção específica de um tamanho mais fino que se empacote eficientemente no interstício entre a grossa; este tipo de composição de tamanho é usado para fabricar sistemas relativamente densos e grosseiramente granulados. Distribuições de tamanho de partícula contínuas do tipo log-normal usado para cerâmica tem um máxima densidade de empacotamento de cerca de 65%; uma distribuição contínua do tipo Andreasen contendo uma maior quantidade de partículas mais finas pode empacotar-se até uma densidade que excede 80%. A densidade de empacotamento deuma distribuição contínuade tamanhos varia com a forma e a largura da distribuição.
	Superfícies rugosas e moléculas adsorvidas que previnem movimento de partícula reduzem a densidade de empacotamento. No empacotamento de partículas tipo placa e fibrosas, a densidade de empacotamento e a estrutura de poro é muito dependente da orientação da partícula e dos seus arranjos. Aglomeração e a adição de partículas fibrosas num sistema de partículas isométricas tende a produzir porosidade desomogenea e uma maior porosidade.
7.2 - CONSISTÊNCIA, MECÂNICA DA PARTÍCULA E COMPORTAMENTO 
 DE DEFORMAÇÃO
	A consistência de um sistema cerâmico é comumente descrita usando um termo tal como “pó volumoso” (“bulky powder”), um pó aglomerado, um material granular, corpo plástico coesivo, pasta pegajosa espessa (“thick sticky paste”), suspensão vazável (“pourable suspension”), etc.. Estas descrições indicam algo sobre os tamanhos de partícula nominais, o conteúdo aparente de líquido e o comportamento mecânico geral. Numa microescala, a consistência de um particular material é uma função da quantidade, distribuição e propriedades da fase líquida; a faixa de tamanho e o empacotamento de partículas; e as forças de atração e repulsão interparticular. Uma pequena mudança num ou mais desses parâmetros (devida ao efeito dos aditivos de processamento ou agitação mecânica) pode às vezes mudar a consistência de maneira bastante significativa.
	Aglomerados podem formar-se espontaneamente num pó cerâmico devido à atração interparticular causada por forças de Van der Waals, eletrostática ou magnética. O efeito capilar de um líquido molhante na região de contato de partícula e aditivos floculantes adsorvidos produz resistência coesiva. Corpos cerâmicos contendo uma fase porosa incompletamente saturada com um líquido podem comprimir-se quando deformados. Dilatação de volume pode preceder à deformação dos corpos estreitamente compactados contendo partículas grandes. Para esses materiais a resistência à deformação é dependente da resistência coesiva e da resistência friccional entre partículas que depende da tensão interparticular.
	Nesta Seção (ou no Capítulo 14 do livro do REED[1]), nós vamos considerar o efeito geral de um líquido de baixa viscosidade sobre a consistência aparente. O tópico muito complexo da deformação e comportamento de escoamento de sistemas não-saturados e então examinado usando princípios do campo da mecânica dos solos para prover inferências teóricas.
7.2.1 - MUDANÇA NA CONSISTÊNCIA AO SE MISTURAR UM LÍQUIDO
	Quando um líquido molhante de baixaviscosidade é espalhado dentro de um pó e o torque requerido para agitação é medido, o comportamento é da forma geral mostrada na Figura 14.1. Partículas com superfícies molhadas inicialmente se aglomeram em forma de aglomerados mais densamente compactados. Pó seco contendo aglomerados dispersos é facilmente agitado.Adicional atomização e agitação produz aglomerados adicionais no pó seco e a resistência aparente ao escoamento remanesce baixa. Mas, eventualmente, num ponto onde muito pouco pó seco remanesce, uma pequena quantidade de líquido causa aglomeração total dando uma massa coesiva bastante não pegajosa.
Figura 14.1 - Mudança na resistência cizalhante aparente ao se misturar um líquido molhante num pó.
	A formação de uma massa coesiva causa um aumento muito acentuado na resistência ao cizalhamento. A massa coesiva pode ser bastante plástica se o sistema for floculante e contiver uma significativa fraçãode partículas de tamanho coloidal. Um material granular pode ser pobremente coesivo a menos que considerável ligante tenha sido adicionado. O estado coesivo pode estender-se ao longo de uma faixa de teor de líquido para o quala fração de volume de poro preenchido com líquido, o grau de saturação de poro (“DPS”) é cerca de 0,9 a 1,0. Um estado plastico pode estender-se ao longo de umafaixa de 10 vol% de teor de líquido quando o líquido adicional causa partículas floculadas a se rearranjarem numa configuração menos estreitamente empacotada.
	Mistura adicional de líquido a um corpo plástico eventualmente produz um corpo pegajoso com somente moderada resistência ao cizalhamento, que é chamado pasta. A rigidez da pasta é muito dependente do empacotamento de partícula, do teor de colóides, do teor de líquido e das forças de coagulação/floculação e pode variar com o tempo. Quando a estrutura coagulada/floculada se tornar descontínua, ao se adicionar um defloculante ou um líquido adicional, e o material não puder suportar seu próprio peso, o sistema é chamado suspensão. Uma suspensão concentrada que é relativamente estável ao longo do tempo (isto é, a sedimentação é impedida e as propriedades do fluido são retidas após ficar em pé durante um tempo considerável) é chamada lama. O termo deslizamento(escorregamento, ou “slip”) é tradicionalmente usado para uma lama contendo minerais de argila.
	Características nominais de microescala dos corpos descritos acima estão listadas na Tabela 14.1. Características de microescala podem variar num material não uniforme e numa pasta ou lama que não é uniformemente coagulada/floculada.
Tabela 14.1 - Características Nominais de Sistemas Cerâmicos
	Sistemas contendo um líquido de alta viscosidade são menos familiares. Termos tais como “borrachudo”(“rubbery”), plástico, viscoso ou “asfáltico” implica algo sobre a consistência numa aplicação particular mas são falhos num contexto geral. O comportamento aparente de materiais contendo um líquido muito viscoso é relativamente mais dependente da taxa de deformação e da temperatura.
7.2.2 - CONCEITO DE TENSÃO EFETIVA
	Quando um sistema de partícula não saturado é comprimido, a pressão imposta é suportada pelas tensão mecânica nos contatos das partículas e pela pressão do fluído do poro. A diferença entre a pressão aplicada Pa e a pressão do fluido u é chamada a tensão efetiva (( , isto é
(( = Pa - u				(14.1)
A tensão efetiva é às vezes chamda tensão interpartícular mas não deveriaser confundida com a tensão local (c em contatos entre as partículas. Em geral, a tensão de contato é uma função da tensão efetiva, da pressão de poro e da pressão líquida devida a interações elétricas repulsivas e atrativas (R - A), 
(c = [(( - (R - A)]{AT / Ac} + u			(14.2)
onde Ac é a área média dos contatos interparticulares na seção reta de área AT. 
	Num sistema não saturado, a deformação elástica, a deformação permanente e a resistência ao escoamento do corpo são dependentes da tensão efetiva. A tensão efetiva pode variar com o tempo ou temperatura quando a pressão do poro varia com o tempo ou a temperatura.
