[EQ 2016.2] MECFLU P2 [prof. Heloísa]

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[EQ 2016.2] MECFLU P2 [prof. Heloísa][por Rafael Ratier] 
Análise Dimensional e Similaridade 
Funções de parâmetros adimensionais 
Teorema Pi de Buckingham 
Objetivo: 
• Reduzir o número de variáveis independentes em um fenômeno 
• Diminuir o número de experimentos para se obter a relação empírica; se testada 
experimentalmente cada variável, o número de experimentos seria exponencialmente 
grande. Testando-se grupos adimensionais, as relações entre as variáveis são mais 
facilmente 
• Aumentar ou diminuir a escala do experimento 
Objetivo final: 
Obter uma função de parâmetros adimensionais cujas relações podem ser mais facilmente 
testadas à fim de se construir uma lei matemática empírica. Se, por exemplo, quero 
determinar a queda de pressão em uma tubulação e pra isso devo ver a relação entre este 
fenômeno e 10 variáveis, agora verei a relação entre esse fenômeno e x < 10 grupos 
adimensionais, o que torna a medição mais fácil e rápida. 
Metodologia: 
Exemplo: Obter os parâmetros adimensionais importantes da queda de pressão do 
escoamento em torno de uma placa de orifício (um tipo de medidor de vazão)*. 
1) Listar variáveis importantes na descrição do fenômeno 
∆𝑝 ; 𝜌 ; 𝜇 ; 𝑉 ; 𝑑 ; 𝐷 
∆𝑝 = 𝑓𝑢𝑛çã𝑜(𝜌, 𝜇, 𝑉, 𝑑, 𝐷) 
2) Identificar dimensões primárias que descrevem as variáveis acima 
𝑀 = 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎
𝐿 = 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜
𝑇 = 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜
 
3) Escrever cada em termos de cada dimensão primária 
∆𝑝 = 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 =
𝑓𝑜𝑟ç𝑎
á𝑟𝑒𝑎
=
𝑁
𝐴
= 𝑘𝑔.
𝑚
𝑠2
.
1
𝑚²
=
𝑘𝑔
𝑚𝑠²
= 𝑀1𝐿−1𝑇−2 
𝜌 = 𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 =
𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎
𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒
=
𝑘𝑔
𝑚³
= 𝑀1𝐿−3𝑇0 
𝜇 = 𝑣𝑖𝑠𝑐𝑜𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 = 𝑡𝑒𝑛𝑠ã𝑜 ∙ 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 =
𝑘𝑔
𝑚𝑠2
∙ 𝑠 = 
𝑘𝑔
𝑚𝑠
= 𝑀1𝐿−1𝑇−1 
𝑉 = 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 =
𝑚
𝑠
= 𝑀0𝐿1𝑇−1 
𝑑 = 𝑑𝑖â𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 = 𝑚 = 𝑀0𝐿1𝑇0 
𝐷 = 𝑑𝑖â𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 = 𝑚 = 𝑀0𝐿1𝑇0 
4) Organizar informações acima na forma matricial 
 ∆𝒑 𝝆 𝝁 𝑽 𝒅 𝑫 
M 1 1 1 0 0 0 
L -1 -3 -1 1 1 1 
T -2 0 -1 -1 0 0 
 
5) Escalonar matriz 
1
−1
−2
1
−3
0
1
−1
−1
0
1
−1
0
1
0
0
1
0
 → 
1
0
−2
1
−2
0
1
0
−1
0
1
−1
0
1
0
0
1
0
 → 
1
0
0
1
−2
2
1
0
1
0
1
−1
0
1
0
0
1
0
 
1
0
0
1
−2
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
1
1
 → 
1
0
0
1
−2
0
0
0
1
0
1
0
−1
1
1
−1
1
1
 → 
𝟐
0
0
0
−𝟐
0
0
0
𝟏
0
1
0
−1
1
1
−1
1
1
 
