Aula 2 e 3 forcas 2d

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
ESCOLA POLITÉCNICA
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS
DISCIPLINA MECÂNICA I – EEA212
AULA 2 – FORÇAS BIDIMENSIONAIS
Prof. Ana Beatriz Gonzaga e Silva
anabeatrizgonzaga@poli.ufrj.br
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Presentation Notes
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Seções
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Elementos gráficos, tabelas e gráficos
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Aula 2 – Forças bidimensionais
1. Força
2. Sistema de forças bidimensionais
3. Momento
4. Binário
5. Resultantes
Presenter
Presentation Notes
Forneça uma breve visão geral da apresentação. Descreva o foco principal da apresentação e por que ela é importante.
Introduza cada um dos principais tópicos.
Para fornecer um roteiro para o público, você pode repita este slide de Visão Geral por toda a apresentação, realçando o tópico específico que você discutirá em seguida.
Sistemas de forças bidimensionais
As propriedades dos sistemas de 
forças devem ser entendidas
pelos engenheiros que projetam
sistemas.
Quais as forças presentes nas
diversas partes do sistema ao
lado?
Deve-se examinar as propriedades e 
efeitos dos diversos tipos de forças
que atuam em estruturas e 
mecanismos de engenharia.
Aplicação em mecânica, projeto de estruturas, escoamento de fluidos e 
análise de tensões
Força
Resultado da ação de um corpo sobre outro;
Grandeza vetorial – possui módulo, direção e ponto de aplicação – vetor
fixo;
Ex.: Ação de tração do cabo sobre o suporte O efeito dessa ação no 
suporte depende de quais
fatores:
Intensidade de P;
ângulo θ;
Localização do ponto de 
aplicação A;
Força
• Ação de uma força sobre um corpo: efeitos externos e internos;
Externos: forças aplicadas ou reativas;
Internos: forças e deformações internas resultantes – estudado em
resistência dos materiais, elasticidade e plasticidade.
Mecânica dos corpos rígidos – efeitos externos resultantes das forças
Não é necessário restringir a ação da força a um ponto de aplicação
Princípio da transmissibilidade:
“Uma força pode ser aplicada em
qualquer ponto sobre sua linha de 
ação sem alterar seus efeitos
externos resultantes.”
Força
• Quando se deseja investigar apenas efeitos externos – força pode ser
tratada como vetor deslizante – possui módulo, direção e linha de ação.
Forças podem ser classificadas também como:
• Força de contato – a partir do contato direto entre dois corpos;
• Força de corpo - ação remota;
• Concentradas
• Distribuídas
A ação de uma força é sempre acompanhada por uma reação igual e 
contrária ( terceira lei de Newton) – Importante identificar qual força deve
ser considerada – isolar o corpo e representar a força exercida no corpo ( e 
não pelo corpo).
Força
• Forças concorrentes:
Resultante de duas forças concorrentes: R = F1 + F2
intensidade correta
mas linha de ação de 
R não passa por A!
Regra do Triângulo:
Regra do Paralelogramo:
A linha de ação de R deve passar por A
Força
• Componentes vetoriais de uma força
A componentes vetoriais de um vetor devem se somar vetorialmente
resultando no vetor em questão – R decomposta em F1 e F2
Não confundir com as projeções ortogonais
sobre o mesmo sistema de eixos!
Fa e Fb – projeções ortogonais de R sobre os
eixos a e b
Força
• Forças paralelas
Como encontrar a resultante:
-Adiciona-se duas forças F e –F, colineares, de mesmo módulo e sinais
contrários;
-Soma-se F com F1 para gerar R1, -F com F2
para gerar R2;
-A resultante R será a soma de R1 e R2.
Sistema de forças bidimensionais
• Componentes retangulares
Componentes vetoriais Fx e Fy:
F = Fx + Fy
ou
Componentes escalares Fx e Fy:
F = Fx i + Fy j
Fx = F cos θ
Fy = F sen θ
2 2
x yF F F= +
1tan y
x
F
F
θ −=
Sistema de forças bidimensionais
• Componentes retangulares
Exemplos de decomposição vetorial
Sistema de forças bidimensionais
• Componentes retangulares
Resultantes de duas forças concorrentes:
Assim:
1 2R = F + F
( ) ( )1 2 1 2x y x x y yR R F F F F+ = + + +i j i j
1 2x x x xR F F F= + =∑i
1 2y y y yR F F F= + =∑i
Sistema de forças bidimensionais
• Exemplo 1
Uma força F de 500 N é aplicada em um poste vertical conforme figura
abaixo. 
1. Escreva F em termos dos vetores unitários i e j;
2. Determine as componentes escalares de F sobre os eixos x’-y’;
3. Determine as componentes escalares de F sobre os eixo x-y’.
Sistema de forças bidimensionais
• Exemplo 1 - resolução
1. Escreva F em termos dos vetores unitários i e j;
( cos ) ( )F Fsenθ θ= −F i j
( )(500cos60 ) (500 60 ) 250 433o osen N= − = −F i j i j
2. Determine as componentes escalares
de F sobre os eixos x’-y’;
500 ' N=F i
' 500xF N=
' 0yF N=
Sistema de forças bidimensionais
• Exemplo 1 - resolução
3. Determine as componentes escalares de F sobre os eixo x-y’.
Lei dos senos:
0 0
500
90 30
xF
sen sen
= 1000xF N∴ =
'
0 0
500
60 30
yF
sen sen
= ' 866yF N∴ =
Sistema de forças bidimensionais
• Exemplo 2
Os dois elementos estruturais abaixo, um sob tração e outro sob 
compressão, exercem as forças indicadas no nó O. Determine o módulo da 
resultante R das duas forças e o ângulo que R faz com o eixo x positivo.
