3ª, 4ª e 5ª Aulas Bioestatistica JRodrigo

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Prof.: Dr. José Rodrigo de Moraes 
(GET/UFF)
Prof.: José Rodrigo de Moraes (GET/UFF) 
- Estatístico (ENCE), Mestre em 
Estatística Social (ENCE) e Doutor em 
Saúde Coletiva (IESC/UFRJ) 1
1
Bioestatística 
Aplicada à Farmácia
(3ª, 4ª e 5ª Aulas)
Prof.: Dr. José Rodrigo de Moraes
2
Medidas de Posição 
3
Agora vocês vão aprender como obter algumas medidas 
estatísticas consideradas importantes para efetuar a análise 
descritiva (ou exploratória) dos dados.
É importante destacar que: as fórmulas a serem utilizadas 
para o cálculo de medidas estatísticas (média, mediana, 
moda, variância, desvio-padrão, coeficiente de variação, 
etc.) depende se os dados estão ou não agrupados, mas 
nesse curso se concentramos no cálculo de medidas 
estatísticas para dados não agrupados (com exceção da 
média que também será calculada para dados agrupados).
4
� Dados agrupados:
� Tabela de distribuição de freqüências simples (sem 
intervalos de classes).
� Tabela de distribuição de freqüências com intervalos de 
classes.
� Dados não agrupados:
Lista de valores (ordenados ou não).
5
Medidas de Posição:
Polígonos de freqüência das distribuições dos pesos (em kg) 
de um grupo de homens e mulheres:
Peso (Kg) Homens Mulheres
 35 40 - 1
 40 45 - 5
 45 50 1 27
 50 55 2 31
 55 60 9 15
 60 65 18 8
 65 70 9 2
 70 75 5 1
 75 80 2 -
 80 85 1 -
 85 90 2 -
 90 95 1 - 0
5
10
15
20
25
30
35
30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100
Peso (kg)
N
º 
d
e
 in
d
iv
íd
u
o
s
Mulheres
Homens
Que conclusões podemos tirar 
com base nos polígonos ?
6
Medidas de Posição
As medidas de posição são medidas estatísticas utilizadas 
para representar um conjunto de dados fornecendo 
informações sobre a posição da distribuição em relação ao 
eixo das abscissas (eixo em que se representa os valores 
da variável em estudo). 
As medidas de posição são classificadas em :
� Medidas de Tendência Central: fornecem o valor do 
ponto em torno do qual os dados se distribuem. 
Exs: Média, Mediana e Moda. 
� Separatrizes: Quartis, Decis e Percentis.
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Média:
Ponto de equilíbrio de um conjunto de dados.
Histograma para a variável peso (kg)
N
º 
d
e
 in
d
iv
íd
u
o
s
30
20
10
0
40 50 60 70 80 90 100 
95,071,058,555,050,0
87,070,058,055,050,0
86,068,558,054,549,2
85,266,058,054,549,0
84,063,558,054,049,0
80,963,057,852,548,0
75,060,057,052,047,4
73,060,056,052,047,0
73,060,055,051,647,0
72,859,055,050,544,0
Peso (em kg) de n=50 
indivíduos 
60,7 kg (peso médio)
Como calcular 
o peso médio ?
8
Média Aritmética - Dados Não Agrupados:
A média aritmética de X, representada por , é definida por:
onde:
n → número total de valores da variável X (tamanho da amostra).
xi → i-ésimo valor da variável X.
Exemplo resolvido: Suponha que uma amostra de dez 
pacientes internados num hospital devido a doenças crônicas 
foi selecionada e o número de medicamentos de uso contínuo 
(MUC) usados foi registrado: 3, 2, 3, 0, 2, 1, 3, 1, 2, 3. 
Determine a média e interprete-a.
n
x
x
n
i
i∑
== 1
x
9
Resolução do exemplo:
X → número de medicamentos de uso contínuo (MUC)
valores da variável X: 3, 2, 3, 0, 2, 1, 3, 1, 2, 3
n=10 pacientes
MUC2
10
20
10
3213120323
x
10
xxx
n
x
x 1021
n
1i
i
==
+++++++++
=
+++
==
∑
= L
10
Média Aritmética - Dados Não Agrupados:
Exercício 1: Suponha que em um posto de vacinação, 
obteve informações sobre o tempo (em meses) no qual cinco 
mães alimentaram seus filhos (recém-nascidos) 
exclusivamente com leite materno (AME): 3, 4, 5, 6 e 10. 
a) Qual a variável em estudo? Classifique - a.
b) Qual o tempo médio de AME ? 
Exercício 2: As notas de uma aluna em seis provas da 
disciplina “Epidemiologia Social”, cuja média mínima para 
aprovação é 6,0, foram: 8,4; 9,1; 7,2; 5,0; 6,0 e 4,0. 
Pergunta-se: qual a situação da aluna ? Justifique a sua 
resposta.
