Moyses [RESOLUÇÃO][4a Ed] Física Básica vol. 2

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Resoluções Selecionadas 
Sumário
Cap 01; 1-17 Scan 2
Cap 02; 1-12 11
Cap 03; 1-19 Scan 17
Cap 04; 1-9 Scan 26
Cap 05; 1-12 Completo 33
Cap 06; 1-18 Completo 42
Cap 07; 1-09 Completo 56
Cap 08; 1-19 Completo 62
Cap 09; 1-13 Completo 73
Cap 10; 1-08 Scan 86
RESOLUÇÕES EM VIDEO NO LINK
https://www.youtube.com/playlist?list=PL348032D3F94F1151
Capítulo 1
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RESOLUÇÕES DOS PROBLEMAS DE FÍSICA VOL. 2 CAP. 2 
 H. Moysés Nussenzveig 
 
 
 1 – Um tanque de grandes dimensões contém água até a altura de 1 m e tem na sua base um 
orifício circular de 1 cm de diâmetro. O fator de contração da veia líquida que sai pelo orifício é 
0,69 [Seção 2.5 (a)]. Deseja-se alimentar o tanque, despejando água continuamente na sua parte 
superior, de forma a manter constante o nível de água no tanque. Calcule a vazão de água (em 
l/s) necessária para este fim. 
 
Resolução: 
 
( )2
2
0,69. .
. 0,01
0,69. 2.9,81.1.
4
0,24 /s
v gh
Q v A
Q
Q
=
=
π
=
= 
 
 
 
2 – Um reservatório de paredes verticais, colocado sobre um terreno horizontal, contém água até a 
altura h. Se abrirmos um pequeno orifício numa parede lateral: 
a) A que distância máxima d da parede o jato de água que sai pelo orifício poderá atingir o chão? 
b) Em que altura deve estar o orifício para que essa distância máxima seja atingida? 
 
Resolução: 
 
( )
( )2
2
a)
2
2
1
45 sendo assim temos d = h
b) 
2
2 cos 22
2
2
°
=
=
α = =
α =
= =
 α
 
 
=
h
v
v
h
o
máx
máx
v gh
v gh
vtg
v
ghvd
g g
hd 
 
 
 
3 – Um reservatório contém água até 0,5 m de altura e, sobre a água, uma camada de óleo de 
densidade 0,69 g/cm³, também com 0,5 m de altura. Abre-se um pequeno orifício na base do 
reservatório. Qual é a velocidade de escoamento da água? 
 
Resolução: 
 
( )
2
. 2 .. . . . . .
2 2
2 . . . . 3,96 /
ag o
o ol o
ol ag
v vp g h h g p d v
v g h h g m s
ρ ρ
+ +ρ +ρ = +
= ρ +ρ ≅
 
 
 
 
4 – Um tubo contendo ar comprimido a uma pressão de 1,25 atm tem um vazamento através de 
um pequeno orifício em sua parede lateral. Sabendo que a densidade do ar na atmosfera é de 1,3 
kg/m³, calcule a velocidade de escapamento do ar através do orifício. 
 
Resolução: 
 
2.
2
2 177
o
vp p
p v
ρ
− =
∆
= =
ρ
 
 
 
5 – Um modelo aproximado da câmara de combustão de um foguete é um recipiente contendo 
gás que se mantém a uma pressão constante p, com um orifício pelo qual o gás escapa para o 
exterior, onde a pressão é p0 < p. Tratando o gás como um fluido incompressível, demonstre que 
o empuxo resultante sobre o foguete (1, Seção 8.5) é igual a 2A(p – p0), onde A é a área do 
orifício. 
 
Resolução: 
 
( ) ( )
( )
( )
( )
2 2
2 2
2 2
2
1. .
2
1
2
2
. . 
2
 0
o o o
o o
o
o
oo o
o
o
p p g y y v v
p p v v
p p
v v
A v A v v v
p p
v v
− = ρ − + +ρ −
− = ρ −
−
= +
ρ
=
−
= =
ρ

 
 
-a 
 
( )
( )
2
. . . sendo dm = .A .v .dt
. . . empoxo
. 2
o o o o o o
o a o
o o
dmv v A v
dt
dmv A v
dt
dmv p p
dt
= ρ ρ
= ρ
= −
 
 
 
6 – Um tanque de água encontra-se sobre um carrinho que pode mover-se sobre um trilho 
horizontal com atrito desprezível. Há um pequeno orifício numa parede, a uma profundidade h 
abaixo do nível da água no tanque (Fig.). A área do orifício é A (despreze o fator de contração da 
veia líquida), a massa inicial da água é M0 e a massa do carrinho e do tanque é m0. Qual é a 
aceleração inicial do carrinho? 
 
 
Resolução 
 
( )
( )
( )
. . .
. . .
2 . . .
o o
o o
r
o o
a m M g h A
g h Aa
M m
g h Aa a a
M m
− + = ρ
ρ
= −
+
ρ
= − − = −
+
 
 
 
 
7 – Uma ampulheta é formada, de cada lado, por um tronco de cone circular de altura h = 10 cm, 
raio da base maior R = 10 cm e raio da base menor r = 0,1 cm. Após enchê-la de água até a 
metade, ela é invertida (Fig.). 
a) Calcule a velocidade inicial de descida do nível da água. 
b) Calcule a velocidade de descida do nível depois de ele ter baixado de 5 cm. 
c) Que forma deveria ter a superfície lateral (de revolução) da ampulheta para que o nível da 
água baixasse uniformemente (relógio de água)? 
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a−←
 
a→
 
 
 
 
 
 
 
 
8 – Um filete de água escorre verticalmente de uma torneira de raio a, com escoamento 
estacionário de vazão Q. Ache a forma do jato de água que cai, determinando o raio ρ da secção 
transversal em função da altura z de queda (Fig.). 
 
Resolução: 
 
 
2 2
2 2
2 2
22
2 2
2
2 2
2
2 2
.. .
2 2
´
2 ´
2 .
, onde Q
2
o o
v vp g h p
a v v
gh v v
agh v v
v a v
a gh v
ρ ρ
+ρ + = +
π = πρ
+ =
 
+ =  ρ 
ρ
= = π
+
 
 
 
 
 
 9 – Dois tubinhos de mesmo diâmetro, um retilíneo e o outro com um cotovelo, estão imersos 
numa correnteza horizontal de água de velocidade v. A diferença entre os níveis da água nos dois 
tubinhos é h = 5 cm (Fig.). Calcule v. 
 
 
Resolução: 
 
2
2
.
2
2 2
2.0,05.9,81 0,99 m/s
vgh
v hg v hg
v
ρ
ρ =
= → =
= ≈
 
 
 
 
10 - A Fig. ilustra uma variante do tubo de Pitot, empregada para medir a velocidade v de 
escoamento de um fluido de densidade ρ. Calcule v em função do desnível h entre os dois ramos 
do manômetro e da densidade ρf do fluido manométrico. 
 
Resolução: 
( )
2
2
. .
2
. 2
2 1
f
f
f
vgh gh
v gh
v gh
ρ
ρ + = ρ
ρ = ρ −ρ
ρ 
= − ρ 
 
 
 
 
 
11 – Um medidor tipo Venturi é inserido numa tubulação inclinada de raio R, onde se escoa um 
fluido de densidade ρ. O estreitamento tem raio r e os ramos do manômetro são inseridos em 
pontos de alturas z1 e z2 (Fig.); o líquido manométrico tem densidade ρf. Calcule a vazão Q do 
fluido na tubulação em função destes dados e do desnível h entre os dois ramos do manômetro. 
 
Resolução: 
 
( )
( )
( )
( )
( )
22
'
2 2
'
4
2
4
2
4
1/2
2
4
... .
2 2
.
2 . 1
2
1
2
/ 1
f
ff
f
vvgh gh
R v r v
Rgh v
r
gh
v
R
r
gh
v Q R
R r
ρρ
ρ + = +ρ
=
 
ρ −ρ = ρ − 
 
ρ −ρ
=
 ρ −  
 ρ −ρ = = π  
 ρ −   
 
 
 
12 – Um sifão é estabelecido aspirando o líquido do reservatório (de densidade ρ) através do 
tubo recurvado ABC e fazendo-o jorrar em C, com velocidade de escoamento v. 
a) Calcule v em função dos parâmetros da figura. 
b) Calcule a pressão nos pontos A e B. 
c) Qual é o valor máximo de h0 para o qual o sifão funciona? 
 
Resolução: 
 
( )
( )
1
1
1
1
1
2
1
2
,m x 1
a)
2
b)
. .
c)
1.
20 1
o a
a o
b o o
b o o
a a
o o
o
o á
v gh
p p g h
p p gh
p p gh gh
p p g h h
p gh
trp gh gh
r t
ph h
g
=
− = ρ
= −ρ
= −ρ −ρ
= −ρ −
= ρ ρ
+α ∆φ
−ρ = ρ =
− φ +α ∆
= −
ρ 
 
 
 
 
 
 
 
13 - Petróleo de densidade 0,85 g/cm³ e viscosidade 1 poise é injetado, à pressão de 5 atm, numa 
extremidade de um oleoduto de 20 cm de diâmetro e 50 km de comprimento, emergindo na outra 
extremidade à pressão atmosférica. 
a) Calcule a vazão em litros/dia. 
b) Calcule a velocidade de escoamento ao longo do eixo do oleoduto. 
 
Resolução: 
 
 
 
14 - Um avião tem massa total de 2000 kg e a área total coberta por suas asas é de 30 m². O 
desenho de suas asas é tal que a velocidade de escoamento acima delas é 1,25 vezes maior que 
abaixo, quando o avião está decolando. A densidade da atmosfera é 1,3 kg/m³. Que velocidade 
mínima (em km/h) de escoamento acima das asas precisa ser atingida para que o avião decole? 
 
