Eletromagnetismo 1 UFPE - prof Hermano AULA 10. Campos Elétricos em Meios Materiais parte 2

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Eletromagnetismo 1
Campos Elétricos em Meios Materiais
Prof. Hermano Cabral
Depto de Eletrônica e Sistemas � UFPE
Condutores
Lei de Joule
Para calcularmos a potência P dissipada no condutor, usamos
o fato de que a taxa de variação da energia W é força vezes
velocidade.
Como a carga infinitesimal é ρvdv , então
P =
ˆ (
ρvdv~E
)
· ~u =
ˆ
~
E · (ρv~u) dv =
ˆ
~
E · ~Jdv
O integrando acima é denominado a densidade de
potência wP :
wP =
dP
dv
= ~E · ~J = σE 2
Condutores
Lei de Joule
Para calcularmos a potência P dissipada no condutor, usamos
o fato de que a taxa de variação da energia W é força vezes
velocidade.
Como a carga infinitesimal é ρvdv , então
P =
ˆ (
ρvdv~E
)
· ~u =
ˆ
~
E · (ρv~u) dv =
ˆ
~
E · ~Jdv
O integrando acima é denominado a densidade de
potência wP :
wP =
dP
dv
= ~E · ~J = σE 2
Condutores
Lei de Joule
Para calcularmos a potência P dissipada no condutor, usamos
o fato de que a taxa de variação da energia W é força vezes
velocidade.
Como a carga infinitesimal é ρvdv , então
P =
ˆ (
ρvdv~E
)
· ~u =
ˆ
~
E · (ρv~u) dv =
ˆ
~
E · ~Jdv
O integrando acima é denominado a densidade de
potência wP :
wP =
dP
dv
= ~E · ~J = σE 2
Condutores
Lei de Joule
Se o condutor tem seção reta uniforme, então dv = ds dl e
portanto
P =
ˆ
Edl
ˆ
Jds
= VI
= RI 2
Equação da continuidade
Desenvolvimento
Devido ao princípio de conservação da carga, a taxa de
diminuição da carga em um dado volume deve ser igual à
corrente líquida que sai da superfície fechada:
I =
˛
S
~
J · ~ds = −dQi
dt
A taxa de variação da carga interna é
−dQi
dt
= − d
dt
ˆ
V
ρvdv = −
ˆ
V
∂ρv
∂t
dv
Além disso, pelo teorema da divergência temos
˛
S
~
J · ~ds =
ˆ
V
∇ · ~Jdv
Equação da continuidade
Desenvolvimento
Devido ao princípio de conservação da carga, a taxa de
diminuição da carga em um dado volume deve ser igual à
corrente líquida que sai da superfície fechada:
I =
˛
S
~
J · ~ds = −dQi
dt
A taxa de variação da carga interna é
−dQi
dt
= − d
dt
ˆ
V
ρvdv = −
ˆ
V
∂ρv
∂t
dv
Além disso, pelo teorema da divergência temos
˛
S
~
J · ~ds =
ˆ
V
∇ · ~Jdv
Equação da continuidade
Desenvolvimento
Devido ao princípio de conservação da carga, a taxa de
diminuição da carga em um dado volume deve ser igual à
corrente líquida que sai da superfície fechada:
I =
˛
S
~
J · ~ds = −dQi
dt
A taxa de variação da carga interna é
−dQi
dt
= − d
dt
ˆ
V
ρvdv = −
ˆ
V
∂ρv
∂t
dv
Além disso, pelo teorema da divergência temos
˛
S
~
J · ~ds =
ˆ
V
∇ · ~Jdv
Equação da continuidade
Desenvolvimento
Combinando ambos os resultados temos
ˆ
V
∇ · ~Jdv =
ˆ
V
(
−∂ρv
∂t
)
dv
Como o volume V é arbitrário, isto resulta na equação da
continuidade de corrente:
∇ · ~J = −∂ρv
∂t
Equação da continuidade
Desenvolvimento
Combinando ambos os resultados temos
ˆ
V
∇ · ~Jdv =
ˆ
V
(
−∂ρv
∂t
)
dv
Como o volume V é arbitrário, isto resulta na equação da
continuidade de corrente:
∇ · ~J = −∂ρv
∂t
Equação da continuidade
Observações
1 Para correntes estacionárias obtemos a lei de Kirchhoff das
correntes:
∇ · ~J = 0
Tempo de relaxação
Definição
Aplicando a lei de Ohm,
~
J = σ~E, e a lei de Gauss,
∇ · ~E = ρv/�0, à equação da continuidade, ∇ · ~J = −∂ρv∂t ,
temos
∂ρv
∂t
+
ρv
�
0
σ = 0
A solução desta equação diferencial é
ρv = ρv0e
−t/Tr
A constante Tr = �/σ é denominada tempo de relaxação e
corresponde ao tempo que uma carga no interior de um
material leva para decair a e−1 = 36.8% do seu valor inicial.