Resps.: Ex.1 – b): 5,6 meses Ex.2: 6,6
11
Propriedades gerais da média aritmética: 
1ª) A soma algébrica dos desvios dos valores de uma 
variável tomados em relação à média aritmética do 
conjunto de valores é zero.
2ª) Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante 
arbitrária a cada um dos valores da variável, a média 
aritmética resultante fica somada (ou subtraída) por essa 
constante. 
3ª) Multiplicando-se (ou dividindo-se) cada valor da 
variável por uma constante arbitrária, a média aritmética 
resultante fica multiplicada (ou dividida) por essa 
constante.
12
Exemplo resolvido: Considerando o exemplo do número 
de medicamentos de uso contínuo (MUC) tomados por 
dez pacientes (n=10): 3, 2, 3, 0, 2, 1, 3, 1, 2, 3.
a) Qual o número médio de medicamentos de uso 
contínuos tomados ? Já calculamos e foi igual a 2.
b) Qual o valor da soma dos desvios dos números de 
MUC tomados por cada paciente em relação ao número 
médio de MUC ? Mostre.
c) Somando 1 unidade ao número de MUC de todos os 
pacientes, o que ocorrerá com a nova média ? Mostre.
d) Se dobrasse o número de MUC de todos pacientes, o 
que ocorrerá com a nova média? Mostre.
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Resolução do exemplo:
X → número de medicamentos de uso contínuo (MUC)
valores da variável X: 3, 2, 3, 0, 2, 1, 3, 1, 2, 3
n=10 pacientes
b) Qual o valor da soma dos desvios dos números de 
MUC tomados por cada paciente em relação ao número 
médio de MUC ? Mostre.
14
Resolução do exemplo:
c) Somando 1 unidade ao número de MUC de todos os 
pacientes, o que ocorrerá com a nova média ? Mostre.
valores da variável X: 3, 2, 3, 0, 2, 1, 3, 1, 2, 3
valores da variável Y: 4, 3, 4, 1, 3, 2, 4, 2, 3, 4
15
Resolução do exemplo: 
d) Se dobrasse o número de MUC de todos pacientes, o 
que ocorrerá com a nova média? Mostre.
valores da variável X: 3, 2, 3, 0, 2, 1, 3, 1, 2, 3
valores da variável Y: 6, 4, 6, 0, 4, 2, 6, 2, 4, 6
16
Média Aritmética - Dados Agrupados:
Quando os dados estão agrupados numa distribuição de 
freqüência simples a média aritmética é o somatório dos 
(distintos) valores x
1
, x
2
, ..., x
k
da variável X multiplicados pelas 
suas respectivas freqüências simples f
1
, f
2
, ..., f
k
, dividido pelo 
número total de valores. Neste caso, a média aritmética é dada 
por:
onde:
xi → i-ésimo distinto valor da variável X.
fi → freqüência simples do i-ésimo distinto valor da variável X.
k → número de distintos valores da variável X.
n → número total de valores (tamanho da amostra):
n
fx
x
k
i
ii∑
== 1
∑
=
=
k
i
ifn
1
17
Exemplo: Considerando a distribuição de frequência abaixo, 
pede-se:
a) Determine a variável em estudo e classifique-a.
b) Determine a média aritmética e interprete-a.
c) Determine as freqüências relativas, as frequências absolutas 
acumuladas e as frequências relativas acumuladas. Interprete 
as seguintes freqüências: f2, fr3, Fr4 e %Fr2.
38
57
66
55
14
Nº de mães
duração do AME 
(em meses)
Resp.: 6,2
18
Exemplo – Distribuição de frequência simples:
a) X→ _____________________________________________
b) .
Total
38
57
66
55
14
xi fiNº de mães (fi)
duração do AME 
(xi)
===
∑
= 
n
fx
x
k
i
ii
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Exercício: Durante o mês de setembro de um determinado 
ano, o número de acidentes por dia em certo trecho de uma 
rodovia é apresentado na tabela abaixo:
Pede-se:
a) Determine a variável em estudo e classifique-a.
b) Determine a média aritmética e interprete-a.
c) Determine as freqüências relativas, as frequências 
absolutas acumuladas e as relativas acumuladas.
26
25
53
72
91
50
Nº de diasNº de acidentes
Resp.: 2
20
Média Aritmética Simples - Dados Agrupados:
Quando os dados estão agrupados numa distribuição de 
freqüência com intervalos de classes a média aritmética é o 
somatório dos pontos médios de cada intervalo de classe 
x
1
, x2, ..., xk multiplicados pelas suas respectivas freqüências 
simples f1, f2, ..., fk, dividido pelo número total de valores. Neste 
caso, a média aritmética é dada por:
, onde:
xi → ponto-médio do i-ésimo intervalo de classe:
fi → freqüência simples do i-ésimo intervalo de classe.
k → número de intervalos de classes.
n → número total de valores (tamanho da amostra):
n
fx
x
k
i
ii∑
== 1
∑
=
=
k
i
ifn
1
2
1 ii
i
LL
x
+
= −
21
Exemplo: Com base na distribuição de freqüência abaixo 
determine o peso médio ao nascer.