7.2.3 - INTERAÇÕES PARTICULARES
	Considere a compressão uniaxial de um sistema de partículas confinadas numa matriz rígida, como mostrado na Figura 14.2. As forças em contatos entre partículas podem ser resolvidas nas componentes normal (N) e tangencial (T). Partículas sob carga são desuniformemente comprimidas e partículas que são fibras ou plaquetas podem flambar-se. A translação e rotação de partículas para assumir configurações diferentes podem decrescer ou às vezes aumentar o volume aparente e distorcer a forma. Uma tensão muito intensa num contato de partícula pode causar deformação plástica local e fratura.
Figura 14.2 - Carregamento produz forças normais e cizalhantes em contatos entre partículas.
	Surfactantes adsorvidos e fluidos de poro podem também afetar a compactação e o escoamento de sistemas de partículas. Deslizamento (escorregamento) de partículas é melhorado por uma fase interpartícula que reduz o coeficiente de fricção. A tensão efetiva é menor quando a fase poro está saturada com um fluido relativamente incompressível e se torna pressurizada, como indicada na Figura 14.3. O escoamento de surfactantes viscosos e fluidos de poro é dependente do tempo. Resistência ao escoamento pode depender da taxa de carregamento quando a tensão efetiva ((( ) varia com o tempo durante o período de deformação. 
Figura 14.3 - Variação de tensões e porosidade no carregamento de um sistema de partícula compressível e parcialmente saturado. (Fonte: T.W. Lambe e R.V. Whitman, Soil Mechanics, Wiley -Interscience, New York, 1969).
	A tensão média de contato interparticular ((c) varia com a forma e a orientação das partículas. Para plaquetas orientadas, a razão da área de contato { Ac / AT } é cerca de 1 e (c é aproximadamente igual a (( . Mas como mostrado na Figura 14.4, {Ac / AT} pode ser muito menor do que 1 num empacotamento de partículas esféricas ou angulares e (c pode ser muito maior do que (( .
Figura 14.4 - Área de contato entre partículas tipo placa orientadas é maior do que entre partículas angulares.
7.2.4 - FRICÇÃO INTERPARTICULAR
	O deslizamento interparticular é resistido pela adesão química e resistência física produzida por microscópicos degraus e asperezas nas superfícies das partículas (Figura 3.2). A lei clássica de estados “Amonton”de que a força resistiva (TR) é proporcional à força normal (N) e independente da área de contato;
TR = fN					(14.3)
onde f é o coeficiente de fricção. Alternativamente, o conceito de um ângulo de fricção ( é usado onde 
tg ( = (TR / N) = f				(14.4)
Figura 3.2 - Micrografias eletrônicas de varredura de (a) quartzo britado de 140 malhas e (b) caulim calcinado mostrando superfícies rugosas.
Deslizamento pode ocorrer quando T>Tg (Figura 14.5). Para uma partícula em contato com várias partículas, deslizamento pode não ocorrer até que T>TR em cada contato ou até que translação ou rolamento reduza a força cizalhante num contato crítico. Escoamento global de pó envolve o movimento coesivode várias partículas.
Figura 14.5 - Força cizalhante T e resistência à fricção TR num contato entre partículas.
	A rugosidade superficial das partículas pode ser estimada a partir das micrografias eletrônicas de varredura para partículas grossas usando um perfilômetro. Na técnicad e perfilômetro, um “estilo” (estilete) conectado a um transdutor eletromecânico é arrastado ao longo da superfície e e a rugosidade média da linha central (“CLA”) é calculada a partir da amplitude média das flutuações do sinal elétrico amplificado. As superfícies de muitas partículas são grosseiras numa escala microscópica e o contato ocorre em pontos altos chamados asperezas (“asperitas” ou “asperites”, Figura 14.6). A tensão de contato nessas asperezas é muito maior do que a tensãoefetiva, mesmo para pequenas cargas. Asperezas de alguns materiais bastante frágeis e de materiais dúteis tais como metais, haletos alcalinos e polímeros podem deformar-se sob carga. A área aparente de contato Ac é 
Ac = N / (y					(14.5)
onde (y é o limite de escoamento do material deformado para o imposto estado de tensão. A alta tensão de contato pode causar ligação química entre duas superfícies muito limpas mas menor adesão entre superfícies não limpas. Se (c é a resistência ao cizalhamento docontato, então
TR = (c Ac = (c N / (y			(14.6)
e
f = (c / (y				(14.7)
Para um contato entre um material duro e outro mole, fricção é dominada pelas propriedades mecânicas do material mais mole.
Figura 14.6 - Contatos entre partículas grandes e pequenas.
	A força cizalhante estática no início do deslizamento é algo maior do que a força cizalhante requerida para manter o deslizamento. Esta diferença pode ser devida à dependência em relação ao tempo da ligação em regiões de contato e o escoamento viscoso de contaminantes de superfície a partir da região de contato. Fricção de rolamento é muito inferior do que a fricção cinética de deslizamento. Durante o rolamento, a ligação nos contatos é quebrada em tração em vez de cizalhamento. Fricção de rolamento é geralmente bastante independente da contaminação superficial. Fricção de deslizamento pode às vezes ser reduzida por intensa vibração mecânica.
	Minerais silicatos em camadas e sólidos amorfos primitivos (pristinos, antigos, “pristine”) têm superfícies relativamente lisas com irregularidades superficiais mais finas do que cerca de 100 nm. Minerais britados têm superfícies com características em degraus mais grossos do que uns poucos micrômetros e agregados têm superfícies muito rugosas com irregularidades que se aproximam do tamanho do cristalito. Equação 14.7 prevê que fricção é independente da rugosidade superficial. Entretanto, num contato entre materiais frágeis, o ângulo aparente de fricção é dependente da rugosidade superficial e da entremeação (intercalação) das asperezas.
	Um material adsorvido pode reduzir o coeficiente de fricção bastante significativamente se ele estiver tenazmente ligado e resistir à extrusão sob a alta tensão de contato. Tem sido mostrado que o coeficiente de fricção de superfícies altamente polidas e quimicamente limpas mas úmidas de quartzo e feldspato é reduzido a partir de cerca de 0,5 a 0,7 (26o e 35o) até cerca de 0,1 a 0,2 (6o a 12o) para superfícies secas com um filme residual de óleo. Mas para superfícies com uma rugosidade “CLA” de cerca de 2 (m, o coeficiente de fricção foi de cerca de 0,5 e não dependeu da limpeza da superfície.
*T. William Lambe e Robert V. Whitman, Soil Mechanics, Wiley-Interscience, New York, 1969.
	A tensão de contato entre minerais em folhas lisas e orientadas é muito menor do que entre partículas angulares. Contaminantes adsorvidos na superfície e água não são completamente extrusados a partir da interface numa pressão aplicada inferior a 500 M Pa . Observa-se que o coeficiente de fricção é de cerca de 0,3-0,4 (17-22o) para mica seca mas apenas 0,15-0,2 (8,5-11,5o) para mica molhada, porque a água age como um lubrificante.
	Resultados para sistemas de argila sugerem que o comportamento de fricção de orientadas plaquetas de caulinita lisas e de argilas contendo um significativo teor de montimorilonita e ilita é similar àquele da mica orientada. O comportamento de argilas com superfícies rugosas (degraus de clivagem) ou contato de aresta-face é provavelmente mais semelhante àquele de partículas angulares.
