AD2 CIV 2009 1 prova

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Ca´lculo IV - AD2
Nome: Matr´ıcula:
Po´lo: Data:
Questa˜o 1 [2,5 pts]: Calcule o trabalho que realiza a forc¸a
−→
F (x, y) =
(
4(x + 1)y
A(x, y)
,
−2
(
x2 + y2 + 2
)
x
A(x, y)
)
onde A(x, y) = (x2 + y2 − 1)
2
+ 4y2 − (x2 + y2 − 1), para mover uma part´ıcula ao longo da curva
C : x2 + y2 − 2x = 0, com y ≥ 0 de (1, 1) a (2, 0) no sentido hora´rio.
Sugesta˜o: Calcule diretamente W =
∫
C
−→
F · d−→r .
Questa˜o 2 [2,5 pts]: Seja
−→
F = (P,Q) um campo vetorial de classe C1 em U = R2 − {(0, 0)},
tal que
∂Q
∂x
(x, y) =
∂P
∂y
(x, y) + 4 para todo (x, y) ∈ U . Sabendo que
∮
C
+
1
−→
F · d−→r = 6pi, onde
C1 : x
2 + y2 = 1, calcule
∮
C+
−→
F · d−→r , onde C e´ a elipse
x2
4
+
y2
25
= 1.
Sugesta˜o: Use o Teorema de Green.
Questa˜o 3 [2,5 pts]: Seja
−→
F (x, y) = (cos(y2),−2xy sen(y2) + 1).
a)
−→
F e´ conservativo? Por queˆ?
b) Determine
∫
C
−→
F · d−→r , onde C : γ(t) =
{
(cos t, 2 sen t) se 0 ≤ t ≤ pi
(cos t, sen t) se pi ≤ t ≤ 2pi
.
c) Determine
∫
C
−→
F · d−→r , onde C : γ(t) = (cos3 t, sen t), com pi/2 ≤ t ≤ pi.
Questa˜o 4 [2,5 pts]: Suponha que f(x, y, z) = (x2 + y2) g
(√
x2 + y2 + z2
)
, onde g e´ uma
func¸a˜o cont´ınua de uma varia´vel, tal que g(2) = −5. Calcule
∫∫
S
f(x, y, z) dS, onde S e´ a esfera
x2 + y2 + z2 = 4.