6) Realizar a conta da relação “m=n-r” 
𝑚 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑔𝑟𝑢𝑝𝑜𝑠 𝑎𝑑𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑖𝑠 ; 𝑛 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑖𝑠 ; 𝑟 = 𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 
𝑂 𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑠𝑒𝑟á 𝑜 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎𝑠 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 
𝑟 = 3 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑖𝑣ô𝑠 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 
𝑛 = 6 
𝑚 = 𝑛 − 𝑟 = 6 − 3 = 3 𝑔𝑟𝑢𝑝𝑜𝑠 𝑎𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑖𝑠 
7) Escolher um núcleo formado por “r” variáveis que não contenha proporcionalidade a 
uma potencia de outra variável do núcleo (exemplo: diâmetro D e área A) 
 
𝑛ú𝑐𝑙𝑒𝑜 𝑒𝑠𝑐𝑜𝑙ℎ𝑖𝑑𝑜 = 𝜌, 𝑉, 𝐷 , 𝑗á 𝑞𝑢𝑒 𝑟 = 3 
8) Escrever os “m” grupos adimensionais como uma multiplicação de potências 
desconhecidas de cada variável do núcleo por uma das variáveis não presentes no 
núcleo 
∏(1) = 𝜌𝑎𝑉𝑏𝐷𝑐. ∆𝑝 
∏(2) = 𝜌𝑑𝑉𝑒𝐷𝑓 . 𝜇 
∏(3) = 𝜌𝑔𝑉ℎ𝐷𝑖. 𝑑 
9) Impor as condições que tornam os grupos adimensionais 
𝜌𝑎𝑉𝑏𝐷𝑐. ∆𝑝 = 𝑀0𝐿0𝑇0 
𝜌𝑑𝑉𝑒𝐷𝑓 . 𝜇 = 𝑀0𝐿0𝑇0 
𝜌𝑔𝑉ℎ𝐷𝑖. 𝑑 = 𝑀0𝐿0𝑇0 
10) Calcular os valores das potências 
(𝑀1𝐿−3𝑇0)𝑎 ∙ (𝑀0𝐿1𝑇−1)𝑏 ∙ (𝑀0𝐿1𝑇0)𝑐 ∙ 𝑀1𝐿−1𝑇−2 = 𝑀0𝐿0𝑇0 
(𝑀1𝐿−3𝑇0)𝑑 ∙ (𝑀0𝐿1𝑇−1)𝑒 ∙ (𝑀0𝐿1𝑇0)𝑓 ∙ 𝑀1𝐿−1𝑇−1 = 𝑀0𝐿0𝑇0 
(𝑀1𝐿−3𝑇0)𝑔 ∙ (𝑀0𝐿1𝑇−1)ℎ ∙ (𝑀0𝐿1𝑇0)𝑖 ∙ 𝑀0𝐿1𝑇0 = 𝑀0𝐿0𝑇0 
∏(1) = (𝑀𝑎𝐿−3𝑎+𝑏+𝑐𝑇−𝑏) ∙ 𝑀1𝐿−1𝑇−2 = 𝑀0𝐿0𝑇0 
∏(2) = (𝑀𝑑𝐿−3𝑑+𝑒+𝑓𝑇−𝑒) ∙ 𝑀1𝐿−1𝑇−1 = 𝑀0𝐿0𝑇0 
∏(3) = (𝑀𝑔𝐿−3𝑔+ℎ+𝑖𝑇−ℎ) ∙ 𝑀0𝐿1𝑇0 = 𝑀0𝐿0𝑇0 
𝑀𝑎+1𝐿−3𝑎+𝑏+𝑐−1𝑇−𝑏−2 = 𝑀0𝐿0𝑇0 
𝑀𝑑+1𝐿−3𝑑+𝑒+𝑓−1𝑇−𝑒−1 = 𝑀0𝐿0𝑇0 
𝑀𝑔𝐿−3𝑔+ℎ+𝑖+1𝑇−ℎ = 𝑀0𝐿0𝑇0 
(1) → {
𝑎 + 1 = 0
−3𝑎 + 𝑏 + 𝑐 − 1 = 0
−𝑏 − 2 = 0
→ {
𝑎 = −1
𝑏 = −2
𝑐 = 0
 
