ap1 ipe 2009 2 gab

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AP1 - Introduc¸a˜o a` Probabilidade e Estat´ıstica Versa˜o Gabarito 2009/2 Coord. Edson Cataldo
1a Questa˜o [1,0 ponto] Sejam M e N dois conjuntos tais que M ∪N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, M −N =
{1, 3, 6, 7} e N −M = {4, 8}. Determine o conjunto M ∩N .
Resoluc¸a˜o:
Os elementos 1, 3, 6 e 7 so´ pertencem ao conjunto M e na˜o pertencem ao conjunto N . Por outro
lado, os elementos 4 e 8 so´ pertencem ao conjunto N e na˜o pertecem ao conjunto M . De acordo com
os elementos do conjunto M ∪N , conclu´ımos que M ∩N = {2, 5}.
2a Questa˜o [2,0 pontos] Um grupo de alunos ganhou convites para visitar o museu e o zoolo´gico de
uma cidade. Sabe-se que 48 alunos foram visitar pelo menos um desses lugares, 20% dos que visitaram
o museu tambe´m visitaram o zoolo´gico e 25% dos que visitaram o zoolo´gico tambe´m visitaram o museu.
Calcule o nu´mero de alunos que visitaram os dois lugares.
Resoluc¸a˜o:
Consideremos M o conjunto dos alunos que visitaram o museu e N o conjunto dos alunos que
visitaram o zoolo´gico. Assim, n(M ∪N) = 48. Temos que
20
100
n(M) =
25
100
n(N) = n(M ∩N). Logo,
n(M) = 5n(M ∩N) e n(N) = 4n(M ∩N).
Pelo Princ´ıpio da Inclusa˜o-Exclusa˜o, podemos escrever
n(M∪N) = n(M)+n(N)−n(M∩N)⇔ 48 = 5n(M∩N)+4n(M∩N)−n(M∩N) ⇔ n(M∩N) = 6 .
Portanto, temos que 6 alunos visitaram os dois lugares.
3a Questa˜o [2,0 pontos] Um certo programa de ra´dio dispo˜e de um conjunto de 6 mu´sicas distintas
para serem tocadas.
(a) [1,0 ponto] Sabe-se que o programa tem apenas uma edic¸a˜o dia´ria e que toca sempre todas as 6
mu´sicas, mas nunca na mesma ordem. Quantos dias sera˜o necessa´rios para esgotar todas as poss´ıveis
sequeˆncias das mu´sicas?
(b) [1,0 ponto] Suponha que o programa de ra´dio toque apenas 4 mu´sicas por dia, do conjunto de
6 mu´sicas dispon´ıveis. Quantos dias sera˜o necessa´rios para esgotar todas as poss´ıveis sequeˆncias de
1
mu´sicas, sabendo que o programa pode ate´ repetir o mesmo conjunto de 4 mu´sicas em dias distintos,
mas, se o fizer, as mu´sicas na˜o podem ser apresentadas na mesma ordem?
Resoluc¸a˜o:
(a) Considerando as 6 mu´sicas, ha´ um total de P (6) = 6! = 720 possibilidades. Portanto, 720 dias
sera˜o necessa´rios para esgotar todas as poss´ıveis sequeˆncias das mu´sicas.
(b) Neste caso, ha´ 6 mu´sicas dispon´ıveis, mas so´ 4 mu´sicas podem ser escolhidas e a ordem destas
mu´sicas e´ importante para distinguir um conjunto do outro. Logo, ha´ A(6, 4) = 6 × 5 × 4 × 3 = 360
possibilidades e, portanto, 360 dias para esgotar todas as poss´ıveis sequeˆncias de mu´sicas.
4a Questa˜o [3,0 pontos] Dos 20 me´dicos presentes em uma reunia˜o, 25% sa˜o cardiologistas e os
demais sa˜o cl´ınicos.
(a) [1,5 ponto] Uma comissa˜o vai ser constitu´ıda por seis me´dicos, dentre os presentes na reunia˜o,
sendo que cada comissa˜o deve conter no mı´nimo dois cardiologistas e, no ma´ximo, treˆs cardiologis-
tas. Os outros membros de cada comissa˜o sera˜o, portanto, escolhidos dentre os cl´ınicos. Determine o
nu´mero ma´ximo de comisso˜es distintas que podem ser criadas.
(b) [1,5 ponto] Uma comissa˜o vai ser constitu´ıda por um presidente e um tesoureiro, escolhidos
dentre os cardiologistas, e por outros 4 membros, escolhidos dentre os me´dicos cl´ınicos. Determine o
nu´mero ma´ximo de comisso˜es distintas que podem ser criadas.
Resoluc¸a˜o:
(a) Temos que 5 me´dicos sa˜o cardiologistas e, portanto, 15 sa˜o cl´ınicos. Para que cada comissa˜o
tenha dois cardiologistas, o nu´mero ma´ximo de comisso˜es distintas e´ C(5, 2)×C(15, 4) = 10× 1365 =
13650. Para que cada comissa˜o tenha treˆs cardiologistas, o nu´mero ma´ximo de comisso˜es distintas
e´ C(5, 3)×C(15, 3) = 10×455 = 4550. Logo, no total, sera˜o 13650+4550 = 18200 comisso˜es distintas.
(b) Para escolher, dentre os cardiologistas, um presidente e um tesoureiro (a ordem e´ importante)
temos
A(5, 2) = 5× 4 = 20 possibilidades.
Para os outros membros da comissa˜o, ha´ C(15, 4) =
15× 14× 13× 12
4!
= 1365 possibilidades.
Portanto, o nu´mero ma´ximo de comisso˜es distintas e´ igual a 1365 × 20 = 27.300.
5a Questa˜o [2,0 pontos] Considere a expressa˜o
(
3x−
2
x
)6
.
(a) [1,0 ponto] Determine o termo independente do desenvolvimento da expressa˜o; isto e´, o termo
que na˜o conte´m x.
(b) [1,0 ponto] Determine o valor da soma dos coeficientes nu´mericos dos termos do desenvolvimento
da expressa˜o dada.
2
Resoluc¸a˜o:
(a) O termo independente e´ obtido calculando-se C(6, 3)(3x)3
(
−
2
x
)3
= 20× 27× (−8) = −4320.
(b) Fazendo-se x = 1 na expressa˜o dada obte´m-se o valor da soma dos coeficientes nume´ricos.
Logo, a soma dos coeficientes nume´ricos e´ igual a
(
3(1) −
2
1
)6
= 16 = 1.
3