Peso 
(em kg)
Nº de nascidos 
vivos 
 1,5 2,0 3
 2,0 2,5 16
 2,5 3,0 31
 3,0 3,5 34
 3,5 4,0 11
 4,0 4,5 4
 4,5 5,0 1
Σ 100
22
Exemplo – Distribuição de frequência com intervalos:
Peso 
(em kg)
Nº de nascidos 
vivos (f i )
x i x i f i
 1,5 2,0 3 1,75 5,25
 2,0 2,5 16 2,25 36
 2,5 3,0 31 2,75 85,25
 3,0 3,5 34 3,25 110,50
 3,5 4,0 11 3,75 41,25
 4,0 4,5 4 4,25 17
 4,5 5,0 1 4,75 4,75
Σ 100 - 300
===
∑
=
n
fx
x
k
i
ii
1
Ponto-médio
23
Exercício: Considerando a distribuição de frequências dos 
salários quinzenais de um grupo de funcionários de uma clínica 
médica, pede-se: 
a) o salário médio dos funcionários. Resp.: R$ 221,70
b) suponha que o diretor da clínica dê um reajuste de 15% a 
todos os seus funcionários. Qual o novo salário médio ? 
Resp.: R$ 254,96
Salário quinzenal 
(R$)
Nº de 
funcionários
 185 195 10
 195 205 15
 205 215 12
 215 225 19
 225 235 21
 235 245 35
Total 112
24
Mediana (Md): A mediana é o valor da variável que divide o 
conjunto ordenado de dados em duas partes iguais. 
Mediana - Dados Não Agrupados:
Passos para calcular a mediana:
1º Passo: Ordenar os valores de forma crescente.
2º Passo: Verificar se n é par ou impar:
Se n for par (n=2k): 
Se n for ímpar (n=2k+1): 
2
)1( ++= kk
xx
Md
)1( += kxMd
A Md é a média aritmética 
dos valores centrais.
A Md é o valor central.
Md
50% dos valores
estão abaixo
50% dos valores
estão acima
Valores 
ordenados
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Mediana - Dados Não Agrupados:
Exemplo resolvido: Número de medicamentos de uso 
contínuo (MUC) usados por oito pacientes internados num 
determinado hospital: 3, 2, 3, 0, 2, 1, 3, 3. Determine a 
mediana.
Resolução:
X → número de medicamentos de uso contínuo (MUC)
valores da variável X: 3, 2, 3, 0, 2, 1, 3, 3
Rol: 0, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 3
n=8 (par):
( ) ( ) MUC2,5
2
5
2
32
2
xx
Md 54 ==
+
=
+
= 26
Mediana - Dados Não Agrupados:
Exemplo resolvido: Número de acidentes ocorridos em 7 
semanas numa rodovia: 100, 52, 41, 37, 82, 24, 68. 
Determine o número mediano de atendimentos.
Resolução:
X → número de acidentes ocorridos numa rodovia
valores da variável X: 100, 52, 41, 37, 82, 24, 68
Rol: 24, 37, 41, 52, 68, 82, 100
n=7 (ímpar): 
( ) ( ) acidentes52xxMd 413 === +
27
Mediana x Média Aritmética:
Em alguns casos é preferível usar a mediana ao invés da 
média para caracterizar o centro de um conjunto de dados.
Para o conjunto de dados (X → renda semanal familiar, em 
reais), a seguir: 340, 370, 410, 520, 630, 680, 820, temos 
que:
Pergunta-se: O que aconteceria com a média e a mediana 
se substituirmos o número 820 pelo número 8.200, por 
exemplo ? A média e a mediana vão sofrer influência ?
( ) reais520xMdereais538,577
3.770
n
x
x 4
n
1i
i
==≅==
∑
=
1.592,86 reais
28
Moda (Mo): É o valor da variável que aparece com maior 
freqüência em um conjunto de dados.
Moda - Dados Não Agrupados:
Exemplo: Para cada um dos conjuntos de dados abaixo, determine a moda:
a) X → Peso ao nascer de crianças (g): 2.100, 2.000, 3.000, 3.000, 2.500, 
3.100, 3.100, 3.100, 2.810, 2.810, 2.700, 2.600, 2.600, 2.600
b) X → Nº de medicamentos (de uso contínuo) usados por sete pessoas 
com doenças crônicas e ou degenerativas: 2, 3, 3, 2, 1, 0, 1
c) X → Nota de seis alunos na prova de bioestatística: 7, 6, 5, 8, 9, 10
d) X → Número de pacientes consultados por dia numa clínica médica: 
10, 10, 12, 12, 13, 13.
Exercício: Considere a pressão arterial sistólica (mmHg) de 15 
pacientes: 130, 130, 150, 100, 140, 110, 120, 120, 130, 130, 150, 
150, 130, 140, 130. Qual a PAS modal ? Interprete-a.
