Cap8 lista exercicios GABARITO

Prévia do material em texto

CAP. 7 - Lista de exercícios 
1) Determine (a partir da definição de concavidade e convexidade) a concavidade ou convexidade 
das funções: 
 (a)    f x x x x( , )1 2 1 2 2 22 3 1     no domínio: x x1 2 0,  ; 
G x( )  xf1 x( ) G x( )
2 x0 4
6 x1 6



H x( ) Jacob G x( ) x( ) H x( ) 2
0
0
6


eigenvals H x( )( )
6
2

 ==> função convexa!
f y z( ) f1 y
z




M CreateMesh f 0 4 0 2( )
MM 
 
 (b) f x x x x x x( , , )1 2 3 1
2
2
2
3
22 3     no domínio: x x x1 2 3 0, ,  . 
 
G x( )  xf2 x( ) G x( )
4 x0
2 x1
6 x2



H x( ) Jacob G x( ) x( ) H x( )
4
0
0
0
2
0
0
0
6



eigenvals H x( )( )
4
2
6


 ==> função nem côncava nem convexa!
 
f_0 y z( ) f2
y
z
0




 f_1 y z( ) f2
y
0
z




 f_2 y z( ) f2
0
y
z





M0 CreateMesh f_0 0 1 0 2( ) M1 CreateMesh f_1 0 2 0 2( )
M2 CreateMesh f_2 0 2 0 2( )
M0 M1
M2 
 
2) Determine a localização e a natureza dos pontos estacionários das funções abaixo, determine 
também (em cada caso) o máximo e o mínimo globais: 
 (a)f x
x
x
( )   
2
1 2
 para x 0; 
G x( )  xfa x( ) G x( ) simplify
2 x2 1 
x2 1 2

G(x) = 0 ==> xo 1 
 
H x( ) Jacob G x( ) x( ) H x( ) simplify 4 x x
2 3 
x2 1 3

H xo( ) 1
==> máximo global
0 1 2 3 4 5
0.5
0
0.5
1
1.5
G x( )
0
x
0 1 2 3 4 5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
fa x( )
x 
 
(b)f x
sen x
x
( )
( )   para - x ; 
G x( )  xfb x( ) G x( ) collect
sin x( ) x cos x( )
x2

xo root G x( ) x  ( ) xo 0
Nota:
0x
G x( )lim

0
H x( ) Jacob G x( ) x( ) H x( ) simplify x
2 sin x( ) 2 sin x( ) 2 x cos x( )
x3

H xo( ) 0.333
==> máximo global
4 2 0 2 40.6
0.4
0.2
0
0.2
0.4
0.6
G x( )
0
x
4 2 0 2 40.5
0
0.5
1
fb x( )
x 
 
 
 
 
 (c)f x e sen xx( ) ( )    2 para 0 x ; 
G x( )  xfc x( ) G x( ) simplify e
x2 cos x( ) 2 x sin x( )( )
xo root G x( ) x 0 ( ) xo 0.653
H x( ) Jacob G x( ) x( ) H x( ) factor e x
2 4 x2 sin x( ) 3 sin x( ) 4 x cos x( ) 
H xo( ) 1.867
==> máximo global
0 1 2 3 4
0.5
0
0.5
1
1.5
G x( )
0
x
0 1 2 3 4
0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
fc x( )
x 
 (d)f x x x x x x( , )1 2 1
3
1 2 2
23 3      ;    
G x( )  xfd x( ) G x( ) simplify
3 x0 2 3 x1
6 x1 3 x0



