Listas Collier

Prévia do material em texto

CÁLCULO NUMÉRICO � UFRJ � 2016
LISTAS DE EXERCÍCIOS
Lista 0: revisão de cálculo
1. Ao longo desta lista usaremos as seguintes propriedades de uma função con-
tínua g definida em um intervalo fechado e limitado I:
• g admite um máximo e um mínimo em I;
• g assume todos os valores reais possíveis entre seu máximo e seu mínimo.
O segundo resultado acima é conhecido como teorem do valor intermediário.
2. Esboce o gráfico:
(a) de uma função contínua definida em (0, 1), que não tem máximo, nem
mínimo neste intervalo;
(b) de uma função contínua definida em [0,∞], que não tem máximo ou não
tem mínimo neste intervalo;
(c) de uma função descontínua definida em [0, 1], que não satisfaz o teorema
do valor intermediário.
3. Seja h : [a, b]→ R uma função contínua que é diferenciável no intervalo aberto
(a, b) e para a qual h(a) = h(b).
(a) Mostre que h admite um máximo e um mínimo em [a, b].
(b) Mostre que o máximo ou o mínimo de h ocorrem no intervalo (a, b).
(c) Mostre que h′(c) = 0 em algum ponto de c ∈ (a, b).
O resultado deste exercício é conhecido como teorema de Rolle.
4. Seja f : [a, b] → R uma função contínua e diferenciável, cuja derivada é
contínua no intervalo aberto (a, b).
(a) Determine a equação da função r(x) cujo gráfico é a reta que passa pelos
pontos (a, f(a)) e (b, f(b)).
(b) Mostre que h(x) = f(x)−r(x) satisfaz as condições do teorema de Rolle.
(c) Calcule r′(x).
(d) Conclua de (b) e do teorema de Rolle que h′(c) = 0 para algum c ∈ (a, b).
(e) Calcule h′(c) = f ′(c)− r′(c).
(f) Deduza de (d) que f(b)− f(a) = f ′(c)(b− a).
O resultado deste exercício é conhecido como teorem do valor médio.
1
2 LISTAS DE EXERCÍCIOS
5. O comprimento de arco, entre a e t, de uma curva diferenciável parametrizada
C : [a, b]→ R2 é definido por
s(t) =
∫ t
a
‖C ′(v)‖dv.
A parametrização C(s) desta curva relativamente ao comprimento de arco s
está relacionada à parametrização acima por C(t) = C(s(t)).
(a) Mostre que
ds
dt
(v) = ‖C ′(v)‖.
(b) Mostre que
dC
dt
(t) =
dC
ds
(s(t)) · ds
dt
(t).
(c) Conclua de (a) e (b) que∥∥∥∥dCds (s(t))
∥∥∥∥ = 1.
6. Considere uma curva diferenciável C : [a, b] → R2 parametrizada pelo com-
primento de arco s. Seja `0 a reta tangente a C em s0 e θ0 o ângulo entre ` e
o eixo das abscissas.
(a) Mostre que se C(s) = (x(s), y(s)), então tan(θ0) = y
′(s0)/x′(s0).
(b) Use a letra (c) da questão anterior para mostrar que x′(s)2 + y′(s)2 = 1.
(c) Use (a) e (b) para mostrar que y′(s0) = sen(θ0) e x′(s0) = cos(θ0).
7. Seja f : [a, b] → R uma função contínua, cuja segunda derivada existe e é
contínua em (a, b). Use o teorema de Rolle para mostrar que, se
f(a) = f(c) = f(b)
para algum c ∈ (a, b), então
(a) existem pontos ξ1 ∈ (a, c) e ξ2 ∈ (c, b) tais que f ′(ξ1) = f ′(ξ2) = 0;
(b) existe um ponto η ∈ (ξ1, ξ2) tal que f ′′(η) = 0.
8. Seja f : [a, b] → R uma função cujas primeiras k derivadas existem e são
contínuas em (a, b). Generalize o argumento da questão anterior para mostrar
que se f tem k + 1 zeros em [a, b] então existe um ponto em (a, b) onde a k-
ésima derivada de f se anula.
CÁLCULO NUMÉRICO � UFRJ � 2016 3
Lista 1: ponto flutuante e erros
1. Considere uma máquina cujo sistema de representação de números tem base
10, com um dígito para o sinal, 5 dígitos para a mantissa e expoente no
intervalo [−100, 100]. Suponha que x = 1030, y = −1030 e z = 1.
(a) Calcule, separadamente, (x+ y) + z e x+ (y + z).
(b) O que (a) nos permite afirmar sobre as propriedades da soma em ponto
flutuante?
(c) O que isto significa, do ponto de vista prático, quando você precisa cal-
cular o valor de uma expressão aritmética?
2. Em cada um dos itens abaixo são dados um número p e uma aproximação p
de p. Determine, em cada caso, o erro absoluto, o erro relativo e a quantidade
de algarismos corretos.
(a) p = 123 e p = 1106
9
;
(b) p = 1/e e p = 0.3666;
(c) p = 210 e p = 1000;
(d) p = 24 e p = 48.
3. Para cada um dos números dados abaixo determine uma aproximação com
erro absoluto 0.001 e uma aproximação com erro relativo 0.001.
(a) pi;
(b)
√
5;
(c) ln(3);
(d) 10/ ln(1.1).
4. Em cada item abaixo é dada uma aproximação p de um número p. Determine
os possíveis valores de p quando o erro absoluto é 0.0005 e quando o erro
relativo é 0.0005.
(a) p = 0.2348263818643;
(b) p = 23.89627345677;
(c) p = −8.76257664363.
5. Determine p e p, sabendo-se que p aproxima p com erro absoluto 1/100 e erro
relativo 3/100.
6. Determine os valores de p e p sabendo-se que p é uma aproximação de p para
a qual o erro relativo e o erro absoluto coincidem.
Quando um número resulta de uma medição, o erro absoluto cometido ao
obtê-lo não deveria ultrapassar a precisão do aparelho usado na medida, que
normalmente consta de suas especificações. Isto nos permite estimar o erro
absoluto cometido em uma medição, sem conhecer o valor exato. Entretanto,