29
Comentários sobre as medidas de tendência central:
A média pode ser calculada a partir dos dados brutos, sem 
recorrer a qualquer agrupamento ou ordenação dos valores 
originais da variável em estudo, o que não ocorre com a 
mediana e a moda. 
A moda pode ser determinada para variáveis qualitativas e 
quantitativas, ao contrário da média e da mediana que somente 
podem ser calculadas para variáveis quantitativas.
A mediana é preferível à média quando se está interessado 
em conhecer exatamente o valor da variável que divide a 
distribuição em duas partes exatamente iguais. Além disso, a 
mediana é preferível ainda quando existem valores extremos 
que afetem substancialmente o valor da média (outliers, 
valores atípicos ou discrepantes). 
30
50 52 54 56 58 60 62 64 66 68 70 72 74 76 78 80 82 84 86
Kg65=Md
kg 67=x
Exemplo: Peso (em kg) de 12 indivíduos escolhidos aleatoriamente:
50, 55, 58, 60, 62, 64, 66, 70, 74, 77, 82, 86 
Diagrama de pontos →→→→ cada valor da variável corresponde a um ponto 
na reta de números reais. Mediana (separatriz)
Média aritmética
E qual o valor modal ?
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31
Separatrizes: Quartis, Decis e Percentis
A idéia da mediana como vimos é a de dividir 
(separar) um conjunto ordenado de dados em dois 
grupos com 50% dos dados em cada grupo. Essa 
idéia pode ser generalizada !!!
Surgem, assim, os chamados quartis, decis e 
percentis, também conhecidos pelo nome genérico 
de separatrizes. 
32
Quartis – Qp, onde p =1, 2, 3 ( p é a ordem do quartil):
Os quartis (denotados por: Q1, Q2 e Q3) são valores da variável que 
dividem os dados em quatro grupos com cerca de 25% deles em cada
grupo. Há, portanto, 3 quartis.
O 1º Quartil - Q1: valor da variável situado de tal modo na série que adivide em duas partes, tais que somente 25% dos valores são menores 
ou iguais a ele, e 75% dos valores restantes são maiores ou iguais a ele.
O 2º Quartil - Q2: valor da variável situado de tal modo na distribuição 
que a divide em duas partes iguais, tais que 50% dos valores são
menores ou iguais a ele, e 50% dos valores restantes são maiores ou 
iguais a ele. Logo temos a seguinte relação: Md = Q2 .
O 3º Quartil - Q3: valor da variável situado de tal modo na distribuição 
que a divide em duas partes, tais que 75% dos valores são menores ou 
iguais a ele, e somente 25% dos valores restantes são maiores ou iguais 
a ele. 
33
Quartis – Qp, onde p =1, 2, 3 ( p é a ordem do quartil):
2Q
x
25%
25%
25%
25%
1Q 3Q
50%
25%
34
5D x
10% 10%
10%
10%
4D 6D
10%
10% 10%
10% 10%10%
2D1D 3D 8D7D 9D
50%
20%
70%
Decis – Dp , onde p = 1, 2, ..., 9 ( p é a ordem do decil):
São valores da variável que dividem os dados em 10 grupos 
com cerca de 10% deles em cada grupo. Há portanto 9 decis, 
denotados por: D1, D2, ..., D9.
35
Percentis - Pp , onde p =1,2,..., 99 (p é a ordem do percentil):
São valores da variável que dividem os dados em 100 grupos 
com cerca de 1% deles em cada grupo. Há portanto neste 
caso 99 percentis, denotados por: P1, P2, ..., P99
Algumas relações com percentis: 
P50 = Md = Q2 P25 = Q1 P75 =Q3
D1=P50 D2=P20 ... D9 =P90
36
Cálculo dos Percentis – Dados Não Agrupados:
Para determinar o percentil de ordem p ( p =1,2, ..., 99) emprega-se a 
fórmula abaixo.
Observação: Como possuem estreita relação com os percentis; os quartis 
e decis também podem ser obtidos com base nesta fórmula, bastando 
converter a ordem do quartil (ou do decil se for o caso) para a ordem do 
percentil. Por exemplo: calcular o quartil de ordem três (Q3) é o mesmo 
que calcular o percentil de ordem setenta e cinco (P75) .
Fórmula para o cálculo de Pp para dados não agrupados:
k = np / 100 , onde:
n→ número total de valores do conjunto (tamanho da amostra). 
p → ordem do percentil de interesse.
k → indicador da posição de um dado valor no conjunto ordenado.
Pp → percentil de ordem p (ou o p-ésimo percentil).
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37
Fluxograma para auxiliar no cálculo de percentis (Pp):
Início
Ordenar os valores do menor para o 
maior
Calcular: k = np /100,
n → número total de valores
p → ordem do percentil de interesse
k é um número 
inteiro?
