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Probabilidade e Estat´ıstica – Mo´dulo 2 – 2o. Semestre de 2008 Exerc´ıcio Programado 10 – Aulas 13, 14, 15 – Versa˜o para o Tutor Prof. Moise´s Lima de Menezes (UFF) 1. Considere a func¸a˜o f(x) dada na figura abaixo. Comenta´rios Nesse tipo de exerc´ıcio, e´ importante chamar a atenc¸a˜o do aluno para as duas condic¸o˜es que uma func¸a˜o deve satisfazer para ser uma func¸a˜o de densidade; em geral, o aluno esquece de verificar que a func¸a˜o e´ na˜o negativa e so´ calcula a a´rea. Outro ponto importante e´ o processo de obtenc¸a˜o da expressa˜o de f(x) : reta que passa por dois pontos. Estimule o aluno a fazer desenhos! (a) Verifique que f(x) define uma func¸a˜o de densidade de probabilidade de uma varia´vel aleato´ria cont´ınua X. Soluc¸a˜o • f(x) ≥ 0 • A a´rea total sob f(x) e´ 1 2 × 5× 0.4 = 1 (b) Encontre a expressa˜o matema´tica para f(x). Soluc¸a˜o Chame atenc¸a˜o para o fato de que “dois pontos determinam uma reta”. Estimule o aluno a “pensar” como obter a equac¸a˜o da reta, sem tentar lembrar de fo´rmulas decoradas. Para 0 ≤ x ≤ 4, f(x) e´ uma reta que intercepta o eixo vertical em y = 0; logo, o intercepto e´ zero e a inclinac¸a˜o e´ ∆y∆x = 0,4 4 = 0, 1. Logo, f(x) = 0, 1x 0 ≤ x ≤ 4 Para 4 ≤ x ≤ 5, f(x) e´ uma reta que passa pelos pontos (4; 0, 4) e (5, 0); isso nos da´ o seguinte sistema de duas equac¸o˜es a duas inco´gnitas: 0, 4 = a+ 4b 0 = a+ 5b Subtraindo a primeira da segunda, obtemos que b = −0, 4. Substituindo esse valor na segunda equac¸a˜o obtemos que a = 2. Logo f(x) = 2− 0, 4x 4 ≤ x ≤ 5 1 Rresumindo: f(x) = { 0, 1x 0 ≤ x < 4 2− 0, 4x 4 ≤ x ≤ 5 (c) Calcule a mediana da distribuic¸a˜o. Soluc¸a˜o A mediana tem que ser menor que 4, pois a a´rea abaixo de 4 e´ 0, 8 > 0, 5. Ilustre esse resultado em um gra´fico! Como a a´rea abaixo de Q2 tem que ser 0,5 e essa a´rea e´ a a´rea de um triaˆngulo, resulta que 0, 5 = 1 2 ×Q2 × (0, 1Q2) =⇒ 0, 1Q22 = 1 =⇒ Q22 = 10 =⇒ Q2 = ± √ 10 Como Q2 > 0, resulta que Q2 = + √ 10 = 3, 162 3. 2. O tempo de execuc¸a˜o T (em minutos) de determinada tarefa pode ser descrito por uma varia´vel aleato´ria com distribuic¸a˜o uiniforme no intervalo [20;40]. (a) Determine a func¸a˜o de densidade de probabilidade de T. Soluc¸a˜o f(x) = { 1 20 20 ≤ x ≤ 40 0 caso contra´rio 2 (b) Qual e´ o tempo me´dio de execuc¸a˜o desta tarefa? Soluc¸a˜o E(X) = 30 minutos (c) Se uma pessoa ja´ gastou 25 minutos na execuc¸a˜o da tarefa, qual e´ a probabilidade de que ela gaste menos de 30 minutos para terminar? Soluc¸a˜o O problema pede Pr(X < 30|X ≥ 25) : Pr(X < 30|X ≥ 