Dimensionamento de Lajes

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE RORAIMA 
CENTRO DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
 
JELSON FEITOSA OLIVEIRA 
 
 
 
 
PROJETO DE CONCRETO ARMADO 
PARTE I: LAJE 
 
 
 
Projeto apresentado como pré-requisito para 
obtenção de nota na disciplina de Concreto 
Armado I. 
 
Profª. Drª. Elaine Jaricuna Pereira de 
Albuquerque. 
 
 
 
 
 
 
 
Boa Vista, RR 
2018 
LISTA DE FIGURAS 
 
Figura 1 – Recorte da planta de forma do pavimento tipo....................................................... 07 
Figura 2 – Localização da laje L6............................................................................................ 08 
Figura 3 – Localização da viga V18........................................................................................ 09 
Figura 4 – Combinações de vínculos nas bordas das lajes...................................................... 10 
Figura 5 – Combinação de vínculos para as lajes L6 e L14.................................................... 10 
Figura 6 – Dimensões das lajes L6 e L14................................................................................ 11 
Figura 7 – Peso específico dos materiais de construção.......................................................... 18 
Figura 8 – Valores mínimos das cargas verticais..................................................................... 19 
Figura 9 – Caso de parede com direção paralela à direção principal da laje........................... 20 
Figura 10 – Esquema estático, carregamento e esforços solicitantes característicos na laje 
L4............................................................................................................................................. 24 
Figura 11 – Divisão da laje L5 em regiões com carga de parede e sem carga de 
parede....................................................................................................................................... 24 
Figura 12 – Esquema estático, carregamento e esforços solicitantes na região I da laje 
L5............................................................................................................................................. 25 
Figura 13 – Esquema estático, carregamento e esforços solicitantes na região II da laje 
L5............................................................................................................................................. 25 
Figura 14 – Reações de apoio das lajes L6 e L14 ................................................................... 26 
Figura 15 – Momentos fletores característicos das lajes L6 e L14.......................................... 28 
Figura 16 – Momentos fletores e as respectivas áreas de armadura das lajes L6 e L14.......... 31 
Figura 17 – Arranjos para cálculo da extensão das armaduras negativas nos apoios com 
continuidade entre lajes............................................................................................................ 37 
Figura 18 – Detalhamento da armadura positiva da laje L6.................................................... 40 
Figura 19 – Detalhamento da armadura negativa da laje L6................................................... 41 
 
 
 
 
LISTA DE TABELAS 
 
Tabela 1 – Tabela resumo do pré-dimensionamento da altura das lajes em estudo................ 16 
Tabela 2 – Tabela resumo dos vãos efetivos das lajes em estudo........................................... 17 
Tabela 3 – Tabela resumo das ações das lajes......................................................................... 22 
Tabela 4 – Tabela resumo com as reações de apoio nas vigas de borda das lajes armadas em 
duas direções............................................................................................................................ 23 
Tabela 5 – Momentos fletores solicitantes nas lajes armadas em duas direções..................... 27 
Tabela 6 – Especificação das barras “positivas” para a laje L6............................................... 40 
Tabela 7 – Especificação das barras “negativas” para a laje L6.............................................. 41 
 
 
SUMÁRIO 
 
 
 
 
 
 
 
 DISPOSIÇÕES PRELIMINARES .......................................................................... 05 
1 DESCRIÇÃO DO EDIFÍCIO ................................................................................... 05 
2 LANÇAMENTO PRELIMINAR DA ESTRUTURA ............................................ 05 
3 DADOS DO PROJETO ............................................................................................ 05 
4 LAJE EM ESTUDO .................................................................................................. 07 
5 CÁLCULO DA LAJE ............................................................................................... 08 
5.1 CLASSIFICAÇÃO QUANTO AO TIPO DE APOIO ........................................... 09 
5.2 CLASSIFICAÇÃO QUANTO À DIREÇÃO .......................................................... 11 
5.3 ESTIMATIVA DA ALTURA DA LAJE ................................................................. 12 
5.4 VÃO EFETIVO ......................................................................................................... 16 
5.5 AÇÕES A CONSIDERAR ........................................................................................ 17 
5.5.1 Peso Próprio ............................................................................................................... 17 
5.5.2 Contrapiso .................................................................................................................. 18 
5.5.3 Piso .............................................................................................................................. 19 
5.5.4 Revestimento do Teto ................................................................................................ 19 
5.5.5 Carga Acidental ......................................................................................................... 19 
5.5.6 Carga da Parede ........................................................................................................ 20 
5.6 REAÇÕES DE APOIO ............................................................................................. 22 
5.7 MOMENTOS FLETORES SOLICITANTES ........................................................ 27 
5.8 DIMENSIONAMENTO ............................................................................................ 29 
5.9 VERIFICAÇÃO DA FLECHA ................................................................................ 32 
5.10 VERIFICAÇÃO DA FORÇA CORTANTE ........................................................... 35 
5.11 DETALHAMENTO DAS ARMADURAS .............................................................. 36 
 REFERÊNCIAS ......................................................................................................... 42 
 ANEXOS ..................................................................................................................... 43 
5 
 
DISPOSIÇÕES PRELIMINARES 
Todos os cálculos deste projeto foram realizados seguindo as notas de aula do professor 
Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos, disponível em seu site (wwwp.feb.unesp.br/pbastos), que 
já estão conforme a NBR 6118:2014. 
 
1. DESCRIÇÃO DO EDIFÍCIO 
O edifício em estudo é composto por um pavimento térreo mais quatro pavimentos tipo. 
Em cada apartamento tipo, há dois apartamentos idênticos e a edificação se trata de um edifício 
residencial multifamiliar. 
É possível consultar a planta baixa do pavimento tipo e a planta de forma estrutural, no 
anexo. 
 
2. LANÇAMENTO PRELIMINAR DA ESTRUTURA 
Como etapainicial do projeto deve-se confeccionar a planta de arquitetura e a partir 
desta a planta de forma, onde deve-se definir as dimensões preliminares dos diversos elementos 
estruturais, a localização das vigas e o posicionamento dos pilares. 
As dimensões dos elementos devem levar em conta os vãos das lajes e das vigas, a altura 
do edifício, o número de pilares em cada direção, entre outras coisas. 
Além disso, o lançamento da estrutura deve considerar sua interferência com os demais 
projetos, como o projeto hidráulico, sanitário e elétrico por exemplo. É importante lembrar que 
a localização dos elementos estruturais deve possibilitar a passagem das tubulações. 
O projeto do edifício é realizado com uma estrutura convencional de lajes maciças 
apoiadas em vigas às quais se apoiam em pilares. O contraventamento é feito pelos pórticos e 
a escada trabalha como núcleo central rígido. 
A ação do vento e os esforços solicitantes decorrentes serão desprezados, por se tratar 
de uma edificação de baixa altura, em região não sujeita a ventos de alta intensidade. 
 