Resolução: 
 
 
 
 
15 – Para o escoamento com circulação constante definido pela (2.6.6), demonstre que, num 
plano horizontal, a pressão p varia com a distância r ao eixo com uma taxa de variação dada por 
 
Resolução: 
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- l .· ~- ~~-· , • 
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Curso de
Física Básica
H. Moyses Nussenzveig
Resolução do
Volume II
 Capítulo 5
Ondas
Grupo Física-Nussenzveig Capítulo - 5
1 - Uma corda uniforme de 20m de comprimento e massa de 2 kg está esticada sob uma tensão 
de 10 N. Faz-se oscilar transversalmente uma extremidade da corda, com amplitude de 3 cm e 
freqüência de 5 oscilações por segundo. O deslocamento inicial da extremidade é de 1,5 cm para 
cima.
a) Ache a velocidade de propagação v e o comprimento de ondaλ da onda progressiva gerada 
na corda.
b) Escreva, com função do tempo, o deslocamento transversal y de um ponto da corda situado à 
distância x da extremidade que se faz oscilar, após ser atingido pela onda e antes que ela chegue 
à outra extremidade.
c) Calcule a intensidade I da onda progressiva gerada. (Resolução)
2 - A mesma corda descrita no Probl. 1 está com uma extremidade amarrada num poste. A 
outra, inicialmente em repouso na posição de equilíbrio, é deslocada de 10 cm para cima, com 
velocidade uniforme entre t = 0 e t = 0,5 s. A seguir, é deslocada para baixo, com a magnitude da 
velocidade reduzida à metade da anterior, entre t= 0,5 s e t = 1,5 s, quando retorna à posição de 
equilíbrio.
a) Desenhe a forma da corda no instante t = 1,7 s.
b) Desenhe a forma da corda no instante t = 2,6 s. (Resolução)
3 – Mede-se a velocidade v de propagação de ondas transversais num fio com uma extremidade 
presa a uma parede, que é mantido esticado pelo peso de um bloco suspenso 
da outra extremidade através de uma polia. Depois (fig.), mergulha-se o bloco 
na água até os 2/3 da altura e verifica-se que a velocidade cai para 95,5 % da 
anterior. Qual é a densidade do bloco em relação à água? (Resolução)
4 - a) Mostre, diferenciando a expressão para a velocidade de propagação de ondas numa corda, 
que a variação percentual de velocidade 
v
v∆
 produzida por uma variação percentual 
T
T∆
 da tensão 
na corda é dada por 
T
T
2
1
v
v ∆
=
∆
.
b) Um afinador de pianos faz soar a nota lá de um diapasão, de freqüência υ = 440 Hz, para 
compará-la com a nota lá da escala média de um piano. Com ambos soando simultaneamente, ele 
ouve batimentos cuja intensidade máxima se repete a intervalos de 0,5 s. Que ajuste percentual ele 
deve fazer na tensão da corda do piano para afiná-la? (Resolução)
5 – Desprezando efeitos de tensão superficial, pode-se mostrar que ondas na superfície da 
água, com comprimento de onda λ muito menor que a profundidade da água, propagam-se com 
velocidade de fase 
pi
λ
=ϕ 2
gv , onde g é a aceleração da gravidade. Mostre que a velocidade de 
grupo correspondente é ϕ= v2
1vg . (Resolução)
6 – Duas ondas transversais de mesma freqüência ν = 100 s-1 são produzidas num fio de aço 
de 1 mm de diâmetro e densidade 8 g/cm³, submetido a uma tensão T = 500 N. As ondas são 
dadas por:


 pi
+ω−=
6
tkxcosAy1 , ( )kxtsenA2y2 −ω= , onde A = 2 mm.
2
Grupo Física-Nussenzveig Capítulo - 5
a) Escreva a expressão da onda harmônica progressiva resultante da superposição dessas 
duas ondas.
b) Calcule a intensidade da resultante.
c) Se fizermos variar a diferença de fase entre as duas ondas, qual é a região entre os valores 
máximo e mínimo possíveis da intensidade da resultante? (Resolução)
7 – A corda mi de um violino tem uma densidade linear de 0,5 g/m e está sujeita a uma 
tensão de 80N, afinada para uma freqüência υ = 660 Hz.
a) Qual é o comprimento da corda?
 b) Para tocar a nota lá da escala seguinte, de freqüência 880 Hz, prende-se a corda com 
um dedo, de forma a utilizar apenas uma fração f do seu comprimento. Qual é o valor de f? 
(Resolução)
8 – Uma corda de comprimento l está distendida, com uma extremidade presa a um suporte e a 
outra extrremidade livre.
a) Ache as freqüências υn dos modos normais de vibração da corda.
b) Desenhe a forma da corda associada aos três modos de vibração mais baixos (em ordem 
de freqüência crescente). A velocidade de ondas na corda é v. (Resolução)
9 – Considere novamente a corda do problema 8, com um extremo fixo e outro livre e de 
comprimento l. No instante t = 0, um pequeno pulso de forma triangular está se propagando para a 
direita na corda. Depois de quanto tempo a corda voltará à configuração inicial? (Resolução)
10 - Uma corda vibrante de comprimento l presa em ambas as extremidades está vibrando em seu 
n-ésimo modo normal, com deslocamento transversal dado pela (5.7.10, ou seja, 


 δ+pi

 pi
=δ+ω= )vtncosxnsenb)tcos()xksen(b)t,x(y nnnnnnn ll , (n = 1,2,3,...). Calcule a 
energia total de oscilação da corda. 
Sugestão: Considere um instante em que a corda esteja passando pela posição de equilíbrio, de 
modo que sua energia total de oscilação esteja em forma puramente cinética. Calcule a densidade 
linear de energia cinética e integre sobre toda a corda. (Resolução)
11 – (modificada: acrescentou-se a letra 'a' à questão) Duas cordas muito longas, bem esticadas, de 
densidades lineares diferentes µ1 e µ2, estão ligadas uma à outra. Toma-se a posição de equilíbrio 
como eixo dos x e a origem O no ponto de junção, sendo y o deslocamento transversal da corda 
(fig). Uma onda harmônica progressiva, yi=A1cos (k1x - ωt), viajando na corda 1 (x < 0), incide 
sobre o ponto de junção, fazendo-o oscilar com freqüência angular ω. Isto produz na corda 2 (x > 0) 
uma onda progressiva de mesma freqüência, yt=A2 cos (k2x - ωt) (onda transmitida), e dá origem, na 
corda 1, a uma onda que viaja em sentido contrário, yr=B1 cos(k1x +ωt) (onda refletida). Dada a 
onda incidente yi, de amplitude A1, desejam-se obter a amplitude de reflexão 
1
1
A
B
=ρ e a amplitude 
de transmissão 
1
2
A
A
=τ .
a) Use sua intuição para prever quais devem ser os valores de ρ e τ para os casos em que: (i) 
µ1 >> µ2; (ii) µ1 = µ2; e (iii) µ1 << µ2.
b) Dada a tensão T da corda, calcule as velocidades de propagação v1 e v2 nas cordas 1 e 2, 
bem como os respectivos números de onda k1 e k2. O deslocamento total na corda 1 é yi + yr, e na 
corda 2 é yt.
c) Mostre que, no ponto de junção x = 0, deve-se ter yi + yr = yt.
3
Grupo Física-Nussenzveig Capítulo - 5
d) Aplicando a 3ª lei de Newton ao ponto de junção x = 0, mostre que, nesse ponto, deve-se 
ter também tri yx
)yy(
x ∂
∂
=+
∂
∂
.
e) A partir de (b) e (c), calcule as amplitudes de reflexão e transmissão ρ e τ em função das 
velocidades v1 e v2. Discuta o sinal de ρ. (Resolução)
12 – No problema 11, a refletividade r da junção é definida como a razão da intensidade da onda 
refletida para a intensidade da onda incidente, e a transmissividade t como a razão da intensidade 
transmitida para a incidente.
a) Calcule r e t.
b) Mostre que r + t = 1, e interprete esse resultado. (Resolução)
Resolução
R-1) Dados: L = 20m ; m = 2 kg ; A = 3 cm = 0,03 m ; υ = 5 Hz ; T = 10N.
a) A densidade linear da corda vale: m/kg 1,0
L
m
==µ .
Logo, a velocidade será: µ
=
Tv = 
1,0
10
 ⇒ v = 10 m/s
E
υ
=λ v = 
5
10
 ⇒ λ = 2 m
b) Equação da corda:
y (x,t) = A cos (kx - ωt + φ) , onde A foi dado e ω = 2piυ = 10pi rad/s , k = (v / ω) = pi m-1
De acordo com o problema, temos, em t = 0 e x = 0, que y vale 1,5 cm = 0,015 m. Substituindo na 
equação da corda:
y (0,0) = 0,015 = 0,03 cos (φ)
O que nos dá cos φ = (1/2). Logo φ = pi/3 rad.
Portanto:
y(x.t) = 0,03 cos (pix - 10pit + pi/3)
c) A intensidade I representa o fluxo médio de energia através de um ponto qualquer da corda, ou 
seja, a intensidade é dada como o valor da potência média sobre um período. Assim:
I = (1/2).µ.v.ω².A² ⇒ I = 0,44W
R-3) 
Notação:
µ: densidade linear da corda;
β = m / Vb: densidade do bloco;
ρ: densidade da água;
Vb: volume do bloco [A (área da base) x h (altura)];
Vl: volume do líquido deslocado;
4
Grupo Física-Nussenzveig Capítulo - 5
E = ρ.Vl.g : empuxo sobre o bloco.
Primeira situação:
T – P = 0 ⇒ µ.v² - m.g = 0 ⇒ µ.v² - β.Vb.g = 0 ⇒ µ.v² = β.A.h.g (I)
Segundasituação (bloco é colocado na água):
T + E – P = 0 
µ.(0,955v)² + ρ.Vl.g – m.g = 0 ⇒ (0,955)².µ.v² + ρ.Vl.g – β.Vb.g = 0 (II)
Substituindo (I) em (II), cancelando g e substituindo os termos Vb e Vl:
(0,955)².β.Vb.g + ρ.Vl.g – β.Vb.g = 0 ⇒ 0,0879.β.A.h = ρ.A.(2 / 3).h
R-4)
a) µ
=
Tv
T.
1.
2
1
dT
dv
µ
= = 
T
T.
T.
1.
2
1
µ
 = 
T
1.T.
2
1
µ = T
1.v.
2
1
Logo:
T
dT.
2
1
v
dv
= ou 
b) 
R5)
Seja uma onda na forma:
y = A cos(kx - ωt)
λ
pi
=
2k
pi
λ
=
pi
λ
ω=
ω
=ϕ 2
g
2
.
k
v
λ
pi
pi
λ
=ω
2.
2
.g , que pode ser escrito como
22.
2
.g 