Modificar k, aproximando seu valor 
para o maior inteiro mais próximo
O valor de Pp é o k-ésimo valor a 
contar do mais baixo
O valor do Pp está a meio caminho 
entre o k-ésimo valor e o próximo 
valor mais alto no conjunto 
ordenado de dados. Obtém-se 
então o percentil de ordem p (Pp) 
somando o valor da variável na 
posição k com o valor da variável na 
posição (k+1) e dividindo-se o 
resultado da soma por 2.
Sim
Não
38
2970295029502940293029302920292029202910
291029002900290028902890289028902890288028702870286028602860
286028502850285028402840284028402830283028302830283028302820
282028202820282028202810281028102810280028002800279027902790
278027802780278027802780278027702770277027702770277027702770
276027602760276027602750275027502750274027402740274027302730
273027302730273027202720272027202720271027102700270027002700
270027002700270026902690269026902680268026802680268026802680
268026802670267026602650265026502640263026302630263026302620
262026202620262026102600259025902580257025702560256025602540
252025202510251025002480242024202410236023402300230022802250
223022302200218021702150209020802080206020602040204020102000
Exemplo: Peso ao nascer (em gramas) de n=175 crianças
Calcule e interprete as seguintes medidas descritivas: P40, D2, Q1, Q2 e Q3
39
Resolução do exemplo – Cálculo de percentis: 
( ) ( ) g2.690
2
2.6902.690
2
xx
P 717040 =
+
=
+
=
= ?P40
( ) ( ) g2.570
2
2.5702.570
2
xx
PD 3635202 =
+
=
+
==
== ?PD 202
40
Resolução do exemplo – Cálculo de percentis: 
( )
( )
( ) g2.820xPQ
g2.730xPQ
g2.620xPQ
132753
88502
44251
===
==
===
==
===
==
?PQ
?PQ
?PQ
753
502
251
41
Exercício: Usando os dados fornecidos abaixo calcule o 1º, 2º e 
3º Quartis. Mostre os cálculos necessários para a sua obtenção, e 
interprete os resultados encontrados.
Dosagem de bilirrubina (mg/dL) de n=46 mães chagásicas
3,2
3,2
3,1
3,1
2,9
2,9
2,8
2,8
2,1
2,0
1,9
1,5
1,3
Letícia
Tatiane
Priscila
Silvia
Verônica
Laura
Lúcia
Teresa
Ivone
Joana
Mariana
Célia
Alba
4,9
4,4
4,3
4,3
4,0
3,9
3,8
3,7
3,7
3,3
3,2
3,2
3,2
Patrícia
Caroline
Cristiane
Márcia
Beatriz
Kátia
Karoline
Daniele
Geórgia
Ana
Fábia
Thalita
Vanilda
8,8Martha
8,3Yolanda
8,2Vânia
7,8Kelly
6,8Penélope
6,8Paula
12,5Lurdes6,7Joana
11,3Juliana6,6Renata
11,2Júlia6,3Tãnia
10,7Vilma6,3Telma
10,1Antonieta6,2Claudia
9,7Fernanda6,1Carla
9,5Jaqueline6,0Maria
Adaptado de Siqueira & Tibúrcio (2011)
Repostas: Q1=3,2 ; Q2= 4,3 e Q3= 6,8
42
Medidas de dispersão ou 
variabilidade 
Prof.: Dr. José Rodrigo de Moraes 
(GET/UFF)
Prof.: José Rodrigo de Moraes (GET/UFF) 
- Estatístico (ENCE), Mestre em 
Estatística Social (ENCE) e Doutor em 
Saúde Coletiva (IESC/UFRJ) 8
43
Medidas de Dispersão ou Variabilidade:
Quando se deseja fazer uma análise descritiva de dados 
estatísticos, não basta saber através de um único valor o centro de 
um conjunto de dados (da variável de interesse), através do 
cálculo das medidas de tendência central (ou de posição). 
Necessita-se saber também o quanto os dados se apresentam 
dispersos em torno da medida de tendência central utilizada (em 
geral, utiliza-se a média).
As medidas de dispersão, como o próprio nome indica, são 
medidas utilizadas para avaliar o grau de dispersão ou 
variabilidade dos dados. Para melhor entender o conceito de 
dispersão, vejamos o exemplo a seguir: 44
Medidas de Dispersão ou Variabilidade:
Exemplo: Considere as notas de 4 alunos tiradas em cinco 
avaliações da disciplina “Bioestatística”.
Então pergunta-se: Como medir a dispersão dos dados ?
Aluno Nota 1 Nota 2 Nota 3 Nota 4 Nota 5 Média
Antônio 5 5 5 5 5
João 6 4 5 4 6
José 10 5 5 5 0
Pedro 10 10 5 0 0
5
5
5
5
45
Medidas de Dispersão ou Variabilidade:
Estudaremos as seguintes medidas de dispersão:
� Amplitude Total (AT)
� Variância (S2) 
� Desvio-Padrão (S) 
� Coeficiente de Variação (CV)
46
Amplitude Total (AT): é a diferença entre o valor máximo e o 
valor mínimo de um conjunto de dados.