3. DADOS DE PROJETO 
A planta de forma mostra que todas as lajes do edifício possuem, inicialmente, espessura 
de 10 cm. Porém, serão calculadas as espessuras das lajes L4, L5, L6, L8, L13 e L14. 
Todas as paredes têm 15 cm de espessura, o tijolo utilizado possui 13 cm de largura e o 
revestimento usado é de 1,0 cm para cada lado. 
Tanto as vigas como os pilares possuem seção de formato retangular, e suas dimensões 
são as seguintes: 
6 
 
- Viga: (20x40) cm 
- Pilar: (20x40) cm 
Estas são dimensões para o início dos cálculos, mas podem ser alteradas se houver 
necessidade. 
- Edifício Residencial 
- 1 Pavimento Térreo 
- 4 Pavimentos Tipo 
- 1 Cobertura (de uso convencional) 
- Pé direito: 290 cm 
- Concreto tipo C25 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
4. LAJE EM ESTUDO 
Neste trabalho, serão estudadas as lajes L4, L5, L6, L8, L13 e L14, porém é realizado o 
completo dimensionamento e detalhamento, apenas para a laje L6, conforme detalhado mais 
abaixo. Vejamos a Figura 1, com as lajes mencionadas: 
 
 
Figura 1 
 
A figura acima mostra parte da planta de forma do pavimento-tipo em estudo, escolhida 
para este projeto. A planta de forma pode ser consultada na íntegra, no anexo. 
Justificando o título desta seção, foi escolhida apenas a laje L6 (h=10cm) para ser 
dimensionada e detalhada. Logo abaixo, na figura, tem-se a localização da laje em estudo: 
 
8 
 
 
Figura 2 
 
5. CÁLCULO DA LAJE 
 
A laje escolhida será calculada como sendo uma “laje maciça”. Sendo assim, temos o 
seguinte roteiro de cálculo: 
 
1. Classificação quanto ao tipo e vinculação nas bordas 
2. Classificação quanto à direção 
3. Estimativa da Altura da Laje 
4. Vão Efetivo 
5. Ações a considerar 
6. Reações de Apoio 
7. Momentos Fletores Solicitantes 
8. Dimensionamento 
9. Flechas 
10. Verificação da Força Cortante 
11. Detalhamento das Armaduras 
 
Para as lajes L4, L5, L8, L13 e L14 será feito apenas o que dizem nos itens de 1 a 7, do 
roteiro acima, pois as referidas lajes serão utilizadas para o cálculo do Pilar Interno P11, no 
9 
 
futuro, na terceira parte do projeto onde serão dimensionados e detalhados os pilares. Por hora, 
estudemos as lajes. 
 
5.1. CLASSIFICAÇÃO QUANTO AO TIPO DE APOIO 
 
Neste item, será feita a classificação não apenas da laje L6, mas de todas as lajes que 
exercem carregamentos na viga V18, viga que será estudada na segunda parte do projeto. Ou 
seja, as lajes L6 e L14. Também serão classificadas as lajes L4, L5, L8 e L13. 
 
Figura 3 
10 
 
Devemos conhecer os tipos de apoio de cada laje, pois essa característica dita qual tabela 
deve ser usada mais adiante no cálculo das reações de apoio. 
Em função das várias combinações possíveis de vínculos nas quatro bordas das lajes 
retangulares, as lajes recebem números que diferenciam as combinações de vínculos nas bordas, 
como indicados na Figura 4. 
 
Figura 4 
 
Analisando a planta de forma (em anexo), temos que, a classificação mais adequada 
para ambas as lajes, L6 e L14, é a do caso 3: 
 
Figura 5 
 
 
11 
 
Para as lajes L4, L5, L8 e L13, temos: 
 
 L4: Caso 5A 
 L5: Caso 3 
 L8: Caso 5B 
 L13: Caso 2A 
 
5.2. CLASSIFICAÇÃO QUANTO À DIREÇÃO 
 
Para as lajes que transferem carregamento para a viga de projeto V18, temos: 
 
Figura 6 
 
12 
 
Para a laje L6: 
𝜆 =
𝑙௬
𝑙௫
=
3,635 𝑚
2,585 𝑚
= 1,41 < 2 → 𝑳𝒂𝒋𝒆 𝑨𝒓𝒎𝒂𝒅𝒂 𝒆𝒎 𝑪𝒓𝒖𝒛 
 
Para a laje L14: 
𝜆 =
𝑙௬
𝑙௫
=
4,085 𝑚
2,585 𝑚
= 1,58 < 2 → 𝑳𝒂𝒋𝒆 𝑨𝒓𝒎𝒂𝒅𝒂 𝒆𝒎 𝑪𝒓𝒖𝒛 
 
Demais lajes: 
Para a laje L4: (𝑙௬ = 2,450 𝑚; 𝑙௫ = 1,135 𝑚 ) 
𝜆 =
𝑙௬
𝑙௫
=
2,450 𝑚
1,135 𝑚
= 2,16 > 2 → 𝑳𝒂𝒋𝒆 𝑨𝒓𝒎𝒂𝒅𝒂 𝒆𝒎 𝑈𝒎𝒂 𝑫𝒊𝒓𝒆çã𝒐 
 
Para a laje L5: (𝑙௬ = 3,635 𝑚; 𝑙௫ = 1,450 𝑚 ) 
𝜆 =
𝑙௬
𝑙௫
=
3,635 𝑚
1,450 𝑚
= 2,51 > 2 → 𝑳𝒂𝒋𝒆 𝑨𝒓𝒎𝒂𝒅𝒂 𝒆𝒎 𝑈𝒎𝒂 𝑫𝒊𝒓𝒆çã𝒐 
 
Para a laje L8: (𝑙௬ = 2,450 𝑚; 𝑙௫ = 2,300 𝑚 ) 
𝜆 =
𝑙௬
𝑙௫
=
2,450 𝑚
2,300 𝑚
= 1,06 < 2 → 𝑳𝒂𝒋𝒆 𝑨𝒓𝒎𝒂𝒅𝒂 𝒆𝒎 𝑪𝒓𝒖𝒛 
 
Para a laje L13: (𝑙௬ = 4,100 𝑚; 𝑙௫ = 4,085 𝑚 ) 
𝜆 =
𝑙௬
𝑙௫
=
4,100 𝑚
4,085 𝑚
= 1,00 < 2 → 𝑳𝒂𝒋𝒆 𝑨𝒓𝒎𝒂𝒅𝒂 𝒆𝒎 𝑪𝒓𝒖𝒛 
 
5.3. ESTIMATIVA DA ALTURA DA LAJE 
Para o cálculo das lajes é necessário estimar inicialmente a sua altura. Existem vários e 
diferentes processos para essa estimativa, sendo um deles dado pela equação seguinte: 
𝑑 ≅ (2,5 − 0,1 𝑛)𝑙′ 
Onde: 
 
d = altura útil da laje (cm); 
n = número de bordas engastadas da laje; 
𝑙′ = dimensão da laje assumida da seguinte forma: 
 
𝑙ᇱ ≤ ൜ 𝑙𝑥0,7𝑙𝑦 𝑐𝑜𝑚 𝑙𝑥 ≤ 𝑙𝑦 𝑒 𝑙
ᇱ, 𝑙𝑥 𝑒 𝑙𝑦 𝑒𝑚 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜. 
13 
 
Para a laje L6: 
𝑙ᇱ ≤ ൜ 𝑙𝑥 = 2,585𝑚0,7𝑙𝑦 = 0,7(3,635𝑚) = 2,545𝑚 
 
∴ 𝑙ᇱ ≤ 2,545𝑚 
Então, 
𝑑 ≅ (2,5 − 0,1 𝑛)𝑙ᇱ, 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑛 = 2 
𝑑 ≅ ൫2,5 − 0,1 . (2)൯(2,545) 
𝑑 ≅ 5,85𝑐𝑚 
 
Para a laje L14: 
𝑙ᇱ ≤ ൜ 𝑙𝑥 = 2,585𝑚0,7𝑙𝑦 = 0,7(4,085𝑚) = 2,860𝑚 
 
∴ 𝑙ᇱ ≤ 2,585𝑚 
Então, 
𝑑 ≅ (2,5 − 0,1 𝑛)𝑙ᇱ, 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑛 = 2 
𝑑 ≅ ൫2,5 − 0,1 . (2)൯(2,585) 
𝑑 ≅ 5,95𝑐𝑚 
Demais lajes: 
Para a laje L4: (𝑙௬ = 2,450 𝑚; 𝑙௫ = 1,135 𝑚 ) 
𝑙ᇱ ≤ ൜ 𝑙𝑥 = 1,135 𝑚0,7𝑙𝑦 = 0,7(2,450 𝑚) = 1,715 𝑚 
 