4 LISTAS DE EXERCÍCIOS
o erro relativo é definido como o erro absoluto dividido pelo valor exato da
medição. Como, então, calculá-lo, se não conhecemos o valor exato do que
estamos medindo? A saída, naturalmente, é estimar o erro relativo usando
o valor medido, em vez do valor exato, como denominador. Mas só podemos
fazer isto se os valores forem próximos um do outro. É este o objetivo dos
próximos exercícios.
7. Sejam a, b e e números reais não nulos.
(a) Mostre, usando a desigualdade triangular, que
|a− b| ≥ |a| − |b| e que |a− b| ≥ |b| − |a|.
(b) Mostre, usando (a) que
|a− b| ≥ ||a| − |b|| = ||b| − |a||.
(c) Mostre, usando (b), que se ||a| − |b|| ≤ e, então
−e ≤ |a| − |b| ≤ e.
8. Sejam a, b e e números reais não nulos tais que
|a− b|
|b| ≤ e < 1.
Use o exercício 7 para provar as seguintes desigualdades
(a)
1− e ≤ |a||b| ≤ 1 + e.
(b)
1
1 + e
≤ |b||a| ≤
1
1− e.
(c)
|a− b|
|a| ≤
e
1− e.
Sugestão para (c):
|a− b|
|a| =
|b|
|a|
|a− b|
|b|
e use (b) e a condição |a− b|/|b| < e.
CÁLCULO NUMÉRICO � UFRJ � 2016 5
9. Seja e < 1 um número real. Mostre, usando a soma de uma progressão
geométrica, que
1 <
1
1− e = 1 + e+ e
2 + e3 + · · ·
e conclua disto que se e < 0.5, então
e
1− e ≤ e+ 2e
2.
Por exemplo, se e < 10−1, então
1
1− e ≤ 0.0102.
10. Seja a o valor exato e b o valor medido de uma determinada variável. Combine
os exercícios 8 e 9 para mostrar que se
|a− b|
|b| ≤ e < 1,
então o erro relativo correspondente é aproximadamente igual a e.
6 LISTAS DE EXERCÍCIOS
Lista 2: fórmula de Taylor com resto
1. Considere a função f(x) = sen(pix/2) e seja Pn(x) seu polinômio de Taylor
de ordem n na origem. Determine n de modo que, para todo 0 ≤ x ≤ 2pi,
o polinômio Pn(x) seja uma aproximação de f(x) para a qual as 6 primeiras
casas decimais são corretas.
2. Seja f : [−a, a]→ R a função definida por f(x) = ex.
(a) Calcule o polinômio de Taylor P2(x) de ordem dois de f(x) na origem.
(b) Qual o maior valor de a para o qual podemos usar P2(x) para aproximar
f(x) com erro inferior a 0.005 em todo o intervalo [−a, a]?
3. Sejam f(x) = x1/3 e x0 < x
∗
0 números reais positivos. Denote por Ex o erro
relativo cometido ao usar x∗0 como aproximação de x0 e por Ef o erro relativo
cometido ao usar f(x∗0) como aproximação de f(x0).
(a) Determine uma cota superior para Ef − Ex/3 em função de x0 e de Ex.
(b) Qual a relação que Ex e x0 devem satisfazer para que Ex/3 seja uma
aproximação de Ef com erro inferior a 10
−6
?
4. A função erro é definida por
erf(x) =
2√
pi
∫ x
0
exp(t2)dt.
(a) Calcule o polinômio de Taylor de ordem três de erf(x) na origem.
(b) Determine a > 0 de modo que este polinômio aproxime o valor correto
de erf(x) com erro inferior a 10−3 para todo 0 ≤ x ≤ a?
5. Considere a função f(x) cujos valores são dados na tabela abaixo:
x 0 0.1 0.2 0.3 0.4
f(x) 0.0000 0.0819 0.1341 0.1646 0.1797
Calcule f ′(x) e f ′′(x) emx = 0.1 e x = 0.3 usando diferenças centradas.
CÁLCULO NUMÉRICO � UFRJ � 2016 7
Lista 3: problemas de valores de contorno
1. Resolva os seguintes problemas de valores de contorno no intervalo [0, 1]
usando o método das diferenças finitas com o passo h = 0.2:
(a) y′′ + y = 0 com y(0) = 0 e y(1) = 1;
(b) y′′ = 4(y − x) com y(0) = 0 e y(1) = 2;
(c) y′′ + 2y′ + y = x com y(0) = 2 e y(1) = 0;
(d) y′′ = −3y′ + 2y + 2x+ 3, com y(0) = 2 e y(1) = 1;
(e) y′′ = −(x+ 1)y′ + 2y + (1− x2)e−x com y(0) = −1 e y(1) = 0.
2. Considere o problema de valores de contorno no intervalo [0, pi/2] dado por
y′′ + y = 0, com y(0) = 0 e y(pi/2) = 2.
(a) Resolva este problema pelo método das diferenças finitas com h = pi/8.
(b) Ache a solução exata deste problema usando oMaxima, ou outro sistema
de computação algébrica, e determine os erros cometidos em cada ponto
da malha.
3. Considere o problema de valores de contorno no intervalo [0, pi/2] dado por
y′′ = y′ + 2y + cos(x), com y(0) = −0.3 e y
(pi
2
)
= −0.1.
(a) Resolva este problema pelo método das diferenças finitas com h = pi/4.
(b) Ache a solução exata deste problema usando oMaxima, ou outro sistema
de computação algébrica, e determine os erros cometidos em cada ponto
da malha.
4. A temperatura T (x) de uma barra uniformemente aquecida por uma fonte de
calor é dada por
T ′′(x) = −f(x).
Supondo que f(x) = 25oC e que as temperaturas nas extremidades da barra
são T (0) = 40oC e T (8) = 200oC, esboce, usando splines lineares, a curva que
descreve a distribuição de calor nesta barra quando tomamos h = 2.
8 LISTAS DE EXERCÍCIOS
Lista 4: decomposição PLU e solução de sistemas lineares
1. Resolva cada um dos sistemas triangulares abaixo pelo método substituição
reversa.
(a)

x− y − 2z − w = 0
5y + 3z + w = 2
−z − w = 0
w = 9
(b)

x+ 2y − w = 0
y + 2z − w = 0
2z − w = 0
−3w = 6
2. Calcule a decomposição LU das seguintes matrizes (sem pivoteamento par-
cial):
A =
[
4 3
6 3
]
B =
1 2 −14 3 1
2 2 3
 C =
2 2 12 3 −2
4 1 −2
 D =
2 2 12 2 −2
4 3 −2