Dados Não Agrupados:
AT = x
MAX
– x
MIN
onde:
x
MAX
→ valor máximo.
x
MIN
→ valor mínimo.
Exemplo: Considere os dados sobre temperatura corporal, em 
graus Celsius (ºC), de seis pacientes internados:
36ºC; 36,8ºC; 37,5ºC; 38ºC; 39ºC; 40ºC . 
Determine a amplitude total.
47
Voltando ao exemplo das notas em Bioestatística, determine a 
amplitude total das notas de cada aluno:
Calculando a amplitude total das notas de cada aluno, verifica-se a 
seguinte relação:
AT
Pedro
= AT
José
> AT
João
> AT
Antônio
Pergunta-se: Existe algum problema na conclusão obtida com 
base na amplitude total ?
Aluno Nota 1 Nota 2 Nota 3 Nota 4 Nota 5 Média AT
Antônio 5 5 5 5 5 5 0
João 6 4 5 4 6 5 2
José 10 5 5 5 0 5 10
Pedro 10 10 5 0 0 5 10
48
Variância (S2) e Desvio-Padrão (S):
A variância e o desvio-padrão são medidas de dispersão muito 
utilizadas, pois levam em consideração a totalidadedos valores 
observados.
Variância (S2) - Dados Não Agrupados:
1
)(
1
2
2
−
−
=
∑
=
n
xx
S
n
i
i
x
i
→ i-ésimo valor da variável X.
n → número total de valores da variável X
(tamanho da amostra). 
→ média aritmética de X: x
n
x
x
n
i
i∑
== 1
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(GET/UFF)
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- Estatístico (ENCE), Mestre em 
Estatística Social (ENCE) e Doutor em 
Saúde Coletiva (IESC/UFRJ) 9
49
Variância (S2) – Dados Não Agrupados:
1
1
22
2
−
−
=
∑
=
n
xnx
S
n
i
i
(fórmula ramificada)
1
)(
1
2
2
−
−
=
∑
=
n
xx
S
n
i
i
50
Variância (S2) – Dados Não Agrupados:
No caso de usar a fórmula é aconselhável 
montar a seguinte tabela:
1
)(
1
2
2
−
−
=
∑
=
n
xx
S
n
i
i
ix xxi − ( xxi − )
2
 
1x xx −1 ( xx −1 )
2
 
2x xx −2 ( xx −2 )
2
 
 
nx xxn − ( xxn − )
2
 
∑
=
n
i
ix
1
 
 0 ∑
=
−
n
i
i xx
1
2)( 
 
51
Variância (S2) – Dados Não Agrupados:
No caso de usar a fórmula ramificada é
aconselhável montar a tabela abaixo:
1
1
22
2
−
−
=
∑
=
n
xnx
S
n
i
i
ix 2ix 
1x 21x 
2x 22x 
 
nx 2nx 
∑
=
n
i
ix
1
 ∑
=
n
i
ix
1
2 
 
52
Desvio Padrão (S) – Dados Não Agrupados:
O desvio padrão é definido como a raiz quadrada da 
variância. Ao contrário da variância, o desvio padrão é
expresso na mesma unidade de medida dos dados originais. 
2SS =
Exemplo: Determine o desvio-padrão para as notas de cada 
aluno, e explique que conclusão chegou com base nos resultados 
obtidos. Monte a tabela sugerida para o cálculo da variância.
11
)(
1
22
1
2
−
−
=
−
−
=
∑∑
==
n
xnx
n
xx
S
n
i
i
n
i
i
53
É bom saber !!! Desvio-Padrão (S):
� De maneira geral, quanto maior o desvio-padrão maior o 
espalhamento ou dispersão dos valores da variável em 
torno da média, e quanto menor o desvio-padrão, mais 
aproximados estão os valores da variável em torno da 
média.
� Se o desvio-padrão for zero, então todos os valores da 
variável são iguais.
� Se o desvio-padrão for grande, os valores da variável 
estão muito afastados de sua média. 54
Variância (S2) e Desvio Padrão (S) - Dados Não Agrupados:
Calculando a variância e o desvio-padrão das notas dos alunos 
em Bioestatística, chegamos na seguinte relação:
S2
Pedro
> S2
José
> S2
João
> S2
Antônio
S
Pedro
> S
José
> S
João
> S
Antônio
Aluno Nota 1 Nota 2 Nota 3 Nota 4 Nota 5 Média AT S2 S
Antônio 5 5 5 5 5 5 0 0 0
João 6 4 5 4 6 5 2 1 1
José 10 5 5 5 0 5 10 12,5 3,54
Pedro 10 10 5 0 0 5 10 25 5
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55
Quadro – Resumo: Dados Não Agrupados
NnTamanho
SSPadrãoDesvio
x
N
xx
-n
SVariância
x
N
x
n
xMédia
N
i
i
n
i
i
N
i
i
n
i
i
2
1=
2
1=
1
2
1=1=
1
=
1
=
1
=
1
=
σσ
µσ
µ
==−
−−
2
22 ∑∑
∑∑
)()(
PopulaçãoAmostraaEstatísticMedida
56
OBSERVAÇÃO IMPORTANTE: 
No caso de se desejar calcular a variância populacional (denotada 
pela letra grega σ2) utiliza-se na expressão a média populacional 
(denotada pela grega µ) e no denominador da expressão o tamanho 
da população (N). 