λ
pi
pi
λ
=ω ou ( ) 2
2
2
1
2
1 2
2
g 


λ
pi


pi
λ
=ω
( ) 2
2
2
1
2
1 22g 


λ
pi


λ
pi
=ω
−
( ) 2
1
2
1 2g 


λ
pi
=ω ⇒ ( ) ( ) 2121 kg=ω
dk
dvg
ω
=
5
6,758,7 ≈=
ρ
β
T
T.
2
1
v
v ∆
=
∆
Grupo Física-Nussenzveig Capítulo - 5
( ) 2
1
2
1
g 2
g
2
1v 


pi
λ
= 
2
1
g 2
.g
2
1v 


pi
λ
= = ϕv.
2
1
R-6) Temos:


 pi
+ω−=
6
tkxcosAy1 ≡ A1 cos (θ + φ1) 
( )kxtcosA2y2 −ω= ≡ A2 sen (-θ) ≡ A2.[-sen (θ)] ≡ 

 

 pi
−+θ
2
cosA2 ≡ A2 cos (θ +φ2)
Onde definimos:
 
(I)
Em notação complexa, podemos escrever:
z1 = )(i1 1e.A
φ+θ
z2 = )(i2 2e.A
φ+θ
que representam, também, as equações das duas ondas. Logo:
z = z1 + z2 = )(i1 1e.A
φ+θ + )(i2 2e.A
φ+θ = )(i1 221e.A
φ−φ+φ+θ + )(i2 2e.A
φ+θ
[ ]44 344 21
β
+= φ−φφ+θ
i
212
e.B
2
)(i
1
)(i Ae.Aez
em que
(II)
Para um dado complexo z, temos:
β
=
ie.Bz e seu conjugado será β−= ie.B*z
z = B cosβ + iB senβ ⇒ z* = B cosβ - iB senβ
E
z.z* = B² 
Como z é dado por (II):
B² = [A1cos (φ1 - φ2) + A2]² + [A1sen(φ1 - φ2)]² 
 = A1²cos²(φ1 - φ2) + 2.A1.A2cos (φ1 - φ2) + A2² + A1²sen²(φ1 - φ2)
 A1²
B² = A1² + A2² + 2.A1.A2cos (φ1 - φ2) (III)
Basta substituirmos os valores na equação (III), lembrando que: A1 = 2mm = 2x10-3m; A2 = 2A1; φ1 
e φ2 dados em (I). Com isso, obtemos:
6
A1 = A
A2 = 2A
φ1 = pi/6
φ2 = - (pi/2)
B.eiβ = 2
)(i
1 Ae.A 21 +
φ−φ
B = 5,29x10-3 m
Grupo Física-Nussenzveig Capítulo - 5
Encontrando β :
De acordo com (II):
β+β=β seniBcosBe.B i = [A1cos (φ1 - φ2) + A2] + i[A1sen (φ1 - φ2)]
Aplicando a identidade de números complexos:
B cosβ = A1cos (φ1 - φ2) + A2 ⇒
Resolvendo, encontramos:
cosβ = 0,945 ⇒ β = 0,33
A onda resultante é a parte real de:
 )(i 2e.Bz β+φ+θ=
y = (Re)z = B cos (θ + φ2 + β) = 
R-11) Temos o seguinte esquema:
µ1 µ2
 O v 
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1 1
2 2
1 1
0
0
0
i
t
r
y A cos k x t x
y A cos k x t x
y B cos k x t x
ω
ω
ω
= − <
= − >
= + <
1
1
B
A
ρ = 2
1
A
A
τ =
a)
(iii) 
1 2
1 1
2
1
0 0
B A
A
µ µ
ρ
τ
<<
≅ − → ≅ −
≅ → ≅
1 2 
1 0
0 1
se µ µ
ρ
τ
<
− < <
< <
(ii)
1 2
1
2 2
0 0
1
B
A A
µ µ
ρ
τ
=
= → =
= → ≅
(i)
1 2
1 1
2 2
1
2 2
B A
A A
µ µ
ρ
τ
>>
≅ → ≅
≅ → ≅
1 2 
0 1
0 2
se µ µ
ρ
τ
>
< <
< <
 
b) 1
1
Tv
µ
= ; 2
2
Tv
µ
= ; 1
1
k
v
ω
= ; 2
2
k
v
ω
= .
c) Continuidade da corda, caso contrário ela estaria quebrada.
d) yi + yr = yt
7
B
A)cos(Acos 2211 +φ−φ=β
Grupo Física-Nussenzveig Capítulo - 5
As derivadas no ponto de junção são iguais (a tangente é horizontal).
( ) ( ) ( ) ( )0 0i r t,t ,ty y yx x
∂ ∂
+ =
∂ ∂ (*)
e) 
( ) ( ) ( )1 1 1 2A cos t B cos k x t A cos tω ω ω− + − = −
( ) ( ) ( )1 1 2A B cos t A cos tω ω+ =
Pode-se cancelar cos(ωt), pois o termo é válido para qualquer t e há t que não zera o cosseno).
Logo:
A1 + B1 = A2 (**)
1 1 1 1 1 1
0 0
k A sen k x t k B sen k x tω ω
= =
    
− − + − −            EF EF = ( ) ( )1 1 1 1
k A sen t k B sen tω ω− − − =
= ( ) ( )1 1 1 1k A sen t k B sen tω ω− (***)
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 20t ,ty k A sen k x t k A sen tx ω ω
∂
= − − =
∂ (****)
Igualando (***) = (****):
( ) ( ) ( )2 2 1 1 2 2k A sen t k B sen t k A sen tω ω ω− = 
 ( ) ( ) ( )1 1 1 1 2 2k A k B sen t k A sen tω ω− = 
 1 1 1 1 2 2k A k B k A− =
1 2
1 1 2
1 1
B Ak k k
A A
− = ⇒
1 2 2
1 1 1
1 B k A
A k A
ρ τ
− =
EF EF
2 1
1 2
k v
k v
k v
ω= 
= 
De (**): 1 2
1 1
1 B A
A A
+ =
1
2
1
1 v
v
ρ τ
ρ τ
+ =
− =
Logo:
1 2
2 1
v v
v v
ρ −=
+
2
2 1
2.v
v v
τ =
+
R-12)
Dados: r
i
Ir
I
= ; t
i
It
I
= .
a)
2 21
2
I v Aµ ω=
2 2
1 1 1
1
2i
I v Aµ ω= ; 2 21 1 1
1
2r
I v Bµ ω= ; 2 22 2 2
1
2t
I v Aµ ω=
2
21
1
Br r
A
ρ = ⇒ =  
8
Grupo Física-Nussenzveig Capítulo - 5
2
22 2 2 2 2
1 1 1 1 1
v A vt t
v A v
µ µ
τ
µ µ
 
= ⇒ =  
b) 
9
http://comsizo.zip.net/ 
Resolução de “Curso de 
Física Básica” de H. 
Moysés Nussenzveig 
Capítulo 06 - Vol. 2 
 
Enenharia Física 09 – Universidade Federal de São Carlos 
10/13/2009 
 
 
 
 
*Conseguimos algumas resoluções pela internet, outras foram feitas por nós. 
1 – Uma experiência de demonstração divertida consiste em mudar a tonalidade da voz 
enchendo a boca de gás hélio: uma voz grave transforma-se em aguda (cuidado: não 
procure fazer isso por sua conta! Inalar hélio é perigoso, podendo levar à sufocação). 
Para explicar o efeito, admita que os componentes de onda associados à voz são 
determinados pelas dimensões das cordas vocais, laringe e boca, estas funcionando 
como cavidades ressonantes, de modo que a variação de tonalidade seria devida 
unicamente à variação da velocidade do som (embora isto não seja bem correto). 
 a) Calcule a velocidade do som no hélio a 20°C. É um gás monoatômico, de 
massa atômica ≈ 4 g/mol, com γ ≈ 1,66. A constante universal dos gases R vale 8,314 
J/mol.K. 
 b) Explique o efeito, calculando a razão entre as freqüências do som no hélio e 
no ar para o mesmo comprimento de onda. 
 
a) Sendo o processo adiabático, convertemos a temperatura para Kelvin (20°C =293K) e a 
massa para kilograma (4g/mol = 4.10-3 kg/mol) e temos que: 
V = ��.�.��� = 1005,45 m/s 
 
b) V’
 
= λ f’ 
V = λ f 
Logo: �′� = 	′	 = 2,93 
 
2 – Um alto-falante de um aparelho de som emite 1W de potência sonora na freqüência 
υ = 100 Hz. Admitindo que o som se distribui uniformemente em todas as direções, 
determine, num ponto situado a 2 m de distância do alto-falante: 
 a) o nível sonoro em db; 
 b) a amplitude de pressão; 
 c) a amplitude de deslocamento. Tome a densidade do ar como 1,3 kg/m³ e a 
velocidade do som como 340 m/s. 
 d) a que distância do alto-falante o nível sonoro estaria 10 db abaixo do 
calculado em (a)? 
 
