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Eletromagnetismo 1 Álgebra Vetorial Prof. Hermano Cabral Depto de Eletrônica e Sistemas � UFPE Sistemas de coordenadas Introdução Usaremos 3 sistemas de coordenadas: Cartesianas Cilíndricas Esféricas Sistemas de coordenadas cilíndricas Representação de pontos Consiste das coordenadas polares ρ e φ com a adição da coordenada z . Sistemas de coordenadas Representação de pontos ρ e φ são determinados a partir da projeção do ponto P no plano-xy , e obedecem a ρ ≥ 0 e 0 ≤ φ < 2pi. Sistemas de coordenadas cilíndricas Exemplo Localize o ponto P( √ 3, 210o, 1) Sistemas de coordenadas cilíndricas Superfícies de coordenada constante Fixando-se uma coordenada, pode-se gerar 3 tipos de superfícies. Sistemas de coordenadas cilíndricas Representação de vetores Os vetores da base canônica são ortogonais às superfícies de coordenada constante. Sistemas de coordenadas cilíndricas Exemplo Determine o vetor com componentes (−2, 1,−1) no ponto P(1, 90o, 2). Sistemas de coordenadas esféricas Representação de pontos As coordenadas satisfazem a r ≥ 0, 0 ≤ θ ≤ pi e 0 ≤ φ < 2pi. Sistemas de coordenadas esféricas Exemplo Localize o ponto P(2, 60o, 210o) Sistemas de coordenadas esféricas Superfícies de coordenada constante Fixando-se uma coordenada, pode-se gerar 3 tipos de superfícies. Sistemas de coordenadas esféricas Representação de vetores Os vetores da base canônica são ortogonais às superfícies de coordenada constante. Sistemas de coordenadas esféricas Exemplo Determine o vetor com componentes (−2, 1,−1) no ponto P(4, 90o, 180o). Transformação entre sistemas de coordenadas Introdução É muito comum querermos transformar um campo escalar ou vetorial de um sistema de coordenadas para outro. A transformação envolve 2 operações: Transformação de coordenadas Transformação de bases Transformação entre sistemas de coordenadas Introdução É muito comum querermos transformar um campo escalar ou vetorial de um sistema de coordenadas para outro. A transformação envolve 2 operações: Transformação de coordenadas Transformação de bases Transformação entre sistemas de coordenadas Conversão entre cartesianas e cilíndricas Conversão para pontos Observe que a coordenada z é comum entre os 2 sistemas. Para a transformação das outras 2, recorre-se às coordenadas polares. Conversão entre cartesianas e cilíndricas Conversão para pontos Observe que a coordenada z é comum entre os 2 sistemas. Para a transformação das outras 2, recorre-se às coordenadas polares. Conversão entre cartesianas e cilíndricas Conversão para pontos Usamos relações trigonométricas para relacionar as coordenadas cartesianas com as polares. Conversão entre cartesianas e cilíndricas Cartesianas para cilíndricas ρ = √ x 2 + y2 tanφ = y x z = z Conversão entre cartesianas e cilíndricas Cilíndricas para cartesianas x = ρ cosφ y = ρ sinφ z = z Conversão entre cartesianas e cilíndricas Sumário Em resumo: ρ = √ x 2 + y2 x = ρ cosφ tanφ = y x y = ρ sinφ z = z z = z Conversão entre cartesianas e cilíndricas Conversão de pontos � exemplo Expresse o campo V = xz − xy + yz em coordenadas cilíndricas. Conversão entre cartesianas e cilíndricas Conversão para a base A conversão para a base de vetores é feita de forma similar à conversão para pontos. Conversão entre cartesianas e cilíndricas Sumário Em resumo: ~ aρ = cosφ~ax + sinφ~ay ~ax = cosφ~aρ − sinφ~aφ ~ aφ = − sinφ~ax + cosφ~ay ~ay = sinφ~aρ + cosφ~aφ ~ a z = ~a z ~ a z = ~a z Conversão entre cartesianas e cilíndricas Conversão de vetores � exemplo Expresse o campo ~ F = ρ ( z 2 + 1 ) ~ aρ − ρz cosφ~aφ no sistema de coordenadas cartesianas. Conversão entre cilíndricas e esféricas Conversão para pontos Neste caso os sistemas tem a coordenada φ em comum. Para as outras coordenadas, é conveniente trabalhar com o plano-ρ. Conversão entre cilíndricas e esféricas Conversão para pontos Neste caso os sistemas tem a coordenada φ em comum. Para as outras coordenadas, é conveniente trabalhar com o plano-ρ. Conversão entre cilíndricas e esféricas r az aρ z ρ P θ O Conversão para pontos O plano-ρ é o plano contendo os vetores ~a z e ~ aρ. Conversão entre cilíndricas e esféricas r az aρ z ρ P θ O Cilíndricas para esféricas A partir do plano-ρ obtemos: r = √ ρ2 + z2 tan θ = ρ z Conversão entre cilíndricas e esféricas r az aρ z ρ P θ O Esféricas para cilíndricas A partir do plano-ρ também obtemos: ρ = r sin θ z = r cos θ Conversão entre cilíndricas e esféricas Sumário Em resumo: r = √ ρ2 + z2 ρ = r sin θ tan θ = ρ z φ = φ φ = φ z = r cos θ Conversão entre cilíndricas e esféricas Conversão para a base A conversão para a base de vetores é feita de forma similar à conversão para pontos. Observe que ~ aφ é o mesmo para ambos os sistemas. Conversão entre cartesianas e esféricas Conversão para pontos Neste caso não há coordenadas em comum. Por outro lado, é conveniente trabalhar com o plano-ρ. Conversão entre cartesianas e esféricas Conversão para pontos Neste caso não há coordenadas em comum. Por outro lado, é conveniente trabalhar com o plano-ρ. Conversão entre cartesianas e esféricas r az aρ z ρ P θ O Cartesianas para esféricas Vimos que, a partir do plano-ρ obtemos: r = √ ρ2 + z2 tan θ = ρ z Conversão entre cartesianas e esféricas Cartesianas para esféricas Mas do plano-xy temos: ρ = √ x 2 + y2 tanφ = y x Conversão entre cartesianas e esféricas r az aρ z ρ P θ O Cartesianas para esféricas Juntando tudo, temos: r = √ x 2 + y2 + z2 tan θ = √ x 2 + y2 z tanφ = y x Conversão entre cartesianas e esféricas Esféricas para cartesianas Do plano-xy sabemos que: x = ρ cosφ y = ρ sinφ Conversão entre cartesianas e esféricas r az aρ z ρ P θ O Esféricas para cartesianas Por outro lado, do plano-ρ temos: ρ = r sin θ z = r cos θ Conversão entre cartesianas e esféricas r az aρ z ρ P θ O Esféricas para cartesianas Juntando tudo, temos: x = r sin θ cosφ y = r sin θ sinφ z = r cos θ Conversão entre cartesianas e esféricas Sumário Em resumo: r = √ x 2 + y2 + z2 x = r sin θ cosφ tan θ = √ x 2 + y2 z y = r sin θ sinφ tanφ = y x z = r cos θ Conversão entre cartesianas e esféricas Conversão de pontos � exemplo Expresse o campo V = x2 + 2y2 + 3z2 em coordenadas esféricas. Conversão entre cartesianas e esféricas Conversão para a base A conversão para a base de vetores é feita de forma similar à conversão para pontos. Conversão entre cartesianas e esféricas Sumário Em resumo: ~ a r = sin θ cosφ~a x + sin θ sinφ~a y + cos θ~a z ~ aθ = cos θ cosφ~ax + cos θ sinφ~ay − sin θ~az ~ aφ = − sinφ~ax + cosφ~ay ~ a x = sin θ cosφ~a r + cos θ cosφ~aθ − sinφ~aφ ~ a y = sin θ sinφ~a r + cos θ sinφ~aθ + cosφ~aφ ~ a z = cos θ~a r − sin θ~aθ Conversão entre cartesianas e esféricas Conversão de vetores � exemplo Expresse o campo ~ F = ( x 2 + y2 ) [ x√ x 2 + y2 + z2 ~ a x + y√ x 2 + y2 + z2 ~ a y + z√ x 2 + y2 + z2 ~ a z ] no sistema de coordenadas esféricas.
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