Fluxo de Caixa Irregular

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Um Fluxo de Caixa Irregular (não uniforme) consiste de uma seqüência de entradas e saídas de caixa com intensidades, sinais e periodicidades diferentes.
 Um fluxo de caixa irregular não permite trabalhar direta e facilmente com as cinco funções financeiras básicas: valor presente (PV), valor futuro (FV), tempo (n), taxa de juros (i) e prestações (PMT).
Conceito
1
0
FC0
2
3
n
4
5
6
FC1
FC2
FC3
FC4
FC5
FC6
FCn
 O objetivo desta aula é determinar o valor presente líquido (VPL) e a taxa interna de retorno (TIR) de um fluxo de caixa irregular. Essas duas medidas são muito importantes para analisar a viabilidade de um projeto de investimento, representado aqui por um fluxo de caixa.
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 O valor presente líquido (VPL) ou net present value (NPV) é igual à soma dos valores presentes de todas as entradas e saídas futuras de caixa. 
 Para um fluxo de entradas e saídas de caixa desiguais ao longo de um horizonte de tempo n, o valor presente líquido pode ser calculado através da fórmula abaixo:
Valor Presente Líquido
 Onde: FC n = fluxo de caixa no período n
 i = taxa de juros
 n = prazo
 Valor presente líquido positivo significa que os fluxos futuros de caixa trazidos e somados a valor presente superam o investimento inicial. Portanto, o fluxo de caixa agrega valor e é atrativo do ponto de vista econômico-financeiro. 
 VPL negativo indica que a soma dos fluxos futuros de caixa trazidos a valor presente é inferior ao investimento inicial. Logo, o fluxo de caixa destrói valor, e não é atrativo.
 VPL igual a zero indica indiferença para realizar ou não o investimento.
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 A taxa interna de retorno (TIR) ou internal rate of return (IRR) mede a rentabilidade do fluxo de caixa. 
 O cálculo da TIR não é direto, pois não existe uma fórmula específica para tal. Na verdade, a TIR é a taxa de juros (i) que iguala o VPL de um fluxo de caixa a zero.
Taxa Interna de Retorno
 Onde: FC n = fluxo de caixa no período n
 TIR = taxa interna de retorno
 n = prazo
 VPL positivo significa que o projeto agrega valor, ou seja, o investimento está sendo remunerado a uma taxa de retorno (TIR) superior à taxa desejada (i). 
 VPL negativo indica que o projeto destrói valor, pois o investimento está sendo remunerado a uma taxa de retorno (TIR) inferior à taxa desejada (i). 
 VPL igual a zero indica indiferença para realizar ou não o projeto, pois o investimento está sendo remunerado a uma taxa de retorno (TIR) igual à taxa desejada (i).
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 A tabela abaixo mostra uma análise comparativa do VPL e da TIR, assim como as situações em que se deve ou não realizar um projeto de investimento, representado por um fluxo de caixa.
Taxa Interna de Retorno
Critérios de decisão do VPL e da TIR
VPL
TIR
Decisão
VPL > 0
TIR >i
Fazer o projeto
VPL = 0
TIR=i
Indiferença
VPL < 0
TIR <i
Não fazer o projeto
OBS: A taxa de juros desejada “i” é também chamada de custo de capital, custo de oportunidade ou taxa mínima de atratividade (TMA). Ela representa uma referência de comparação, sendo por exemplo: a taxa de juros que a empresa paga ao tomar recursos emprestados, ou a taxa de juros de outra alternativa segura de investimento para a empresa, ou ainda a rentabilidade média que a empresa vem obtendo com seu capital de giro (aplicações de caixa, valorização dos estoques ou taxa de juros embutidas nas vendas a prazo), entre outras taxas referenciais possíveis. 
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Solução :
 VPL = 168,77
O cálculo da TIR não é direto, pois não existe uma fórmula específica. Lembrando: a TIR é a taxa de juros que zera o VPL de um fluxo de caixa, conforme mostrado abaixo:
 TIR = 25,02% a.a. 
Exercícios Resolvidos
Exemplo 8.1: Uma empresa está analisando a possibilidade de realizar um projeto com vida útil de 6 anos, que exigirá um investimento inicial de R$ 1.200,00. As estimativas de fluxos de caixa futuros encontram-se na tabela ao lado. Determinar o VPL e a TIR do investimento, sabendo-se que a taxa de juros é 20% a.a..