7.2.5 - LUBRIFICAÇÃO
	Lubrificação é produzida por um fluido interfacial ou uma camada limite adsorvida ou baixa fricção (Figura 14.7). Em lubrificação de fluido (às vezes chamada lubrificação hidrodinâmica), o filme lubrificante interfacial é mais espesso do que irregularidades na superfície da partícula e a fricção depende da viscosidade do meio fluido. Lubrificação fluida é produzida por líquidos tais como água, óleo, emulsões aquosas, uma suspensão coloidal,ou uma solução ligante. Parâmetros que afetam a fabricação de fluido estão indicados na Figura 14.8. Quando deslocamento é lento e a carga é alta, o fluido escapa e ocorre uma transição para a lubrificação de contorno. O coeficiente de fricção cresce porque um fluido de baixa viscosidade não é efetivo lubrificante de contorno.
Figura 14.7 - Orientação molecular de um lubrificante de contorno e uma lubrificação fluida. 
Figura 14.8 - Variação do coeficiente aparente de fricção durante carregamento cinético.
	Composto polar adsorvido orientado do tipo descrito na Seção 6.5 (ou no Capítulo 12 do livro do REED[1]) são mais eficientes lubrificantes de contorno. Um lubrificante adsorvido reduz o contato entre superfícies, que reduz a fricção e o desgaste. Lubrificantes de contorno devem estar tenazmente adsorvidos mas de baixa resistência ao cizalhamento na faixa de temperatura de interesse. Evidência indica que perto do ponto de fusão do lubrificante, as moléculas longas pode ficar desorientadas, causando um aumento da fricção.
	Sólidos finamente divididos com uma estrutura molecular laminar podem também atuar como lubrificantes entre partículas abrasivas. Sua estrutura tipo placa provê superfícies lisas orientadas e baixos coeficientes de fricção. Eles podem ser misturados a seco ou em forma de suspensão. Exemplos são talco, grafita e nitreto de boro grafítico. Vapor de água adsorvido ou outros gases adsorvidos podem afetar sua lubricidade. Lubrificantes sólidos resistem à quebra sob alta tensão compressiva e são bons lubrificantes sob altas pressões e altas temperaturas.
7.2.6 - TENSÕES MÉDIAS NUMA MASSA DE PÓ
	Sistemas cerâmicos são usualmente considerados como sendo macroscopicamente homogêneos e isotrópicos para propósitos de descrição de sua deformação e escoamento. Se a tensão varia pouco ao longo da dimensão da maior partícula no sistema, a tensão média em alguma posição é visualizada como a soma das forças entre as partículas por unidade de área do sistema naquela posição.
	A análise de tensão e deformação plana é discutida em textos de graduação sobre mecânica de materiais. Quando as magnitudes e direções de tensões normais (x e (y num elemento são conhecidas, como indicado na Figura 14.9, as tensões normal (( e (( num plano cuja normal está num ângulo ( são calculadas a partir das equações
(( = [(x + (y]/2 + {[(x - (y]/2}cos 2( + (xy sem 2(		(14.8)
e
(( = - {[(x - (y]/2}sem 2( + (xy cos 2(			(14.9)
Figura 14.9 - Elemento de tensão e um estado geral de tensão usado para deduzir a equação para o círculo de Mohr de tensão.
	A tensão média num ponto é uma função da orientação do plano usado para definir a tensão. Em qualquer ponto, existem 3 planos ortogonais chamados planos principais de tensão no qual ocorrem as tensões normais máxima e mínima e para os quais a tensão cizalhante é igual a zero, como mostrado na Figura 14.9. A máxima tensão normal é denominada a maior tensão principal ((1 ) e a mínima tensão normal a menor tensão principal ((3 ). A quantidade ((1 - (3 ) é chamada a tensão afastamento (“deviator stress”).
	Elevando ao quadrado e combinando as equações 14.8 e 14.9 tem-se
((( - a)2 + ((2 = b2				(14.10)
onde
a = ((1 + (3)/2 e b = ((1 - (3)/2
A equação 14.10 é a equação familiar de um círculo de raio b centrado no ponto ( + a, 0 ) como mostrado na Figura 14.9 e é conhecido o círculo de Mohr da tensão. Um plano com uma normal orientada num ângulo ( está indicado por um ponto no círculo de Mohr.
	A tensão cizalhante máxima (max é igual a ((1 - (3)/2 e ocorre nos planos com ( = ( 45o a partir da direção dos planos de tensão normal principal. Uma tensão normal igual a ((1 + (3)/2 age sobre cada plano de máxima tensão normal.
	Quando um material é carregado, os estados sucessivosde tensão podem ser representados por uma série de círculos de Mohr, como indicado na Figura 14.10. Uma alternativa mais simples é graficar a tensão cizalhante máxima e a tensão principal média para cada carregamentocomo os pontos de tensão q = ((1 - (3)/2 e p = ((1 + (3)/2, respectivamente. A curva que conecta os pontos no diagrama q-p é chamada passo da tensão produzinda durante carregamento.
Figura 14.10 - Diagramas de passo de tensão
7.2.7 - RESISTÊNCIA AO CIZALHAMENTO DE MATERIAIS GRANULADOS 
 E PÓS
	A resistência ao cizalhamento de sistemas particulados não saturados pode ser medida usando o teste de compactação triaxial e testes de cizalhamento direto como mostrado na Figura 14.11. No teste de compactação triaxial, um amostra alongada contida numa membrana impermeável flexível é primeiro submetida a uma pressão de fluido confinante; pressão axial é aplicada mecanicamente à pressão constante do fluído para produzir tensões cizalhantes e deformação. Uma caixa de molde bipartida é usada no teste de cizalhamento direto. Pressão vertical é aplicada usando um pistão. O deslocamento da parte móvel da caixa de cizalhamento produz cizalhamento no material comprimido.
Figura 14.11 - Diagrama de carregamento e de passo de tensão para testes triaxial e de carregamento cizalhante direto.
	A resistência ao cizalhamento de materiais granulares e de pós aproximadamente secos é dependente da densidade de empacotamento e da forma e características de superfície das partículas. Pressões de poro são geralmente insignificantes exceto quando o material é muito compressível e a taxa de compactação é extremamente rápida. Cizalhamento diferencial entre plano de partículas requer ou a dilatação de volume ou a fratura de partículas quando as partículas são empacotadas apertadamente, por causa da interprisão de partículas aninhadas. Em arranjos de empacotamento frouxo, rolamento e escorregamento pode permitir escoamento cizalhante sem nenhum aumento em volume. Estudos do escoamento de areia indicam que areias que se empacotam mais densamente exibem uma maior dilação de volume e uma maior resistência ao cizalhamento durante o escoamento (Figura 14.12).* Vibrações superpostas podem momentaneamente reduzir a tensão de contato entre algumas partículas e ajudar o deslizamento (escorregamento) de partículas.
*T. William Lambe e Robert V. Whitman, Soil Mechanics, Wiley-Interscience,New York, 1969.
Figura 14.12 - Dependência geral de tensão de cizalhamento e do volume da amostra em relação à deformação triaxial durante compactação triaxial.