3. Calcule a decomposição PLU das seguintes matrizes (sem pivoteamento par-
cial):
A =
 1 2 64 8 −1
−2 3 5
 , B =

1 4 6 1
2 8 5 −1
3 5 2 −5
4 2 −1 −3
 , C =

1 4 2 3
1 2 1 0
2 6 3 1
0 0 1 4

4. Calcule a decomposição PLU, com pivoteamento parcial, das seguintes ma-
trizes.
(a)
2.0 4.0 1.04.0 −10.0 2.0
1.0 2.0 4.0
 (b)

4.0 2.0 −1.0 3.0
3.0 −4.0 2.0 5.0
−2.0 6.0 −5.0 −2.0
5.0 1.0 6.0 −3.0
 (c)

4.0 2.0 3.0 4.0
6.0 5.0 4.0 5.0
3.0 5.0 4.0 7.0
3.0 6.0 8.0 3.0

5. Seja P uma matriz de permutação n× n.
(a) Mostre que a inversa de P é a sua transposta P t.
(b) Mostre que o determinante de P é igual a ±1.
(c) Descreva um algoritmo que, tendo como entrada a permutação das linhas,
determina o sinal de det(P ).
6. Seja A uma matriz n× n cuja decomposição PLU é dada por PA = LU .
(a) Calcule o determinante de L.
CÁLCULO NUMÉRICO � UFRJ � 2016 9
(b) Explique como calcular o determinante de U .
(c) Descreva um algoritmo que, tendo como entrada a decomposição PLU
de uma matriz, calcula o seu determinante.
(d) Calcule o determinante das matrizes dos exercícios 1 e 2.
7. Sejam L1 e L2 matrizes triangulares inferiores n× n.
(a) Dada uma matriz triangular inferior, determine sua decomposição como
produto de matrizes da forma Eji(c), em que 1 ≤ i < j ≤ n e c ∈ R.
(b) Mostre que L1L2 é triangular inferior.
(c) Mostre que se as diagonais de L1 e L2 são ambas formadas apenas de 1s,
então o mesmo vale para L1L2.
(d) Mostre que a inversa de uma matriz triangular inferior também é trian-
gular inferior.
(e) Que tipo de matriz é a transposta de uma matriz triangular inferior?
8. Seja A uma matriz quadrada inversível e suponha que A admite duas de-
composições da forma A = L1U1 e A = L2U2, em que L1 e L2 são matrizes
triangulares inferiores e U1 e U2 são matrizes triangulares superiores.
(a) Mostre que U−11 e U1U2 são triangulares superiores.
(b) Mostre que L−12 L1 = U2U
−1
1 é igual à matriz identidade.
(c) Conclua que a decomposição LU de uma matriz inversível é única.
Sugestões: em (a) use o item (e) do exercício anterior para reduzir o pro-
blema para matrizes triangulares inferiores; em (b), use (a) e os itens (b) e
(c) do exercício anterior.
10 LISTAS DE EXERCÍCIOS
Lista 5: interpolação e ajuste de curvas
1. A tabela abaixo contém alguns valores da função f : [−2, 2]→ R. Use inter-
polação para achar uma aproximação para a raiz de f no intervalo [−1.2, 1.1].
x -1.2 0.3 1.1
f(x) -5.76 -5.61 -3.69
2. A tabela abaixo resulta da medida da densidade do ar ρ em várias altitudes
h. Use interpolação para encontrar o polinômio quadrático que modela a
variação de densidade com a altitude.
h(km) 0 3 6
ρ(kg/m3) 1.225 0.905 0.652
3. Use uma calculadora para determinar os valores do cosseno nos pontos 0.8,
0.9, 1.0, 1.1, .2 e 1.3. Use estes dados e interpolação para achar um polinômio
de grau 3 que lhe permita calcular cos(1.07).
4. Sejam v1 = (1, 1, 2) e v2 = (2,−1, 1) vetores do R3. Determine:
(a) um vetor perpendicular a v1 e v2;
(b) a equação cartesiana do plano pi que contém os vetores v1 e v2;
(c) as equações paramétricas da reta que é perpendicular a pi e passa pelo
ponto (1, 1, 1);
(d) o ponto do plano que está mais próximo de (1, 1, 1).
5. Considere os dados da tabela abaixo:
x 1 3 5 8
y 2 3 6 7
(a) Determine a reta que melhor se adapta a estes dados.
(b) Esboce a reta e os pontos dados.
(c) Calcule os erros ei cometidos ao aproximar yi pelo ponto correspondente
da reta que você obteve em (a).
(d) Calcule a soma dos quadrados dos erros encontrados em (c).
6. Calcule o polinômio quadrático cujo gráfico melhor se ajusta aos pontos
(1,−2), (0,−1), (1, 0) e (2, 4).
CÁLCULO NUMÉRICO � UFRJ � 2016 11
7. Determine o polinômio linear e o polinômio quadrático cujos gráficos melhor
se adaptam aos pontos da tabela abaixo.
x -3 -1 0 1 3
y 3 2 1 -1 -4
8. Mostre que a reta que melhor se ajusta aos pontos (x0, y0), . . . , (xn, yn) passa
pelo ponto (x, y), em que x é a média das abscissas e y a média da ordenadas
dos pontos dados.
9. Considere os dados da seguinte tabela
x 2.5 3.5 5 6 7.5 10 12.5 15 17.5 20
y 13 11 8.5 8.2 7 6.2 5.2 4.8 4.6 4.3
(a) Ache a curva da forma y = axb que melhor se ajusta a estes dados.
(b) Use a curva obtida em (a) para calcular uma aproximação de y em x = 9.
Sugestão: Use ajuste polinomial para encontrar os valores de ln(a) e b que
melhor se ajustam a ln(y) = ln(a) + b ln(x). Note que para isso é necessário
calcular a tabela que relaciona ln(y) a ln(x).
10. Os dados abaixo foram obtidos monitorando a concentração da bactéria E.
coli em uma certa praia, depois de uma tempestade:
t 4 8 12 16 20 24
c 1590 1320 1000 900 650 560
Nesta tabela, t corresponde ao tempo em horas transcorrido a partir do final
da tempestade e c à concentração de bactérias em UFC/1000 ml (UFC =
unidade de formação de colônias).
(a) Calcule a reta e a curva da forma y = atb que melhor aproximam estes
dados e mostre que produzem resultados impossíveis.
(b) Determine a exponencial y = a exp(bt) que melhor se ajusta a estes dados.
(c) Use a curva obtida em (b) para estimar a concentração de bactérias no
início da tempestade.
(d) Use a curva obtida em (b) para estimar depois de quantas horas a con-
centração atingirá 200 UFC/1000 ml.
12 LISTAS DE EXERCÍCIOS
Lista 6: problemas de valor inicial
Nesta lista a variável independente é sempre tomada como sendo t e
y˙, y¨ e
...
y