Ano
Fluxo de Caixa
0
- 1.200,00
1
300,00
2
400,00
3
400,00
4
500,00
5
500,00
6
500,00
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Exercícios Resolvidos
Exemplo 8.1 (continuação):
Solução na HP-12C :
A primeira alternativa seria calcular o valor presente de cada parcela isoladamente. Assim, cada parcela representaria um valor futuro, a ser trazido a valor presente utilizando a taxa de 20% a.a.. Em seguida, todos os valores presentes seriam somados, e o resultado seria o valor presente líquido (VPL). 
FV
n
i
PMT
PV
- 1.200,00
0
20
0,00
- 1.200,00
300,00
1
20
0,00
250,00
400,00
2
20
0,00
277,78
400,00
3
20
0,00
231,48
500,00
4
20
0,00
241,13
500,00
5
20
0,00
200,94
500,00
6
20
0,00
167,45
Soma dos PV = VPL
168,77
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Exercícios Resolvidos
Exemplo 8.1 (continuação):
Solução na HP-12C :
A HP-12C tem funções especiais para a obtenção do valor presente líquido e da taxa interna de retorno de fluxos de caixa irregulares. As funções da HP-12C para fluxos de caixa irregulares são mostradas na tabela abaixo:
[f] NPV
Valor presente líquido
[f] IRR
Taxa interna de retorno
[g] CF0
Fluxo de caixa no tempo 0
[g]CFj
Fluxo de caixa no tempoj
[g]Nj
Nº de parcelasCFjiguais e consecutivas
i
Taxa de juros
Os fluxos de caixa são informados em seqüência com a função [g] CFj, exceto o fluxo no tempo 0 (informado pela função [g] CF0). Todas as parcelas devem ser informadas, entradas de caixa com sinal positivo e saídas de caixa com sinal negativo.
Antes de começar qualquer exercício, é importante limpar a memória da calculadora HP-12C através da função [f] REG.
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Exercícios Resolvidos
Exemplo 8.1 (continuação):
O passo-a-passo para resolver esse exercício na HP-12C pode ser visto a seguir. Quando existem fluxos de caixa repetidos e seguidos, a calculadora permite agilizar a digitação usando a tecla [g] Nj. Como as grandezas R$ 400,00 e R$ 500,00 se repetem por 2 e 3 vezes, respectivamente, a função [g] Nj pode ser usada.
[f]
REG
1.200,00 CHS
[g] CF0
300,00
[g]CFj
400,00
[g] CFj
400,00
[g]CFj
500,00
[g]CFj
500,00
[g]CFj
500,00
[g]CFj
20
i
[f] NPV
168,77
[f]IRR
25,02
[f]
REG
1.200,00 CHS
[g] CF0
300,00
[g]CFj
400,00
[g] CFj
2
[g]Nj
500,00
[g]CFj
3
[g]Nj
20
i
[f] NPV
168,77
[f]IRR
25,02
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Exercícios Resolvidos
Exemplo 8.1 (continuação):
Solução no Microsoft Excel :
Assim como a HP-12C, o Microsoft Excel tem funções especiais para a obtenção do valor presente líquido e da taxa interna de retorno de fluxos de caixa irregulares.
Versão em Inglês
Versão em Português
NPV (Rate;Value1;Value2; ... )
VPL (Taxa; Valor 1; Valor 2; ... )
IRR (Value;Guess)
TIR (Valores; Estimativa)
Ambas as funções exigem que os fluxos de caixa sejam informados de forma seqüencial, devendo-se informar todas as parcelas, além de observar as convenções de sinais.
A função VPL (NPV) tem dois argumentos: a taxa de juros e os campos de valores do fluxo de caixa. Na função VPL (NPV), o investimentoinicial não deve ser incluído no campo de valores, mas sim somado (saída de caixa  sinal negativo) por fora da função. Assim, deve ser marcado o fluxo de caixa a partir da data 1, e só depois é somado o investimento inicial.
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Exercícios Resolvidos
Exemplo 8.1 (continuação): Solução no Microsoft Excel :
O passo-a-passo da solução do presente exemplo com o Microsoft Excel é mostrado a seguir.
Cálculo do VPL – 1º passo
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Exercícios Resolvidos
Exemplo 8.1 (continuação): Solução no Microsoft Excel :
Só no 2º passo é somado o investimento inicial, para completar o cálculo do VPL. 
Cálculo do VPL – 2º passo
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Exercícios Resolvidos
Exemplo 8.1 (continuação): Solução no Microsoft Excel :
 A função TIR (IRR) tem dois argumentos: o campo de valores do fluxo de caixa e um campo de estimativa. Nesse caso, deve ser informado o fluxo de caixa completo, ou seja, desde a data zero.