P = 1 W; υ = 100 Hz ; r = 2 m ; I0 = 10-12 W/m² ; ρ0 = 1,3 kg/m³ ; v = 340 m/s. 
 
a) Área = A = 4pi.r² = 4pi.2² = 16pi m² 
 I = P/A = 1(W) / 16pi (m²) = 0,0189 W/m² 
O nível sonoro vale: 
 





=α
0I
Ilog10
 = 





−1210
0189,0log10 ⇒ α = 103 db 
b) 
v2
1I
0
2
ρ
℘
= ⇒ ℘² = 2.ρ0.v = 2.1,3.340 = 17,587 ⇒ ℘ =4,2 N/m² 
c) 220 Uv2
1I ωρ= 
onde: ω = 2.pi.υ = 2.pi.100 ⇒ ω = 200pi rad/s 
Logo: 
 2
0
2
.v.
I.2U
ωρ
= ⇒ U = 0,015 mm 
d) α’ = α - 10 = 103 – 10 = 93 db 
 I’ = P/A’ = 1/ (4pir²) 
 
 










pi
=α
−12
2
10
r4
1
log10'
 = 93 ⇒ 123,9
2
10.10.4
1
r
−pi
= ⇒ r = 6,3 m 
 
3 – Que comprimento deve ter um tubo de órgão aberto num extremo e fechado no 
outro para produzir, como tom fundamental, a nota dó da escala média, υ = 262 Hz a 
15°C, quando a velocidade do som no ar é de 341 m/s? Qual é a variação de freqüência 
∆υ quando a temperatura sobe para 25°C? 
 
υ = 262 Hz ; T = 15°C = 288 K ; v = 341 m/s ; T’ = 25°C = 298 K ; 
 
Tubo aberto numa extremidade e fechado na outra: 
 
L4
v
nn =υ (n = 1, 3, 5, ...) 
 (I) 
Para o tom fundamental, n = 1 e, de acordo com (I), encontramos L: 
 
υ
=
4
vL ⇒ L = 0,325 m = 32,5 cm 
 
Para uma dada massa de ar, a velocidade do som é dada por: 
 T
m
R
m
RT
v
teconsC
.
tan
321
=
== γγ ⇒ T.Cv = 
Encontrando C, substituindo v e T: 
 341 = C. 288 ⇒ 
288
341C = 
 (II) 
Encontrando a velocidade v’, quando T’ = 298 K 
 'T.C'v = = 298
288
341
 ⇒ v’ = 346,87 m/s 
A nova freqüência será: 
 
L4
'v
' =υ = )0325(4
87,346
 ⇒ υ’ = 266,8 Hz 
 
∆υ = υ’ - υ = 4,8 Hz 
 
 
4 – Na experiência da pg. 221* (pg 136 – 4ª ed), o diapasão emite a nota lá de 440 Hz. 
À medida que vai baixando o nível da água no tubo, a 1ª ressonância aparece quando a 
altura da coluna de ar é de 17,5 cm e a 2ª quando é de 55,5 cm. 
 a) Qual é o comprimento de onda? 
 b) Qual é o valor da correção terminal (cf. pg. 219)**? 
 c) Estime o diâmetro do tubo. 
 d) Qual é a velocidade do som no tubo? 
 
* - Diapasão excita ondas sonoras numa coluna de ar contida num tubo cilíndrico de 
vidro, contendo água na parte inferior. 
** - Esta correção terminal equivale a corrigir o comprimento efetivo do tubo, 
acrescentando-lhe ≈0,6R, onde R é o raio do tubo. 
 
a) f = nv/4 L 
 L = 340 / 4. 440 
 L � 19 cm 
Sendo: 
λ = 4 L 
 λ � 76 cm 
 
b) Como a medida com o diapasão é 17,5 cm e a altura teórica é 19 cm, o fator de 
correção (y) é: 
y= 19 – 17,5 
 y = 1,5 cm 
 
c) Sendo y = 0,6 R 
y = 0,3 D 
 D = 1,5/0,3 
 D = 5cm 
 
d) Pela relação, temos: 
v = λ f 
 v= 0,76 . 440 
 v = 334,4 m/s 
 
5 - O tubo de Kundt, que costumava ser empregado para medir a velocidade do som em 
gases, é um tubo de vidro que contém o gás, fechado numa extremidade por uma tampa 
M que se faz vibrar com uma freqüência υ conhecida (por exemplo, acoplando-a a um 
alto-falante) e na outra por um pistão P que se faz deslizar, variando o comprimento do 
tubo. O tubo contém um pó fino (serragem, por exemplo). Ajusta-se o comprimento do 
tubo com o auxílio do pistão até que ele entre em ressonância com a freqüência υ, o que 
se nota pelo reforço da intensidade sonora emitida. Observa-se então que o pó fica 
acumulado em montículos igualmente espaçados, de espaçamento ∆l, que se pode 
medir. 
 a) A que correspondem as posições dos topos dos montículos? 
 b) Qual é a relação entre ∆l, υ e a velocidade do som no gás? 
 c) Com o tubo cheio de CO2 a 20°C e υ = 880 Hz, o espaçamento médio medido 
é de 15,2 cm. Qual é a velocidade do som no CO2 a 20°C? 
 
 
 
Tubo fechado nas duas extremidades. 
1
2 2
nl l nλλ= ⇒ = 
12 2
v
v l
l
λυ υ υ= = ⇒ = 
 
a) Os nós do deslocamento. Antinodos de pressão ou nodos de deslocamento. O 
deslocamento "varre" as partículas para os nós do deslocamento. 
 
b) 2
2
l lλ λ∆ = ⇒ = ∆ 2v . l.υ= ∆ 
 
c) v = 2.(0,152).880 ⇒ v = 267,5 m/s 
 
6 - a) Mostre que, para uma onda sonora harmônica de freqüência angular ω e três 
dimensões num fluido cuja densidade de equilíbrio é ρ0, o deslocamento ur (que neste 
caso é um vetor!) está relacionado com a pressão p por: grad p = ρ0.ω². ur . 
 b) Considere uma onda sonora harmônica que se propaga no semi-espaço x > 0, 
com p=p(x,y,z,t), e suponha que o plano x = 0 é uma parede fixa, rígida. Mostre, 
utilizando o resultado da parte (a), que p tem de satisfazer a condição de contorno 
0
x
p
=
∂
∂
 para x=0, qualquer que seja t. Em particular, isto vale na extremidade fechada 
de um tubo de órgão. 
 
a)Tomamos � como potencial de velocidades e ���, �� � � cos���� � ���� � ����� !� � "�. 
Sabendo que v = #� e que a velocidade esta relacionada à pressão pela expressão: 
P = ρ0 $%$& 
Temos: 
P = ρ0 $%$& ⇒ P = ρ0 $²($&² ⇒ P = ρ0.ω².� ) 
b)P = P (x,y,z,t) 
P = ρ0 ω² � cos���� � ���� � ����� !� � "� 
*+/*� = -K’ ρ0 ω² � sen(��� � ���� � ����� !� � "� 
Se x = 0 , P = P (0,y,z,t) assim, $-$. � /012�31�4 � 0. ) 
 
7 – Uma onda sonora plana monocromática de pressão dada por [cf. 
(6.5.7)] ( )tykxkcosPp yxi ω−+−= , onde k² = kx² + ky² = ω² / v² ( 
v = velocidade do som), incide com ângulo de incidência θ1 sobre o 
plano x = 0, ocupado por uma parede rígida (fig.), dando origem à 
onda refletida, de pressão dada por ( )tykxkcos'Pp yxr ω−+= , 
associada ao ângulo de reflexão θ’1=θ1 (fig.). 
 a) Verifique que kx = k.cosθ1, ky = k.senθ1. 
 b) Aplique a condição de contorno do problema 6 à onda total 
p = pi + pr e determine P’ em função de P. 
 c) Escreva a onda total p em função de P, usando (b), e 
interprete o resultado. Mostre que, no caso particular em que ky = 0, ele se reduz ao que 
foi encontrado na pg. 220 para a reflexão na extremidade fechada de um tubo de órgão. 
 
a) Considerando o raio incidente (Pi) como um certo vetor (k), temos 
 
Analisando trigonométricamente, concluimos: 
ky = k.senθ1 e kx= k.cos θ1 ) 
b) 
c) 
 
8 – Uma lente esférica plano-convexa delgada é formada por um meio onde o som se 
propaga com velocidade v2, limitada por uma face plana e outra esférica de raio de 
curvatura R; o raio h = I’A da face plana é suposto <<R. No meio externo à lente, o som 
se propaga com velocidade v1, com 
n
v
v 12 = , onde n é o índice de refração relativo. 
Supomos n > 1. Nestas condições, uma onda sonora plana incidente perpendicularmente 
sobre a face plana é focalizada pela lente em seu foco F. A distância f = OF do foco à 
face curva chama-se distância focal, e AO = e é a espessura da lente. 
 a) Mostre que, para h << R, tem-se e = h² / (2R). Para isso, você poderá utilizar a 
aproximação: ε±≈ε±
2
11 1 , válida para |ε| << 1. 
 b) Com o auxílio do Princípio de Huygens, mostre que )1n(
Rf
−
= . 
Sugestão: Partindo da frente de onda plana incidente II’, iguale o tempo que as frentes 
de onda secundárias levam para convergir no foco passando pela periferia da lente 
(caminhos I’F, IF) e pelo centro (caminho AO + OF) e use o resultado da parte (a). 
 
 
 
 
a) 
 
Por pitagoras: 67 87 � �6 9�7⇒√67 87 � 6 9⇒�67 ;< 8767= � 6 9⇒ 
9 � 6 6>< 8767 
Pela relação fornecida, temos: 9 � 6�< �< 8767)⇒ 9 � 6�< �< <7 8767)⇒ 9 � 6�<7 8767)⇒ 9 � 8776� ) 
 
b) Pela equação dos fabricantes, temos: <? � @A7A< <B @ <6< � <67B 
Como 6< C �∞, já que a lente é plana, e A< � < (ar),então: <? � �A <� @E � <6B 
 <? � A <6 
 ? � 6A < ) 
 
9 – Duas fontes sonoras A e B oscilam em fase com a freqüência de 20 kHz, no ar, 
emitindo ondas esféricas; a distância AB = 3d é de 10,2 m. Considere o plano 
perpendicular a AB que passa pelo terço O do segmento AB : AO = d = (1/2) OB. Ache 
as distâncias x do ponto O associadas dos dois primeiros mínimos e aos dois primeiros 
máximos de interferência sobre esse plano. Você poderá utilizar a aproximação 
ε±≈ε±
2
11 1 (|ε| << 1); a velocidade do som no ar é de 340 m/s. Se as ondas emitida 
por A e B têm a mesma amplitude, qual é a razão da intensidade dos máximos à dos 
mínimos? 
 