Para bons condutores, Tr é bem pequeno, da ordem de
10
−19
s, enquanto para isolantes é da ordem de dias.
Tempo de relaxação
Definição
Aplicando a lei de Ohm,
~
J = σ~E, e a lei de Gauss,
∇ · ~E = ρv/�0, à equação da continuidade, ∇ · ~J = −∂ρv∂t ,
temos
∂ρv
∂t
+
ρv
�
0
σ = 0
A solução desta equação diferencial é
ρv = ρv0e
−t/Tr
A constante Tr = �/σ é denominada tempo de relaxação e
corresponde ao tempo que uma carga no interior de um
material leva para decair a e−1 = 36.8% do seu valor inicial.
Para bons condutores, Tr é bem pequeno, da ordem de
10
−19
s, enquanto para isolantes é da ordem de dias.
Tempo de relaxação
Definição
Aplicando a lei de Ohm,
~
J = σ~E, e a lei de Gauss,
∇ · ~E = ρv/�0, à equação da continuidade, ∇ · ~J = −∂ρv∂t ,
temos
∂ρv
∂t
+
ρv
�
0
σ = 0
A solução desta equação diferencial é
ρv = ρv0e
−t/Tr
A constante Tr = �/σ é denominada tempo de relaxação e
corresponde ao tempo que uma carga no interior de um
material leva para decair a e−1 = 36.8% do seu valor inicial.
Para bons condutores, Tr é bem pequeno, da ordem de
10
−19
s, enquanto para isolantes é da ordem de dias.
Tempo de relaxação
Definição
Aplicando a lei de Ohm,
~
J = σ~E, e a lei de Gauss,
∇ · ~E = ρv/�0, à equação da continuidade, ∇ · ~J = −∂ρv∂t ,
temos
∂ρv
∂t
+
ρv
�
0
σ = 0
A solução desta equação diferencial é
ρv = ρv0e
−t/Tr
A constante Tr = �/σ é denominada tempo de relaxação e
corresponde ao tempo que uma carga no interior de um
material leva para decair a e−1 = 36.8% do seu valor inicial.
Para bons condutores, Tr é bem pequeno, da ordem de
10
−19
s, enquanto para isolantes é da ordem de dias.
Polarização em dielétricos
Introdução
O comportamento do campo elétrico em um dielétrico é
diferente de em um metal.
Em dielétricos, não há cargas livres para se deslocar sob a
influência de um campo elétrico externo.
Apesar disso, há um efeito nas cargas elétricas dos átomos.
Polarização em dielétricos
Introdução
O comportamento do campo elétrico em um dielétrico é
diferente de em um metal.
Em dielétricos, não há cargas livres para se deslocar sob a
influência de um campo elétrico externo.
Apesar disso, há um efeito nas cargas elétricas dos átomos.
Polarização em dielétricos
Introdução
O comportamento do campo elétrico em um dielétrico é
diferente de em um metal.
Em dielétricos, não há cargas livres para se deslocar sob a
influência de um campo elétrico externo.
Apesar disso, há um efeito nas cargas elétricas dos átomos.
Polarização em dielétricos
Introdução
Podemos ver um átomo como consistindo de uma carga
positiva e outra negativa.
Sob a influência de um campo externo, o átomo se deforma, o
que pode ser visto como o aparecimento de um dipolo elétrico
com momento de dipolo
~
p = Q~d.
Polarização em dielétricos
Introdução
Podemos ver um átomo como consistindo de uma carga
positiva e outra negativa.
Sob a influência de um campo externo, o átomo se deforma, o
que pode ser visto como o aparecimento de um dipolo elétrico
com momento de dipolo
~
p = Q~d.
Polarização em dielétricos
Campo elétrico externo
O efeito de um campo elétrico externo sobre um dielétrico é de
criar inúmeros dipolos atômicos.
Polarização em dielétricos
Campo elétrico externo
Observe que o campo elétrico
~
EP entre as cargas de cada
dipolo é oposto ao campo externo.
Observer também que há uma concentração de cargas
negativas de um lado e positivas do outro.
Polarização em dielétricos
Materiais polares
Alguns materiais, tipo a água, são constituídos de moléculas
polares, i.e., com momento de dipolo intrínseco.