∴ 𝑙ᇱ ≤ 1,135 𝑚 
Então, 
𝑑 ≅ (2,5 − 0,1 𝑛)𝑙ᇱ, 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑛 = 3 
𝑑 ≅ ൫2,5 − 0,1 . (3)൯(1,135) 
𝑑 ≅ 2,50𝑐𝑚 
 
Para a laje L5: (𝑙௬ = 3,635 𝑚; 𝑙௫ = 1,450 𝑚 ) 
𝑙ᇱ ≤ ൜ 𝑙𝑥 = 1,450 𝑚0,7𝑙𝑦 = 0,7(3,635 𝑚) = 2,544 𝑚 
 
∴ 𝑙ᇱ ≤ 1,450 𝑚 
Então, 
𝑑 ≅ (2,5 − 0,1 𝑛)𝑙ᇱ, 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑛 = 2 
𝑑 ≅ ൫2,5 − 0,1 . (2)൯(1,450) 
14 
 
𝑑 ≅ 3,35𝑐𝑚 
 
Para a laje L8: (𝑙௬ = 2,450 𝑚; 𝑙௫ = 2,300 𝑚 ) 
𝑙ᇱ ≤ ൜ 𝑙𝑥 = 2,300 𝑚0,7𝑙𝑦 = 0,7(2,450 𝑚) = 1,715 𝑚 
 
∴ 𝑙ᇱ ≤ 1,715 𝑚 
Então, 
𝑑 ≅ (2,5 − 0,1 𝑛)𝑙ᇱ, 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑛 = 3 
𝑑 ≅ ൫2,5 − 0,1 . (3)൯(1,715) 
𝑑 ≅ 3,80 𝑐𝑚 
 
Para a laje L13: (𝑙௬ = 4,100 𝑚; 𝑙௫ = 4,085 𝑚 ) 
𝑙ᇱ ≤ ൜ 𝑙𝑥 = 4,085 𝑚0,7𝑙𝑦 = 0,7(4,100 𝑚) = 2,870 𝑚 
 
∴ 𝑙ᇱ ≤ 2,870 𝑚 
Então, 
𝑑 ≅ (2,5 − 0,1 𝑛)𝑙ᇱ, 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑛 = 1 
𝑑 ≅ ൫2,5 − 0,1 . (1)൯(2,870) 
𝑑 ≅ 6,90 𝑐𝑚 
 
A estimativa da altura não dispensa a verificação da flecha que existirá na laje, que 
deverá ser calculada. 
Com a altura útil calculada fica simples determinar a altura h da laje: 
 
ℎ = 𝑑 +
∅௟
2
+ 𝑐 
 
Como não se conhece inicialmente o diâmetro ∅௟ da barra longitudinal da laje, o 
diâmetro deve ser estimado. Normalmente, para as lajes correntes, o diâmetro varia de 5 mm a 
8 mm. O cobrimento c deve ser determinadoconforme a Tabela 2 da NBR 6118:2014. 
Adotando ∅௟ = 8𝑚𝑚 e Classe de Agressividade Ambiental II, então, c = 25mm e 
teremos: 
ℎ = 𝑑 +
∅௟
2
+ 𝑐 = 𝑑 + 
0,8𝑐𝑚
2
+ 2,5𝑐𝑚 = 𝑑 + 2,9𝑐𝑚 
ℎ = 𝑑 + 2,9𝑐𝑚 
15 
 
Para a laje L6: (𝑑 ≅ 5,85𝑐𝑚) 
ℎ = 𝑑 + 2,9𝑐𝑚 = 5,85𝑐𝑚 + 2,9𝑐𝑚 = 8,75 𝑐𝑚 
Arredondado o valor resultante para o inteiro mais próximo, temos: 
ℎ = 9 𝑐𝑚 
 
Para a laje L14: (𝑑 ≅ 5,95𝑐𝑚) 
ℎ = 𝑑 + 2,9𝑐𝑚 = 5,95𝑐𝑚 + 2,9𝑐𝑚 = 8,85 𝑐𝑚 
Arredondado o valor resultante para o inteiro mais próximo, temos: 
ℎ = 9 𝑐𝑚 
 
Demais lajes: 
 
Para a laje L4: (𝑑 ≅ 2,50𝑐𝑚) 
ℎ = 𝑑 + 2,9𝑐𝑚 = 2,50𝑐𝑚 + 2,9𝑐𝑚 = 5,40 𝑐𝑚 
Arredondado o valor resultante, temos: 
ℎ = 6 𝑐𝑚 
 
Para a laje L5: (𝑑 ≅ 3,35𝑐𝑚) 
ℎ = 𝑑 + 2,9𝑐𝑚 = 3,35𝑐𝑚 + 2,9𝑐𝑚 = 6,25 𝑐𝑚 
Arredondado o valor resultante para o inteiro mais próximo, temos: 
ℎ = 6 𝑐𝑚 
 
Para a laje L8: (𝑑 ≅ 3,80 𝑐𝑚) 
ℎ = 𝑑 + 2,9𝑐𝑚 = 3,80𝑐𝑚 + 2,9𝑐𝑚 = 6,70 𝑐𝑚 
Arredondado o valor resultante para o inteiro mais próximo, temos: 
ℎ = 7 𝑐𝑚 
 
Para a laje L13: (𝑑 ≅ 6,90 𝑐𝑚) 
ℎ = 𝑑 + 2,9𝑐𝑚 = 6,90𝑐𝑚 + 2,9𝑐𝑚 = 9,80 𝑐𝑚 
Arredondado o valor resultante para o inteiro mais próximo, temos: 
ℎ = 10 𝑐𝑚 
 
Tabela resumo do pré-dimensionamento das alturas das lajes em estudo: 
16 
 
 
Laje lx (cm) ly (cm) λ 0,7ly (cm) l' (m) n d (cm) h (cm) h adotado 
L4 113,5 245,0 2,16 171,50 1,135 3 2,50 6,00 10 
L5 145,0 363,5 2,51 254,40 1,450 2 3,35 6,00 10 
L6 258,5 363,5 1,41 254,50 2,545 2 5,85 9,00 10 
L8 230,0 245,0 1,06 171,50 1,715 3 3,80 7,00 10 
L13 408,5 410,0 1,00 287,00 2,870 1 6,90 10,00 10 
L14 258,5 408,5 1,58 286,00 2,585 2 5,95 9,00 10 
Tabela 1 
Neste trabalho, será adotado para a altura de todas as lajes, ℎ = 10 𝑐𝑚. O que atende 
ao item 13.2.4.1 da NBR 6118:2014. 
 