 
 3G � 10,2G � 3,4 K � L. M 
 340 � L. 20.10N 
 L � 0,017 P 
 
Sabemos que em O há interferência construtiva, já que: L1 � G 
 1 � 3,40,017 
 1 � 200 
Portanto, para ondas construtivas: +QRRRR +�RRRR � 1L 
 ��S � 4GS�T� ��S � GS�T� � 1L 
 
2G U �S4GS � 1V
WS G U�SGS � 1V
WS � 1L 
 2 U �S4GS � 1V
WS U�SGS � 1V
WS � 1LG 
Pela relação fornecida, temos: 
2 ; .�XY� � 1= ; .�SY� � 1= � Z[Y 
 � � ;1 Z[Y =T� . 2G para ondas construtivas. 
Calculamos, então, os valores logo abaixo de n=200 para encontrar os próximos 
máximos. Sabemos, também, que, no meio de dois máximos, há sempre um mínimo. 
Assim: 
Máximos\]
^1 � 199 C � � ;1 W``.a,aWbN,c =T� . 2.3,4 
 �W � 48 /P 
1 � 198 C � � ;1 W`X.a,aWbN,c =T� . 2.3,4 
 �S � 68 /P
f
 
Mínimos\]
^1 � 199,5 C � � ;1 W``,h.a,aWbN,c =T� . 2.3,4 
 �`W � 34 /P 
1 � 198,5 C � � ;1 W`X,h.a,aWbN,c =T� . 2.3,4 
 �`S � 59 /P
f
 
 
Sabemos que: j � jk � jl � 2mjkjlcos �"WS� 
n j�k.�cos�"WS� � 1� � omjk � mjlpSj�qZ�cos�"WS� � 1� � omjk mjlpS f 
Assim: 
j�k.j�qZ � omjk � mjlp
S
omjk mjlpS � r
s1 � �jljk1 �jljkt
u
S
�v w1 � 121 12x
S � 9 
* 
yzy{ � |}��y} � Wc 
 
 
10 – Uma onda sonora plana harmônica de comprimento de onda λ incide 
perpendicularmente sobre um anteparo opaco com três fendas igualmente espaçadas, de 
espaçamento d >> λ. Para a distâncias R >> d, determine as direções de observação θ 
em que aparecem mínimos de interferência, generalizando a (6.8.11)* de duas para três 
fendas. Qual é a intensidade nos mínimos? Sugestão: Você terá de calcular a resultante 
de três oscilações com defasagens consecutivas δ iguais. Use a notação complexa e a 
fórmula (demonstre-a!) 





 δ





 δ
=
−
−
=++ δ
δ
δδ
2
sen
2
3
sen
1e
1e
ee1
2
2
2
i
i32i2i
. 
O mesmo método se aplica a um número qualquer de fendas igualmente espaçadas. 
*










+
= )(
2
1
)(
destrutivan
aconstrutivn
dsen λ
λ
θ
 (n = 0, ±1,...) 
 
 
 
 
Vimos que: ~  � �W � G241€�S � �W � 2G241€f 
Como   G, então:  � �W e �S � �W 
 
Pelas equações da 68, temos: 
\‚]
‚^ �W � 3�W cos ���W ƒ���S � 3�S cos���W � �G241€ ƒ�� � 3�S cos�� ƒ���N � 3�N cos���W � �2G241€ ƒ�� � 3�N cos ���S ƒ��
f
 
Pela equação de Euler: 
\]
^ �W � k� Re. e†�‡ˆT‰Š&��S � k� Re. ‹e†�‡ˆT‰Š&�. 4q�Œ�N � k� Re. ‹e†�‡ˆT‰Š&�. 4qS�Œ
f
 , onde  � �G241€ 
Assim: � � �W � �S � �N � 3 Re. e†�‡ˆT‰Š&�Ž1 � 4q� � 4qS� 
Vamos calcular as intensidades: jj � |�|S|�W|S � ’1 � 4q� � 4qS�’S 
Analisando com atenção, notamos que 1 � 4q� � 4Sq� representa a soma de uma 
progressao geométrica de termo inicial 1 e razão 4q�. Assim: “N � k”•‰kT•‰W � –”—˜‰W–—˜‰W (*) 
Por (*), temos: 
jj � ™4Nq� 14q� 1 ™
S � š4Nq�S @4Nq�S 4‰Nq�S B4q�S @4q�S 4‰q�S B š
S
� ’4q�’S. ›4Nq�S 4‰Nq�S4q�S 4‰q�S ›
S
 
Mas, sabemos que: ’4q�’ � �cosS  � 241S�T� e 4qœ 4‰qœ � 2241€ 
Assim, temos: jj � 241
S ;3G2 =241S ;G2= 
Logo, há mínimo de interferência quando 241S ;NYS = C 0. Portanto: 32 � 1 
 32 . 2L G241€ � 1 
 G241€Z � 1L3 
Com ZN não inteiro já que a interferência é destrutiva. 
 
11 – Uma ambulância, em velocidade constante e com sua sereia sempre ligada, passa 
ao lado de um observador parado. A tonalidade da sereia percebida pelo observador 
varia de um semitom da escala cromática entre quando ela está se aproximando, vindo 
de longe, e quando se afasta, já distante. A velocidade do som no ar é de 340 m/s. 
Calcule a velocidade da ambulância (em km/h). 
 
12 - Dois trens viajam em sentidos opostos, sobre trilhos paralelos, com velocidades de 
mesma magnitude. Um deles vem apitando. A freqüência do apito percebida por um 
passageiro do outro trem varia entre os valores de 348 Hz, quando estão se 
aproximando, e 259 Hz, quando estão se afastando. A velocidade do som no ar é de 
340m/s. 
 a) Qual é a velocidade dos trens (em km/h)? 
 b) Qual é a freqüência do apito? 
 
 
ž� MkŸ � M w1 � KK 1 KK  x � 348 ¡� ; žž� Mk� � M w
1 KK 1 � KK  x � 259 ¡� 
Isolando UW£ ¤¤¥W‰ ¤¤¥ V em i e ii, temos: 
\‚]
‚^UW£ ¤¤¥W‰ ¤¤¥ V � �{¦�}UW£ ¤¤¥W‰ ¤¤¥ V � �}�{§
f
�{¦�} � �}�{§ 
 M � mMkŸ. Mk� 
 M � 300,22 ¡� 
a� Substituindo em i, temos: 
MkŸ � M w1 �
KK 1 KK  x ⇒ 348 � 300,22 w
1 � K3401 K340 x 
 K � 25,2
P2 � 90,72 �P² 
b) M � 300,22 ¡� 
 
 
13 – Numa estrada de montanha, ao aproximar-se de um paredão vertical que a estrada 
irá contornar, um motorista vem buzinando. O eco vindo do paredão interfere com o 
som da buzina, produzindo 5 batimentos por segundo. Sabendo-se que a frequencia da 
buzina é de 200 Hz e a velocidade do som no ar é de 340 m/s, qual é a velocidade do 
carro (em km/h)? 
 
Freqüência recebida pela parede: 
M� � M w 11 K³K  x 
Freqüência recebida pelo carro (fonte é a montanha): M�� � M� @1 � K³K B 
∆M � M�� M � M w1 �
K³K 1 K³K  x M � M w
1 � K³K 1 K³K  1x �
2M K³K 1 K³K  ∆M � 5 � 2.200. K³;1 K³340= 
 K³ � 4,2
P2 � 15,11 �P² 
 
14 – Uma fonte sonora fixa emite som de freqüência υ0. O som é refletido por um 
objeto que se aproxima da fonte com velocidade u. O eco refletido volta para a fonte, 
onde interfere com as ondas que estão sendo emitidas, dando origem a batimentos com 
freqüência ∆υ. Mostre que é possível determinar a magnitude |u| da velocidade do 
objeto móvel em função de ∆υ, υ0 e da velocidade do som v. 
O mesmo princípio é utilizado (com ondas eletromagnéticas em lugar de ondas sonoras) 
na detecção do excesso de velocidade nas estradas com auxílio do radar. 
 
 
\‚]
‚^ M � M ;1 � µK = Freqüência recebida pelo objeto
M� � M w 11 µK x Freqüência recebida de volta �objeto é a fonte�
f
 
∆M � M� M � M w1 � µK 1 µK x � M w
1 � µK1 µK 1x � 
2M µK1 µK 
∆M � 2M µK1 µK 
 ∆M ∆M
µK � 2M µK 
 |µ| � K∆M2M � ∆M 
 
 
15 - Dois carros (1 e 2) trafegam em sentidos opostos numa estrada, com velocidades 
de magnitudes v1 e v2. O carro 1 trafega contra o vento, que tem velocidade V. Ao 
avistar o carro 2, o motorista do carro 1 pressiona sua buzina, de freqüência υ0. A 
velocidade do som no ar parado é v. Qual é a freqüência υ do som da buzina percebida 
pelo motorista do carro 2? Com que freqüência υ’ ela é ouvida pelo motorista de um 
carro 3 que trafega no mesmo sentido que o carro 1 e com a mesma velocidade? 
 
 
Com a ação do vento, a velocidade do som no ar passa a ser: K�� � K  Á 
I) M � M UW£ ¤�¤¥ÂÃW‰ ¤T¤¥Âà V ⇒ M � M ;	¥‰%£	�	¥‰%‰	T = , com |v1| = |v2| 
II) Se ambos os carros estão andando na mesma direção em MRU, a situação torna-se 
análoga a se ambos estivessem parados um ao lado do outro. Assim: M � M 
 
16 – Complete a teoria do efeito Doppler para movimento numa direção qualquer 












θ
υ
=
v
Vcos
-1
 vque em 0
 calculando a freqüência υ percebida por um observador 
quando a fonte, de freqüência υ0 está em repouso na atmosfera e o observador se move 
ao longo de uma direção P0P com velocidade de magnitude u. No instante considerado, 
a direção PF que liga o observador à fonte faz um ângulo θ com a direção do 
movimento. Verifique que se recai nos resultados obtidos no texto para θ = 0 e θ = pi. 
 