Nestes casos, o campo externo causa o efeito adicional de
alinhamento dos momentos
Polarização em dielétricos
Vetor polarização
A média dos dipolos atômicos em um dado ponto é
denominado vetor polarização
~
P:
~
P = lim
∆v→0∑N
k=1Qk~pk
∆v
Polarização em dielétricos
Potencial elétrico devido à polarização
Se R = (x − x ′)2 + (y − y ′)2 + (z − z ′)2 então a
contribuição dV ao potencial elétrico devido a um elemento
infinitesimal de dipolo
~
Pdv ′ é
dV =
~
P · ~aRdv ′
4pi�
0
R2
Polarização em dielétricos
Potencial elétrico devido à polarização
Podemos mostrar que
∇′ 1
R
=
~
aR
R2
Assim,
~
P · ~aR
R2
= ~P · ∇′
(
1
R
)
Além disso, podemos usar a seguinte identidade vetorial:
∇′ · (f ~A) = f∇′ · ~A+ ~A · ∇′f
Polarização em dielétricos
Potencial elétrico devido à polarização
Podemos mostrar que
∇′ 1
R
=
~
aR
R2
Assim,
~
P · ~aR
R2
= ~P · ∇′
(
1
R
)
Além disso, podemos usar a seguinte identidade vetorial:
∇′ · (f ~A) = f∇′ · ~A+ ~A · ∇′f
Polarização em dielétricos
Potencial elétrico devido à polarização
Podemos mostrar que
∇′ 1
R
=
~
aR
R2
Assim,
~
P · ~aR
R2
= ~P · ∇′
(
1
R
)
Além disso, podemos usar a seguinte identidade vetorial:
∇′ · (f ~A) = f∇′ · ~A+ ~A · ∇′f
Polarização em dielétricos
Potencial elétrico devido à polarização
Logo,
~
P · ~aR
R2
= ∇′ ·
~
P
R
− ∇
′ · ~P
R
O potencial é
V =
ˆ
1
4pi�
0
[
∇′ ·
~
P
R
− ∇
′ · ~P
R
]
dv ′
Aplicando o teorema da divergência à primeira parte obtemos
V =
ˆ ~
P · ~an
4pi�
0
R
ds ′ +
ˆ −∇′ · ~P
4pi�
0
R
dv ′
Polarização em dielétricos
Potencial elétrico devido à polarização
Logo,
~
P · ~aR
R2
= ∇′ ·
~
P
R
− ∇
′ · ~P
R
O potencial é
V =
ˆ
1
4pi�
0
[
∇′ ·
~
P
R
− ∇
′ · ~P
R
]
dv ′
Aplicando o teorema da divergência à primeira parte obtemos
V =
ˆ ~
P · ~an
4pi�
0
R
ds ′ +
ˆ −∇′ · ~P
4pi�
0
R
dv ′
Polarização em dielétricos
Potencial elétrico devido à polarização
Logo,
~
P · ~aR
R2
= ∇′ ·
~
P
R
− ∇
′ · ~P
R
O potencial é
V =
ˆ
1
4pi�
0
[
∇′ ·
~
P
R
− ∇
′ · ~P
R
]
dv ′
Aplicando o teorema da divergência à primeira parte obtemos
V =
ˆ ~
P · ~an
4pi�
0
R
ds ′ +
ˆ −∇′ · ~P
4pi�
0
R
dv ′
Polarização em dielétricos
Potencial elétrico devido à polarização
Usaremos a seguinte notação (o índice linha será omitido):
ρps = ~P · ~an
ρpv = −∇ · ~P
Podemos re-escrever a expressão para V como
V =
ˆ
ρps
4pi�
0
R
ds ′ +
ˆ
ρpv
4pi�
0
R
dv ′
A primeira integral corresponde ao potencial devido a uma
distribuição superficial de carga e a segunda a uma distribuição
volumétrica.
Polarização em dielétricos
Potencial elétrico devido à polarização
Usaremos a seguinte notação (o índice linha será omitido):
ρps = ~P · ~an
ρpv = −∇ · ~P
Podemos re-escrever a expressão para V como
V =
ˆ
ρps
4pi�
0
R
ds ′ +
ˆ
ρpv
4pi�
0
R
dv ′
A primeira integral corresponde ao potencial devido a uma
distribuição superficial de carga e a segunda a uma distribuição
volumétrica.
Polarização em dielétricos
Potencial elétrico devido à polarização
Usaremos a seguinte notação (o índice linha será omitido):
ρps = ~P · ~an
ρpv = −∇ · ~P
Podemos re-escrever a expressão para V como
V =
ˆ
ρps
4pi�
0
R
ds ′ +
ˆ
ρpv
4pi�
0
R
dv ′
A primeira integral corresponde ao potencial devido a uma
distribuição superficial de carga e a segunda a uma distribuição
volumétrica.