denotam a primeira, segunda e terceira derivadas de y = y(t)
em função de t.
1. Use o método de Euler para resolver os seguintes problemas de valores iniciais:
(a) y˙= te3t − 2y, 0 ≤ t ≤ 1, y(0) = 0, com h = 0.5;
(b) y˙ = −y + ty1/2, 2 ≤ t ≤ 3, y(2) = 2, com h = 0.25;
(c) y˙ = cos(2t) + sen(3t), 0 ≤ t ≤ 1, y(0) = 1, com h = 0.25;
(d) y˙ = et − y , 0 ≤ t ≤ 1, y(0) = 1, com h = 0.5.
2. Ache a solução exata das equações do exercício 1 usando o Maxima ou outro
sistema de computação algébrica.
3. Use as fórmulas do exercício anterior para calcular o erro relativo cometido
em cada etapa da execução do algoritmo de Euler no exercício 1.
4. Considere a equação diferencial y˙ = y1/3 e as funções
f(t) = 0 e gc(t) =
(
2t+ 3c2/3
3
)3/2
.
(a) Mostre que f(t) e gc(t) são ambas soluções da equação.
(b) Mostre que f(t) e g0(t) são ambas soluções do problema de valor inicial
dado pela equação com a condição inicial y(0) = 0.
(c) Qual das duas soluções será produzida se você aplicar o método de Euler
a esta equação com valor inicial y(0) = 0?
(d) Verifique que, se c > 0 então gc(t) é a solução produzida pelo método de
Euler para o problema de valor inicial dado pela equação com a condição
inicial y(0) = c. Você pode usar h = 0.1.
5. Considere a equação diferencial y˙ = y sen(y) + t com y(0) = 1.
(a) Calcule y˙(0), y¨(0) e
...
y (0).
(b) Determine a série de Taylor de y até ordem três.
(c) Use (b) para calcular y(0.2).
6. Converta as seguintes equações diferenciais em equações de primeira ordem
da forma v˙ = F (t, v), em que v é um vetor e F (t, v) é uma função vetorial
de t e v e escreva a recorrência correspondente ao método de Euler para cada
uma delas.
(a) ln(y˙) + y = sen(t);
(b) y¨y − xy˙ − 2y2 = 0;
(c)
....
y − 4y¨√1− y2 = 0;
(d) (y¨)2 = |32y˙t− y2|.
CÁLCULO NUMÉRICO � UFRJ � 2016 13
7. Sejam g1 = g1(t, y), g2 = g2(t, y) e g3 = g3(t, y) três funções contínuas e
considere o problema de valor inicial dado pela equação de terceira ordem
...
y + g1y¨ + g2y˙ + g3 = 0
com condições iniciais
y(0) = y˙(0) = y¨(0) = 0.
(a) Descreva o sistema de dimensão três correspondente à equação dada.
(b) Explicite a recorrência obtida quando o método de Euler é aplicado a
este problema.
8. Considere o problema de valor inicial dado por y˙ = y e y(0) = 1.
(a) Determine a recorrência obtida aplicando o método de Euler a este pro-
blema no intervalo [0, 1], quando este intervalo é dividido em n partes
iguais.
(b) Calcule yn em função apenas de n.
(c) Calcule limn→∞ yn e explique porque este resultado não é surpreendente.
9. Considere o problema de valor inicial dado por
x˙ = λ1x
y˙ = λ2y
em que x(0) = 1 e y(0) = 1.
(a) Escreva o sistema na forma X˙ = F (X), em que X = X(t) = (x(t), y(t))
e F (X) é uma função linear de X.
(b) Mostre que a origem é um ponto fixo deste sistema.
(c) Ache a solução exata do sistema.
(d) Descreva o comportamento da solução quando λ1 · λ2 > 0.
(e) Como se comportam as soluções quando λ1 · λ2 < 0?
14 LISTAS DE EXERCÍCIOS
Lista 7: o método do ponto fixo
1. Mostre que cada uma das funções abaixo tem as raízes de f(x) = x4 + 2x2 −
x− 3 como ponto fixo:
(a) g1(x) = (3 + x− 2x2)1/4;
(b) g2(x) =
√
x+ 3− x4/√2;
(c) g3(x) =
√
(x+ 3)/(x2 + 2);
(d) g4(x) = (3x
4 + 2x2 + 3)/(4x3 + 4x− 1);
2. Para cada uma das funções do exercício anterior:
(a) Efetue quatro iterações do método do ponto fixo a partir de x0 = 1.
(b) Qual das funções produz o melhor resultado?
(c) Qual das funções satisfaz o critério de convergência do Teorema 2 no
intervalo [1, 2]?
3. Dê um exemplo, gráfico ou analítico, de uma função f(x) para a qual o método
do ponto fixo, com valor inicial x0:
(a) não acha nenhum zero para alguma escolha x0;
(b) acha um zero qualquer que seja x0;
(c) alterna entre dois valores para qualquer x0;
(d) converge lentamente para um zero, para algum x0
4. Use o método do ponto fixo para determinar uma raiz do polinômio x4−3x2−3
no intervalo [1, 2] com tolerância de 10−2.
5. Considere a função f(x) = pi+ 0.5 · sen (x/2), definida no intervalo [0, 2pi]. As
perguntas abaixo referem-se ao método do ponto fixo:
(a) usando a fórmula deduzida em sala estime quantas iterações seriam ne-
cessárias para encontrar o ponto fixo de f(x) com tolerância menor que
10−2;
(b) determine uma aproximação do ponto fixo de f(x) com tolerância menor
que 10−2;
(c) como a quantidade de iterações necessárias em (b) se compara com a
estimativa em (a)?
6. Para cada uma das equações abaixo:
• determine um intervalo em que a iteração de ponto fixo converge;
• estime quantas iterações seriam necessárias para encontrar uma solução
com tolerância menor que 10−5.
(a) x = (2− ex + x2)/3;
(b) x = 2 + (5/x2);
(c) x = (ex/3)1/2;
(d) x = 5−x;
CÁLCULO NUMÉRICO � UFRJ � 2016 15
(e) x = 6−x;
(f) x = (sen (x) + cos(x))/2.
Usando o Scilab, oMaxima ou algum software semelhante, determine quan-
tas iterações são efetivamente necessárias para achar uma raiz com a tolerância
pedida no intervalo de convergência que você encontrou.
7. Considere a iteração
xk+1 =
xk
2
+
1
xk
.
(a) Use o Teorema 2 para mostrar que xk converge para
√
2 quando x0 >
√
2.
(b) Use que 0 < (x0 −
√
2)2 quando x0 6=
√
2 para mostrar que se 0 < x0 <√
2, então x1 >
√
2.
(c) Use (a) e (b) para mostrar que xk converge para
√
2 para todo x0 > 0.
8. Considere as funções
g1(x) =
1
2
tan(x) e g2(x) = arctan(2x).
