APOSTILA3 Matemática Atuarial

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APOSTILA Nº 3 DE
MATEMÁTICA ATUARIAL
Professor:	JOSÉ ROBERTO MONTELLO
Bibliografia:
1 .	C. W. Jordan, Life Contingencies - The Society of Actuaries / 1975.
2 .	José Gonçales Galé, Elementos de Cálculo Actuarial - Impresso em La Prenta Lopez -Buenos Aires - Dezembro 1942.
Seguros em caso de morte (Seguros Constantes)
1 .	Introdução:
	As funções descritas na apostila anterior se relacionavam a pagamentos que eram relativos a contingência de sobrevivência de uma vida. As funções que agora consideraremos se relacionam com pagamentos relativos a contingência de morte, cujos pagamentos são cobertos por Seguros.
	Um Seguro provê um pagamento de uma dada quantia em decorrência da morte de uma determinada vida, conhecida como vida segurada. Valores dos Seguros têm sido tradicionalmente calculados com base na hipótese de que o pagamento é feito no fim do ano da morte, embora a prática usual dos seguradores é o de fazer o pagamento tão logo quanto possível após a ocorrência da morte. Esta hipótese é bastante conveniente visto que as probabilidades de morte e de sobrevivência ao final do ano podem ser calculadas exatamente a partir da tábua de mortalidade. No final desta apostila veremos uma forma simples e usual de se considerar que os pagamentos sejam feitos imediatamente após o falecimento.
2 .	Seguros pagáveis no final do ano da morte:
	Um seguro que provê o pagamento somente se a morte ocorrer dentro de um determinado limite de tempo é conhecido como um Seguro Temporário. O valor atual ou o Prêmio Único Puro da idade x para um Seguro Temporário por n anos de um Capital Segurado igual a 1 unidade monetária é denotado por 
� e nós podemos escrever:
� = v . 
� + 
�
Cada termo dessa expressão representa a probabilidade de que a morte ocorrerá num ano particular multiplicada pelo valor atual de um pagamento de 1 a ser feito no fim do ano da morte. A expressão pode ser escrita.
� = 
�
Se o período de temporariedade do seguro é extendido até o final da tábua de mortalidade, então o Seguro será pago não importa quando a morte venha a ocorrer, o valor de n torna-se w-x, e temos assim o Seguro de Vida Inteira denotado por A
�, sendo
� 
podendo ser usado o símbolo ( no lugar de w-x-1 neste caso uma vez que 
� = 0 sempre o que tivermos t > w - x.
	Se o pagamento é feito somente se a morte ocorrer depois de expirado o período de n anos, também conhecido como período de carência, temos o Seguro Diferido cujo valor atual
�
É óbvio que 
� + 
�
	Um Seguro é denominado interceptado quando ele é, ao mesmo tempo, diferido por n anos e temporário por m anos. Como para as rendas do mesmo tipo, podemos calcular o valor atual do referido seguro retirando do Seguro diferido por n anos o correspondente a um Seguro diferido por n + m anos.
� ,
ou, também, retirando do valor atual de um seguro temporário por n + m anos o valor atual de um seguro temporário por n anos
�
	As expressões anteriores são simplificadas pela introdução das seguintes funções de Comutação
�
e
�
Então:
�=
� = 
�
�
�
�
	Outros Seguros bastante conhecidos são os Seguros Dotais. O Seguro Dotal Puro, correspondendo exatamente a um Capital Diferido, denotado por 
� , tem seu valor atual
�
	O Seguro Dotal Misto, correspondendo a um Seguro Temporário por n anos agregado a um Capital Diferido por n anos, denotado por 
� , tem seu valor atual
�
3 .	Os Seguros em caso de morte em função das rendas por sobrevivência:
 
Desde que 
 segue-se 
�; e, dividindo-se por 
�:
�,
ou 
�
Para o Seguro Temporário por n anos, a correspondente relação é:
�
Para o Seguro Dotal Mixto, a relação é dada por
�
onde 
�, e portanto
� .
	O Seguro de Vida Inteira 
� pode ainda ser escrito em função de rendas por sobrevivência de outra forma frequentemente utilizada.
 
Desde que: 
onde d = 
� = iv (iv é o valor atual dos juros).
e, então, temos: 
�
Analogamente podemos desenvolver que o Seguro Dotal Misto
�
4 .	Seguros pagáveis no momento da morte (imediatamente após o falecimento):
	Os Seguros em caso de morte normalmente não são pagos no final do ano do Seguro e sim imediatamente após o falecimento. Nesse caso prático, é usual se admitir que as mortes ocorram no ano segundo uma distribuição uniforme, o que é equivalente a admitir que as mortes ocorrem em média no meio do ano. Como, exceto nos primeiros instantes da vida, as probabilidades de morte são uma função crescente da idade, esta hipótese é conservadora, podendo ser adotada com segurança.
Assim teremos:
�
onde: 
 
portanto: 
,
�,
�,
�
Quanto ao Seguro Dotal Misto, teremos:
ou
�
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