5.4. VÃO EFETIVO 
 
Os vãos teóricos das lajes nas direções principais (NBR 6118, item 14.6.2.4), 
considerando que os apoios são suficientemente rígidos na direção vertical, devem ser 
calculados pela expressão: 
𝑙௘௙ = 𝑙଴ + 𝑎ଵ + 𝑎ଶ 
Para todas as lajes: 
𝑎ଵ = 𝑎ଶ ≤ ൝
𝑡1
2
=
𝑡2
2
=
0,20 𝑚
2
= 0,10 𝑚
0,3 × ℎ = 0,3 × 0,1 𝑚 = 0,03 𝑚
 
∴ 𝑎ଵ = 𝑎ଶ = 0,03 𝑚 
Então, 
𝑙௘௙ = 𝑙଴ + 0,03 + 0,03 
𝑙௘௙ = 𝑙଴ + 0,06 
 
Para laje L6: 
𝑙௘௙௫ = (2,585 + 0,06) = 2,645 𝑚 
𝑙௘௙௬ = (3,635 + 0,06) = 3,695 𝑚 
 
Para laje L14: 
𝑙௘௙௫ = (2,585 + 0,06) = 2,645 𝑚 
𝑙௘௙௬ = (4,085 + 0,06) = 4,145 𝑚 
17 
 
Demais lajes: 
Para a laje L4: (𝑙௬ = 2,450 𝑚; 𝑙௫ = 1,135 𝑚 ) 
𝑙௘௙௫ = (1,135 + 0,06) = 1,195 𝑚 
𝑙௘௙௬ = (2,450 + 0,06) = 2,510 𝑚 
 
Para a laje L5: (𝑙௬ = 3,635 𝑚; 𝑙௫ = 1,450 𝑚 ) 
𝑙௘௙௫ = (1,450 + 0,06) = 1,510 𝑚 
𝑙௘௙௬ = (3,635 + 0,06) = 3,695 𝑚 
 
Para a laje L8: (𝑙௬ = 2,450 𝑚; 𝑙௫ = 2,300 𝑚 ) 
𝑙௘௙௫ = (2,300 + 0,06) = 2,360 𝑚 
𝑙௘௙௬ = (2,450 + 0,06) = 2,510 𝑚 
 
Para a laje L13: (𝑙௬ = 4,100 𝑚; 𝑙௫ = 4,085 𝑚 ) 
𝑙௘௙௫ = (4,085 + 0,06) = 4,145 𝑚 
𝑙௘௙௬ = (4,100 + 0,06) = 4,160 𝑚 
 
Tabela resumo dos vãos efetivos das lajes em estudo: 
 
Laje lx (cm) ly (cm) λ Tipo Observação 
L4 119,5 251,0 2,10 5A laje armada em uma direção 
L5 151,0 369,5 2,45 3 laje armada em uma direção 
L6 264,5 369,5 1,40 3 laje armada em duas direções 
L8 236,0 251,0 1,06 5B laje armada em duas direções 
L13 414,5 416,0 1,00 2A laje armada em duas direções 
L14 264,5 414,5 1,57 3 laje armada em duas direções 
Tabela 2 
 
5.5.AÇÕES A CONSIDERAR 
 
5.5.1. Peso Próprio 
É obtido multiplicando o peso específico do concreto pela espessura da laje. O peso 
específico do concreto, assim como o de vários outros materiais, encontra-se na Tabela 1 da 
NBR 6120, mostrado na Figura 7, a seguir: 
18 
 
 
Figura 7 
 
Para lajes com espessura constante o peso próprio é uniformemente distribuído na área 
da laje, e para um metro quadrado de laje tem-se: 
𝑃௣ = 𝛾௖௢௡௖௥௘௧௢ ௔௥௠௔ௗ௢ × ℎ = 25𝑘𝑁/𝑚ଷ × 0,10 𝑚 
𝑃௣ = 2,50 𝑘𝑁/𝑚ଶ 
 
5.5.2. Contrapiso 
 
É a camada de argamassa colocada logo acima do concreto da superfície superior das 
lajes, também conhecido como argamassa de regularização. 
A espessura adotada é de 4 cm (não deve ser inferior a 3 cm) e a argamassa é de cimento 
e areia. 
𝑝௖ = 𝛾௖ × ℎ௖ = 21𝑘𝑁/𝑚ଷ × 0,04 𝑚 
𝑝௖ = 0,84𝑘𝑁/𝑚ଶ 
 
 
 
19 
 
5.5.3. Piso 
 
É o revestimento final na superfície superior da laje, assentado sobre a argamassa de 
regularização. 
Os mais comuns são os de madeira, de cerâmica, carpetes ou forrações, e de rochas, 
como granito e mármore. 
Usa-se o tipo mais desfavorável (granito/mármore) cujo peso específico é 28 kN/m³ e a 
espessura do piso de 2 cm. 
𝑝௣ = 𝛾௣ × ℎ௣ = 28 𝑘𝑁/𝑚ଷ × 0,02 𝑚 
𝑝௣ = 0,56 𝑘𝑁/𝑚2 
Somando a contribuição do contrapiso e do piso tem-se uma carga de: 
𝑝 = 𝑝𝑐 + 𝑝௣ = (0,84 + 0,56)𝑘𝑁/𝑚
2 
𝑝 = 1,4𝑘𝑁/𝑚2 
Assim, arredonda-se este valor para 1,5 kN/m². 
 
5.5.4. Revestimento do Teto 
 
Na superfície inferior das lajes (teto do pavimento inferior) é padrão executar-se uma 
camada de revestimento de argamassa de cal cimento e areia. 
Este revestimento tem pequena espessura, e recomenda-se adotar um valor não inferior 
a 1,5 cm. Admitindo uma espessura de 2 cm, tem-se: 
𝑝௥ = 𝛾௥ × ℎ௥ = 19 𝑘𝑁/𝑚ଷ × 0,02 𝑚 
𝑝௥ = 0,38 𝑘𝑁/𝑚ଶ 
 
5.5.5. Carga Acidental 
 
Os valores mínimos destas cargas se encontram na Tabela 2 da NBR 6120, e para 
edifícios residenciais tem-se: 
 
 
Figura 8 
20 
 
Analisando a viga contínua de cálculo V18 (Figura 3), que será a viga de estudo, 
observa-se que as lajes que transmitem cargas para a viga são a L6 e a L14, onde estão os 
dormitórios, logo: 
𝑞௔ = 1,5 𝑘𝑁/𝑚ଶ 
 
Para as demais lajes, será realizado o levantamento de carga a fim de obter o carregamento das 
vigas V3, V6, V13 e V17, pois serão necessárias no carregamento do pilar P11, o qual será estudado 
mais à frente, na última etapa deste projeto. 
 
5.5.6. Carga da Parede 
 
As lajes que recebem carga de paredes são as lajes L5, L13 e L14. Vejamos: 
 
Para a Laje L5 (Armada em uma direção) 
 
Para laje armada em uma direção há dois casos a serem analisados, em função da 
disposição da parede sobre a laje. Neste trabalho utilizaremos apenas um dos casos. Então, para 
a laje L5 temos o caso de parede com direção paralela à direção principal da laje (direção do 
menor vão), considera-se simplificadamente a carga da parede distribuída uniformemente numa 
área da laje adjacente à parede, com largura de 2/3 𝑙௫, como mostrado na Figura 9. 
 
Figura 9 
Assim, a região II tem a largura determinada como: 
𝑙 =
2
3
𝑙௫ =
2
3
(1,51m) = 1,01 𝑚 
 
 Para a região II da laje L5: (região da parede) 
𝑔௣௔௥ =
3𝑃௣௔௥
2𝑙௫
ଶ 
21 
 
Onde: 
 
𝑔௣௔௥ = carga uniforme da parede na laje (kN/m²); 
𝑃௣௔௥ = peso da parede (kN/m²); 
𝑙௫ = menor vão da laje (1,51 m); 
l = comprimento total de parede (medido em planta: 1,50m); 
 
𝑔௣௔௥ =
3. [(13𝑘𝑁/𝑚³). (0,13𝑚). (2,80𝑚). (1,50𝑚)]
2. (1,51𝑚)²
= 4,669𝑘𝑁/𝑚² 
 
 Para a região I da laje L5: 
 
 Vimos que para a laje L5 existem duas regiões com carregamentos diferentes. Na região 
I não ocorre a carga de parede, que fica limitada apenas à região II. A ação da laje na região 
I está na Tabela 3, juntamente com as demais ações das lajes. 
 