	A resistência mecânica de um material granular para uma situação particular de carregamento pode ser definida em pequenas deformações pela tensão cizalhante máxima, como indicado pelo ponto P na Figura 14.12 e após considerável deformação pela resistê cia máxima ao cizalhamento (u. As tensões principais na falha (1f e (3f podem ser usadas para construir o círculo de Mohr. As tensões principais são similarmente determinadas para outros estados de tensão de confinamento e uma série de círculos de Mohr são graficados num único gráfico como mostrado na Figura 14.13. A linha tangente ao círculo de Mohr é chamada invólucro de falha de Mohr. O significado do invólucro de falha é que apenas estados de tensões residentes externamente ao invólucro causará escoamento.
Figura 14.13 - Sequência de círculos de Mohr para compactação triaxial de um corpo coesivo e a linha de falha de Mohr-Coulomb.
	O invólucro de Mohr é às vezes linear numa boa aproximação e é comumente expresso como
(f = c + (f tg(				(14.110
onde c é o intercepto de coesão, ( é o ângulode fricção interna que indica a resistência ao cizalhamento do material e o subscrito f indica condições de escoamento. Equação 14.11 é comumente chamada lei da falha de Mohr-Coulomb. Para materiais descritos pela Equação 14.11, a resistência ao cizalhamento cresce com o aumento da tensão de confinamento quando tg( > 0.
	Os parâmetros tg( e c podem ser considerados como propriedades de um material particular num particular estado. O ângulo de fricção para areia arrendondada e frouxamente empacotada é cerca de 30o (Figura 14.14). Quando a interprisão de partículas cresce devido a um aumento em tamanho de partícula ou em sua angulosidade, numa porosidade constante, ou para um decréscimo na porosidade para o mesmo sistema de partícula, o ângulo de fricção aumenta para 40-45o . Lubrificantes interpartículas podem abaixar o ângulo de fricção. A resistência ao cizalhamento de pós finos depende da compressibilidade do pó e da drenagem de fluido dos poros bem como parâmetros da partícula e do empacotamento.
Figura 14.14 - Ângulo de fricção máxima para argila úmida < 2(m, areia úmida, misturas areia-argila, pó de alumina e ângulo de fricção de superfícies de talco e mica. (Fonte: T.W. Lambe e R.V. Whitmann, Soil Mechanics, Wiley-Interscience, New York, 1969).
7.2.8 - COMPORTAMENTO TENSÃO-DEFORMAÇÃO DURANTE 
 COMPRESSÃO
	A compressão de um corpo cerâmico plástico não saturado ou de pó pode causar consolidação permanente por causa do deslizamento e rearranjo de partículas; a compressão elástica de partículas, ligantes, lubrificantes e líquido; a compressão ou dissolução de gás no líquido; orientação de partícula; e a migração de líquido e gás através dos interstícios porosos. A compressibilidade pode ser determinada sob condições de compressão isostática ou confinada uniaxial tal como nós vemos na Figura 14.15. No teste de compressão isostática a amostra é involucrada numa fina membrana impermeável e comprimida por um fluido. Compressão isostática verdadeira causa um decréscimo no volume mas nenhum cizalhamento ou distorção, como indicado no diagrama q-p .
Figura 14.15 - Diagramas de carregamento e passo de tensão para compressão isostática e confinada.
	Na compressão uniaxial, a amostra é comprimida enquanto confinada numa matriz lisa e rígida; compressão é a fonte dominante de deformação, mas fricção na parede da matriz causa a ocorrência de tensões de cizalhamento como indicado no diagrama q-p . A razão de tensão horizontal (h para a tensão vertical (v , Kh/v , isto é
Kh/v = (h / (y					(14.12)
pode ser determinada como uma função de pressão usando um transdutor de pressão na parede da matriz. Pistões permeáveis pode ser substituídos para determinar o efeito de drenagem do fluido do poro sobre o comportamento mecânico.
	O rolamento, deslizamento(escorregamento) e rearranjo de partículas durante compressão isostática ou uniaxial de pós frouxamente empacotados pode causar grande compactação volumétrica. Embora a tensão cizalhante média seja zero durante a compressão isostática, forças de cizalhamento nos contatos de partículas individuais pode ser bastante grande.
	Empacotamento denso de areiaexibe menosdo que 1% volumétrico de deformação em compressão uniaxial até 3M Pa .* Deformação inicial ocorre devido ao colapso de arranjos frouxamente empacotados ea compressão elástica de partículas. Acima de cerca de 15 M Pa, fraturamente de partícula nos contatos pode permitir deslizamento para chegar a uma configuração mais densa. A razão de tensão horizontal da tensão horizontal para a tensão vertical Kh/v é cerca de 0,4 a 0,5. Retorno elástico na descompressão a partir de 50 M Pa é menor do que 2%. Resultados similares são observados para empacotamento de outros materiais duros. A tensão que causa a fratura tenderá a crescer à medida em que a resistência da partícula aumentar.
	A deformação volumétrica na compressão uniaxial de bolo de filtro de um corpo de porcelana elétrica floculada (50% de argila,50% de quartzo e feldspato) entre pistões permeáveis é mostrada na Figura 14.16. Tanto compactação permanente quanto a deformação axial reversível (retorno de mola) até cerca de 10% são aparentes.* A compressão primária de bolo de filtroaté cerca de 1 M Pa é típico do colapso de partículas duras do revestimento de argila coagulada que diminui os espaços entre partículas. Acima de 1 M Pa, o comportamento é típico de argila com uma estrutura mais orientada. Retorno elástico é muito significativo abaixo de 1 M Pa mas é apenas uma fração da variação total de volume devido à consolidação. Escoamento cizalhante do corpo no moinho misturador a vácuo de ‘argamassa’ aumenta a orientação e a densidade de empacotamento da argila em regiões microscópicas,que reduzem a compressibilidade média e o retorno elástico. A compressão reversível do bolo de filtro colado a partir de uma suspensão defloculada é menor e similar ao comportamento de material misturado em moinho (“pugged material”). A matriz da argila é também parcialmente orientada no material colado a partir de uma suspensão defloculada. Quando líquido é incapaz de se drenar a partir dos poros durante a compressão, a deformação volumétrica será semelhante até que a pressão que causa a saturação de poro. Corpos próximos da saturação mostrarão pouca compressão total.
*T.William Lambe e Robert V. Whitman,Soil Mechanics, Wiley-Interscience,New York, 1969.
*D. Price, MS thesis, Alfred University, Alfred, NY, 1981.
Figura 14.16 - Compressibilidade axial de corpos de porcelana defloculada e de alumina durante compressão confinada.
	Na compressão inicial, comportamento similar àquele exibido na Figura 14.12 pode ser esperado para materiais altamente porosos contendo uma significativa quantidade de um ligante molecular. Fita cerâmica verde contendo 30 vol% de ligante pode mostrar uma compressibilidade inicial de 20%. Entretanto, retorno elástico é relativamente baixo e menos de cerca de 2% para fita moldada e corpos de extrusão organicamente plastificados. Um moldado denso de alumina de tamanho micrométrico moldado a pressão apartir de uma lama defloculada exibe relativamente pouca compressibilidade, como é indicado na Figura 14.16. Em geral a razão de tensão Kh/v aproxima-se de 1 quando o ângulo de fricção ( se aproxima de 0o .