(2) → {
𝑑 + 1 = 0
−3𝑑 + 𝑒 + 𝑓 − 1 = 0
−𝑒 − 1 = 0
→ {
𝑑 = −1
𝑒 = −1
𝑓 = −1
 
(3) → {
𝑔 = 0
−3𝑔 + ℎ + 𝑖 + 1 = 0
𝑖 = 0
→ {
𝑔 = 0
ℎ = 0
𝑖 = −1
 
11) Aplicar os valores encontrados e obter a expressão dos grupos adimensionais 
∏(1) = 𝜌−1𝑉−2𝐷0. ∆𝑝 =
∆𝑝
𝜌𝑉²
 
∏(2) = 𝜌−1𝑉−1𝐷−1. 𝜇 =
𝜇
𝜌𝑉𝐷
 
∏(3) = 𝜌0𝑉0𝐷−1. 𝑑 =
𝑑
𝐷
 
12) Concluir: 
∆𝑝 = 𝑓𝑢𝑛çã𝑜(𝜌, 𝜇, 𝑉, 𝑑, 𝐷) 
∆𝑝
𝜌𝑉²
= 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 (
𝜇
𝜌𝑉𝐷
,
𝑑
𝐷
) 
Grupos adimensionais relevantes na mecânica dos fluidos 
Número Adimensional Definição Interpretação como razão 
Número de Reynolds (Re) 
𝜌𝑉𝐷
𝜇
 
Forças de inércia sobre forças 
viscosas 
Número de Euler (Eu) 
∆𝑝
(
1
2)𝜌𝑉²
 
Forças de pressão sobre 
forças de inércia 
Número de Froude (Fr) 
𝑉
√𝑔𝐿
 
Forças de inércia sobre forças 
gravitacionais 
Número de Mach (M) 
𝑉
𝐶
 
Forças de inércia sobre forças 
relacionadas à 
compressibilidade 
 
*Trata-se da resolução do exercício 5 da lista 5 da professora Heloísa. A mesma questão encontra-se no Fox, número 7.9 e, conforme o 
solucionário, está correta a resposta. 
Similaridade geométrica, cinemática e dinâmica 
Condição de similaridade: Todos os grupos adimensionais, do modelo e do protótipo, 
são iguais. 
Efeito: O modelo (sistema em escala de laboratório) terá comportamento similar ao protótipo 
(sistema em escala industrial) 
Tipos de similaridade 
Nome Efeito Esquema 
Geométrica 
Razões entre dimensões são 
constantes. No exemplo ao 
lado o protótipo é 10 vezes 
maior que o modelo e 
qualquer comprimento que 
se escolha no modelo seguirá 
essa regra 
 
Cinemática 
Implica similaridade 
geométrica. As razões entre 
as escalas de velocidade são 
iguais. No exemplo ao lado, 
u2/u1 = v2/v1 = 2x/x = 2. 
Além disso, v1/u1 = v2/u2. 
Dinâmica 
Implica similaridade 
geométrica e dinâmica. Deve 
haver constância na razão 
entre as forças envolvidas na 
utilização do modelo. 
 
Completa 
Quando há os três tipos de similaridade. Nesse caso, as Condições de 
similaridade são satisfeitas. 
 