Para a Laje L13 (Armada em duas direções) 
 
A equação básica para cálculo as cargas das paredes sobre as lajes armadas em duas 
direções, é: 
 
𝑔௣௔௥ =
𝑃௣௔௥
𝐴௟௔௝௘
=
𝛾௔௟௩. 𝑒. ℎ. 𝑙
𝐴௟௔௝௘
 
Onde: 
 
𝛾௔௟௩ = peso específico da parede de alvenaria (adotando 13kN/m³); 
e= espessura da parede (adotando 0,13 m); 
h = altura da parede (adotando 2,80 m); 
l = comprimento total de parede (medido em planta: 1,50m); 
Alaje = área da laje, considerando os vãos efetivos ( 4,145m x 4,160m = 17,243m² ) 
 
Então, 
𝑔௣௔௥ =
(13𝑘𝑁/𝑚³). (0,13𝑚). (2,80𝑚). (1,50𝑚)
17,243𝑚²
= 0,412𝑘𝑁/𝑚² 
 
A soma de todos os carregamentos calculados acima equivale ao carregamento total 
atuando na laje. 
 
22 
 
Para a Laje L14 (Armada em duas direções) 
 
Trata-se, também, de uma laje armada em duas direções assim como na laje L13, logo: 
 
𝑔௣௔௥ =
𝛾௔௟௩. 𝑒. ℎ. 𝑙
𝐴௟௔௝௘
 
Onde: 
 
𝛾௔௟௩ = peso específico da parede de alvenaria (adotando 13kN/m³); 
e = espessura da parede (adotando 0,13 m); 
h = altura da parede (adotando 2,80 m); 
l = comprimento total de parede (medido em planta: 2,30m); 
Alaje = área da laje, considerando os vãos efetivos (2,645m x 4,145m = 10,964m²) 
 
Então, 
𝑔௣௔௥ =
(13𝑘𝑁/𝑚³). (0,13𝑚). (2,80𝑚). (2,30𝑚)
10,964𝑚²
= 0,992𝑘𝑁/𝑚² 
 
A soma de todos os carregamentos calculados acima equivale ao carregamento total 
atuando na laje. A seguir, a Tabela 3 mostra um resumo das ações das lajes. 
 
Laje h (cm) Peso Próprio 
Revest. 
Inferior Piso Parede 
Perman. 
Total Variável 
Total 
(kN/m²) 
L4 10 2,5 0,38 1,5 - 4,38 1,5 5,88 
L5 10 2,5 0,38 1,5 
- 4,38 1,5 5,88 
4,67 9,05 1,5 10,55 
L6 10 2,5 0,38 1,5 - 4,38 1,5 5,88 
L8 10 2,5 0,38 1,5 - 4,38 1,5 5,88 
L13 10 2,5 0,38 1,5 0,41 4,79 1,5 6,292 
L14 10 2,5 0,38 1,5 0,99 5,37 1,5 6,872 
Tabela 3 
 
5.6. REAÇÕES DE APOIO 
 
As reações de apoio das lajes armadas em duas direções nas vigas de borda estão 
calculadas e mostradas na Tabela 4. O cálculo das reações foi realizado com aplicação da 
equação abaixo, para as lajes armadas em duas direções e utilizando as tabelas A-5 até A-7 
(Anexos A, B e C), elaborada por PINHEIRO (1994) conforme NBR 6118. 
23 
 
 
𝑉 = 𝜈
𝑝. 𝑙௫
10
 
Onde: 
 
V = reação de apoio (kN/m); 
𝜈 = coeficiente tabelado em função de λ = 𝑙௬ /𝑙௫ , onde: 
𝜈 ௫ = reação nos apoios simples perpendiculares à direção de 𝑙௫; 
𝜈 ௬ = reação nos apoios simples perpendiculares à direção de 𝑙௬; 
𝜈′ ௫= reação nos apoios engastados perpendiculares à direção de 𝑙௫; 
𝜈′ ௬ = reação nos apoios engastados perpendiculares à direção de 𝑙௬; 
p = valor da carga uniforme atuante na laje (kN/m2); 
𝑙௫ = menor vão da laje (m). 
 
A Tabela 4 mostra as reações de apoio nas vigas de borda das lajes armadas em duas 
direções em kN/m: 
 
Laje Tipo lx (m) λ p (kN/m²) νx ν'x νy ν'y Vx V'x Vy V'y 
L6 3 2,645 1,40 5,88 2,78 4,08 2,17 3,17 4,32 6,35 3,37 4,93 
L8 5B 2,360 1,06 5,88 - 3,12 1,71 2,50 - 4,33 2,37 3,47 
L13 2A 4,145 1,00 6,29 1,83 - 2,75 4,02 4,77 - 7,17 10,48 
L14 3 2,645 1,57 6,87 2,95 4,32 2,17 3,17 5,36 7,85 3,94 5,76 
Tabela 4 
 
No caso das lajes armadas em uma direção (L4 e L5), as reações de apoio devem ser 
calculadas supondo as lajes com vigas segundo a direção do vão principal. Vejamos: 
 
Para a laje L4: 
 
Esquema estático, carregamento e esforços solicitantes característicos na laje L4, com 
auxílio da ferramenta Ftool: 
24 
 
 
Figura 10 
 
Para a laje L5: 
 
Divisão da laje L5 em regiões com carga de parede e sem carga de parede 
 
Figura 11 
Esquema estático, carregamento e esforços solicitantes na região I da laje L5, com 
auxílio da ferramenta Ftool: 
25 
 
 
Figura 12 
 
Esquema estático, carregamento e esforços solicitantes na região II da laje L5, com 
auxílio da ferramenta Ftool: 
 
 
Figura 13 
26 
 
Na Figura 14, temos as reações de apoio das lajes L6 e L14, indicadas no desenho 
esquemático, pois são estas as lajes que carregam a viga V18, que é a viga de estudo da segunda 
parte deste trabalho. 
 
 
Figura 14 
 
Daqui em diante, trabalharemos apenas com as informações das lajes L6 e L14 que 
interessam ao dimensionamento da viga V18, sendo finalizado os estudos para as demais lajes, 
neste trabalho. Lembrando, também, que para este projeto temos o completo dimensionamento 
e detalhamento, apenas da laje L6. 
 
 
 
27 
 
5.7. MOMENTOS FLETORES SOLICITANTES 
 
Os momentos fletores solicitantes nas lajes armadas em duas direções podem ser 
facilmente calculados com auxílio de uma planilha eletrônica. Os momentos fletores das lajes 
armadas em duas direções foram calculados conforme a equação logo abaixo e consultando a 
Tabela A-9 (Anexo D). Os resultados encontram-se mostrados na Tabela 5. 
 
𝑀 = 𝜇
𝑝. 𝑙௫
ଶ
100
 
Onde: 
 
M = momento fletor (kN.m/m); 
𝜇 = coeficiente tabelado, de acordo com cada tipo de laje e em função de λ = 𝑙௬ /𝑙௫ , 
sendo: 
𝜇 ௫ e 𝜇 ௬= coeficientes para cálculo dos momentos fletores positivos atuantes nas 
direções paralelas a 𝑙௫ e 𝑙௬ , respectivamente; 
𝜇′ ௫ e 𝜇′ ௫ = coeficientes para cálculo dos momentos fletores negativos atuantes nas 
bordas perpendiculares às direções 𝑙௫ e 𝑙௬ , respectivamente; 
p = valor da carga uniforme ou triangular atuante na laje (kN/m2); 
𝑙௫ = menor vão da laje (m). 
 