 O campo de “estimativa” representa um número que se estima ser próximo da TIR, que pode ser omitido ou não. Na maioria dos casos, não é necessário fornecer uma estimativa. 
 Se a estimativa for omitida, o Excel considera o valor 0,1 (10%).
 Na aula sobre “Análise de Investimentos” será visto que, em algumas situações, o usuário pode ter que usar o campo de “estimativa” para calcular a TIR.
 O próximo slide ilustra o cálculo da TIR no Microsoft Excel.
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Exercícios Resolvidos
Exemplo 8.1 (continuação):
Cálculo da TIR no MS Excel
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Exercícios Resolvidos
Exemplo 8.1 (continuação):
 O VPL positivo de R$ 168,77 significa que o investimento de R$ 1.200,00 está sendo remunerado a 20% e, além dessa remuneração, está gerando um aumento de riqueza de R$ 168,77, expressa em valores atuais. O investimento é atrativo.
 A TIR mede a rentabilidade do investimento (25,02% a.a.), que é superior à taxa de 20% a.a., indicando que o investimento agrega valor (é atrativo). 
 Se a taxa de juros fosse 30% a.a., o VPL passaria para – R$ 137,16, como visto ao lado. 
 O VPL negativo indica que o investimento de R$ 1.200,00 está sendo remunerado abaixo de 30% a.a. e, considerando essa taxa, na verdade haveria uma perda de riqueza no valor de R$ 137,16, expressa em valores atuais. 
 Essa conclusão poderia ser extraída da análise da taxa interna de retorno (25,02 % a.a.), que é inferior à taxa de 30 % a.a.. 
[f]
REG
1.200,00 CHS
[g] CF0
300,00
[g]CFj
400,00
[g] CFj
2
[g]Nj
500,00
[g]CFj
3
[g]Nj
30
i
[f] NPV
- 137,16
[f]IRR
25,02
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Taxa (% a.a.)
Valor Presente Líquido (R$)
1.400,00
5
1.200,00
1.000,00
800,00
600,00
400,00
200,00
0,00
10
15
20
25
- 200,00
TIR = 25,02 % a.a.
Exercícios Resolvidos
i(%a.a.)
VPL (R$)
0 %
1.400,00
5 %
970,28
10 %
638,04
15 %
376,96
20 %
168,77
25 %
0,51
30 %
- 137,16
Gráfico do VPL do fluxo de caixa em função da taxa de juros
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Exercícios Resolvidos
Exemplo 8.1 (continuação):
 A medida que a taxa de juros aumenta, o VPL diminui. A TIR representa a taxa de juros que torna o VPL nulo. Como o investimento tem um VPL positivo para 20% a.a. (R$ 168,77) e negativo para 30% a.a. (- R$ 137,16), podemos concluir que a TIR se situa entre 20% a.a. e 30% a.a.. 
i(%a.a.)
VPL (R$)
0 %
1.400,00
5 %
970,28
10 %
638,04
15 %
376,96
20 %
168,77
25 %
0,51
30 %
- 137,16
 Pela tabela ao lado, é possível notar que o VPL a 25% é positivo e bem próximo de zero, indicando que a TIR está compreendida entre 25% e 30% a.a., com um valor bem próximo de 25% a.a..
 A função TIR (ou IRR) permite calcular o valor exato da taxa interna de retorno (25,02% a.a.). 
 Se a taxa de juros for nula, o valor presente líquido é igual à soma algébrica das entradas e saídas futuras de caixa. Assim, o VPL a 0% é igual a:
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Exercícios Resolvidos
Exemplo 8.1 (continuação):
 Os dados da tabela mostrada anteriormente indicam que a TIR está compreendida entre 25% e 30% a.a., com um valor bem próximo de 25% a.a..
 Uma maneira de se estimar a TIR seria inicialmente por tentativa e erro, determinando os valores inteiros da taxa i correspondentes ao menor valor positivo do VPL e do maior valor negativo do VPL (mais próximos de zero), como mostrado na tabela abaixo. 
i(%a.a.)
VPL (R$)
20 %
168,77
25 %
0,51
26 %
- 29,22
30 %
- 137,16
 Em seguida, a estimativa da TIR seria feita por interpolação linear:
 	 i = 25 %  VPL = 0,51
	 i = TIR  VPL = 0
	 i = 26 %  VPL = - 29,22
OBS: Uma boa estimativa (com precisão) por interpolação linear exige que as taxas dos pontos limites do intervalo considerado sejam próximas (no exemplo, 25% e 26%), e obviamente que a TIR esteja entre elas.