(a) Mostre que os zeros de tan(x) − 2x = 0 são pontos fixos de g1 e g2 e
vice-versa.
(b) Analise a convergência destas iterações no intervalo [1, pi/2].
16 LISTAS DE EXERCÍCIOS
Lista 8: os métodos de Newton-Raphson e da bisseção
1. Use o método de Newton-Raphson para achar zeros com tolerância máxima
de 10−4 para as seguintes funções, partindo do valor de x0 dado em cada caso:
(a) f(x) = x3 − 2x2 − 5 e x0 = 2;
(b) f(x) = x3 + 3x2 − 1 e x0 = −1;
(c) f(x) = x− cos(x) e x0 = pi/4;
(d) f(x) = x− 0.8− 0.2sen(x) e x0 = pi/4;
(e) f(x) = ex − 3x2 e x0 = 1;
(f) f(x) = sen(x)− e−x e x0 = 1.
2. Descreva um algoritmo, baseado no método de Newton-Raphson, que, tendo
como entrada um número real b retorna uma aproximação de sua raiz cúbica
com tolerância máxima igual a t.
3. A tabela abaixo contém o resultado da aplicação do método de Newton-
Raphson à função f(x) = 2 cos(x) + ex + 2−x − 6 no intervalo [1, 2], a partir
de diferentes valores iniciais x0.
x0 1.0 1.5 2.0
x1 3.469798 1.956489 1.850521
x2 2.726126 1.841533 1.82975
x3 2.197294 1.829506 1.829383
(a) Qual das três execuções do método de Newton-Raphson resultou na me-
lhor aproximação para o zero de f(x) em [1, 2]?
(b) Sabendo que apenas uma das três execuções retornou um valor abaixo da
tolerância 10−m, determine o valor inicial e o valor de m correspondentes.
4. Determine os pontos críticos da função f(x) = x(ln(x) − 1) + x2/2 usando o
método de Newton.
5. Seja x = ξ um zero de uma função f(x) e considere a função
g(x) = x− 2f(x)
f ′(x)
.
(a) Mostre que, se f ′(ξ) = 0, então a convergência do método de Newton-
Raphson não é quadrática.
(b) Mostre, usando a regra de l'Hospital, que g′(ξ) = 0.
CÁLCULO NUMÉRICO � UFRJ � 2016 17
(c) Mostre que se f ′(ξ) = 0, mas todas as outras hipóteses do método de
Newton-Raphson são satisfeitas, então a iteração definida por xi+1 =
g(xi) tem convergência quadrática para ξ.
6. Seja f : [a, b]→ R uma função contínua. O método da secante é uma variação
do método de Newton-Raphson na qual a tangente a y = f(x) em xk é
substituída pela secante entre xk e xk−1.
(a) Determine a iteração que deve ser usada no método da secante e descreva
o algoritmo correspondente. Quais serão as entradas deste algoritmo?
(b) Ilustre com um gráfico o método da secante de maneira semelhante ao
que fizemos com o método de Newton-Raphson.
(c) Aplique o método da secante para determinar uma aproximação α do
zero de f(x) = x− cos(x) no intervalo (0.5, 1.0) usando como critério de
parada que f(α) < 10−2.
7. Considerea equação x2 − 6 = 0.
(a) Calcule duas iterações do método de Newton-Raphson para achar a raiz
real positiva desta equação, tendo como valor inicial x0 = 2.
(b) Calcule duas iterações do método da secante para achar a raiz real posi-
tiva desta equação, tendo como valores iniciais x0 = 2 e x1 = 2.
(c) Qual dos dois métodos chegou mais perto do valor correto da raiz?
8. Dê um exemplo, gráfico ou analítico, de uma função f(x) para a qual o método
de Newton-Raphson, com valor inicial x0:
(a) não acha nenhum zero para alguma escolha de x0;
(b) acha um zero qualquer que seja x0;
(c) alterna entre dois valores sem nunca achar um zero para qualquer x0;
(d) converge lentamente para um zero, para algum x0
9. Considere a função f(x) =
√|x|.
(a) Determine a iteração do método Newton-Raphson correspondente a esta
função para um valor x 6= 0.
(b) De que forma o método de Newton-Raphson se comporta se tentarmos
aplicá-lo para achar o zero de f(x) começando com um valor positivo de
x0? E com um valor negativo de x0?
10. Determine, usando o método de bisseção, um intervalo de comprimento igual
ou menor a 0.1 no qual há uma raiz positiva de x3 − 2x2 − 3x− 10 = 0.
11. Determine a aproximação do zero de f(x) =
√
x − cos(x) obtida ao final da
terceira iteração do método de bisseção aplicado ao intervalo [0, 1]. Qual o
erro máximo cometido?
18 LISTAS DE EXERCÍCIOS
12. Determine, para cada uma das funções f(x) abaixo, uma aproximação com
tolerância menor que t, do zero de f(x) no intervalo I dado, pelo método de
bisseção:
(a) f(x) = x− 2−x = 0, t = 0.1 e I = [0, 1];
(b) f(x) = ex − x2 + 3x− 2 = 0, t = 0.01 e I = [0, 1];
(c) f(x) = 2x cos(2x)− (x+ 1)2 = 0, t = 0.1 e I = [−3,−2];
(d) f(x) = x cos(x)− 2x2 + 3x− 1 = 0, t = 0.01 e I = [0.2, 0.3].
13. Seja f : [a, b] → R uma função contínua. O método de posição falsa é uma
variação do método de bisseção. Nele o ponto médio do intervalo [αk, βk] é
substituído pelo ponto de interseção da reta que liga (αk, f(αk)) a (βk, f(βk)).
(a) Determine a equação da reta que liga (αk, f(αk)) a (βk, f(βk)).
(b) Determine a abscissa do ponto em que a reta acima corta o eixo x.
(c) Descreva as etapas do algoritmo do método de posição falsa.
(d) Aplique o método de posição falsa para determinar uma aproximação α
do zero de f(x) = x− cos(x) no intervalo (0.5, 1.0) usando como critério
de parada que f(α) < 10−2.
CÁLCULO NUMÉRICO � UFRJ � 2016 19
Lista 9: métodos iterativos para solução de sistemas lineares
1. Para cada um dos sistemas abaixo:
i. determineR e c tais que a iteração de Gauss-Jacobi seja v(n+1) = Rv(n)+c;
ii. calcule os autovalores e o raio espectral da matriz R;
iii. use (ii) para decidir se o sistema converge para o método de Gauss-Jacobi;
iv. caso o método de Gauss-Jacobi seja convergente, calcule as duas primei-
ras iterações neste método, tomando como ponto de partida v(0) = 0.
(a)