7.2.9 - RESISTÊNCIA MECÂNICA DE AGLOMERADOS
	Aglomerados podem formar-se espontaneamente em pó não magnético e seco devido quer a forças de Van der Waals quer à atração eletrostática. Forças eletrostáticas ocorrem por causa de íons adsorvidos na superfície ou da transferência de elétrons entre partículas em regiões de contato. Para partículas que não são condutoras, mobilidade de carga é limitada à superfície de partículas e cargas persistem até que ocorra o contato com materiais eletricamente condutores. Cargas eletrostáticas podem também ser diminuídas por um filme adsorvidoque melhores aquela mobilidade de carga. Forças eletrostáticas e de Van der Waals produzem aglomerados relativamente frágeis.Entretanto, esses aglomerados frágeis podem impedir o escoamento e empacotamento de partículas secas e de colóides.
	Aglomeração é também causada pela força capilar de um líquido molhante nos contatos entre partículas. Nós podemos estimar o efeito das forças capilares sobre a resistência mecânica de aglomerado usando um modelo de empacotadas esferas monotamanho contendo um líquido distribuído como é mostrado na Figura 14.17. No estado de filme a resistência à tração ( St ) é o produto do número de contatos (ligações) por unidade de área e a força capilar por contato b : 
St = [K (1 - ()/(] (b / a2)			(14.13)
onde K é uma constante numérica.
Figura 14.17 - Distribução de líquido em estados de filme, capilar e partículas separadas.
	Para esferas uniformes randomicamente empacotadas separadas por um líquido adsorvido Rumpf* deduziu a equação
St = {9(1-()b}/8(a2				(14.14)
* H.Rumpf, em Agglomeration, W.ª Knepper (ed.), Wiley-Interscience, New York, 1962.
	A força capilar b é igual à força produzida pela tensão superficial e a pressão capilar (Eq. 2.6) multiplicada pela área do líquido no pescoço. A força b cresce à medida em que o teor de líquido é reduzido. Quando o raio do pescoço é muito pequeno quando comparado ao raio do líquido circular no plano de contato e o ângulo de molhamento é 0o, b = ((La. Equação 14.14 indica que a resistência à tração varia diretamente com a tensão superficial e com a densidade de empacotamento e inversamente com o tamanho da partícula, como é observado experimentalmente.
	A formação de uma massa dura e frágil a partir de uma massa macia na secagem a partir de um estado capilar ao estado de filme é também comumente observada. Ligação de líquido capilar pode produzir uma resistência à tração que varia até cerca de 70 kPa para água em pó de óxido de cerca de 1 (m de tamanho de partícula. Quando poros são saturados, ligação líquida interna capilar desaparece. Aglomerados no estado capilar são usualmente de menor resistência mecânica e mais plásticos.
	Aglomerados mais fortes (e corpos coesivos) são produzidos por ligação de floculação, como foi discutido na Seção 5.3 (ou no Capítulo 11 do livro do REED[1]). Onoda* calculou a resistência da ligação entre duas esferas uniformes supondo que o ligante era quer uniformemente concentrado nos contato da partícula (modelo pendular) ou recobrindo uniformemente as partículas (modelo do filme). Equação de Onoda para o modelo pendular é
St = (3/8)[(3( / ( )1/2](1-()So[(Vb / Vp)1/2]			(14.15)
e
para partículas uniformemente cobertas,
St = (3( / 16)[(1-()/(]So(Vb / Vp)			(14.16)
O volume de ligante e partículas são Vb e Vp , respectivamente, e So é a resistência do ligante no plano da fratura.
*G. Y. Onoda, Jr., Am.Ceram.Soc. Bull.58(5-6), 236-239 (1978)
	Lucasiewicz* observou que uma solução de ligante de baixa viscosidade que molhou as partículas inicialmente formou uma fino revestimento e a seguir concentrado nas regiões contato; a dependência da resistência mecânica em relação a Vb / Vp foi aproximada mais estreitamente pela equação 14.15. Uma distrbiuição desomogênea do ligante pode reduzir a resistência mecânica aparente e alterar a dependência em relação a Vb / Vp . A mistura homogênea de uma solução de ligante com um pó é mais difícil quando a solução de ligante aumenta em viscosidade e quando o tamanho da partícula é menor. O aumento não linear da resistência à tração com Vb / Vp na Figura 14.18 é provavelmente devida à distribuição desomogênea da solução mais concentrada de ligante de maior viscosidade; compactação na pressão mais alta não reduz a porosidade, mas aparentemente aumenta a resistência mecânica da adesão (So). Embora nenhuma dependência da resistência mecânica do aglomerado em relação ao tamanho de partícula seja implicada pelas Equações 14.15 e 14.16, um efeito de tamanho de partícula é às vezes observado em sistemas reais. Materiais com uma resistência à tração variando na faixa até 10 M Pa podem ser produzidos usando ligantes comuns. A resistência à tração de materiais ligados com argila é muito dependente do teor de líquido (Figura 14.19), porque a resistência mecância é dependente tanto das forças de coagulação entre partículas quanto do efeito capilar expresso pela Equação 14.13.
*S. Lukasiewicz, PhD thesis, Alfred University, Alfred, NY, 1983.
Figura 14.18 - Resistência à tração de compactados secos de alumina tabular - 6 malhas contendo um ligante polivinil álcool (pressão indicada é a pressão de compactação; fração de empacotamento é 0,69).
Figura 14.19 - Resistência à tração aparente de corpo de porcelana elétrica industrial como uma função do teor de líquido.
	A resistência mecânica aparente de aglomerados individuais sob uma carga cizalhante ou compressiva pode ser maior para aglomerados menores que são às vezes de menor porosidade. A resistência mecânica de um aglonmerado é descrita pela Equação 14.13. Entretanto, a força para produzir ruptura de um aglomerado varia diretamentecom o produto de sua resistência mecânica e o quadrado do seu diâmetro. O limite de escoamento aparente de aglomerados contendoum ligante é muito dependente do limite de escoamento da fase ligante.
7.210 - RESISTÊNCIA AO CIZALHAMENTO DE PÓS APROXIMADAMENTE 
 SATURADOS E CORPOS PLÁSTICOS
	A dependência da resistência cizalhante em relação à deformação de um corpo de argila plástica é da forma geral mostrada na Figura 14.12. Se o corpo de argila tiver sido consolidado numa pressão maior que 10 M Pa, a máxima resistência cizalhante é usualmente maior do que o limite de resistência ao cizalhamento. Corpos altamente consolidados exibem uma maior resistência inicial à formação de uma estrutura de argila orientada facilitando cizalhamento, embora os limites de resistência ao cizalhamento para deformação sustentada possa ser comparável. Orientação de partículas de argila tipo placa ocorre num ângulo de cerca de (45o + ( /2) relativo ao plano da maior tensão principal. Para misturas argila-areia, o ângulo de fricção calculado a partir das condições de tensões de ruptura decresceu à medida em que o teor de argilas submicrométricas aumentou (Figura 14.14), e um ângulo de fricção de cerca de 15o é encontrado quando o teor de argila excede a cercade 40 vol%. O ângulo de fricção para argila pode variar desde 10o até valores tão baixos quanto 4-5o para uma argila com um relativamente alto teor de montimorilonita. A razão da tensão lateral para a tensão axial Kh/v é aproximadamente 0,95 - sen( .