25) = Pr(25 ≤ X < 30) Pr(X ≥ 25) = 5× 120 15× 120 = 5 15 = 1 3 3. Seja X ∼ N(5; 4). Calcule (a) Pr(X < 3) (b) Pr(X ≥ 1, 8) (c) Pr(X < 6) (d) Pr(X > 2, 5) (e) Pr(X ≥ 5) (f) Pr(1, 7 ≤ X ≤ 6, 3) Comenta´rios Na soluc¸a˜o de exerc´ıcios envolvendo a distribuic¸a˜o nornal, estimule o aluno a fazer o gra´fico, sombreando a a´rea (probabilidade) desejada. E´ fundamental que o aluno explicite a equivaleˆncia dos eventos envolvendo a normal padra˜o e a normal de interesse. Em geral, o aluno apenas escreve a fo´rmula do escore padronizado, sem levar em conta o tipo de desigualdade e erra a questa˜o. Soluc¸a˜o Pr(X < 3) = Pr ( Z < 3− 5 2 ) = Pr(Z < −1) = Pr(Z > 1) = 0, 5−tab(1) = 0.5−0.34134 = 0.158 66 Figura 1: Pr(Z < −1) Pr(X ≥ 1, 8) = Pr ( Z ≥ 1.8− 5 2 ) = Pr(Z ≥ −1, 6) = 0, 5+tab(1, 6) = 0.5+0.44520 = 0.94520 3 Figura 2: Pr(Z ≥ −1, 6) Figura 3: Pr(Z < 0, 5) Pr(X < 6) = Pr ( Z < 6− 5 2 ) = Pr(Z < 0, 5) = 0.5 + tab(0, 5) = 0.5 + 0.19146 = 0.69146 Pr(X > 2, 5) = Pr ( Z > 2, 5− 5 2 ) = Pr(Z > −1, 25) = 0, 5+tab(1, 25) = 0.5+0.39435 = 0, 89435 Pr(X ≥ 5) = Pr(Z ≥ 0) = 0, 5 Pr(1, 7 ≤ X ≤ 6, 3) = Pr ( 1.7− 5 2 ≤ Z ≤ 6.3− 5 2 ) = Pr(−1, 65 ≤ Z ≤ 0, 65) = tab(0.65) + tab(1, 65) = 0.24245 + 0.45053 = 0.692 98 4. Seja X ∼ N(5; 4). Encontre o valor de k tal que (a) Pr(X > k) = 0, 80 Na soluc¸a˜o deste exerc´ıcio e´ importante chamar atenc¸a˜o para a posic¸a˜o de k relativa a` me´dia da distribuic¸a˜o. Estimule o aluno a fazer desenho! Como a a´rea a` direita de k e´ maior que 0,5, k tem que ser menor que a me´dia; em termos da abscissa padronizada, esta deve ser negativa! 4 Figura 4: Pr(−1, 65 ≤ Z ≤ 0, 65) Pr(X > k) = 0, 80⇐⇒ Pr ( Z > k − 5 2 ) = 0, 80⇐⇒ tab ( −k − 5 2 ) = 0, 30 ⇐⇒ 5− k 2 = 0, 84⇐⇒ k = 5− 2× 0.84 = 3, 32 Figura 5: Pr ( Z > k−52 ) (b) Pr(|X − 5| < k) = 0, 80 Soluc¸a˜o Pr(|X − 5| < k) = 0, 80⇐⇒ Pr (∣∣∣∣X − 52 ∣∣∣∣ < k2 ) = 0, 80 ⇐⇒ Pr ( |Z| < k 2 ) = 0, 80⇐⇒ Pr ( −k 2 < Z < k 2 ) = 0, 80 ⇐⇒ 2× tab ( k 2 ) = 0, 80⇐⇒ tab ( k 2 ) = 0, 40 ⇐⇒ k 2 = 1, 28⇐⇒ k = 2, 56 5 (c) Pr(X < k) = 0, 75 Soluc¸a˜o k tem que ser maior que me´dia! Pr(X < k) = 0, 75⇐⇒ Pr ( Z < k − 5 2 ) = 0, 75⇐⇒ 0, 5 + tab ( k − 5 2 ) = 0, 75 ⇐⇒ tab ( k − 5 2 ) = 0, 25⇐⇒ k − 5 2 = 0, 67⇐⇒ k = 6, 34 (d) Pr(X < k) = 0, 05 Soluc¸a˜o k tem que ser menor que a me´dia! Pr(X < k) = 0, 05⇐⇒ Pr ( Z < k − 5 2 ) = 0, 05⇐⇒ Pr ( Z > −k − 5 2 ) = 0, 05 ⇐⇒ tab ( −k − 5 2 ) = 0, 45⇐⇒ 5− k 2 = 1, 64⇐⇒ k = 5− 2× 1.64 = 1. 72 (e) Pr(X > k) = 0, 05 Soluc¸a˜o k tem que ser maior que a me´dia! Pr(X > k) = 0, 05⇐⇒ Pr ( Z > k − 5 2 ) = 0, 05 ⇐⇒ tab ( k − 5 2 ) = 0, 45⇐⇒ k − 5 2 = 1, 64⇐⇒ k = 5 + 2× 1.64 = 8, 28 6