2x+ y + z = −1
2x+ 4y + 2z = 4
2x+ 2y + 4z = 5
(b)

x+ 2y − 2z = 7
2x+ y = 2
−2x+ z = 5
2. Para cada um dos sistemas abaixo:
i. determine R e c tais que a iteração de Gauss-Seidel seja v(n+1) = Rv(n)+c;
ii. calcule os autovalores e o raio espectral da matriz R;
iii. use (ii) para decidir se o sistema converge para o método de Gauss-Seidel;
iv. caso o método de Gauss-Seidel seja convergente, calcule as duas primeiras
iterações neste método, tomando como ponto de partida v(0) = 0.
(a)

2x+ y + z = −1
2x+ 4y + 2z = 3
2x+ 2y + 4z = 9
(b)

x+ 2y + 2z = 7
(1/2)x+ y + z = 2
x+ 5y + z = 5
3. Quais dos sistemas abaixo têm diagonal dominante? Quais dos que não têm
diagonal dominante passam a tê-la quando duas equações são trocadas de
lugar?
(a)

11x+ 4y + 6z = 11
4x+ 3y + 4z = 9
3x+ 2y + 2z = 7
(b)

4x− 2y − z = −21
−x− y + 5z = 5
−2x+ 3y − z = 2
(c)

6x− 4y + 3z = 20
−4x+ 6y = 4
3x+ 4z = 6
(d)

x+ 2y − 4z = 1
x+ 3y − z = 0
4x+ y + 2z = 1
20 LISTAS DE EXERCÍCIOS
4. Para cada um dos sistemas abaixo:
i. determine R e c tais que a iteração de Gauss-Seidel seja v(n+1) = Rv(n)+c;
ii. mostre que ‖v‖ < ‖Rv + c‖, qualquer que seja o vetor v;
iii. mostre que o método de Gauss-Seidel diverge para todos estes sistemas.
(a)
{
x1 − 2x2 = −1
2x1 + x2 = 3
(b)
{
−x1 + 4x2 = 1
3x1 − 2x2 = 2
(c)

2x1 − 3x2 = −7
x1 + 3x2 − 10x3 = 9
3x1 + x3 = 13
(d)

x1 + 3x2 − x3 = 5
3x1 − x2 = 5
x2 + 2x3 = 1
5. Para cada um dos sistemas do exercício anterior.
(a) Mostre que é possível trocar as equações de posição de modo que o mé-
todo de Gauss-Seidel seja convergente quando aplicado ao sistema, qual-
quer que seja o vetor tomado como partida.
(b) Calcule duas iterações do método de Gauss-Seidel aplicado ao sistema
tendo o vetor nulo como ponto de partida.
6. Mostre que, apesar dos sistemas abaixo não terem diagonal dominante, o
método de Gauss-Seidel converge quando aplicado a cada um deles.
(a)
{
−4x1 + 5x2 = 1
x1 + 2x2 = 3
(b)