Cuidado! Verificar se todas as unidades estão no SI. Caso contrário, converter ou então realizar 
testes de consistência dimensional. Nesse caso, tudo está no SI portanto os grupos 
adimensionais estarão corretamente calculados. 
𝑅𝑒𝑚𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜 = 
𝜌𝑉𝐷
𝜇
= 
𝜌𝑎𝑟𝑉𝑀. (0,152)
𝜇𝑎𝑟
= ~ 
1. 𝑉𝑀 . (0,152)
2. 10−5
= 7,6. 𝑉𝑀 . 10
3 
𝑅𝑒𝑝𝑟𝑜𝑡ó𝑡𝑖𝑝𝑜 = 
𝜌𝑉𝐷
𝜇
= 
1025.2,57. (0,305)
0,0016
= ~502,2. 103 
𝑅𝑒𝑚𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜 = 𝑅𝑒𝑝𝑟𝑜𝑡ó𝑡𝑖𝑝𝑜 
7,6. 𝑉𝑀 . 10
3 = 502,2. 103 
𝑉𝑀 =
5022
76
= ~ 66 𝑚/𝑠 
𝐶𝐷𝑚𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜 = 𝐶𝐷𝑝𝑟𝑜𝑡ó𝑡𝑖𝑝𝑜 
𝐹𝑃
(𝜌𝑉²𝐷²)𝑃
=
𝐹𝑀
(𝜌𝑉²𝐷²)𝑀
 
𝐹𝑃 =
𝐹𝑀 . (𝜌𝑉²𝐷²)𝑃
(𝜌𝑉²𝐷²)𝑀
 
𝐹𝑃 =
2,7.1025. (2,57)2(0,305)²
1. (66)2(0,152)²
 = ~ 16,9 𝑁 
Adimensionando as equações diferenciais básicas 
Para usar as equações diferenciais básicas adimensionadas, basta substituir as variáveis por 
variáveis adimensionais: 
𝑥∗ =
𝑥
𝐿𝑜
 ; 𝑦∗ =
𝑦
𝐿𝑜
 ; 𝑧∗ =
𝑧
𝐿𝑜
 ; 𝑢∗ =
𝑢
𝑉𝑜
 ; 𝑣∗ =
𝑣
𝑉𝑜
 ; 𝑤∗ =
𝑤
𝑉𝑜
 ; ∆𝑝∗ =
∆𝑝
∆𝑝𝑜
 
Onde o subscrito “o” significa “de referência” e o sobrescrito”*” significa “adimensional”. 
Como es equações diferenciais usam o valor não adimensionado,por exemplo, “x”, temos que 
substituir todo lugar que tem “x” por “𝑥∗ ∙ 𝐿𝑜”. Um exemplo: Equação da continuidade 
tridimensional: 
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ 
𝜕𝑣
𝜕𝑦
+ 
𝜕𝑤
𝜕𝑧
= 0 
𝜕(𝑢∗ ∙ 𝑉𝑜)
𝜕(𝑥∗ ∙ 𝐿𝑜)
+ 
𝜕(𝑣∗ ∙ 𝑉𝑜)
𝜕(𝑦∗ ∙ 𝐿𝑜)
+ 
𝜕(𝑤∗ ∙ 𝑉𝑜)
𝜕(𝑧∗ ∙ 𝐿𝑜)
= 0 
(
𝑉𝑜
𝐿𝑜
) ∙
𝜕𝑢∗
𝜕𝑥∗
+ (
𝑉𝑜
𝐿𝑜
) ∙ 
𝜕𝑣∗
𝜕𝑦∗
+ (
𝑉𝑜
𝐿𝑜
) ∙
𝜕𝑤∗
𝜕𝑧∗
= 0 
(
𝑉𝑜
𝐿𝑜
) ∙ (
𝜕𝑢∗
𝜕𝑥∗
+ 
𝜕𝑣∗
𝜕𝑦∗
+
𝜕𝑤∗
𝜕𝑧∗
) = 0 
𝜕𝑢∗
𝜕𝑥∗
+ 
𝜕𝑣∗
𝜕𝑦∗
+
𝜕𝑤∗
𝜕𝑧∗
= 0 
No caso da equação da continuidade, sua aparência não irá se alterar. Tente fazer com Navier-
Stokes e verá que os valores de referência irão agir como fatores multiplicativos 
Fluidos Reais 
Escoamento viscoso, incompressível e interno 
Tipos de escoamento interno 
Nome Descrição Re 
Laminar 
Baixas vazões 
Sem mistura macroscópica 
do fluido 
< 2300 
Turbulento 
Altas vazões 
Há mistura macroscópica 
Formação de vórtices 
➢ 2300 
 