E para calcular a variância amostral (denotada por S2) utiliza-se na 
expressão a média amostral (denotada por ) e no denominador da 
expressão o tamanho da amostra menos um (n -1).
As expressões da média amostral ( ) e populacional (µ) são 
similares, apenas se faz uma mudança na representação do número 
total de valores da variável, podendo ser n (tamanho da amostra) ou 
N (tamanho da população), no caso de estar trabalhando com dados 
amostrais ou populacionais, respectivamente.
x
x
57
Exemplo: Considere um amostra de dez recém-nascidos em 
um determinado hospital, para os quais registrou os seus 
pesos ao nascer (em kg):
3,2 ; 3,2; 2,8; 2,1; 2,9; 3,1; 3,2; 3,0; 3,5; 4,0 
Calcule a variância e o desvio-padrão dos pesos ao nascer. 
Mostre todos os cálculos necessários.
x
58
Resolução – usando a “fórmula ramificada”:
X → peso ao nascer de recém-nascidos em um det. hospital
2
ix
98,2431Total
16410
12,253,59
938
10,243,27
9,613,16
8,412,95
4,412,14
7,842,83
10,243,22
10,243,21
i ix
===
∑
=
n
x
x
n
1i
i
∑ ix ∑ 2ix
≅==
≅==
−
=
∑
=
2
2
n
1i
2
i
2
ss
 
s
1-n
x nx
s
2
59
Propriedades do desvio-padrão (S): 
1ª Propriedade: Somando (ou subtraindo) um valor 
constante e arbitrário c, a cada elemento de um conjunto de 
números, o desvio-padrão não se altera.
No caso da soma:
X = { x1, x2, ..., xn } → SX
Y = { x1+ c, x2 + c, ..., xn + c } → SY SY = SX
No caso da subtração:
X = { x1, x2, ..., xn } → SX
Y = { x1- c, x2 - c, ..., xn - c } → SY SY = SX 60
Propriedades do desvio-padrão (S) – continuação:
2ª Propriedade: Multiplicando (ou dividindo) por um valor 
constante e arbitrário c, a cada elemento de um conjunto de 
números, o desvio-padrão fica multiplicado (ou dividido) pela 
constante.
No caso da multiplicação:
X = { x1, x2, ..., xn } → SX
Y = { c x1, c x2, ..., c xn } → SY SY = c SX
No caso da divisão:
X = { x1, x2, ..., xn } → SX
Y = { x1/ c, x2 / c , ..., xn / c } → SY SY = SX / c
Prof.: Dr. José Rodrigo de Moraes 
(GET/UFF)
Prof.: José Rodrigo de Moraes (GET/UFF) 
- Estatístico (ENCE), Mestre em 
Estatística Social (ENCE) e Doutor em 
Saúde Coletiva (IESC/UFRJ) 11
61
Coeficiente de Variação (CV):
O coeficiente de variação trata-se de uma medida relativa de 
dispersão, cujo cálculo resulta da comparação entre o desvio-
padrão e a média. Medida adimensional (expressa em %)
Se:
CV ≤ 15% →→→→ baixa dispersão
15% < CV < 30% →→→→ média dispersão
CV ≥ 30% →→→→ alta dispersão
100.




=
x
S
CV 100⋅





=
µ
σ
CV
Dados amostrais: Dados populacionais:
62
Quando usar o CV ?
Exemplo: Tomemos os resultados das medidas das alturas 
e dos pesos de um mesmo grupo de indivíduos 
selecionados.
Altura (X): = 175 cm e SX = 5cm → CVX = 2,86%
Peso (Y): = 68 kg e SY = 2 kg → CVY = 2,94%
Que conclusão tirar ?
X
Y
63
Exemplo: Considerando ainda a amostra de dez recém-
nascidos em um determinado hospital, para os quais 
registrou os seus pesos ao nascer (em kg):
3,2 ; 3,2; 2,8; 2,1; 2,9; 3,1; 3,2; 3,0; 3,5; 4,0 
Calcule o coeficiente de variação (CV) dos pesos ao nascer.
Resolução:
X → peso ao nascer de recém-nascidos em um det. hospital
=⋅= 100
x
s
CV
Pergunta: Qual a conclusão obtida quanto a variabilidade 
dos pesos desse grupo de recém-nascidos ?
64
A média e o desvio-padrão nada informam sobre a 
forma da distribuição dos dados. Sendo assim, 
devemos estudar as chamadas medidas de 
assimetria.