 
 
17 – Mostre que se pode obter o efeito Doppler a partir da transformação de Galileu. 
 a) Considere primeiro uma onda sonora harmônica em uma dimensão, para uma 
fonte sonora em repouso no meio, de freqüência υ0. Escreva a expressão da onda num 
ponto x no instante t, no referencial S do meio. Considere agora um observador que se 
desloca com velocidade u em relação a S, na direção θ. Relacione x com a coordenada 
x’ do observador, no referencial S’ que se desloca com ele. Substitua na expressão da 
ondae interprete o resultado. 
 b) Considere agora o caso em que o observador se move com velocidade u numa 
direção qualquer. Generalize o resultado de (a), usando a transformação de Galileu 
geral, e mostre que se obtém a mesma expressão para o efeito Doppler encontrada no 
Problema 16. Parta da expressão geral para uma onda plana. 
Expressão geral: [ ])tr.k(iAeRe)tr.kcos(A)t,r( ω−=δ+ω−=ϕ 
 
18 - Um avião a jato supersônico está voando a Mach 2 (o dobro da velocidade do 
som). 
a) Qual é o ângulo de abertura do cone de Mach? 
b) 2,5 s depois de o avião ter passado diretamente acima de uma casa, a onda de choque 
causada pela sua passagem atinge a casa, provoca um estrondo sônico. A velocidade do 
som no ar é de 340 m/s. Qual é a altitude do avião em relação à casa? 
 
 
 
a) v = 2V = 2.(340) = 680 m/s 
1 30
2 2
V V
sen
v V
α α= = = ⇒ = ° 
 
b) Pelo desenho, temos que: 
tg(30°)=h/v.∆t ⇒ h = v.∆t.tg(30°) = 680.2,5.√3/3 ≈ h = 981 m 
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Resolução de “Curso Básico 
de Física” de H. Moysés 
Nussenzveig 
Capítulo 07 - Vol. 2 
 
Engenharia Física 09 – Universidade Federal de São Carlos 
20/10/2009 
 
ComSizo.blogspot.com Capítulo - 7 
 2
1 – Uma esfera oca de alumínio tem um raio interno de 10 cm e raio externo de 12 cm a 15°C. O 
coeficiente de dilatação linear do alumínio é 2,3 x 10-5/°C. De quantos cm³ varia o volume da 
cavidade interna quando a temperatura sobe para 40°C? O volume da cavidade aumenta ou 
diminui? 
 
∆V = V0.3α.∆T = [(4/3).pi.r³].3.(2,3 .10-5).(40 – 15) = 2,3.pi.r³ , com r = 10 cm 
 
∆V = 7,225 = 7,3 cm³ 
 
2 – Uma barra retilínea é formada por uma parte de latão soldada em outra de aço. A 20°C, o 
comprimento total da barra é de 30 cm, dos quais 20 cm de latão e 10 cm de aço. Os coeficientes de 
dilatação linear são 1,9 x 10-5/°C para o latão e 1,1 x 10-5/°C para o aço. qual o coeficiente de 
dilatação linear da barra? 
 
Para uma dada temperatura T: ∆T = T – T0 
 



∆=∆α=∆
∆=∆α=∆
−
−
T.10.1,1.10T..LL
T.10.9,1.20T..LL
5
AA0A
5
LL0L
 (I) 
 
 ∆L = ∆LL + ∆LA = L0.α.∆T (II) 
 
Somando (I) e substituindo em (II): 
 
 49.10-5.∆T = 30.α.∆T ⇒ α = 1,63 x 10-5/°C 
 
3 - Uma tira bimetálica, usada para controlar termostatos, é 
constituída de uma lâmina estreita de latão, de 2 mm de 
espessura, presa lado a lado com uma lâmina de aço, de 
mesma espessura d= 2 mm, por uma série de rebites. A 15°C, 
as duas lâminas têm o mesmo comprimento, igual a 15 cm, e 
a tira está reta. A extremidade A da tira é fixa; a extremidade 
B pode mover-se, controlando o termostato. A uma 
temperatura de 40°C, a tira se encurvou, adquirindo um raio 
de curvatura R, e a extremidade B se deslocou de uma 
distância vertical y. Calcule R e y, sabendo que o coeficiente 
de dilatação linear do latão é 1,9 x 10-5/°C e o do aço é 
1,1 x 10-5/°C. 
 
 
 
I) � ∆� � ����∆� 	 �� � ��
1 � ��∆�
 � 15,007125 ��∆� � ����∆� 	 �� � ��
1 � ��∆�
 � 15,004123 ��� � � ��� � ��� � � 	 ��
� � �
 � ��� 	 � � ����� � �� � � � 3,002850,00300 	 � � 10� 
 
 
 
 
ComSizo.blogspot.com Capítulo - 7 
 2
II) 
 
 
Aplicando pitágoras no triângulo POB`, temos: �� � � � 
� � !
 	 �� � � � � � 2�! � ! 	 ! � 2�! � �� � 0 � ! � 2� " #
2�
 � 4�� 2 � � " #� � �� 	 !$ % 1,125 �� &' !$ % 19998,9 �� 
 
4 – Num relógio de pêndulo, o pêndulo é uma barra metálica, projetada para que seu período de 
oscilação seja igual a 1 s. Verifica-se que, no inverno, quando a temperatura média é de 10°C, o 
relógio adianta, em média 55 x por semana; no verão, quando a temperatura média é de 30°C, o 
relógio atrasa, em média 1 minuto por semana. 
 a) Calcule o coeficiente de dilatação linear do metal do pêndulo. 
 b) A que temperatura o relógio funcionaria com precisão? 
 
Barra) O período do pêndulo pode ser calculado através de: 
�� � 2)*+ 2,- 	 1 � 2)* + 2,9,81 	 + 2, � 0,24849 � 
* Como o pêndulo em questão é físico, seu centro de massa é em + 2, . 
Inverno) Por regra de três: ∆�.� � 55/ 0 7.24.60.60 / ∆�. 0 1 / � ∆�. � 9,09.1034 / 	 �. � 1,0000909 / 
 
�. � 2)56+ 2, 7.- 	 1,0000909 � 2)*6+ 2, 7.9,81 	 6+ 2, 7. � 0,24853 � ∆�. � ���∆� 	 0,00004538 � �0,24849
10 � ��
 
 
Verão) Por regra de três: ∆�8� � �60/ 0 7.24.60.60 / ∆�8 0 1 / � ∆�8 � �9,92.1034 / 	 �. � 0,9999008 / 
 
�. � 2)56+ 2, 78- 	 0,9999008 � 2)*6+ 2, 789,81 	 6+ 2, 78 � 0,24844 � ∆�8 � ���∆� 	 �0,00004909 � �0,24849
30 � ��
 
 
ComSizo.blogspot.com Capítulo - 7 
 2
Resolvendo o sistema, temos: � 0,00004538 � �0,24849
10 � ��
�0,00004909 � �0,24849
30 � ��
� 
a) � � 1,9.1034/: 
b) �� � 19,6: 
 
5 – A figura ilustra um esquema possível de 
construção de um pêndulo cujo comprimento l não 
seja afetado pela dilatação térmica. As três barras 
verticais claras na figura, de mesmo comprimento l1, 
são de aço, cujo coeficiente de dilatação linear é 
1,1 x 10-5/°C. As duas barras verticais escuras na 
figura, de mesmo comprimento l2, são de alumínio, 
cujo coeficiente de dilatação linear é 
2,3 x 10-5/°C. Determine l1 e l2 de forma a manter 
l = 0,5 m. 
 
 
 
 
 
 
 
Analisando a situação, temos: 
1o) Antes da dilatação: + � + � 2
+ � +$
 � 2+$ � + � + � 2+$ � 0,5 
;
 
2o) Depois da dilatação: + < � + � 2
+ � +$< 
 � 2+$< � + � + < � 2+$< � 0,5 
;;
 
Analisando as dilatações: 
=ç&
 ∆�$ � ��+$∆� � 1,1.1034. +$∆� 
;;;
 
+=?ã&
 ∆� � ��+ ∆� � 2,3.1034. + ∆� 
;A
 
Por I, II, III e IV: B + < � + � 2,3.1034. + ∆� � 2,3.1034. 
2+$ � 0,5
∆�+ < � + � 2+$< � 0,5 � 
2+$ � 0,5
 � 2 ∆�$ � 2,2.1034. +$∆�� 
Resolvendo o sistema: +$ � 0,48 �� e + � 0,46 �� 
 
6 - a) Um líquido tem coeficiente de dilatação 
volumétrica β. Calcule a razão ρ/ρ0 entre a 
densidade do líquido à temperatura T e sua 
densidade ρ0 à temperatura T0. 
 b) No método de Dulong e Petit para 
determinar β, o líquido é colocado num tubo em U, 
com um dos ramos imerso em gelo fundente 
(temperatura T0) e o outro em óleo aquecido à 
temperatura T. O nível atingido pelo líquido nos 
dois ramos é, respectivamente, medido pelas alturas 
h0 e h. Mostre que a experiência permite determinar 
β (em lugar do coeficiente de dilatação aparente do 
ComSizo.blogspot.com Capítulo - 7 
 2
líquido), e que o resultado independe de o tubo em U ter secção uniforme. 
 c) Numa experiência com acetona utilizando este método, T0 é 0°C, T é 20°C, h0 = 1 m e 
h = 1,03 m. Calcule o coeficiente de dilatação volumétrica da acetona. 
 
a) Para um líquido de coeficiente de expansão volumétrica β temos: 
 
∆V = V0 β ∆T 
Onde 
∆V = V - V0 
∆T = T - T0 
 
V = V0 [1+ β(T – T0)] 
 
Quando uma porção de um líquido sofre expansão térmica sua densidade diminui, mas sua massa 
não é alterada. 
 