	A resistência ao cizalhamento e a deformação de pós finos aproximadamente saturados comum líquido é muito dependente do líquido pressurizado nos poros, que reduz a tensão efetiva no esqueleto da partícula. Efeitos de pressão de poro são especialmente importantes em sistemas contendo partículas submicrométricas e poros, porque a permeabilidade do líquido desses sistemas é muito baixa e a migração de líquido ocorre muito lentamente.
	Quando se estiver moldando materiais cerâmicos,o termo plasticidade é comumente usado. O termo plasticidade refere-se a um particular modo de comportamento mecânico. Um material cerâmico plástico exibirá deformação permanente sem ruptura quando a carga compressiva aplicada procua uma tensão de cizalhamento que excede a resistência ao cizalhamento aparente, às vezes chamada limite de escoamento do material. Para um corpo cerâmico plástico, comportamento elástico mensurável é observado antes do escoamento ocorrer e quando a carga aplicada é removida (Figura 14.20). Em termos do comportamento tensão-deformação, a área sob a curva de tensão-deformação indicando absorção de energia é grande e se diz que o corpo exibe tenacidade.
Figura 14.20 - Comportamento tensão-deformação para corpos ideais. Tenacidade é indicada sob a curva tensão-deformação e retorno de mola é indicado pela mudança na deformação durante descarregamento.
	A compressibilidade de pós finos não consolidados e de corpos cerâmicos plásticos contendo uma significativa fração de de partículas coloidais ou um ligante molecular é significativamente maior do que a compressibilidade de água líquida. Para um corpo aproximadamente saturado, um aumento na tensão aplicada primeiro aumenta a tensão efetiva e a densidade de empacotamento das partículas. À medida em que o grau de saturação de poro aumenta, o líquido pode se tornar pressurizado em regiões microscópicas. Eventualmente, a estrutura de poro se torna saturada se o sistema for suficientemente compressível. Ar nos poros pode dissolver-se no líquido do poro. Uma vez saturado, um incremento na tensão aplicada aumentará a pressão do poro mas não o limite de resistência ao cizalhamento, como mostrado na Figura 14.21. Quando a pressão do poro não é zero, a equação de Mohr-Coulomb é
(f = ((f tg(( + (c				(14.17)
Os parâmetros do material (c e (( são parâmetros efeitos calculados usando a tensão efetiva ((f . Se a pressão de poro não for conhecida, c e ( determinados usando a tensão total são parâmetros de tensão total.*
*T.William Lambe e Robert V. Whitman, Soil Mechanics, Wiley-Interscience, New York, 1969.
Figura 14.21 - Dependência da tensão de cizalhamento que causa o escoamento no teste de cizalhamento direto em relação à pressão aplicada.
	Em corpos de argila plásticos, a argila coloidal coagulada submicrométrica recobre os consolidados durante a deformação e não é dilatante. Água separa as partículas e age como um lubrificante. Escoamento cizalhante ocorre entre partículas maiores em zonas contendo argila orientada e partículas mais finas não plásticas. Uma alta concentraçào de zonas de cizalhamento é requerida para escoamento plástico. Migração de líquido a partir de uma zona de cizalhamento aumentará a tensão efetiva e a resistência ao cizalhamento naquela zona e alterar a distribuição de tensão. Uma tensão concentrada pode causar a nucleação de uma trinca.
	Em corpos não argila plastificados com um ligante molecular, as macromoléculas desempenham um papel similar àquele da argila (Figura 14.22). Moléculas de maior massa molecular podem ter até 0,5 (m de comprimento e grupos hidrófilos atraem moléculas de água. As moléculas de maior massa molecular são também mais efetivas na redução da permeabilidade de líquido. Moléculas de maior massa molecular podem prover relativamente mais compressibilidade inicial necessária para aumentar a pressão de poro. Um volume crítico de partículas coloidais coaguladas ou de ligantes moleculares é requerido para escoamento plástico.
Figura 14.22 - Model para distribuição de carga (enchimento, “filler”), partículas plastificantes mais finas/ moléculas de maior razão de aspecto e líquido num corpo plástico floculado.
	A resistência coesiva ( c ) de um corpo plástico depende da ligação de líquido capilar e da ligação de floculação. Saturação elimina os efeitos capilares internos; entretanto, na descompressão do corpo plástico, expansão elástica (retorno elástico) produz porosidade interna, e o efeito capilar sozinho não provê o comportamento característico de um corpo plástico. Corpos de argila plástica são floculados. Sistemas de alumina submicrométrica e água desenvolvem a característica coesividade e plasticidade de um corpo plástico quando floculado com uma solução de ligante orgânico. Composições gerais de corpos plastificados organicamente e de corpos plastificados por argila estão apresentadas na Tabela 14.2. A fricção interna e o limite de resistência ao cizalhamento de um corpo de argila plástica decresce com o aumento do teor de líquido, como indicado na Tabela 14.3. Para o corpo de alumina, o aumento do teor de metilcelulose de média massa molecular aumentou a coesão aparente mas não mudou significativamente a fricção interna para a faixa de concentração.
Tabela 14.2 - Composições Representativas de Corpos Plásticos
Tabela 14.3 - Parâmetros de Coulomb Determinados para Corpos de Extrusão Industriais Floculados.
	A dependência geral do limite de resistência ao cizalhamento ((y ) do corpo saturado em relação à fração de volume de líquido fLv para um corpo plastificado por argila é*
(y = A exp [-( (fLv - fcrv )				(14.18)
onde fcrv é a concentração crítica de líquido na qual escoamento de partícula é bloqueado e A e ( são constantes que dependem de parâmetros tais como características de empacotamento, o conteúdo e a razão de aspecto de partículas coloidais, o conteúdo e a massa molecular de um ligante e a floculação química. A dependência da resistência ao cizalhamento de corpos de argila industriais em relação ao parâmetro ( fLv - fcrv ) é aproximado bem pela Equação 14.18, como é visto na Figura 14.23.
*R.H.Weltmann e H. Green, J.Appl. physics, 14(11), 569-576(1943).
Figura 14.23 - Dependência do limite de resistência ao cizalhamento (teste de cizalhamento direto) em relação ao teor de líquido para vários corpos plásticos. O grau de conformação plástica é indicado para o corpo de porcelana elétrica.
	Relativamente pouco tem sido publicado (referência a 1988) sobre as propriedadesmecânicas de cerâmicas técnicas plastificadas com ligantes moleculares orgânicos. O comportamento na Figura 14.23 para a alumina plastificada com ligante de metilcelulose de média massa molecular e água é claramente diferente daquele para o corpo plastificado com argila. A fricção interna e resistência máxima de cizalhamento dos corpos de alumina aparecem como dependentes da resistência de adesão do filme orgânico gelado nas partículas bem como da viscosidade da solução do ligante. Para cada sistema de partícula, uma particular concentração de plastificante e líquido é requerida para escoamento plástico.
	Uma variedaded e testes empíricos para a determinação de plasticidade têm sido visualizada e são discutidas na literatura cerâmica. Muitos envolvem a imposição de alguma simples ou complexa deformação e medição da tensão resultante. Esses podem ser categorizados como torque de mistura, indentação, tração, torsão, compressão não confinada e testes de cizalhamento simples. O torque usado para girar lâminas de mistura através de uma mistura é um modo rápido e conveniente para notar as tendências qualitativas ao se variar o conteúdo de líquido, aditivos químicos, partículas coloidais, dtc.. (Figura 14.24). Penetrômetros indicam a resistência à deformação de um pequeno volume de material. Testes de torsão simples não produzem uma deformação uniforme e como normalmente praticados a amostra não é comprimida. Testes nos quais o corpo é comprimido durante a deformação, simulando processamento industrial, deveriam prover resultados que correlacionem com a trabalhabilidade industrial. Estudos de sistemas bem caracterízados usando testes que provêem um bem definido estado de tensão são necessários para desenolver uma ciência da plasticidade.