Foram utilizadas as tabelas desenvolvidas por Barés e adaptadas por PINHEIRO (1994). 
As tabelas servem para o cálculo dos momentos fletores em lajes retangulares com apoios nas 
quatro bordas. 
A seguir, a Tabela 5 mostra os momentos fletores solicitantes (característicos) nas lajes 
armadas em duas direções em kN.m/m: 
 
Laje Tipo lx (m) λ p (kN/m²) μx μ'x μy μ'y Mx M'x My M'y 
L6 3 2,645 1,4 5,88 2,78 4,08 2,17 3,17 1,14 1,68 0,89 1,30 
L14 3 2,645 1,57 6,87 2,95 4,32 2,17 3,17 1,42 2,08 1,04 1,52 
Tabela 5 
 
Os momentos fletores característicos (Mk – em kN.cm/m) estão plotados na Figura 15, 
conforme os valores contidos na Tabela 5. 
28 
 
 
Figura 15 
 
5.8. DIMENSIONAMENTO 
 
Conforme os valores constantes na Tabela 7.2 da NBR 6118:2014, e classe de 
agressividade ambiental II com Δc de 10 mm, para cálculo das armaduras positivas foi 
considerado o cobrimento nominal de 2,5 cm, e para as armaduras negativas o cobrimento 
nominal foi reduzido para 2,0 cm, de acordo com a possibilidade apresentada na nota da Tabela 
7.2 da norma. Considerando armadura composta por barras com diâmetro de 10 mm, e que d = 
h – c – ∅௟ /2, a altura útil d é: 
 
𝑑 = ℎ − 2,5𝑐𝑚 − ଵ
ଶ
= ℎ − 3𝑐𝑚, para os momentos fletores positivos; 
29 
 
 
𝑑 = ℎ − 2,0𝑐𝑚 − ଵ
ଶ
= ℎ − 2,5𝑐𝑚, para os momentos fletores negativos; 
 
De acordo com a Tabela 19.1 da NBR 6118:2014, a armadura mínima, negativa para 
lajes armadas em uma ou duas direções, deve ter: ρs ≥ ρmín. Para o concreto C25, a taxa de 
armadura mínima (Tabela 17.3 da NBR 6118:2014) é: 
 
ρ௠í௡ =
𝐴௦
𝑏௪ℎ
= 0,15% 
 
Fazendo bw = 100 cm a armadura mínima resulta: 
 
As,mín = 0,15h (cm2/m para h em centímetro) 
 
Para as lajes armadas em duas direções, a armadura mínima positiva deve ser 
multiplicada pelo fator 0,67, tal que: 
 
As,mín = 0,67 . 0,15h = 0,10h (cm2/m para h em centímetro) 
 
Os momentos fletores determinados para as lajes armadas em duas direções são relativos 
a faixas de largura de 1 m (100 cm), de modo que deve-se considerar bw = 100 cm. 
Considerando a altura útil de cada laje (d = h – 2,5) com ϒf = 1,4, as áreas de armadura 
resultam: 
 
L6: 
𝐾௖ =
𝑏௪𝑑ଶ
𝑀ௗ
=
100. 7,5ଶ
1,4.130
= 30,9 
 
e na Tabela A-25 (Anexo E): Ks = 0,023, domínio 2, βx = x/d = 0,02 ≤ 0,45 → ok! 
 
𝐴௦ =
𝑘௦𝑀ௗ
𝑑
=
0,023. (1,4.130)
7,5
= 0,558
𝑐𝑚ଶ
𝑚
≥ 0,15h = 0,15.10 = 1,5cmଶ/m → Falso 
Adotar As,mín =1,5cm²/m 
 
30 
 
L14: 
𝐾௖ =
𝑏௪𝑑ଶ
𝑀ௗ
=
100. 7,5ଶ
1,4.152
=26,4 
e na Tabela A-25 (Anexo E): Ks = 0,023, domínio 2, βx = x/d = 0,03 ≤ 0,45 → ok! 
 
𝐴௦ =
𝑘௦𝑀ௗ
𝑑
=
0,023. (1,4.152)
7,5
= 0,65
𝑐𝑚ଶ
𝑚
≥ 0,15h = 0,15.10 = 1,5cmଶ/m → Falso 
Adotar As,mín =1,5cm²/m 
 
Para a armadura negativa entre as duas lajes (L6 e L14): 
 
Como opção ao procedimento de compatibilização de momentos fletores, foi 
considerada a maior armadura negativa entre as bordas comuns a duas lajes contíguas, conforme 
previsto na NBR 6118. 
Das duas armaduras negativas calculadas deve ser adotada a maior, a qual será disposta 
ao longo da borda comum às duas lajes. Ou seja, 
 
As =1,5cm²/m. 
 
Continuando o cálculo da armadura para a laje L6, temos: 
 
 Armadura Negativa: 
𝐾௖ =
𝑏௪𝑑ଶ
𝑀ௗ
=
100. 7,5ଶ
1,4.168
= 23,9 
e na Tabela A-25 (Anexo E): Ks = 0,023, domínio 2, βx = x/d = 0,04 ≤ 0,45 → ok! 
 
𝐴௦ =
𝑘௦𝑀ௗ
𝑑
=
0,023. (1,4.168)
7,5
= 0,72
𝑐𝑚ଶ
𝑚
≥ 0,15h = 0,15.10 = 1,5cmଶ/m → Falso 
Adotar As,mín =1,5cm²/m 
 
 Armadura Positiva: 
𝐾௖ =
𝑏௪𝑑ଶ
𝑀ௗ
=
100. 7,5ଶ
1,4.89
= 45,1 
e na Tabela A-25 (Anexo E): Ks = 0,023, domínio 2, βx = x/d = 0,02 ≤ 0,45 → ok! 
31 
 
 
𝐴௦ =
𝑘௦𝑀ௗ
𝑑
=
0,023. (1,4.89)
7,5
= 0,38
𝑐𝑚ଶ
𝑚
≥ 0,10h = 0,10.10 = 1,0cmଶ/m → Falso 
Adotar As,mín =1,5cm²/m 
 
𝐾௖ =
𝑏௪𝑑ଶ
𝑀ௗ
=
100. 7,5ଶ
1,4.114
= 35,2 
e na Tabela A-25 (Anexo E): Ks = 0,023, domínio 2, βx = x/d = 0,02 ≤ 0,45 → ok! 
 
𝐴௦ =
𝑘௦𝑀ௗ
𝑑
=
0,023. (1,4.114)
7,5
= 0,48
𝑐𝑚ଶ
𝑚
≥ 0,10h = 0,10.10 = 1,0cmଶ/m → Falso 
Adotar As,mín =1,5cm²/m 
 
Na Figura 16 estão plotados os momentos fletores (em kN.cm/m) e as respectivas áreas 
de armadura (em cm²/m), já considerando os valores de armadura mínima. Todos os cálculos de 
armadura resultaram o domínio 2, e a relação x/d < 0,45 foi atendida em todos os casos. 
 