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Exercícios Resolvidos
 Método da Secante: Uma alternativa para determinar a TIR seria através de um método numérico iterativo, com o qual se encontra a raiz de uma função (no caso, VPL=0).
 1º passo: são estimados dois valores para a TIR (pontos 1 e 2), pelos quais se passa uma reta, que cruza o eixo dos “x” em T3. Essa é a abscissa do ponto 3, cuja ordenada é VPL3, que deve ser calculado pela equação do valor presente líquido usando a taxa T3. 
 2º passo: faça um teste e verifique se VPL3 é suficientemente próximo de zero (sugestão: módulo de VPL < 0,0045). Caso negativo, será preciso um novo ciclo.
 3º passo: é traçada uma nova reta unindo os pontos 2 e 3, que cruza o eixo dos “x” em T4, cujo valor será usado no cálculo de VPL4. Novamente se faz o teste do 2º passo, e se for preciso é retomado o 3º passo (agora com os pontos 3 e 4), e assim sucessivamente.
Calcular novos T e VPL 
Tn = TIR 
Taxa i
VPL
VPL1
0,00
VPL2
VPL3
T1
T2
T3
1
2
3
T4
Taxa = TIR
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Exercícios Resolvidos
 No caso do Exemplo 8.1:
 1º passo: ponto 1  T1 = 0,20 (ou 20%) e VPL1 = 168,77; 
 ponto 2  T2 = 0,30 (ou 30%) e VPL2 = - 137,16;
 2º passo:
 3º passo:
T5 = TIR = 25,02 % a.a. 
Calcular novos T e VPL 
Calcular novos T e VPL 
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Solução :
 
 VPL = 9.606,52
 
 TIR = 29,32% a.a. 
Exercícios Resolvidos
 Exemplo 8.2: Um empreendedor fez a projeção de fluxo de caixa de um novo projeto para sua empresa e está interessado em determinar sua viabilidade através do VPL e da TIR. Verifique a viabilidade do projeto, sabendo-se que a taxa de juros é 10% a.a..
Ano
Fluxo de Caixa
0
- 10.000,00
1
- 5.000,00
2
7.000,00
3
8.000,00
4
9.000,00
5
10.000,00
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Exercícios Resolvidos
Exemplo 8.2 (continuação):
O VPL positivo de R$ 9.606,52 significa que os investimentos de R$ 10.000,00 (ano0) e R$ 5.000,00 (ano 1) estão sendo remunerados a 10% a.a. e, além dessa remuneração, geram um aumento de riqueza de R$ 9.606,52, expressa em valores atuais. A TIR de 29,32% a.a. é superior à taxa de 10% a.a., indicando que o projeto agrega valor, e portanto é viável. 
[f]
REG
10.000,00 CHS
[g] CF0
5.000,00 CHS
[g]CFj
7.000,00
[g] CFj
8.000,00
[g]CFj
9.000,00
[g]CFj
10.000,00
[g]CFj
10
i
[f] NPV
9.606,52
[f]IRR
29,32
FV
n
i
PV
- 10.000,00
0
10
- 10.000,00
- 5.000,00
1
10
- 4.545,45
7.000,00
2
10
5.785,12
8.000,00
3
10
6.010,52
9.000,00
4
10
6.147,12
10.000,00
5
10
6.209,21
Soma = VPL
9.606,52
Solução na HP-12C
Cálculo do VPL pela soma dos PV das parcelas
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 O VPL positivo de R$ 246,55 significa que os investimentos de R$ 750,00 e R$ 500,00 (meses 0 e 1) estão sendo remunerados a 1% a.m. e estão gerando um aumento de riqueza de R$ 246,55, expressa em valores atuais.
 A taxa interna de retorno de 3,80% a.m. é superior à taxa de 1% a.m., indicando também que o investimento agrega valor, e portanto é atrativo.
Exercícios Resolvidos
Exemplo 8.3: Um estudante está analisando a possibilidade de fazer um projeto para aumentar sua renda mensal. Determinar o VPL e a TIR do fluxo de caixa (tabela ao lado), sabendo-se que a taxa de juros é 1% a.m..