Figura 14.24 - Variação de torquepara mistura com o conteúdo de água ou solução defloculante misturado num corpo de argila plástica.
	A variação qualitativa do limite de resistência ao cizalhamento de um corpo plástico saturado com uma mudança em composição e taxa de cizalhamento é às vezes similar em comportamento àquele de uma lama dos materiais. A reologia de sistemas saturados é discutida na Seção 8.3 (ou no Capítulo 15 do REED[1]).
SUMÁRIO
“Consistência “ é um termo subjetivo que descreve várias características físicas e propriedades reológicas do material. A consistência depende de uma maneira complexa da natureza física, proporções, distribuição e associação dos ingredientes durante deformação e escoamento. Estados comuns de consistência produzidos ao se adicionar um líquido molhante ao um pó são um pó aglomerado, material plástico, uma pasta e uma lama.
	Quando um material cerâmico é comprimido, a pressão do fluido nos vazios entre as partículas reduz a tensão efetiva conduzida pelas partículas. A tensão de contato entre as partículas é alta relativamente ao tamanho de partícula. Deslizamento interparticular é restringido por fricção nos contatos das partículas e é muito dependente da rugosidade superficial e da lubrificação.
	A resistência de um pó cerâmico ou sistema de partícula ao cizalhamento é muito dependente da carga compressiva imposta que aumenta a tensão efetiva e pode aumentar a densidade de empacotamento. A compressão de um sistema de partícula cerâmica consolidado produz deformação volumétrica elástica e permanente que depende dos parâmetros, empacotmento, aditivos adsorvidos e do grau de saturação do poro. Retorno elástico na descompresão é muito dependente da energia elástica armazenada durante a compressão.
	O controle de aglomerados é um problema comum de processamento. Aglomerados randômicos podem produzir desomogeneidades num produto, mas aglomeração controlada é necessária para produzir pós livremente escoantes e para coesão e resistência a verde. Tanto a ligação por líquido capilar quanto a ligação por floculação são importantes mecanismos par a aglomeração.
	Duas propriedades mecânicas de um corpo cerâmico insaturado são a coesão e a fricção interna. O limite de resistência ao cizalhamento de um sistema saturado é muito dependente do teor de líquido e das condições de cizalhamento. Comportamento plástico é comumente observado usando testes empíricos. As propriedades mecânicas de corpos plásticos dependem de muitas variáveis e estão incompletamente entendidos.
7.3 - COMPORTAMENTO REOLÓGICO DE LAMAS E PASTAS
	Reologia é a ciência da deformação e escoamento. Conhecimento de comportamento reológico é essencial no projeto e seleção de equipamento para estocagem, bombeamento, transporte, moagem, mistura, atomização e conformação de um sistema cerâmico. Medições reológicas são uma parte integrante da pesquisa e desenvolvimento de sistemas de lamas e testes reológicos são usados em programas para monitoramento e controle da consistência e comportamento de lamas para moldagem, secagem por atomização ou vidrados e pastas para impressão superficial e decoração.
	Lamas e pastas cerâmicas são comumente sistemas multicomponentes que são relativamente complexos em estrutura e às vezes pobremente caracterizados. Partículas podem variar desde tamanhos granulares até tamanhos coloidais. Adicionados eletrólitos e polímeros podem mudar significativamente forças interparticulares e o estado de dispersão. O espaçamento interparticular depende diretamente da concentração de partículas (carregamento de sólidos), do estado de dispersão e empacotamento de partículas. Coagulação de partícula e floculação de polímero podem produzir uma ligação estrutural, uma estrutura de gel, que varia com o procedimento de mistura e a história de cizalhamento anterior à medição das propriedades reológicas. Escoamento produzido durante uma medição reológica pode alterar a microestrutura do sistema.
	Nesta Seção (ou no Capítulo 15 do livro do REED[1]) nós discutimos fundamentos e técnicas usadas para determinar as propriedades reológicas desses importantes sistemas. Comportamento reológico é a seguir descrito em termos de modelos para os efeitos de componentes individuais e suas misturas.
7.3.1 - TENSÃO EFETIVA E RESISTÊNCIA AO CIZALHAMENTO NUM 
 SISTEMA SATURADO
	Quando uma suspensão líquida é comprimida, a pressão imposta é suportada pelo meio líquido e o sistema é relativamente incompressível em pressões comuns de processamento se livre de bolhas de gás. A diferença entre a pressão aplicada e a pressão do líquido, chamada tensão efetiva ((( ) foi definida pela equação 14.1. Numa suspensão empacotada aberta de partículas completamente dispersas (Figura 15.1), a tensão efetiva é
(( = R - A					(15.1)
onde (R - A) é a pressão efetiva devida a interações elétricas repulsivas e atrativas entre partículas. A coagulação e floculação de partículas pode alterar (R - A) e a resistência ao cizalhamento. Entretanto, a tensão efetiva é independente da pressão imposta em processamento, que simplifica a interpretação do comportamento de escoamento cizalhante. Numa lama mais grossa (espessa), escoamento cizalhante pode ser momentaneamente bloqueado porpartículas vizinhas e a resistência ao escoamento cizalhante depene da translação da partícula para fora da direção de cizalhamento, que é dependente do tempo.
Figura 15.1 - A translação de curta distância (curto alcance) e rotação de partículas é requerida para escoamento laminar numa lama e escoamento laminar se torna mais restrito quando a separação interpartícula decresce.
	Numa quase todo estreitamente compactado, o escoamento inicial produz significativas tensões de contato entre partículas e uma dilatação de volume do sistema deve ocorrer para acomodar escoamento cizalhante. Para esses sistemas a tensão efetiva é descrita pela equação 14.1 e as propriedades não são independentes da pressão de confinamento.
7.3.2 - PROPRIEDADES REOLÓGICAS
	Uma tensão cizalhante é requerida para iniciar e manter escoamento laminar num líquido simples. Quando uma tesnão cizalhante ( é linearmentedependente do gradiente de velocidade - dv/dr (Figura 15.2), diz-se que o líquido é Newtoniano e
( = (L [-dv/dr]				(15.2)
A constante de proporcionalidade é o coeficiente de viscosidade (L . O coeficiente de viscosidade indica a resistência ao escoamento devido à fricção interna entre as moléculas do fluido. O gradiente de velocidade - dv/dr é taxa de cizalhamento (( ; por simplidicidade, (( será usado em equação que se seguem. 
Figura 15.2 - Tensão cizalhante F/A e taxa de cizalhamento -dv/dr usada na definição do coeficiente de viscosidade.