Polarização em dielétricos
Influência da polarização na densidade de fluxo elétrico
Consideremos a 1
a
equação de Maxwell no dielétrico onde a
densidade de carga total é a soma da densidade de carga livre
com a densidade volumétrica de carga devido à polarização:
ρv + ρpv = ∇ ·
(
�
0
~
E
)
Podemos re-escrever a expressão acima como
ρv = ∇ ·
(
�
0
~
E
)
− ρpv
= ∇ ·
(
�
0
~
E+ ~P
)
= ∇ · ~D
Polarização em dielétricos
Influência da polarização na densidade de fluxo elétrico
Consideremos a 1
a
equação de Maxwell no dielétrico onde a
densidade de carga total é a soma da densidade de carga livre
com a densidade volumétrica de carga devido à polarização:
ρv + ρpv = ∇ ·
(
�
0
~
E
)
Podemos re-escrever a expressão acima como
ρv = ∇ ·
(
�
0
~
E
)
− ρpv
= ∇ ·
(
�
0
~
E+ ~P
)
= ∇ · ~D
Polarização em dielétricos
Influência da polarização na densidade de fluxo elétrico
O vetor
~
D = �
0
~
E+ ~P é o vetor densidade fluxo em meios
dielétricos.
Se o vetor
~
P variar linearmente com
~
E, então
~
P = χe�0~E
A constante χe é denominada suscetibilidade elétrica do
material.
Polarização em dielétricos
Influência da polarização na densidade de fluxo elétrico
O vetor
~
D = �
0
~
E+ ~P é o vetor densidade fluxo em meios
dielétricos.
Se o vetor
~
P variar linearmente com
~
E, então
~
P = χe�0~E
A constante χe é denominada suscetibilidade elétrica do
material.
Constante e rigidez dielétrica
Definição
Usando a suscetibilidade elétrica χe , temos que:
~
D = �
0
(1+ χe) ~E = �0�r~E
A constante �r = (1+ χe) ≥ 1 é denominada de constante
dielétrica, também conhecida como permissividade relativa, do
material.
A constante � = �r �0 é denominada a permissividade elétrica
do material e tem dimensão de F/m.
Constante e rigidez dielétrica
Definição
Usando a suscetibilidade elétrica χe , temos que:
~
D = �
0
(1+ χe) ~E = �0�r~E
A constante �r = (1+ χe) ≥ 1 é denominada de constante
dielétrica, também conhecida como permissividade relativa, do
material.
A constante � = �r �0 é denominada a permissividade elétrica
do material e tem dimensão de F/m.
Constante e rigidez dielétrica
Definição
Usando a suscetibilidade elétrica χe , temos que:
~
D = �
0
(1+ χe) ~E = �0�r~E
A constante �r = (1+ χe) ≥ 1 é denominada de constante
dielétrica, também conhecida como permissividade relativa, do
material.
A constante � = �r �0 é denominada a permissividade elétrica
do material e tem dimensão de F/m.
Constante e rigidez dielétrica
Definição
Se um dielétrico for submetido a um campo elétrico
suficientemente intenso, seus elétrons serão arrancados,
iniciando o fenômeno destrutivo de ruptura dielétrica.
Constante e rigidez dielétrica
Definição
O menor valor da intensidade de campo elétrico para o qual a
ruptura dielétrica acontece é denominado de rigidez dielétrica
do material.
Dielétricos lineares, isotrópicos e homogêneos
Definição
As equações anteriores relacionando
~
D e
~
E são válidas apenas
para materiais lineares isotrópicos.
Um material é denominado linear se
~
D variar linearmente com
~
E. Caso contrário, o material é não-linear.
Um material para o qual � não varie na região de interesse é
dito ser um material homogêneo. Caso contrário, ele é
não-homogêneo.
Materiais para os quais
~
D e
~
E estão na mesma direção são
denominados isotrópicos. Caso contrário, eles são
anisotrópicos.
Dielétricos lineares, isotrópicos e homogêneos
Definição
As equações anteriores relacionando
~
D e
~
E são válidas apenas
para materiais lineares isotrópicos.
Um material é denominado linear se
~
D variar linearmente com
~
E. Caso contrário, o material é não-linear.
Um material para o qual � não varie na região de interesse é
dito ser um material homogêneo. Caso contrário, ele é
não-homogêneo.
Materiais para os quais
~
D e
~
E estão na mesma direção são
denominados isotrópicos. Caso contrário, eles são
anisotrópicos.