5
3
x1 + 2x2 +
4
3
x3 = 1,
2x1 +
8
3
x2 + 2x3 = −1
4
3
x1 + 2x2 +
5
3
x3 = 0
CÁLCULO NUMÉRICO � UFRJ � 2016 21
Lista 10: método da potência
1. Considere a matriz
A =
[
1 4
1 1
]
e o vetor u0 =
[
1
1
]
.
Sejam λ1 e λ2 os autovalores de A e suponha que |λ1| > |λ2|.
(a) Determine λ1 e λ2.
(b) Calcule a aproximação para λ1 obtida na quarta iteração do método da
potência.
(c) Qual o erro relativo do autovalor λ1 cometido nesta iteração?
2. Considere a matriz
A =
[
1 5
5 1
]
e o vetor u0 =
[
1
0
]
.
(a) Aplique o método da potência para obter o autovalor dominante de A
com erro menor que 0.1.
(b) Aplique o método da potência para obter o autovalor dominante de A+2I
com erro menor que 0.1.
(c) Qual do dois métodos convergiu mais rápido?
(d) Calcule os autovalores de A e de A+2I e use-os para justificar o resultado
obtido em (c).
3. Seja A uma matriz inversível n × n. Determine os autovalores de A−1 em
termos dos autovalores de A.
Sugestão: aplique determinante a ambos os lados de A(A−1−λI) = (I−λA),
lembrando que det(AB) = det(A) det(B).
4. Mostre como combinar o resultado do exercício anterior ao método da potência
para calcular o menor autovalor de uma matriz A.
5. Considere a matriz
A =
[
2 −12
1 −5
]
e o vetor u0 =
[
1
0
]
(a) Aplique o método da potência, partindo do vetor u0, para calcular o
maior autovalor de A.
(b) Aplique o método da potência, partindo do vetor u0, para calcular o
menor autovalor de A
22 LISTAS DE EXERCÍCIOS
6. Sejam A uma matriz n× n, I a matriz identidade n× n e r um número real.
Mostre que os autovalores de A + rI são da forma λ + r, em que λ é um
autovalor de A.
Sugestão: se p(t) for o polinômio característico de A, escreva p(t + r) em
termos de A e I.
7. Sejam λ1, . . . , λn os autovalores de uma matriz A de tamanho n × n e µ um
número real.
(a) Calcule os autovalores da matriz A− µI.
(b) Determine o autovalor dominante de A− µI quando |λi − µ| < |λj − µ|,
para todo j 6= i.
(c) Explique como o resultado de (b) pode ser combinado ao método da
potência para calcular todos os autovetores de A, quando os autovalores
de A são todos distintos.
8. Determine o núcleo e a imagem de uma rotação e de uma reflexão no plano.
CÁLCULO NUMÉRICO � UFRJ � 2016 23
Lista 11: interpolação
1. A tabela abaixo contém alguns valores da função f : [−2, 2] → R: ache
uma aproximação para a raiz de f no intervalo [−1.2, 1.1] pelo método de
interpolação de Lagrange.
x -1.2 0.3 1.1
f(x) -5.76 -5.61 -3.69
2. A tabela abaixo resulta da medida da densidade do ar ρ em várias altitudes
h. Use o método de Lagrange para encontrar um polinômio quadrático que
modele a variação de densidade com a altitude.
h(km) 0 3 6
ρ(kg/m3) 1.225 0.905 0.652
3. Use uma calculadora para determinaros valores do cosseno nos pontos 0.8,
0.9, 1.0, 1.1, .2 e 1.3.
(a) Use os dados da tabela e interpolação de Lagrange para achar um po-
linômio de grau 3 que lhe permita calcular cos(1.07).
(b) Determine o erro cometido no cálculo de cos(1.07) em (a).
4. Seja c 6= 0 um número real e L0, . . . , Ln os polinômios de Lagrange usados na
interpolação pelos pontos x0, . . . , xn ∈ R.
(a) Determine o polinômio que interpola função f(x) = c nos pontos dados.
(b) Use (a) para calcular L0 + · · ·+ Ln.
5. A tabela abaixo contém alguns valores da função f : [0, 3]→ R.
x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
f(x) 1.8421 2.4694 2.4921 1.9047 0.8509 -0.4112 -1.5727
(a) Ache uma aproximação para a raiz de f no intervalo dado usando 3 dos
pontos mais próximos da raiz.
(b) Ache uma aproximação para a raiz de f no intervalo dado usando 4 dos
pontos mais próximos da raiz.
6. A tabela abaixo representa valores de uma função f : [0, 4]→ R.
24 LISTAS DE EXERCÍCIOS
x 0 1.2 2.3 3.1 3.9
f(x) 0 1.5 5.3 9.5 10
(a) Determine todos os polinômios de grau 2 que podem ser usados para
calcular x0 ∈ [0, 4] tal que f(x0) = 2.
(b) Determine as aproximações para x0 obtidas a partir de cada um destes
polinômios.
7. Seja f : [0, 6]→ R uma função cuja quarta derivada é contínua e não se anula
em nenhum ponto de seu intervalo de definição. Sabendo-se que f ′′′(0) =
1/1000 e f ′′′(6) = 1/2000, determine uma cota superior para o erro cometido
se interpolarmos f usando os pontos x0 = 1, x1 = 3 e x2 = 5.
Sugestão: o que o fato de f (4) não se anular em [0, 6] nos diz sobre o
comportamento de f ′′′ neste intervalo?
CÁLCULO NUMÉRICO � UFRJ � 2016 25
Lista 12: integração
1. Use a regra do trapézio e a regra de Simpson para calcular cada uma das
integrais abaixo, dividindo o intervalo de integração na quantidade n de su-
bintervalos indicada.
(a)
∫ 2
1
x ln(x)dx com n = 4;