Sistema de forças bidimensionais
• Exemplo 2 - resolução
2cos30 3cos60 3.23o ox xR F kN= = − − = −∑
2 30 3 60 1.598o oy yR F sen sen kN= = − = −∑
2 2 3.61x yR R R kN= + =
1 1 1.598tan tan 206
3.23
y o
x
R
R
θ − −
  − = = =   −  
Momento
É a tendência da força de girar um corpo em torno de um eixo perpendicular 
ao plano do corpo. Também é conhecido como torque.
Momento
A intensidade do momento ( ou tendência da força de promover a rotação
do corpo em torno de um eixo, é proporcional à intensidade da força e a 
distância do eixo à linha de ação da força ( braço de alavanca) medida
perpendicularmente à linha de ação da força.
( . )M F d N m= ⋅
Intensidade do momento:
Momento é um vetor perpendicular ao
plano do corpo.
Momento
A direção de M está numa linha perpendicular ao plano formado por F e d, e 
o sentido é o sentido depende da direção na qual a força tende a girar o 
corpo. Define-se pela regra da mão direita – o momento ocorre em torno de 
um eixo.
Momento
Em alguns casos bidimensionais e na maioria dos casos tridimensionais –
abordagem vetorial:
sendo r vetor posição que vai do
ponto de referência do momento (A)
até qualquer ponto da linha de 
ação de F
Módulo dado por:
=M r × F
M F r sen F dα= =
= d -> braço de alavanca
Momento
Teorema dos Momentos ou Teorema de Varignon:
O momento de uma força em torno de um ponto qualquer é igual à soma 
dos momentos das componentes da força em torno do mesmo ponto.
( )1 2 1 2= = + = +0M r × F r × F F r × F r × F
0 x yM F y F x= −
Momento
• Exemplo 1
Calcule o módulo do momento de da forçade 600 N ilustrada abaixo em
relação ao ponto O da base:
1. Calculando o braço de alavanca;
2. Substituindo a força por seus componentes retangulares em A;
3. Utilizando o princípio da transmissibilidade;
4. Utilizando a expressão vetorial para o momento.
Momento
• Exemplo 1 - Resolução
1. Calculando o braço de alavanca
Momento
• Exemplo 1 – Resolução
2. Substituindo a força por seus componentes retangulares em A;
Momento
• Exemplo 1 – Resolução
3. Utilizando o princípio da transmissibilidade;
Momento
• Exemplo 1 - Resolução
4. Utilizando a expressão vetorial para o momento.
=M r × F
Momento
• Exemplo 2 
A força F de módulo 60 N é aplicada à roda dentada com conforme mostra a 
figura. Determine o momento de F em relação ao ponto O.
Momento
• Exemplo 3 
Calcule o momento da força de 250 N na manopla da chave inglesa em
relação ao centro do parafuso.
Momento
• Exemplo 4 
A presilha no topo de um mastro suporta as duas forças mostradas abaixo. 
Determine o módulo de T que não causará momento no ponto O.
Binário
Momento produzido por duas forças não colineares, iguais e opostas. 
Binário
Momento de um binário tem o mesmo valor em todos os centros de 
momento – pode ser representado por um vetor livre
Binário
Binários equivalentes – não se alteram ao se mudar os valores de F e d
O Binário não é afetado se as forças atuam em um plano diferentes paralelo
ao original
Binário
Binários equivalentes – exemplo
Binário
Sistema força-binário
Uma força pode ser substituída por uma força e um binário sem alterar os
efeitos externos da força original sobre o corpo
Binário
• Exemplo 1
A vista de topo de uma porta giratória é mostrada ao lado. Duas pessoas se 
aproximam simultaneamente da porta e exercem forças de módulo igual, 
como mostrado. Se o momento resultante em relação ao eixo de rotação da 
porta em O vale 25 N.m, determine o valor de F.
Binário
• Exemplo 2
Substitua a força de 10kN que atua sobre a coluna de aço por um sistema
força-binário equivalente no ponto O.
Binário
• Exemplo 3
Uma placa dobrada está submetida a forças de 250 N. Deseja-se substituir
essas forças por um conjunto equivalente formado pela força de 200 N 
aplicada em A e uma segunda força aplicada em B. Determine a coordenada
y de B.
Resultantes
A resultante de um sistema de forças é a combinadção mais simples de 
forças que pode substituir as forças originai sem alterar o efeito externo no 
corpo rígido sobre o qual as forças estão aplicadas
Resultantes
Resultantes
O fato da resultante das forças ser nula não significa que o momento
resultante seja nulo!
Resultantes
• Exemplo 1
Determine a resultante R das forças atuando na placa de união abaixo. 
Encontre o módulo de R e ao ângulo que R faz com o eixo x.
Resultantes
• Exemplo 2
Determine o momento M sabendo que a resultante das duas forças e do 
momento M passa pelo ponto O.
Resultantes
• Exemplo 3
Um avião comerical com quatro turbinas a jato, cada uma produzindo
empuxo de 90kN, está em um voo de cruzeiro, estacionário, quando o motor 
3 falha repentinamente. Determine e localize a resultante dos vetores de 
empuxo dos três motores remanescentes.
	Universidade Federal do Rio de Janeiro�Escola Politécnica��Departamento de Estruturas�Disciplina Mecânica I – EEA212�Aula 2 – Forças bidimensionais
	Aula 2 – Forças bidimensionais
	Sistemas de forças bidimensionais
	Força
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	Sistema de forças bidimensionais
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