119 ap1 civ 2011 2 gab

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Ca´lculo IV – AP1 – Tutor
Questa˜o 1 [2,0 pts]: Invertendo a ordem de integrac¸a˜o, calcule
∫
1
0
∫
3
3y
ex
2
dxdy.
Soluc¸a˜o: Temos
I =
∫
1
0
∫
3
3y
ex
2
dxdy =
∫∫
D
ex
2
dxdy
onde a regia˜o de integrac¸a˜o D e´ dada por D :
{
0 ≤ y ≤ 1
3y ≤ x ≤ 3 descrita como uma regia˜o do tipo II
e cujo esboc¸o e´ dado pela figura que se segue.
x
y
D
entra em y = 0
sai em y =
x
31
3
Para inverter a ordem de integrac¸a˜o em I, devemos descrever D como uma regia˜o do tipo I. Temos
que D :
{
0 ≤ x ≤ 3
0 ≤ y ≤ x
3
. Enta˜o:
I =
∫
3
0
∫ x/3
0
ex
2
dydx =
∫
3
0
ex
2 x
3
dx =
1
3
· 1
2
∫
3
0
ex
2
(2x) dx =
1
6
[
ex
2
]3
0
=
1
6
(
e9 − 1) .
Questa˜o 2 [2,0 pts]: Calcule a massa de uma placa fina que tem a forma do conjunto
D = {(x, y) ∈ R2 | 1 ≤ x2 + y2 ≤ 9 , y ≥ 0}, sendo a densidade proporcional a` distaˆncia do ponto
a` origem.
Soluc¸a˜o: O esboc¸o da placa D esta´ representado na figura que se segue.
x
y
D
3
3
1
1
Ca´lculo IV AP1 – Tutor 2
A densidade δ(x, y) e´ dada por δ(x, y) = k
√
x2 + y2, onde k > 0 e´ a constante de proporcionalidade.
A massa M e´ dada por:
M =
∫∫
D
δ(x, y) dxdy = k
∫∫
D
√
x2 + y2 dxdy .
Passando para coordenadas polares, tem-se

x = r cos θ
y = r sen θ
dxdy = rdrdθ
x2 + y2 = r2
e Drθ :
{
1 ≤ r ≤ 3
0 ≤ θ ≤ pi . Enta˜o:
M = k
∫∫
Drθ
√
r2 r drdθ = k
∫
3
1
r2
∫ pi
0
dθdr = kpi
∫
3
1
r2 dr =
= kpi
[
r3
3
]3
1
=
kπ
3
(27− 1) = 26kπ
3
u.m.
Questa˜o 3 [2,0 pts]: Calcule o momento de ine´rcia em relac¸a˜o ao eixo z do so´lido limitado
inferiormente pelo cone z =
√
x2 + y2 e superiormente pelo plano z = 1, sendo a densidade dada
por δ(x, y, z) = z2.
Soluc¸a˜o: O esboc¸o do so´lido W esta´ representado na figura que se segue.
x
y
z
W
1
Temos
Iz =
∫∫∫
W
(
x2 + y2
)
δ(x, y, z) dV =
∫∫∫
W
(
x2 + y2
)
z2 dV .
Passando para coordenadas cil´ındricas, temos

x = r cos θ
y = r sen θ
z = z
dV = r drdθdz
x2 + y2 = r2
.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Ca´lculo IV AP1 – Tutor 3
A descric¸a˜o de W em coordenadas cil´ındricas e´:
Wrθz :


0 ≤ r ≤ 1
0 ≤ θ ≤ 2pi
r ≤ z ≤ 1
.
Enta˜o:
Iz = k
∫∫∫
Wrθz
(
r2 · z2) r drdθdz = ∫∫∫
Wrθz
r3z2 drdθdz =
∫
1
0
r3
∫
1
r
z2
∫
2pi
0
dθdzdr =
= 2pi
∫
1
0
r3
∫
1
r
z2 dzdr = 2pi
∫
1
0
r3
[
z3
3
]1
r
dr =
2π
3
∫
1
0
r3
(
1− r3) dr = 2π
3
∫
1
0
(
r3 − r6) dr =
=
2π
3
[
r4
4
− r
7
7
]1
0
=
2π
3
(
1
4
− 1
7
)
=
π
14
.
Questa˜o 4 [2,0 pts]: Calcule
∫∫∫
W
√
x2 + y2 + z2 dV , onde W e´ o so´lido limitado pela semiesfera
x2 + y2 + z2 = 4, com z ≥ 0 e o plano z = 0.
Soluc¸a˜o: O esboc¸o de W esta´ representado na figura que se segue.
x
y
z
W
~n
~n
S1
S2
2
2
2
Passando para coordenadas esfe´ricas temos:

x = ρ senφ cos θ
y = ρ senφ sen θ
z = ρ cosφ
dV = ρ2 senφ dρ dφ dθ
x2 + y2 + z2 = ρ2
.
O conjunto W trandforma-se em:
Wρφθ =
{
(x, y, z) ∈ R3 | 0 ≤ ρ ≤ 2 , 0 ≤ φ ≤ pi/2 , 0 ≤ θ ≤ 2pi} .
Enta˜o:∫∫∫
W
√
x2 + y2 + z2 dV =
∫∫∫
Wρφθ
√
ρ2 · ρ2 senφ dρdφdθ =
∫∫∫
Wρφθ
ρ3 senφ dρdφdθ =
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Ca´lculo IV AP1 – Tutor 4
=
∫ pi/2
0
senφ
∫
2
0
ρ3
∫
2pi
0
dθdρdφ = 2pi
∫ pi/2
0
senφ
∫
2
0
ρ3 dρdφ = 2pi
[
ρ4
4
]2
0
∫ pi/2
0
senφ dφ =
= 2pi · 16
4
[
− cosφ
]pi/2
0
= 8pi(0 + 1) = 8pi .
Questa˜o 5 [2,0 pts]: Seja C a intersec¸a˜o da semiesfera x2 + y2 + z2 = a2, com a > 0 e x ≥ 0,
com o plano y = z. Determine o valor de a se
∫
C
3xyz ds = 16 .
Soluc¸a˜o: De x2 + y2 + z2 = a2 com x ≥ 0 e y = z temos x2 + 2z2 = a2, com x ≥ 0, donde temos
que
x2
a2
+
z2
a2/2
= 1, com x ≥ 0 (semielipse) que e´ a projec¸a˜o de C no plano xz. Enta˜o x = a cos t,
z = a√
2
sen t e y = a√
2
sen t. Como x ≥ 0 enta˜o a cos t ≥ 0 donde −pi/2 ≤ t ≤ pi/2. Assim, uma
parametrizac¸a˜o de C e´ dada por C : γ(t) =
(
a cos t, a√
2
sen t, a√
2
sen t
)
, com −pi/2 ≤ t ≤ pi/2.
Logo, γ′(t) =
(
−a sen t, a√
2
cos t, a√
2
cos t
)
, donde
ds = ‖γ′(t)‖ dt =
√
a2 sen2 t +
a2
2
cos2 t +
a2
2
cos2 t dt =
√
a2 sen2 t + a2 cos2 t dt = a dt .
Temos ∫
C
3xyz ds =
∫ pi/2
−pi/2
3 · a
3
2
(cos t)
(
sen2 t
) · a dt = 3
2
a4
∫ pi/2
−pi/2
cos t sen2 t dt =
=
3a4
2
[
sen
3 t
3
]pi/2
−pi/2
= a4 .
De
∫
C
3xyz ds = 16, temos a4 = 16 donde a = 2 pois a > 0.
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