MT = MTo 
Com esta condição podemos escrever: CA � C�A� 	 CVE F1 � βHT – TEKL � C�A� 	 MMN � $$O PHQ – QRK 
;
 
 
Se β(T-To) <<1, a expressão acima pode ser escrita através da expanssão de Taylor como: CC� S 1 � β
T – TE
 
 
b) As diferenças de pressão são: 
 
∆P1 = P1 – Patm = ρogho 
∆P2 = P2 – Patm = ρgh 
 
Como P1 = P2 = P (estão a mesma altura) 
 
∆P1 = ∆P2 
ρogho = ρgh 
 
 
 Substituindo esta expressão em (I) 
 
 
 
 
 
 
Este resultado só depende das alturas dolíquido nos ramos, ou seja, este resultado independe da 
forma da seção transversal do tubo. 
 
c) Substituindo os valores dados na equação obtida no item b: T � U � U�U�
� � ��
 � 1,03 � 1,001,00
20 � 0
 	 T � 1,5.103V/: 
)(
)(1
1
h
00
0
0
0
0
0
00
TTh
hh
h
h
TT
h
hh
−
−
=
=
−+
=
=
β
β
ρ
ρ
ρρ
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 2
7 – Um tubo cilíndrico delgado de secção uniforme, feito de um material de coeficiente de dilatação 
linear α, contém um líquido de coeficiente de dilatação volumétrica β. À temperatura T0, a altura da 
coluna líquida é h0. 
 a) Qual é a variação ∆h de altura da coluna quando a temperatura sobe de 1°C? 
 b) Se o tubo é de vidro (α = 9 x 10-6/°C) e o líquido é mercúrio (β = 1,8 x 10-4/°C), mostre 
que este sistema não constitui um bom termômetro, do ponto de vista prático, calculando ∆h para 
h0 = 10 cm. 
 
Por ser um tubo cilíndrico delgado, temos que ∆A A, � 2�∆�. 
a) ∆A � A�
T � 2�
 	 WX . ∆U � WX . U�
T � 2�
 	 ∆U � U�
T � 2�
 
b) ∆U � U�
T � 2�
 � 10
180.103Y � 2.9.103Y
 � ∆U � 1,62.103V�� 
A partir dos cálculos, vemos que não há variação expressiva de altura e, assim, não seria possível 
uma marcação precisa. 
 
8 – Para construir um termômetro de leitura fácil, do ponto de vista prático (Problema 7), acopla-se 
um tubo capilar de vidro a um reservatório numa extremidade do tubo. Suponha que, à temperatura 
T0, o mercúrio está todo contido no reservatório de volume V0 e o diâmetro capilar é d0. 
 a) Calcule a altura h do mercúrio no capilar a uma 
temperatura T > T0. 
 b) Para um volume do reservatório V0 = 0,2 cm³, 
calcule qual deve ser o diâmetro do capilar em mm para 
que a coluna de mercúrio suba de 1 cm quando a 
temperatura aumente de 1°C. Tome α = 9 x 10-6/°C para o 
vidro e β = 1,8 x 10-4/°C para o mercúrio. 
 
 
a) AZ[\ � A�
T � 3�
∆� � ) 6]N 7 . U 	 U � ^_N`.]Na 
T � 3�
∆� 
b) �� � ^_N`.b 
T � 3�
∆��^.c, `.$ 
180 � 27
. 103Y. 1 � �� � 0,062�� 
 
9 – Um reservatório cilíndrico de aço contém mercúrio, sobre o qual flutua um bloco cilíndrico de 
latão. À temperatura de 20°C, o nível do mercúrio no reservatório está a uma altura h0 = 0,5 m em 
relação ao fundo e a altura a0 do cilindro de latão é de 0,3 m. A essa temperatura, a densidade do 
latão é de 8,60 g/cm³ e a densidade do mercúrio é de 13,55 g/cm³. 
 a) Ache a que altura H0 está o topo do bloco de 
latão em relação ao fundo do reservatório a 20°C. 
 b) O coeficiente de dilatação linear do aço é 
1,1 x 10-5/°C; o do latão é 1,9 x 10-5/°C, e o 
coeficiente de dilatação volumétrica do mercúrio é 1,8 
x 10-4/°C. Calcule a variação δH da altura H0 (em mm) 
quando a temperatura sobe para 80°C. 
 
 
a) Analisando a situação em equilíbrio, temos: d � e 	 �- � Cfg-A. 	 � � C�=� � 
=� � h� � U�
Cfg 	 h� � 
=� � U�
 � C�Cfg =� 
Substituindo os valores: h� � 0,61�� 
b) 
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Resolução de “Curso 
Básico de Física” de H. 
Moysés Nussenzveig 
Capítulo 08 - Vol. 2 
 
Engenharia Física 09 – Universidade Federal de São Carlos 
10/31/2009 
 
 
 
 
*Conseguimos algumas resoluções pela internet, outras foram feitas por nós. 
ComSizo.blogspot.com Capítulo - 8 
2 
 
1 - Verifique se a estimativa de Joule para a variação de temperatura da água entre o 
sopé e o topo das cataratas de Niágara era correta, calculando a máxima diferença de 
temperatura possível devida à queda da água. A altura de queda é de 50 m. 
 
Associando a variação de energia potencial gravitacional à variação da quantidade de 
calor, tem-se: 
m.g.∆h = m.c.∆T ⇒ g.∆h / 1000 (passando a massa para gramas) = c.∆T.(4,186) 
(transformando calorias em joules) 
∆T = (9,8 . 50 )/ (1 . 4,186) 
∆T = 0,117 ≈ 0,12 °C 
 
2 – A capacidade térmica molar (a volume constante ) de um sólido a baixas 
temperaturas, T << TD, onde TD é a temperatura de Debye , é dada por: CV ≈ 464 
(T/Td)³ cal/mol.K. Para o NaCl, TD ≈ 281K. 
 a) Calcule a capacidade térmica molar média CV do NaCl entre Ti = 10K e Tf = 
20K. 
 b) Calcule a quantidade de calor necessária para elevar a temperatura de 1 kg de 
NaCl de 10 K para 20 K. 
 
� � 464 � ����	 
��/��� 
Para o NaCl: Td=281K; mm=58,5g/mol 
 
a) 
�� � 1∆� � 464 ��`���	 . ��`
�
��
� �� � 110 � 464 � �`281�	 . ��`
��
�� � ��� 46410.281	 !20"4 # 10"4 $ % �� � 7,84.10(�
��/��� 
b) ) � ��� . ��. ∆� � 100058,5 . 7,84.10(�. 10 % ) � 13,40 
�� 
 
3 - Um bloco de gelo de 1 tonelada, destacado de uma geleira, desliza por um a encosta 
de 10° de inclinação com velocidade constante de 0,1 m/s. O calor latente de fusão do 
gelo (quantidade de calor necessária para liquefação por unidade de massa) é de 80 
cal/g. Calcule a quantidade de gelo que se derrete por minuto em conseqüência do atrito. 
 
Fazendo uma análise trigonométrica, temos: ,-./10°1 � 23 � 2 � 3. ,-./10°1 � 2 � 4. ∆5. ,-./10°1 
ComSizo.blogspot.com Capítulo - 8 
3 
 
Pelo princípio da conservação da energia: 67 � 6 � 892 : 82 4� � /8 # �12 4� : �;< � � 892 � �;< # �2 4� � � � 892�;< # 4�2 � 
 
% � � /10001. /9,811. /0,11. /601. >,-./10°1?
�334880 # /0,11�2 �
� � � 30,59 
 
 
4 – A constante solar, quantidade de energia solar que chega à Terra por unidade de 
tempo e área, acima da atmosfera e para um elemento de área perpendicular à direção 
dos raios solares, é de 1.36 kW/m². Para um elemento de área cuja normal faz um 
ângulo θ com a direção dos raios solares, o fluxo de energia varia com cosθ. 
 a) Calcule a quantidade total de energia solar que chega à Terra por dia. 
Sugestão: Para um elemento de superfície dS, leve em conta a interpretação de dS cosθ 
como projeção sobre um plano (Capítulo 1, problema8). 
 b) Sabe-se que ≈ 23% da energia solar incidente sobre a água vão produzir 
evaporação. O calor latente de vaporização da água à temperatura ambiente (quantidade 
de calor necessária para vaporizá-la por unidade de massa) é ≈ 590 cal/g. Sabendo que ≈ 
71% da superfície da Terra são cobertos por oceanos, calcule a profundidade da camada 
de água dos oceanos que seria evaporada por dia pela energia solar que chega à Terra. 
 
a) C=1,36.103W/m2 
 Sincidente=S.cosθ 
 
� � )∆5. @ABCA�DBED � ) � �. ∆5. @. 
�,F 
Em uma porção infinitesimal: 
�) � �. ∆5. �@. 
�,F � ) � �. ∆5. � 
�,F. �@
G
�
� ) � �. ∆5. @ 
Como S representa a área de secção plana da terra de raio r=6378,1 km, temos que: 
) � �. ∆5. @ � ) � 1,36.10	. 24.3600. H. /6378,1.10	1� % ) � 1,50.10��I/�J� 
 
b) Pelo texto: 
- 23% da energia solar incidente em um dia (Q) é utilizada para evaporar água; 
- 71% da superfície da terra é coberta por água; 
Logo: 23
100 .
71
100 . ) � �. ;K �
23
100 .
71
100 . ) � L. M. ;K �
23
100 .
71
100 . ) � L. NEDOOP. 2. ;K � 
� 2 � 23100 .
71
100 .
)
L. NEDOOP. ;K 
 Portanto: 
2 � 0,23.0,71 1,50.10
��
/1,03.10	. 4. H. /6378,1.10	1�. 590.4,186.10	1 � 2 Q 20�� 
ComSizo.blogspot.com Capítulo - 8 
4 
 
 
5 – Um calorímetro de alumínio de 250 g contém 0,5 l de água a 20°C, inicialmente em 
equilíbrio. Coloca-se dentro do calorímetro um bloco de gelo de 100 g. Calcule a 
temperatura final do sistema. O calor específico do alumínio é 0,21 cal/gºC e o calor 
latente de fusão do gelo é de 80 cal/g (durante o processo de fusão, o gelo permanece a 
0°C). 
 