(b)
∫ 2
−2 x
3exdx com n = 4;
(c)
∫ 2
0
2
x2+4
dx com n = 6;
(d)
∫ pi
0
x2 cos(x)dx com n = 6;
(e)
∫ 2
0
e2xsen(3x)dx com n = 8;
(f)
∫ 5
3
1√
x2−4dx com n = 8;
(g)
∫ 3pi/8
0
tan(x)dx com n = 8;
2. Considere a integral ∫ 2
0
f(x)dx.
Calculando-a pela regra do trapézio com n = 1, obtemos 4 e, pela regra de
Simpson com n = 2, obtemos 2. Quanto vale f(1)?
3. A velocidade de um carro de corrida é medida ao longo de uma volta inteira
usando um radar. Os valores obtidos para a velocidade v, em metros por
segundo, estão listados na tabela abaixo para cada tempo t medido em segun-
dos a partir do início da volta na qual foram feitas as medições. Determine o
comprimento da pista.
t 0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84
v 124 134 148 156 147 133 121 109 99 85 78 89 104 116 123
4. Determine os valores de n e h necessários para determinar o valor da integral∫ 2
0
e2xsen(3x)dx
com erro inferior a 10−4:
(a) pela regra do trapézio;
(b) pela regra de Simpson.
26 LISTAS DE EXERCÍCIOS
5. Considere a função
f(x) =
{
x2 se 0 ≤ x ≤ 1
(x+ 2)3 se 1 < x ≤ 2.
Qual o número mínimo de subintervalos em que é necessário dividir [0, 2] de
modo a obter a melhor aproximação possível para esta integral
6. Seja f : [a, b]→ R uma função cuja segunda derivada é contínua. Mostre que
se f ′′(x) > 0 para todo x ∈ [a, b], então o valor da integral de f(x) entre a
e b calculado pela regra do trapézio com n = 1 é maior que o valor exato da
integral.
Sugestão: use a fórmula do erro para a regra do trapézio.
7. Considere a função contínua f : [a, b]→ R e sejam T (n) e S(n) as aproxima-
ções de
∫ b
a
f(x)dx obtidas aplicando-se, respectivamente, a regra do trapézio
e a regra de Simpson quando [a, b] é dividido em n subintervalos. Determine
S(2m) em termos de T (2m) e de T (m).
Resposta: S(2m) = (4/3)T (2m)− (1/3)T (m).
CÁLCULO NUMÉRICO � UFRJ � 2016 27
Lista 10: problemas de valor inicial
1. Use o método de Runge-Kutta de segunda ordem para resolver os seguintes
problemas de valores iniciais:
(a) y˙ = te3t − 2y, 0 ≤ t ≤ 1, y(0) = 0, com h = 0.5;
(b) y˙ = −y + ty1/2, 2 ≤ t ≤ 3, y(2) = 2, com h = 0.25;
(c) y˙ = cos(2t) + sen(3t), 0 ≤ t ≤ 1, y(0) = 1, com h = 0.25;
(d) y˙ = et − y , 0 ≤ t ≤ 1, y(0) = 1, com h = 0.5.
2. Use as fórmulas das soluções exatas para estas equações encontradas no exer-
cício 2 da lista 6 para calcular o erro cometido em cada etapa da execução do
algoritmo de Runge-Kutta de segunda ordem no exercício 1.
3. Compare os resultados obtidos no exercício 1 com os que obteve para o método
de Euler aplicado às mesmas equações no exercício 1 da lista 6.
4. Resolva as seguintes equações diferenciais de primeira ordem e primeiro grau
usando o método de Runge-Kutta de segunda ordem implícito:
(a) y˙ = 1 + y/t, 1 ≤ t ≤ 2, y(1) = 2, com h = 0.25;
(b) y˙ = t−2(sen(2t)− 2ty), 1 ≤ t ≤ 2, y(1) = 2, com h = 0.25;
(c) y˙ = −5y + 5t2 + 2t, 0 ≤ t ≤ 1, y(0) = 1, com h = 0.1;
5. Considere o problema de valor inicial
y˙ = −20y e y(0) = 1.
Deduza uma fórmula fechada (isto é, não recursiva) para a solução deste
problema pelo método de Runge-Kutta de segunda ordem.
6. Considere a equação diferencial y˙ = ysen(y) + t com y(0) = 1.
(a) Calcule y˙(0), y¨(0) e
...
y (0).
(b) Determine a série de Taylor de y até ordem três.
(c) Use (b) para calcular y(0.2).
7. Considere a aplicação do método de Euler ao problema de valor inicial y˙ =
f(y) e y(t0) = y0 com o intervalo t0 < t < tn sendo dividido em n partes
iguais.
(a) Escreva a expressão para a fórmula de Taylor de ordem um (com erro)
de y(x) na vizinhança de y(xk).
(b) Use a fórmula obtida em (a) e o fato de xk+1 = xk + h, para expressar
o erro de truncamento Tk do método de Euler em função da segunda
derivada de y(x).
28 LISTAS DE EXERCÍCIOS
(c) Use a desigualdade (10) (das notas de aula sobre o erro no problema de
valor inicial) para mostrar que se f ′(y(t)) < C1 e y′′(t) < C2, quando
t0 < t < tn, então
|en| < exp(C1(tn − t0)) C2
2C1
.
8. Considere o problema de valor inicial y˙ = y e y(0) = 1, cuja solução é dada
por y(t) = et. Os itens abaixo referem-se à aplicação do método de Euler a
este problema com 0 ≤ t ≤ 1 e n = 10.
(a) Defina a função Φ(t, y, h) para este problema.
(b) Ache uma cota superior para f ′(y(t)).
(c) Calcule a cota superior para e10, obtida no item (c) do exercício anterior,
com 5 casas decimais.
(d) Use a equação (9) das notas de aula sistemas dinâmicos para calcular y10
usando o método de Euler.
(e) Use (d) para calcular o valor de en com 5 casas decimais exatas.
(f) Qual a razão entre a estimativa para o erro obtida no item (c) e o valor
do erro calculado em (e).