x0 x1( ) 2 x1
r x1( ) 3 x0 x1( )2 3 x1 factor 3 x1 4 x1 1( ) = 0
xo1
0
0

 xo2
1
2
1
4


G xo1( ) 0
0

 G xo2( )
0
0


H x( ) Jacob G x( ) x( ) H x( ) factor
6 x0
3
3
2 3



H xo1( )
0
3
3
6

 H xo2( ) 33
3
6


eigenvals H xo1( )( )
1.243
7.243

 eigenvals H xo2( )( )
1.146
7.854


==> ponto sela ==> mínimo global 
 
f y z( ) fd y
z




M CreateMesh f 1 2 1 2( )
M
M 
 (e)f x x x x x x x x( , ) ,1 2 1
2
2
2
1 2 1 2
1
2
0        para x1 . 
G x( )  xfe x( ) G x( ) simplify
x1 2 x0 1
x0 x1



x0 x1( ) x1
r x1( ) x1 2 x0 x1( ) 1 1 x1 = 0
xo
1
1

 G xo( ) 00


H x( ) Jacob G x( ) x( ) H x( ) factor 2
1
1
1


eigenvals H xo( )( )
2.618
0.382

 ==> máximo global 
f y z( ) fe y
z



 M CreateMesh f 0 4 0 4( )
M M 
TOL 10 9
7) Em um reator químico é conduzida uma reação química irreversível de segunda 
ordem, o processo é em batelada. O balanço de massa do reagente é descrito pela 
equação diferencial: 
  02 0 com )()( c)c(tckdt
tdc  
A variação da concentração do reagente com o tempo é medida construindo-se a tabela: 
 
t (min) 1 2 3 4 5 7 10 12 15 20 25 
c x100 
(mol/lit) 
4.049 3.086 2.604 2.222 1.912 1.524 1.142 0.980 0.741 0.649 0.521 
Baseado nestes dados estime os valores de k e de c0. 
 
Resolução: Reescrevendo a equação na forma: 
  tc
c
tck
c
tctk
ctc
dtk
tc
tdc
 1
0
0
0
0
2 11
)(1
)(
1 
)(
)( sendo: 01 ckc  
Definindo:    





11
1
2
1
0
exp10 1
,
i i
i tc
c
tcccS , assim: 
 
     
 
 














1 1
1
2
1
11
1 1
exp
10
11
1 1
0
exp
10
10
1
1
1
0
11
12
,
i i
i i
i
i i
i
i
tc
tc
tc
cc
tc
c
tc
tcc
ccS 
e 
 
   
     
 
0
11
0
11
2
,
11
1 1
10
ex p2
1
1
11
1 1
0
exp2
1
0
1
10













i i
i
i
i
i i
i
i
i
tc
cc
tc
tc
t
cf
tc
c
tc
tc
t
c
c
ccS
 
t
1
2
3
4
5
7
10
12
15
20
25


 c
4.049
3.086
2.604
2.222
1.912
1.524
1.142
.98
.741
.649
.521


10 2 i 0 10
Solução do Problema Linear Considerando o Ajuste de 1/c versus t, para dar o chute inicial 
yi
1
ci
 a0 intercept t y( ) a1 slope t y( ) C0
1
a0
 C1
a1
a0

1
Primeiro Método: anulando as duas derivadas da soma do quadrado dos erros
g α( )
i
ci
1 α ti
i
1
1 α ti 2
 f α( )
i
ti
1 α ti 2
ci
g α( )
1 α ti 



 α C1 f α( ) 3.3165 10 5
α root f α( ) α( ) α 0.391076
cinicial g α( ) k
α
cinicial
 cinicial 100 5.610581 k 6.970327
cmod t( )
cinicial
1 α t d
cinicial
α

 j 0 100 τj t10
j
100

0 10 20
0
0.02
0.04
0.06
ci
cmod τj 
ti τj
0.01 0.02 0.03 0.04
0.01
0.02
0.03
0.04
ci
cmod ti 
ci
Segundo Método: usando direto a função Minimize do MATHCAD
S C( )
i
ci
C0
1 C1 ti