Solução :
Mês
Fluxo de Caixa
0
- 750,00
1
- 500,00
2
0,00
3
0,00
4
100,00
5
200,00
6
300,00
7
300,00
8
300,00
9
400,00
[f]
REG
750,00 CHS
[g] CF0
500,00 CHS
[g]CFj
0,00
[g]CFj
2
[g]Nj
100,00
[g]CFj
200,00
[g]CFj
300,00
[g]CFj
3
[g]Nj
400,00
[g]CFj
1
i
[f] NPV
246,55
[f]IRR
3,80
Solução pela HP-12C
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Exercícios Resolvidos
Exemplo 8.4: Uma empresa deseja reprogramar o pagamento dos seguintes compromissos: R$ 500,00, R$ 700,00 e R$ 1.000,00, com vencimento em 4, 10 e 12 meses, respectivamente. Deseja-se liquidar os compromissos acima em três parcelas mensais iguais, vencendo a primeira na data de hoje. Considerando que o custo do dinheiro para a empresa é 1% a.m., calcular o valor das parcelas mensais.
Mês
Fluxo de Caixa
0
0,00
1
0,00
2
0,00
3
0,00
4
- 500,00
5
0,00
6
0,00
7
0,00
8
0,00
9
0,00
10
- 700,00
11
0,00
12
- 1.000,00
Solução : 
 Primeiro, calcular o VPL das obrigações da empresa. 
 A seguir, calcular o valor das 3 prestações (PMT) antecipadas.
 As figuras abaixo mostram os dois passos da solução.
1
0
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
0
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
PMT
VPL
1º Passo
2º Passo
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Exercícios Resolvidos
Exemplo 8.4 (continuação): 
[f]
REG
0,00
[g] CF0
0,00
[g]CFj
3
[g]Nj
500,00 CHS
[g]CFj
0,00
[g]CFj
5
[g]Nj
700,00 CHS
[g]CFj
0,00
[g]CFj
1.000,00 CHS
[g]CFj
1
i
[f] NPV
- 2.001,64
 O valor do VPL igual a R$ 2.001,64 corresponde ao pagamento a vista que a empresa deveria fazer para liquidar suas obrigações. 
 Para liquidar os compromissos em 3 parcelas mensais e iguais, vencendo a primeira na data de hoje, deve ser calculado o valor das 3 prestações (PMT) antecipadas, que têm valor presente de R$ 2.001,64.
 Portanto, para liquidar suas obrigações, a empresa precisa pagar 3 parcelas mensais e iguais a R$ 673,86, vencendo a primeira hoje.
[g]
BEG
2.001,64
PV
3
n
1
i
0,00
FV
PMT
- 673,86
Fórmula usada no cálculo das prestações antecipadas 
Solução na HP-12C
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1: Uma empresa está analisando a viabilidade de um projeto com vida útil de 5 anos, que exigirá um investimento de R$ 5.000,00. Determinar o Valor Presente Líquido e a Taxa Interna de Retorno do investimento, sabendo-se que a taxa de juros é 10% a.a..
Ano
Fluxo de Caixa
0
- 5.000,00
1
1.000,00
2
2.000,00
3
3.000,00
4
4.000,00
5
5.000,00
Exercícios Propostos
Ano
Fluxo de Caixa
0
- 18.000,00
1
- 3.000,00
2
5.000,00
3
7.000,00
4
10.000,00
5
14.000,00
2: Um empreendedor fez uma projeção de fluxo de caixa de um novo projeto para sua empresa e está interessado em determinar sua viabilidade através do VPL e da TIR. Verifique a viabilidade do projeto, sabendo-se que a taxa de juros é 12% a.a..
Fundamentos da Engenharia Econômica
Rogério Itaborahy Tavares
Aula 8
Fluxo de Caixa Irregular
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Exercícios Propostos
Ano
Fluxo de Caixa
0
- 1.500,00
1
- 1.000,00
2
750,00
3
1.250,00
4
1.500,00
5
0,00
6
1.750,00
3: Você está analisando a viabilidade de um novo projeto de investimento, representado pelo fluxo de caixa mostrado a seguir. Determine o VPL e a TIR, sabendo que a taxa de juros é 10% a.a..
4: Um professor tem que pagar R$ 1.000,00 daqui a 2 meses, R$ 1.500,00 daqui a 5 meses e R$ 2.000,00 daqui a 8 meses. Não tendo condições de pagar a dívida agora, ele propõe pagar ao credor em quatro prestações mensais iguais, vencendo a primeira daqui a 1 mês. Determinar o valor das prestações, sabendo-se que a taxa de juros é 24% a.a., capitalizados mensalmente.
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Rogério Itaborahy Tavares
Aula 8
Fluxo de Caixa Irregular
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