 
Figura 16 
 
 
 
 
32 
 
5.9. VERIFICAÇÃO DA FLECHA 
 
A flecha na laje L6, armada em duas direções, foi calculada com auxílio do coeficiente 
α, encontrado na Tabela A-1 (Anexo F). Os cálculos da flecha na laje L6 estão demonstrados 
na sequência. 
A laje L6, com λ = 1,40, é uma laje armada em duas direções. A altura da laje (h) é 10 
cm, o menor vão (lx) é de 264,5 cm, o carregamento total permanente (g) é de 4,38 kN/m², a 
ação variável (carga acidental) é de 1,5 (kN/m²). 
Para o cálculo da flecha é necessário conhecer o estádio de cálculo da seção crítica 
considerada. Para isso, devemos calcular o momento de fletor de fissuração, conforme a NBR 
6118 (item 17.3.1). 
O momento fletor de fissuração, que é aquele correspondente ao surgimento da primeira 
fissura na laje, pode ser calculado com a Equação: 
 
𝑀௥ =
𝛼𝑓௖௧𝐼௖
𝑦௧
 
Onde, 
𝛼 = 1,5 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑠𝑒çõ𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠; 
𝑓௖௞ = 25𝑀𝑃𝑎; 
𝑓௖௧ = 𝑓௖௧,௠ = 0,3ට𝑓௖௞
ଶయ = 0,3ඥ25ଶయ = 2,565 𝑀𝑃𝑎 = 0,2565 𝑘𝑁/𝑐𝑚² 
𝐼௖ =
𝑏ℎଷ
12
=
100(10)ଷ
12
= 8.333,33 𝑐𝑚ସ 
𝑦௧ =
ℎ
2
=
10
2
= 5 𝑐𝑚 
Então, 
𝑀௥ =
1,5. (0,2565𝑘𝑁/𝑐𝑚²)(8.333,33𝑐𝑚ସ)
(5 𝑐𝑚)
= 641,25𝑘𝑁. 𝑐𝑚 
 
A laje L6 tem apenas uma ação variável importante que deve ser considerada, que é a 
carga acidental de 1,5 kN/m², de modo que 𝐹ௗ,௦௘௥ coincide com o carregamento total na laje de 
5,88 kN/m². Para esse carregamento os momentos fletores positivos na área interna da laje 
resultaram 89 e 114 kN.cm, mostrados na Figura 16. Portanto, para 𝑀௔ deve-se considerar o 
maior valor (114 kN.cm). 
33 
 
Observa-se que 𝑀௔ = 114 𝑘𝑁. 𝑐𝑚 é menor que o momento fletor de fissuração, 𝑀௥ =
641,25 𝑘𝑁. 𝑐𝑚 , o que significa que a laje L6 não estará fissurada quando submetida ao 
carregamento total de 5,88 kN/m², isto é, a laje estará no estádio I em serviço, como comumente 
ocorre com as lajes maciças dimensionadas segundo a Teoria das Placas. 
A flecha imediata na laje armada em duas direções pode ser calculada pela Equação 
abaixo: 
𝑎௜ =
𝛼. 𝑝. 𝑙௫
ସ
12𝐸𝐼
 
 
Com a Tabela A-1 (Anexo F), determina-se o fator 𝛼 = 4,15 para laje do tipo 3 e 
carregamento uniformemente distribuído na área da laje. O módulo de elasticidade secante do 
concreto, para brita de granito (𝛼ா = 1,0), é: 
 
 
 
Onde, 
 
que multiplicado pelo momento de inércia fornece a rigidez à flexão da laje: 
 
𝐸𝐼 = ൬
2.408,0𝑘𝑁
𝑐𝑚ଶ
൰ . (8.333,33 𝑐𝑚ସ) = 20.066.658,64 𝑘𝑁. 𝑐𝑚² 
 
Para o carregamento p deve ser adotada a combinação quase permanente, dada pela 
equação abaixo. O fator de redução de carga 𝜓ଶ para combinação quase permanente pode ser 
adotado igual a 0,3 (locais em que não há predominância de pesos de equipamentos que 
permanecem fixos por longos períodos de tempo, nem de elevadas concentrações de pessoas - 
edifícios residenciais). 
 
 
𝑝 = 𝑔 + 𝜓ଶ𝑞 
𝑝 = 4,38 + 0,3.1,5 = 4,83𝑘𝑁/𝑚² 
 
34 
 
A flecha imediata na laje será: 
 
𝑎௜ =
(4,15). (0,000483𝑘𝑁/𝑐𝑚²). (264,5𝑐𝑚)ସ
12. (20.066.658,64 𝑘𝑁. 𝑐𝑚²)
= 0,0407 𝑐𝑚 
 
A flecha total, que leva em conta a fluência do concreto da laje, é dada pela Equação: 
𝑎௧ = 𝑎௜. (1 + 𝛼௙) 
 
O fator 𝛼௙ é dado pela Equação: 
 
 
 
onde 𝜌ᇱ é igual a zero porque na laje em questão não existe armadura comprimida 𝐴ᇱ௦ 
(armadura superior na área do centro da laje). Basta, portanto, determinar Δ𝜉, que é dado pela 
Equação: 
 
 
 
𝜉(𝑡) será adotado igual a 2,00 para o tempo t superior a 70 meses (item 17.3.2.1.2, NBR 
6118:2014). Assumindo que a carga de longa duração atuará na laje a partir de um mês após 
executada (valor conservador neste caso), na Tabela 17.1 (NBR 6118:2014) encontra-se: 𝜉(𝑡଴) 
= 0,68. Resulta para Δ𝜉 o valor: 
 
Δ𝜉 = 𝜉(𝑡) − 𝜉(𝑡଴) = 2,00 − 0,68 = 1,32 
 
Então, 
𝑎௙ =
1,32
1 + 0
= 1,32 
 
A flecha total na laje será: 
𝑎௧ = 𝑎௜. (1 + 𝛼௙) 
𝑎௧ = (0,04). (1 + 1,32) = 0,093 𝑐𝑚 
 
35 
 
Para a flecha máxima permitida na laje L6, conforme a Tabela 13.3 (NBR 6118:2014), 
pode-se considerar a “Aceitabilidade sensorial” – deslocamentos visíveis em elementos 
estruturais, onde o valor limite é l/250 = 264,5/250 = 1,06 cm. 
Quanto à possibilidade de vibração devido a cargas acidentais, o limite é l/350 = 
264,5/350 = 0,76 cm. Como não existe parede apoiada na laje L6, a flecha máxima para este 
caso não necessita ser considerada. 
A flecha resultante, de 0,093 cm, é menor que as flechas máximas permitidas, o que 
significa que a laje L6 poderia ter uma altura um pouco menor. Porém, deve-se evitar a 
ocorrência de flechas elevadas, visando impedir o surgimento de vibrações indesejáveis, que 
prejudicam o conforto dos usuários. 
 
5.10. VERIFICAÇÃO DA FORÇA CORTANTE 
 
Raramente as lajes maciças de edifícios residenciais necessitam de armadura 
transversal para resistir às forças cortantes. Contudo, será verificada para a laje L6. 
Será considerado a maior reação de apoio característica de 6,35 kN/m. Para não ser 
necessária a armadura transversal deve-se ter: 
 
𝑉௦ௗ ≤ 𝑉ோௗଵ (𝛾௙ = 1,4) 
𝑉௦ௗ = 𝛾௙ . 𝑉௞ = 1,4. (6,35) = 8,89 𝑘𝑁/𝑚 
 
A força cortante máxima que pode ser resistida 𝑉ோௗଵ é: 
 
 
onde, 
 
com 𝑓௖௞ = 25𝑀𝑃𝑎. 
 
Consultando a Tabela A-26 (Anexo G), temos que a área de armadura positiva 
especificada para a laje L6 é Ø 6,3 mm c/20 cm (ver Figura 18), o que representa 1,58 cm2, e 
altura útil da armadura positiva é d = h – 3,0 = 10 – 3,0 = 7 cm. Com 𝑏௪ = 100 cm: 
 
36 
 
𝜌ଵ =
𝐴௦ଵ
𝑏௪𝑑
≤ 0,02 
𝜌ଵ =
1,56
100. (7)
= 0,0022 ≤ 0,02 → 𝑜𝑘 
 
Considerando que 100 % da armadura positiva chega até a viga de apoio: 
 
𝑘 = |1,6 − 𝑑| = |1,6 − 0,07| = 1,53 > 1 → 𝑜𝑘𝑉ோௗଵ é: 
𝑉ோௗ = [0.03206 . (1,53). (1,2 + 40 . 0,0022)]. 100 . 7 = 44,23 𝑘𝑁/𝑚 
 
Portanto, 𝑉௦ௗ = 8,89 𝑘𝑁/𝑚 < 𝑉ோௗଵ = 44,23 𝑘𝑁/𝑚 , o que significa que não é necessário 
colocar armadura transversal na laje L6. 
 