2
 C Minimize S C( ) CT 0.056106 0.391075( )
Cinicial C0 K
C1
C0
 Cinicial 100 5.610571 K 6.970315
S C( ) 1.247749 10 6 S d( ) 1.247749 10 6 C d 1.4 10 6
S C( ) S d( ) 1.842756 10 15
2
TOL 10 9
8) A intensidade de radiação de uma fonte radioativa é expressa por: teItI  0)( . 
Determine os valores de I0 e de  que melhor ajustem os dados experimentais abaixo: 
 
t 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 
I(t) 3.16 2.38 1.75 1.34 1.00 0.74 0.56 
 
i 0 6 ti .2 .1 i
I
3.16
2.38
1.75
1.34
1.00
0.74
0.56



y ln I( )
Solução do Problema Linear Considerando o Ajuste de ln[I(t)] versus t, para dar o chute inicial 
a0 intercept t y( ) a1 slope t y( ) a0 e
a0 aT 5.631019 2.888285( )
Primeiro Método) Construindo a equação de diferenças como chute inicial e depois resolvendo a regressão não linear
p
0
5
i
Ii Ii 1 

0
5
i
Ii 2

 p 0.749248 C1 10 ln p( ) C0
i
e
C1 ti Ii
 
i
e
2 C1 ti
 CT 5.629403 2.886846( )
g α( )
i
e
α ti Ii
 
i
e
2 α ti
 f α( )
i
ti e
α ti Ii g α( ) e
α ti   α C1 f α( )3.01368 10 4
α root f α( ) α( ) C g α( )
α

 C
T 5.636061 2.890593( )
S C( )
i
Ii C0 e
C1 ti 
2 S C( ) 8.939661 10 4 Imod t( ) C0 eC1 t
Segundo Método) Usando a função Minimize do MATHCAD
c Minimize S a( ) cT 5.636061 2.890593( ) S c( ) 8.939661 10 4
j 0 100 τj t6
j
100

0 0.2 0.4 0.6 0.8
0
2
4
6
Ii
Imod τj 
ti τj
1 2 3
1
2
3
Ii
Imod ti 
Ii
1
TOL 10 9
9) y é uma função de x dada pela tabela abaixo, sabe-se que esta dependência é expressa 
por: xx eBeA)x(y   . Determine os valores de A, B,  e . 
 
x 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 
y(x) 2.31604 2.02877 1.78030 1.56513 1.37854 1.21651 1.07561 0.95289 
 
x
.4
.5
.6
.7
.8
.9
1.0
1.1


 y
2.31604
2.02877
1.78030
1.56513
1.37854
1.21651
1.07561
0.95289



Construindo a equação de diferenças como chute inicial e depois resolvendo a regressão não linear por Newton-Raphson
s
0
5
i
yi 2

0
5
i
yi yi 1 

0
5
i
yi yi 1 

0
5
i
yi 1 2



1
0
5
i
yi yi 2 

0
5
i
yi 1 yi 2 






 s 0.79045
1.7799

 s2 1
v polyroots s( ) v 0.85039
0.92951


λ 10 ln v( ) λ 1.62059
0.73095


i 0 7 j 0 1 Ai j e
λj xi c AT A  1 AT y cT 2.99719 1.00284( )
a
c0
λ0
c1
λ1


 ymod x α( ) α0 e
α1 x α2 e
α3 x erro i α( ) yi ymod xi α 
S α( )
i
erro i α( )2 I identity 4( )S a( ) 1.81 10 11 δ 10 6
g α( ) g0
i
e
α1 xi erro i α( ) 
g1
i
e
α1 xi xi erro i α( )
 
g2
i
e
α3 xi erro i α( ) 
g3
i
e
α3 xi xi erro i α( )
 
g
 J α( ) f g α( )
β α δ I j
 
J j
  g β( ) f
δ

j 0 3for
J

solução α( ) flag 0
f g α( )
β α J α( ) 1 f
f g β( )
flag 1 β α TOLif
flag 1 f TOLif
α β
flag 0=while
β