I) Cálculo da quantidade de calor necessária para derretimento total do gelo: 
)R � 100.80 � |)R| � 8000 
�� 
II) Cálculoda energia necessária para levar 0,5L (500g) d`água de 20ºC para 0°C: )P � 500.1. /0 # 201 � |)P| � 10000 
�� 
Portanto, como |)P| T U)RU todo o gelo se derreterá. Assim: )R : )R` � )P` : )C � � 8000 : 100.1. /F # 01 : 500.1. /F # 201 : 250.0,21. /F # 201 � � 3050 � 652,5F % F � 4,7V 
**Gabatito do Moysés errado. 
 
6 – Um calorímetro de latão de 200 g contém 250 g de água a 30°C, inicialmente em 
equilíbrio. Quando 150 g de álcool etílico a 15°C são despejadas dentro do calorímetro, 
a temperatura de equilíbrio atingida é de 26,3°C. O calor específico do latão é 0,09 
cal/g. Calcule o calor específico do álcool etílico. 
 )C : )� : )� � 0 � �C . 
W. /�- – ��1 : ��. 
�. /�- – �71 : ��. 
�. /�- – �7P1 � 0 
Substituindo valores: /26,3– 301Y/2001. /0,091 : 250 : 150. 
�. /26,3– 151 � 0 � #991,6 : 1965. 
� � 0 
� � 0,59 
��/9. °� 
 
7 – Um calorímetro de capacidade térmica igual a 50 cal/g contém uma mistura de 100 
g de água e 100 g de gelo, em equilíbrio térmico. Mergulha-se nele um aquecedor 
elétrico de capacidade térmica desprezível, pelo qual se faz passar uma corrente, com 
potência P constante. Após 5 minutos, o calorímetro contém água a 39,7°C. O calor 
latente de fusão é 80 cal/g. Qual é a potência (em W) do aquecedor? 
 
A mistura inicial de água e gelo está a uma temperatura Ti = 0°C. 
Tf = 39,7°C. 
∆t = 5 min. = 300 s. 
Qe = calor fornecido pelo aquecedor; 
Qc = calor fornecido ao calorímetro; 
Qa = calor fornecido à água do calorímetro mais à água resultante do gelo fundido; 
Qg = calor fornecido para a fusão do gelo; 
 
Qc = C.∆t = 50. (39,7 – 0) = 1985 cal 
Qg = mg.L = 100 . 80 = 8000 cal 
Qa = (ma + mg) . c . ∆T = (100 + 100) . 1 . (39,7 – 0) 
 
Aplicando a primeira lei no sistema considerado: 
Qe + Qc + Qg + Qa = 0 
Qe = -17925 cal = - 7,50 . 104 J 
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P = |Qe| / ∆t = 7,50 . 104 / 300 ⇒ P = 250 W 
 
8 – O calor específico de um fluido pode ser 
medido com o auxílio de um calorímetro de 
fluxo (fig.). O fluido atravessa o calorímetro 
num escoamento estacionário, com vazão de 
massa Vm (massa por unidade de tempo) 
constante. Penetrando à temperatura Ti, o 
fluido passa por um aquecedor elétrico de 
potência P constante e emerge com temperatura Tf, em regime estacionário. Numa 
experiência com benzeno, tem-se Vm = 5 g/s, P = 200 W, Ti = 15°C e Tf = 38,3°C. 
Determine o calor específico do benzeno. 
 
Em 1 s: 
Q = m.c.∆T = 5.c(38,3 – 15) = 116,5.c cal 
Q = 487,67.c J 
 
P = W / ∆t = Q / ∆t = (487,67.c)/1 = 200 
 � 0,41 
��/9°� 
 
9 – Num dos experimentos originais de Joule, o trabalho era produzido pela queda de 
uma massa de 26,3 kg de uma altura de 1,60 m, repetida 20 vezes. O equivalente em 
água da massa da água e do calorímetro que a continha era de 6,32 kg e a variação de 
temperatura medida foi de 0,313°C. Que valor para o equivalente mecânico da caloria 
resulta destes dados experimentais? 
 
A energia em joules (J) é dada pelas 20 quedas da massa. Assim: Z � �92 � 26,3.9,81.1,60 � Z � 412,80 I ZE � 20Z � ZE � 8256,0I 
 
O equivalente a energia da queda é dada por: ) � �. 
. ∆� � 6,32.10	. 1.0,313 � ) � 1978,16 
�� 
 
Assim, temos que o equivalente mecânico é: ZE) � 8256,01978,16 � ZE) � 4,17 I/
�� 
 
10 – A uma temperatura ambiente de 27°C, uma bala de chumbo de 10g, com uma 
velocidade de 300 m/s, penetra num pêndulo balístico de massa igual a 200 g e fica 
retida nele. se a energia cinética dissipada pela bala fosse totalmente gasta em aquecê-
la, daria para derreter uma parte dela? Em caso afirmativo, quantas gramas? O calor 
específico do chumbo é 0,031 cal/g°C, sua temperatura de fusão é de 327°C e o calor 
latente de fusão é 5,85cal/g. 
 
Analisando a colisão entre a bala e o pêndulo: [7 � [ � �. 47 � /8 : �1. 4 � 4 � 47 �/8 : �1 % 4 � 14,29 �/, 
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A energia cinética dissipada é igual ao módulo da variação da energia cinética da bala. 
Logo: 
|�| � /8 : �12 . 4� #
�
2 . 47� �
0,21
2 . /14,291� #
0,01
2 . /3001� % |�| � 428,6I � 102,4 
�� 
Para levar os 10g de chumbo até a temperatura de ebulição, necessita-se de: 
) � �. 
. ∆� � /101. /0,0311. /3001 � 93 
�� 
Portanto, 
SIM, uma certa quantia de chumbo será derretida pela dissipação da energia cinética. 
Como 93 cal já foram utilizados para levar o chumbo até a temperatura de ebulição, 
temos que: 
) � �� . ; � 102,4 # 93 � �� . 5,85 � �� � 9,45,85 
% �� � 1,69 
 
11 – Uma barra de secção transversal constante de 1 cm² de área tem 15 cm de 
comprimento, dos quais 5 cm de alumínio e 10 cm de cobre. A extremidade de alumínio 
está em contato com um reservatório térmico a 100°C, e a de cobre com outro, a 0°C. A 
condutividade térmica do alumínio é 0,48 cal/s.cm.°C e a do cobre é 0,92 cal/s.cm.°C. 
 a) Qual é a temperatura da barra na junção entre o alumínio e o cobre? 
 b) Se o reservatório térmico a 0°C é uma mistura de água com gelo fundente, 
qual é a massa de gelo que se derrete por hora? O calor latente de fusão do gelo é 80 
cal/g. 
 
Alumínio: l1 = 5 cm ; k1 = 0,48 cal/s.cm.°C 
Cobre: l2 = 10 cm k2 = 0,92 cal/s.cm.°C 
 
 
 
 
 5 cm 10 cm 
a) 
�)
�5 � \. N.
/� # �71
� 
I) Para o alumínio: 
�)PW
�5 � 0,48.
/� # 1001
5 
II) Para o cobre: 
�)C]
�5 � 0,92.
/0 # �1
10 
Como o fluxo é contínuo ao longo da barra, podemos igualar I e II. Assim, encontramos 
T: 
T = 51°C 
 
b) 
( )
2
2
1
1
12
k
l
k
l
TT
.A
dt
dQ
+
−
=
 � =
+
=
92,0
10
48,0
5
100
.A
dt
dQ 4,72 
��/, % 1,7 3 10" 
��/2 
 
Al Cu 
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Q = m.LF = 1,7 x 104 = m . 80 ⇒� � 212,5 9 
 
12 – Uma barra metálica retilínea de secção homogênea é formada de três segmentos de 
materiais diferentes, de comprimentos l1, l2 e l3, e condutividades térmicas k1, k2 e k3, 
respectivamente. Qual é a condutividade térmica k da barra como um todo (ou seja, de 
uma barra equivalente de um único material e comprimento l1 + l2 + l3)? 
 �)�5 � \. N. /� # �71�� : �� : �	 � N. /� # �71��\� : ��\� : �	\	 � \ �
�� : �� : �	��\� : ��\� : �	\	 
 
13 – Duas esferas metálicas concêntricas, de raios r1 
e r2 > r1, são mantidas respectivamente às 
temperaturas T1 e T2, e estão separadas por uma 
camada de material homogêneo de condutividade 
térmica k. Calcule a taxa de transmissão de calor por 
unidade de tempo através dessa camada. Sugestão: 
Considere uma superfície esférica concêntrica 
intermediária de raio r ( r1 < r < r2) e escreva a lei de 
condução do calor através dessa superfície. Integre 
depois em relação a r, de r = r1 até r = r2. 
 
 
 �)�5 � \. N. /� # �71� � \. 4. H. �^��^ /�� # ��1 � � \. 4. H. /�� # ��1. �^
O_
O`
� 4. H. \. /�� # ��1a^| �^^� � 4. H. \. /�� # ��1 a11^ b �^^� 
� 4. H. \. /�� # ��1 c 11^� #
11^� d %
�)�5 � 4. H. \. �^. �^/ �^ # �^1 /�� # ��1 
 
14 – Generalize o resultado do Problema 13 ao caso da condução do calor através de 
uma camada de material de condutividade térmica k entre dois cilindros concêntricos de 
raios ρ1 e ρ2 > ρ1 e de comprimento l >> ρ2, de modo que se possam desprezar efeitos 
das extremidades. 
 a) Calcule a taxa de transmissão de calor por unidade de tempo através da 
camada. 
 b) Aplique o resultado a uma garrafa térmica cilíndrica, com ρ1 = 5 cm, ρ2 = 5,5 
cm e l = 20 cm, com uma camada de ar entre as paredes interna e externa. A 
condutividade térmica do ar é de 5,7 x 10-5 cal/s.cm.°C. A garrafa contém café 
inicialmente a 100°C e a temperatura