5.11. DETALHAMENTO DAS ARMADURAS 
 
Diâmetro e espaçamento das barras 
 
A escolha do diâmetro e espaçamento das barras, positivas e negativas, pode ser feita 
com auxílio da Tabela A-26 (Anexo G), em função das áreas de armadura apresentadas na 
Figura 16. 
 
a) armaduras positivas da laje L6 1,50 e 1,50 cm²/m (Adotando Ø 6,3 mm) 
 
- 1,50 cm²/m  Ø 6,3 mm c/20 = 1,58 cm²/m 
 
b) armadura negativa de 1,50 cm²/m da laje L6 (Adotando Ø 8,0 mm) 
 
- 1,50 cm²/m  Ø 8,0 mm c/33 = 1,52 cm²/m 
 
Comprimento das barras das armaduras negativas 
 
Considerando o arranjo 3 mostrado na Figura 17, para a extensão da armadura negativa 
nos apoios com continuidade entre lajes. 
37 
 
: 
 
Figura 17 
 
a) Armadura negativa (N2) na borda comum entre as lajes L6 e L14 (1,50 cm²/m – ver Figura 
16) 
 
Para definir o comprimento da barra inicialmente pode-se calcular: 
 
𝑐 = 0,25𝑙௫ + 𝑙௕ = 0,25. (264,5) + 21 = 87,125 𝑐𝑚 
 
Onde: 
c = comprimento da barra do arranjo 3 de um lado da viga; 
𝑙௫ = maior vão entre os menores vãos das duas lajes. No caso das lajes L6 e L14 os 
vão menores são iguais a 264,5 cm; 
𝑙௕ = 21 cm: comprimento de ancoragem da barra Ø 8 mm, com gancho, região de boa 
aderência e C25, determinado na Tabela A-27 (Anexo H). 
 
O valor calculado para c deve ser, preferencialmente, arredondado para múltiplo de 10, 
de modo que a barra terá 90 cm de comprimento de um lado da viga e a metade desse valor do 
outro. O comprimento total da barra será: 
 
C = 90 + (90/2) + 7 + 7 = 149 cm 
 
O comprimento do gancho deve ser definido em função do cobrimento da armadura. No 
caso foi adotado como 𝑙௚௔௡௖௛௢ = h – 3 cm. (onde h =10 cm para ambas as lajes) 
38 
 
 
a.1) Armadura negativa (N1) na borda comum entre as lajes L5 e L6 (1,50 cm²/m) 
𝑐 = 0,25𝑙௫ + 𝑙௕ = 0,25. (165) + 21 = 62,25 𝑐𝑚 ∴ 𝑐 = 60 𝑐𝑚 
𝑙௫ ≥ ൜
165
264,5 ∴ 𝑙௫ = 165 
 
𝑙௕ = 21 cm: comprimento de ancoragem da barra Ø 8 mm, com gancho, região de boa 
aderência e C25, determinado na Tabela A-27 (Anexo H). 
 
Fazendo o valor múltiplo de 10 mais próximo (140 cm) como comprimento da barra de 
um lado da viga, o comprimento total da barra será: 
 
C = 60 + (60/2) + 7 + 7 = 104 cm 
 
b) Simplificadamente, todas as armaduras positivas foram estendidas 100 % até os apoios. O 
critério utilizado para definir o comprimento foi de estender as barras 5 cm além do eixo das 
vigas internas, e até a face externa das vigas de periferia do edifício, menos 2 cm para considerar 
o cobrimento (c) na extremidade (ponta) da barra pelo concreto. 
 
Para a barra N1 da armadura positiva: 
 
C = 279 + 8 + 5 = 292 cm 
 
Onde 279 cm é a distância de eixo a eixo das vigas até onde a barra estende-se, 8 cm é 
quanto a barra adentra a viga vertical do lado direito, e 5 cm além do eixo da viga interna do 
lado esquerdo. 
 
Para a barra N2 da armadura positiva: 
 
C = 384 + 8 + 5 = 397 cm 
 
 
 
 
39 
 
Quantidade de barras 
As quantidades de barras, como indicadas nas cotas (setas) das armaduras positivas e 
negativas (Figura 18 e Figura 19), são calculadas dividindo-se o comprimento da cota, 
geralmente de face à face das vigas de apoio das lajes, pelo espaçamento das barras da 
armadura. 
 
Armaduras positivas: 
 
A barra N1 da armadura positiva da laje L6 está disposta entre as faces das vigas, na 
extensão de 363,5 cm, que dividido por 20 cm (espaçamento das barras), resulta a quantidade 
de 18,18, que deve ser arredondado para o inteiro mais próximo, portanto, 18 barras. 
 
A barra N2 da armadura positiva da laje L6 está disposta entre as faces das vigas, na 
extensão de 258,5 cm, que dividido por 20 cm (espaçamento das barras), resulta a quantidade 
de 12,93, que deve ser arredondado para o inteiro mais próximo, portanto, 13 barras. 
 
Armaduras negativas: 
 
A barra N1 da armadura negativa da laje L6 está disposta entre as faces das vigas, na 
extensão de 363,5 cm, que dividido por 33 cm (espaçamento das barras), resulta a quantidade 
de 11,02, que deve ser arredondado para o inteiro mais próximo, portanto, 11 barras. 
 
A barra N2 da armadura negativa da laje L6 está disposta entre as faces das vigas, na 
extensão de 258,5 cm, que dividido por 33 cm (espaçamento das barras), resulta a quantidade 
de 7,83, que deve ser arredondado para o inteiro mais próximo, portanto, 8 barras. 
 
 
 
 
 
 
 
 
40 
 
Detalhamento da armadura positiva da laje L6: 
 
 
Figura 18 
 
Especificação das barras “positivas” para a laje L6: 
 
Nº Ø Quant. 
Comprimento 
Unit. (cm) Total (m) 
1 6,3 18 292 52,60 
2 6,3 13 397 51,61 
Tabela 6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
41 
 
Detalhamento da armadura negativa da laje L6: 
 
 
Figura 19 
 
Especificação das barras “negativas” para a laje L6: 
 
Nº Ø Quant. 
Comprimento 
Unit. (cm) Total (m) 
1 8 11 104 22,88 
2 8 8 149 23,84 
Tabela 7 
 
 
 
 
 
 
 
 
42 
 
REFERÊNCIAS 
 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118: projeto de 
estruturas de concreto – procedimento. Rio de Janeiro, 2014. 
 
 
BASTOS, P. S. S. Estruturas de Concreto I: Lajes de Concreto, agosto de 2015. 113 f. 
Notas de Aula. 
 
______. ______. Disponível em: <http://wwwp.feb.unesp.br/pbastos/>. Acesso em: 12 jun. 
2018. 
 
 
43 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANEXOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
44 
 
ANEXO A 
 
 
 
 
45 
 
ANEXO B 
 
 
 
 
46 
 
ANEXO C 
 
 
 
 
47 
 
ANEXO D 
 
 
 
 
48 
 
ANEXO E 
 
 
 
49 
 
ANEXO F 
 
 
 
 
50 
 
ANEXO G 
 
 
 
 
51 
 
ANEXO H