5
aT 2.99719 1.62059 1.00284 0.73095( ) α solução a( ) αT 2.99616 1.62083 1.00391 0.73129( ) S α( ) 1.61 10 11
j 0 50 Xj .4 .7
j
50
 α a 1.54 10 3
0.4 0.6 0.8 1
1
1.5
2
ymod Xj α 
yi
Xj xi
1 1.5 2
1
1.5
2
yi
ymod xi α 
yi
Construindo a equação de diferenças como chute inicial e depois resolvendo a regressão não linear pelo Minimize do
MATHCAD
c Minimize S a( ) cT 2.99719 1.62059 1.00284 0.73095( )
c a 0 Observa-se que o Minimize não conseguiu refinar os valores dos coeficientes! 
6
10) y é uma função de x dada pela tabela abaixo, sabe-se que esta dependência é 
expressa por:  xbseneCxy xa  )( . Determine os valores de C , a e b 
 
x 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 
y(x) 0.00000 0.15398 0.18417 0.16156 0.12301 0.08551 0.05537 0.03362 0.01909 
 
TOL 10 9 i 0 8 xi i .2
y
.00000
.15398
.18417
.16156
.12301
.08551
.05537
.03362
.01909



Construindo a equação de diferenças como chute inicial e depois resolvendo a regressão não linear por Newton-Raphson
s
0
6
i
yi 2

0
6
i
yi yi 1 

0
6
i
yi yi 1 

0
6
i
yi 1 2



1
0
6
i
yi yi 2 

0
6
i
yi 1 yi 2 






 s 0.38135
1.19607

 s2 1
v polyroots s( ) v 0.59803 0.15395i
0.59803 0.15395i


a 5 ln Re v0   b 5 arg v1  a 2.57053 b 1.2598
ymod x α( ) α0 e
α1 x sin α2 x  erro i α( ) yi ymod xi α 
C
i
e
a xi sin b xi  yi 
i
e
a xi sin b xi  
2
 C 1.08661 S α( )
i
erro i α( )2
c
C
a
b


 S c( ) 2.14 10 4 δ 10 6 I identity 3( )
g α( ) g0
i
e
α1 xi sin α2 xi  erro i α( ) 
g1
i
e
α1 xi sin α2 xi  xi erro i α( ) 
g2
i
e
α1 xi cos α2 xi  xi erro i α( ) 
g
 J α( ) f g α( )
β α δ I j
 
J j
  g β( ) f
δ

j 0 2for
J

5
solução α( ) flag 0
f g α( )
β α J α( ) 1 f
f g β( )
flag 1 β α TOLif
flag 1 f TOLif
α β
flag 0=while
β

α solução c( ) αT 1.00011 2.41007 1.25987( )
S α( ) 4.29 10 11
j 0 50 Xj 1.6
j
50
 α a 5.24
0 0.5 1 1.5
0
0.05
0.1
0.15
0.2
ymod Xj α 
yi
Xj xi
0 0.05 0.1 0.15
0
0.05
0.1
0.15
yi
ymod xi α 
yi
Construindo a equação de diferenças como chute inicial e depois resolvendo a regressão não linear pelo Minimize do
MATHCAD
β Minimize S c( ) βT 1.00011 2.41007 1.25987( ) α β 3.3555 10 7
Valor quase idêntico ao obtido por Newton-Raphson
S β( ) 4.29 10 11
6
11) y é uma função de x dada pela tabela abaixo, sabe-se que esta dependência é 
expressa por: BeAxy x  )( . Determine os valores de A, B e  
 
x 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0 
y(x) 3.00767 2.79720 2.61553 2.45874 2.32340 2.20659 2.10576 2.01874 1.94363 1.87880 1.82284 
 
TOL 10 9 i 0 10 xi 1 .2 i
I identity 3( )
δ 10 6y
3.00767
2.79720
2.61553
2.45874
2.32340
2.20659
2.10576
2.01874
1.94363
1.87880
1.82284