Dielétricos lineares, isotrópicos e homogêneos
Definição
As equações anteriores relacionando
~
D e
~
E são válidas apenas
para materiais lineares isotrópicos.
Um material é denominadolinear se
~
D variar linearmente com
~
E. Caso contrário, o material é não-linear.
Um material para o qual � não varie na região de interesse é
dito ser um material homogêneo. Caso contrário, ele é
não-homogêneo.
Materiais para os quais
~
D e
~
E estão na mesma direção são
denominados isotrópicos. Caso contrário, eles são
anisotrópicos.
Dielétricos lineares, isotrópicos e homogêneos
Definição
As equações anteriores relacionando
~
D e
~
E são válidas apenas
para materiais lineares isotrópicos.
Um material é denominado linear se
~
D variar linearmente com
~
E. Caso contrário, o material é não-linear.
Um material para o qual � não varie na região de interesse é
dito ser um material homogêneo. Caso contrário, ele é
não-homogêneo.
Materiais para os quais
~
D e
~
E estão na mesma direção são
denominados isotrópicos. Caso contrário, eles são
anisotrópicos.
Dielétricos lineares, isotrópicos e homogêneos
Observações
As mesmas definições podem ser aplicadas no caso da lei de
Ohm pontual, i.e.,
~
J = σ~E.
A lei de Coulomb em um meio dielétrico torna-se:
~
F =
Q
1
Q
2
4pi�
0
�rR2
~
aR
A energia de um campo eletrostático é dada por:
W =
1
2
ˆ
V
�
0
�rE
2dv
Dielétricos lineares, isotrópicos e homogêneos
Observações
As mesmas definições podem ser aplicadas no caso da lei de
Ohm pontual, i.e.,
~
J = σ~E.
A lei de Coulomb em um meio dielétrico torna-se:
~
F =
Q
1
Q
2
4pi�
0
�rR2
~
aR
A energia de um campo eletrostático é dada por:
W =
1
2
ˆ
V
�
0
�rE
2dv
Dielétricos lineares, isotrópicos e homogêneos
Observações
As mesmas definições podem ser aplicadas no caso da lei de
Ohm pontual, i.e.,
~
J = σ~E.
A lei de Coulomb em um meio dielétrico torna-se:
~
F =
Q
1
Q
2
4pi�
0
�rR2
~
aR
A energia de um campo eletrostático é dada por:
W =
1
2
ˆ
V
�
0
�rE
2dv
Condições de Fronteira
Introdução
No caso de haver 2 materiais diferentes formando uma
interface entre 2 meios de permissividades distintas, há
condições que o campo elétrico deve satisfazer.
Estas condições são conhecidas como condições de fronteira.
Condições de Fronteira
Introdução
No caso de haver 2 materiais diferentes formando uma
interface entre 2 meios de permissividades distintas, há
condições que o campo elétrico deve satisfazer.
Estas condições são conhecidas como condições de fronteira.
Condições de Fronteira
Desenvolvimento
Para determinarmos estas condições, usaremos as duas
equações de Maxwell para eletrostática na sua forma integral:
˛
S
~
D · ~ds = Q
env
˛
L
~
E · ~dl = 0
Para isto, dividimos os campos em duas partes: uma paralela à
interface e a outra normal:
~
E = ~Et + ~En
~
D = ~Dt + ~Dn
Condições de Fronteira
Desenvolvimento
Para determinarmos estas condições, usaremos as duas
equações de Maxwell para eletrostática na sua forma integral:
˛
S
~
D · ~ds = Q
env
˛
L
~
E · ~dl = 0
Para isto, dividimos os campos em duas partes: uma paralela à
interface e a outra normal:
~
E = ~Et + ~En
~
D = ~Dt + ~Dn
Condições de Fronteira
Desenvolvimento
No caso do campo
~
E, usamos a 2
a
equação de Maxwell para
acharmos:
E
1t = E2t
Condições de Fronteira
Desenvolvimento
Observe que se o meio 2 for um metal, então E
2t = 0 e
portanto
E
1t = 0
Condições de Fronteira
Desenvolvimento
Aplicando a lei de Gauss, considerando ρs como a densidade
de cargas livres na interface, temos
D
1n − D2n = ρs
Condições de Fronteira
Desenvolvimento
Observe que se não há cargas livres na interface, ρs = 0 e
portanto
D
1n = D2n
Por outro lado, se o meio 2 é um metal, então D
2n = 0 e
portanto
D
1n = ρs
Condições de Fronteira
Desenvolvimento
Observe que se não há cargas livres na interface, ρs = 0 e
portanto
D
1n = D2n
Por outro lado, se o meio 2 é um metal, então D
2n = 0 e
portanto
D
1n = ρs