65
Medidas de Assimetria 
66
Medidas de Assimetria:
As distribuições de freqüências não diferem apenas 
quanto ao posição e a variabilidade, mas também quanto 
à sua forma.
Medidas de Assimetria são medidas utilizadas para 
identificar o grau de assimetria de umadistribuição. 
Assimetria significa deformação, ou ainda, desvio ou 
afastamento da simetria. 
Prof.: Dr. José Rodrigo de Moraes 
(GET/UFF)
Prof.: José Rodrigo de Moraes (GET/UFF) 
- Estatístico (ENCE), Mestre em 
Estatística Social (ENCE) e Doutor em 
Saúde Coletiva (IESC/UFRJ) 12
67
Quanto ao tipo de assimetria, uma distribuição de 
freqüência pode ser classificada em:
Distribuição Simétrica:
Uma distribuição simétrica apresenta como característica 
principal o fato das três medidas de tendência central –
moda, média e mediana – serem iguais, ou seja:
MoMdx ==
MoMdx ==
68
Distribuição Assimétrica Positiva (ou à Direita):
Uma distribuição assimétrica positiva apresenta uma 
cauda mais alongada à direita.
Nas distribuições assimétricas positivas ou à direita, a 
média é maior do que a mediana, que por sua vez, é
maior do que a moda, ou seja:
MoMdx >>
xMdMo
69
Distribuição Assimétrica Negativa (ou à Esquerda):
Uma distribuição assimétrica negativa apresenta uma 
cauda mais alongada à esquerda.
Nas distribuições assimétricas negativas ou à esquerda, a 
média é menor do que a mediana, que por sua vez, é
menor do que a moda, ou seja:
MoMdx <<
MoMdx 70
Principais métodos para identificação do tipo e grau de 
assimetria:
1º Método: Comparar as medidas de tendência central.
Trata-se do método mais rudimentar, o qual não permite 
quantificar o grau de assimetria da distribuição da variável 
analisada. 
→→→→ A distribuição é simétrica
→→→→ A distribuição é assimétrica positiva 
→→→→ A distribuição é assimétrica negativa. 
MoMdx ========
MoMdx >>>>>>>>
MoMdx <<<<<<<<
71
2º Método: Calcular o coeficiente de assimetria de Pearson.
Uma medida muito usada para identificar e avaliar o grau de
assimetria ou deformação de uma dada distribuição é o coeficiente
sugerido por (Karl) Pearson: 
1º Coef. de Assimetria de Pearson 2º Coef. de Assimetria de Pearson
ASi = 0 →→→→ a distribuição do dados é simétrica. (i=1,2)
ASi > 0 →→→→ a distribuição dos dados é assimétrica positiva. (i=1,2)
ASi < 0 →→→→ a distribuição dos dados é assimétrica negativa. (i=1,2)
S
Mox
AS
-
=1
S
Mdx
AS
)-3(
=2
72
Classificação do grau de assimetria de uma distribuição
com base no 1º e 2º coeficiente de Pearson:
|ASi| ≤ 0,15 →→→→ a distribuição do dados é praticamente simétrica.
0,15<|ASi|< 1 →→→→ a distribuição dos dados é levemente assimétrica.
|ASi| ≥ 1 →→→→ a distribuição dos dados é fortemente assimétrica.
Prof.: Dr. José Rodrigo de Moraes 
(GET/UFF)
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- Estatístico (ENCE), Mestre em 
Estatística Social (ENCE) e Doutor em 
Saúde Coletiva (IESC/UFRJ) 13
73
Exemplo: Considerando novamente a amostra de n=10 
recém-nascidos em um determinado hospital, para os quais 
registrou os seus pesos ao nascer (em kg):
3,2 ; 3,2; 2,8; 2,1; 2,9; 3,1; 3,2; 3,0; 3,5; 4,0
Calcule o 1º e o 2º coeficientes de assimetria de Pearson 
para a variável “peso ao nascer”, e classifique a distribuição 
dos dados quanto ao tipo e ao grau de assimetria. Justifique.
74
Resolução do exemplo: 
X → peso ao nascer de recém-nascidos em um det. hospital
� Usando o 1º coeficiente de assimetria de Pearson: 
� Usando o 2º coeficiente de assimetria de Pearson:
≅==
S
Mo-x
AS1
( )
≅=
⋅
=
S
Md-x3
AS2
Pergunta: Qual o tipo e o grau de assimetria da distribuição 
dos pesos ao nascer ? 
75
Em geral:
Dado um conjunto de valores de um determinada variável X, 
a média (aritmética) é a medida de posição (ou localização) 
mais adequada quando tais valores apresentam uma 
distribuição aproximadamente simétrica, enquanto que a 
mediana surge como uma medida alternativa para 
representar a posição central em distribuições muito 
assimétricas.
Como vimos a média usa efetivamente em seu cálculo a 
totalidade dos valores da variável de interesse, enquanto a 
mediana usa somente a ordenação dos valores.