Construindo a equação de diferenças como chute inicial e depois resolvendo a regressão não linear por Newton-Raphson
b
0
8
i
yi 1 yi  yi 2 yi 1  

0
8
i
yi 1 yi 2

 s
b
1 b( )
1


 b 0.86313v polyroots s( ) v 0.86313
1


α 5 ln b( ) Ai 0 1 Ai 1 e
α xi c AT A  1 AT y c 1.46996
3.20994

 c2 α cT 1.46996 3.20994 0.73596( )
ymod x α( ) α0 α1 e
α2 x erro i α( ) yi ymod xi α  S α( )
i
erro i α( )2 S c( ) 1.22 10 10
g α( ) g0
i
erro i α( )
g1
i
e
α2 xi erro i α( ) 
g2
i
e
α2 xi xi erro i α( )
 
g
 J α( ) f g α( )
β α δ I j
 
J j
  g β( ) f
δ

j 0 2for
J

solução α( ) flag 0
f g α( )
β α J α( ) 1 f
f g β( )
flag 1 β α TOLif
flag 1 f TOLif
α β
flag 0=while
β

α solução c( ) αT 1.46998 3.20997 0.73598( ) S α( ) 6.72 10 11
5
j 0 50 Xj 1
j
20

1 1.5 2 2.5 3
2
2.5
3
ymod Xj α 
yi
Xj xi
2 2.5 3
2
2.5
3
yi
ymod xi α 
yi
Construindo a equação de diferenças como chute inicial e depois resolvendo a regressão não linear pelo Minimize do
MATHCAD
β Minimize S c( ) βT 1.46998 3.20997 0.73598( ) S β( ) 6.72 10 11
α β 4.02 10 7 Valor quase idêntico ao obtido por Newton-Raphson
6
 
12) Através de fotografias estroboscópicas de pequenas bolhas de ar é possível medir o 
perfil de velocidade próxima à parede de um tubo no qual escoa um fluido. Com um 
número de Reynolds de 1200 e com um tubo de 1 polegada de diâmetro interno os 
seguintes pontos experimentais são obtidos: 
 
 
y (distância à parede) 
cm 
u (velocidade) 
cm/s 
y (distância à parede) 
cm 
u (velocidade) 
cm/s 
0.003 0.03 0.056 0.85 
0.021 0.32 0.061 0.92 
0.025 0.30 0.070 1.05 
0.025 0.33 0.078 1.117 
0.037 0.57 0.085 1.32 
0.043 0.66 0.092 1.38 
0.049 0.74 0.106 1.57 
0.053 0.80 0.113 1.65 
0.055 0.84 
 
A função que melhor ajusta o perfil de velocidade é: 2)( yqypyu  , baseado nos 
dados acima determineos valores de p e q.
TOL 10 9
y
.003
.021
.025
.025
.037
.043
.049
.053
.055
.056
.061
.070
.078
.085
.092
.106
.113


 u
.03
.32
.30
.33
.57
.66
.74
.80
.84
.85
.92
1.05
1.117
1.32
1.38
1.57
1.65


 i 0 16 Ai 0 yi Ai 1 yi 2
c AT A  1 AT u c 15.12523
2.71883


umod y c( ) y c0 c1 y 
j 0 100 Yj y16
j
100

0 0.05 0.1
0
0.5
1
1.5
2
ui
umod Yj c 
yi Yj
0 0.5 1 1.5
0
0.5
1
1.5
ui
umod yi c 
ui
5
13) Os coeficientes de transferência de calor em trocadores da calor são adequadamente 
modelados por expressão do tipo: 
 rNu  PrRe 
Onde Nu, Re e Pr são, rspectivamente, os números de Nusselt, Reynolds e Prandt e r é a 
razão entre a viscosidade à temperatura média do fluido e à temperatura da parede; , , 
 e  são constantes. Os seguintes dados experimentais estão disponíveis: 
Nu Re Pr r 
277 49000 2.30 0.947
348 68600 2.28 0.954
421 84800 2.27 0.959
223 34200 2.32 0.943 
177 22900 2.36 0.936 
114.8 1321 246 0.592
95.9 931 247 0.583
68.3 518 251 0.579
49.1 346 273 0.290 
56.0 122.9 1518 0.294
39.9 54.0 1590 0.279
47.0 84.6 1521 0.267
94.2 1249 107.4 0.724 
99.9 1021 186 0.612 
83.1 465 414 0.512
35.9 54.8 1302 0.273
 