	Em líquido e soluções contendo moléculas grandes e suspensões contendo partículas anisométricas não atrativas, o escoamento laminar pode orientar parcialmente as moléculas ou partículas. Quando a orientação reduz a resistência ao cizalhamento, a viscosidade aparente decresce com o aumento da taxa de cizalhamento e se diz que o comportamento é pseudoplástico (Figura 15.3). O comportamento é às vezes descrito por equação empírica de lei de potência
( = K ((() n 				(15.3)
onde K é o índice de consistência e n é a constante de afinamento cizalhante que indica o desvio em relação ao comportamento Newtoniano. A viscosidade aparente de um líquido de lei de potência é
(a = K ((() n - 1				(15.4)
Para um material pseudoplástico, n < 1.
Figura 15.3 - Dependência da tensão cizalhante em relação à taxa de cizalhamento para sistemas Newtonianos, de Bingham, e pseuoplásticos e dilatantes com e sem um limite de escoamento.
	A lei do pó com n>1 pode também aproximar o comportamento de escoamento de suspensões moderadamente concentradas contendo grandes aglomerados e lamas defloculadas concentradas. Deslocamento de partícula pode reduzir interferência num baixa taxa de escoamento, mas com um aumento na taxa de cizalhamento, a interferência da partícula e a viscosidade aparente aumentam. Esta dependência da taxa de cizalhamento é chamada comportamento dilatante. Materiais de lei de potência não têm nenhum limite de escoamento.
	Lamas contendo moléculas atrativas ou partículas atrativas requerem uma tensão finita chamada tensão de escoamento (y para iniciar o escoamento. Um material é chamado plástico de Bingham quando o comportamento de escoamento é descrito pela equação
( - (y = (P (				(15.5)
A viscosidade plástica (p indica atensão em excesso em relação a (y causando um taxa cizalhante (( , isto é:
(P = (( - (y ) / ((				(15.6)
A resistência total ao cizalhamento é expressa pela viscosidade efetiva ou aparente (a que é maior quando a tensão de escoamento é maior mas decresce com o aumento da taxa de cizalhamento, isto é,
(a = (P + (y / ((				(15.7)
Para um material plástico de Bingham, a viscosidade aparente indica a soma da resistência ao cizalhamento do líquido de comportamento Newtoniano e a resistência ao cizalhamento da estrutura da partícula que decresce com o aumento da taxa de cizalhamento. Note-se que tanto para o plástico de Bingham quanto para um sistema pseudoplástico, a viscosidade aparente decresce com a taxa de cizalhamento e dois parâmetros são requeridos para caracterizar o comportamento viscoso.
	Líquidos e lamas com um limite de escoamento podem exibir comportamento pseudoplástico ou dilatante. Uma equação geral empírica descrevendo os diferentes modos de comportamento mostrados na Figura 15.3 é a equação de Casson:
(am = ((m + ((y / (( )m			(15.8)
onde ((m é o limite de viscosidade quando a estrutura é destruída numa muito alta taxa de cizalhamento e m é uma constante indicando o desvio a partir da linearidade. Para materiais com um limite de escoamento, a variaçãoa de log(a com log(( é não linear.
	Supôs-se que comportamento reológico discutido acima fosse independente da história de cizalhamento e do tempo de cizalhamento. Para alguns materiais a viscosidade aparente numa particular taxa de deformação pode decrescer com o tempo de cizalhamento (Figura 15.4). Este comportamento, chamado tixotropia, é comumente observado durante o cizalhamento de materiais pseudoplásticos e de Bingham quando a orientação e a ligação de moléculas ou partículas varia com o tempo de escoamento ((( . t). O comportamento tixotrópico em lamas cerâmicas é comumente reversível. Para um material de Bingham que é tixotrópico, o limite de escoamento aparente é maior após a suspensão tiver sido colocada em repouso e uma estrutura de partícula tiver reformada. Esta maior tensão de escoamento após um período de repouso é às vezes chamada resistência do gel. 
Figura 15.4 - Comportamento tixotrópico mostrando mudança da resistência ao escoamento e viscosidade plástica (P após escoamento cizalhante.
7.3.3 - DETERMINAÇÃO DA VISCOSIDADE
	Faixas de taxa de cizalhamento encontradas em operações de processamento cerâmico estão indicadas na Figura 15.5. Dados de viscosidade são mais relevantes quando a viscosidade é determinada na faixa de taxa de cizalhamento do processo.
Figura 15.5 - Faixas de taxa de cizalhamento para diferentes operações de processamento.
	O mais largamente usado viscosímetro para suspensões cerâmicas e lamas cerâmicas é viscosímetro de cilíndro rotativode velocidade variável. Dependendo do projeto, ou o cilindro interno ou o cilíndro externo de comprimento L roda numa frequência angular ( e torque T produzido pelo meio viscoso é registrado (Figura 15.6). Numa posição radial r o material viscoso no anel, (( = - r(d(/dr), e
( = (T/r) / 2(rL				(15.9)
A viscosidade aparente é obtida usando a Equação 15.2 e integrando entre os raios dos 2 cilindros, a e b,
(a = [T (b2 - a2 )]/{(a a2 b2 4(L}			(15.10)
O comprimento L na Equação 15.10 pode ser aumentado para corrigir o efeito terminal. Para suspensões, é suposto na dedução da Equação 15.10 que o espaçamento (b - a) do anel é muito maior do que o tamanho da partícula, o material viscoso faz contato contínuo com as superfícies dos cilindros, não ocorre nenhum escorregamento(deslizamento) e o escoamento laminar é plenamente desenvolvido. A taxa de cizalhamento varia com a posição no anel e
(( = [2(a a2 b2]/ {r2(b2-a2)}				(15.11)
A faixa de taxas de cizalhamento (((a - ((b) no anel é reduzida usando um viscosímetro com um anel estreito (<1mm).
Figura 15.6 - Esquema de viscosímetros de cilindro concêntrico e de cone e placa mostrando parâmetros usados nas Equações 15.10 e 15.16.
	Um viscosímetro cilíndrico concêntrico com uma taça rotatória é convencionalmente usada para um material plástico de Bingham. Deslizamento(escorregamento) nas paredes do cilindro interno pode ocorrer antes do início do escoamento de um material de Bingham. Escoamento laminar começa no cilindro interno quando T = Ta = (y (2(a2L) e progride para fora até o ponto onde T = Tb = (y 2(b2L , como mostrado na Figura 15.7. Rotação continuada numa velocidade constante causa o aumento do torque até um valor que é dependente das propriedades reológicas do material. A viscosidade plástica e a resistência ao escoamento são calculadas usando as equações
(P = (T - Ta) (b2 - a2)/[(bb2a24(L]				(15.12)
e
(y = To (b2 - a2)/[b2a24(L ln(b/a)]				(15.13)
onde To é o torque quando ( é reduzido a zero. A taxa de cizalhamento pode ser calculada a partir de (P e (y. 
(( = (1/(P)(T/2(r2L) - (y			(15.14)
A viscosidade aparente (a é calculada usando a equação 15.7.
Figura 15.7 - Desenvolvimento de escoamento no anel com um viscosímetro cilíndrico concêntrico para um material de Bingham.
	Viscosímetros de cilindro rotativo são largamente usados para determinar as propriedades reológicas de suspensões aquosas de esmaltagem (“slips”) e de lamas. Uma viscosidade aparente numa taxa de cizalhamento não é suficiente para comparar o comportamento reológico. Um bem projetatado viscosímetro cilíndrico concêntrico