Estimar os valores de , ,  e  que melhor ajustam os pontos acima.
TOL 10 9
A
277
348
421
223
177
114.8
95.9
68.3
49.1
56
39.9
47
94.2
99.9
83.1
35.9
49000
68600
84800
34200
22900
1321
931
518
346
122.9
54
84.6
1249
1021
465
54.8
2.3
2.28
2.27
2.32
2.36
246
247
251
273
1518
1590
1521
107.4
186
414
1302
.947
.954
.959
.943
.936
.592
.583
.579
.29
.294
.279
.267
.724
.612
.512
.273



Estimativa Inicial dos Parâmetros a Partir da Regressão Linear do Logaritmo da Função
i 0 15 Bi 0 1 k 1 3 B
k  ln A k  
c BT B  1 BT ln A 0   cT 0.63 0.56 0.25 0.07( ) a0 ec0 ak ck
Nusselt i a( ) a0 Ai 1 a1 Ai 2 a2 Ai 3 a3 aT 0.5347 0.5588 0.2524 0.0677( )
5
Minimização da Função Soma dos Quadrados dos Erros pelo Minimize
S a( )
i
Ai 0 Nusselt i a( ) 2 S a( ) 2.82 103
b Minimize S a( ) bT 0.1512 0.6716 0.337 0.0991( ) S b( ) 8.2 102
Minimização da Função Soma dos Quadrados dos Erros Relativos pelo Minimize
Srel a( )
i
1
Nusselt i a( )
Ai 0


2 Srel a( ) 0.14 Srel b( ) 0.19
c Minimize Srel a  xx 25300  n 0 1cT 0.5714 0.5519 0.2546 0.0052( ) Srel c( ) 0.13
100 200 300
100
200
300
xxn
Nusselt i b( )
Nusselt i c( )
xxn Ai 0 Ai 0
E1i
Ai 0 Nusselt i b( ) E2i Ai 0 Nusselt i c( ) max E1  12.44 max E2  51.28
Erel1i
E1i
Ai 0
100 Erel2i
E2i
Ai 0
100 max Erel1  24.86 max Erel2  23.13
6
14) Encontre o mínimo das seguintes funções objetivo usando os métodos diretos e indiretos 
descritos nas seções 7.2 e 7.3 e compare os resultados em termos do número de funções objetivo 
avaliadas por cada método: 
 
a) S(x) = 100 (x2  x12)2 + (1  x1)2 
R: xo = [1 1]T S(xo) = 0 
 
b) S(x) = [1,5 x1 (1  x2)]2 + [2,25 x1 (1 x22)]2 + [2,625 x1 (1  x23)]2 
R: xo = [3 0,5] T S(xo) = 0 
 
c) S(x) = 4 x12  2 x1 x2 + x22 
R: xo = [0 0] T S(xo) = 0 
 
d) S(x) = exp(x1) (4 x12 + 2 x22 + 4 x1 x2 + 2 x2 + 1) 
R: xo = [0,5 -1] T S(xo) = 0 
 
e) S(x) = 4 (x1  5)2 + (x2  6)2 
R: xo = [5 6] T S(xo) = 0 
 
f) S(x) = x12  5 x1 + 3 x22 + 3 
R: xo = [2,5 0] T S(xo) = -3,25 
 
g) S(x) = (x1  2)2 + (x2  1)2 
R: xo = [2 1] T S(xo) = 0