Em escoamentos turbulentos, a velocidade “u” varia de forma não descritível no tempo em um 
ponto. Assim, temos: 
𝒖 = < 𝒖 > +𝒖′ 
Onde “<u>” é a velocidade média e 
“u’” as flutuações. Muitas vezes, 
em dutos, os escoamentos podem 
ser viscosos. Em escoamentos 
viscosos há transformação de 
energia mecânica em energia 
térmica ao longo do escoamento. 
Existirá uma camada limite 
próxima à superfícies sólidas. A 
camada limite, em escoamentos 
externos ou internos, representa 
uma camada muito fina perto dos 
sólidos onde os efeitos viscosos são 
importantes. A camada limite cresce com o percorrer do fluido. 
O comprimento de entrada (𝑳𝒆) é o quanto, em um escoamento interno, o líquido percorre 
até que o perfil de velocidades seja completamente desenvolvido. Podemos relacionar o 
comprimento de entrada com o tipo de escoamento da seguinte forma: 
𝑳𝒆
𝑫
= 𝟎, 𝟎𝟔. 𝑹𝒆 ; 𝒆𝒔𝒄𝒐𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒍𝒂𝒎𝒊𝒏𝒂𝒓 
𝟐𝟎 ≤
𝑳𝒆
𝑫
≤ 𝟒𝟎 ; 𝒆𝒔𝒄𝒐𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒕𝒖𝒓𝒃𝒖𝒍𝒆𝒏𝒕𝒐 
Em dutos cilíndricos, com escoamento completamente desenvolvido e permanente, somente 
na direção z, além de efeitos gravitacionais desprezíveis, utilizamos a Equação de Poiseuille: 
 
𝑸 =
𝝅∆𝒑𝑫𝟒
𝟏𝟐𝟖𝝁𝑳
 
 
 
Considerações de energia no escoamento em tubos 
Para se considerar a energia, utilizaremos um conceito novo: o coeficiente de energia cinética: 
𝜶 = 
∫ 𝝆𝑽²𝒅𝑨
 
𝑨
�̇�𝑽²
 
 
 
As velocidades desse coeficiente são velocidades médias e a integral é uma integral de área. O 
ponto em cima da letra “m” indica que se trata de uma vazão mássica. Considere agora um 
escoamento com as seguintes características: 
• Volume de controle entre os pontos 1 (entrada) e 2 (saída) 
• Escoamento incompressível 
• Trabalhos nulos 
• Energia interna e pressão uniformes ao longo das seções transversais ao longo do 
escoamento em 1 e 2 
A equação da energia fica: 
(
𝒑𝟏
𝝆
+ 𝜶𝟏
𝑽𝟏
𝟐
𝟐
+ 𝒈𝒛𝟏) − (
𝒑𝟐
𝝆
+ 𝜶𝟐
𝑽𝟐
𝟐
𝟐
+ 𝒈𝒛𝟐) = (𝒖𝟐 − 𝒖𝟏) −
�̇�
�̇�
 
Do lado esquerdo, estamos representando a perda de energia mecânica durante o 
escoamento e do lado direito, o ganho de energia térmica. Chamamos de perda de carga (𝒉𝒍𝑻) 
a perda de carga mecânica. Assim: 
(
𝒑𝟏
𝝆
+ 𝜶𝟏
𝑽𝟏
𝟐
𝟐
+ 𝒈𝒛𝟏) − (
𝒑𝟐
𝝆
+ 𝜶𝟐
𝑽𝟐
𝟐
𝟐
+ 𝒈𝒛𝟐) = 𝒉𝒍𝑻 
𝒉𝒍𝑻 = 𝒉𝒍 + 𝒉𝒍𝒎 
Onde ℎ𝑙 é a perda de carga distribuída (em trechos retos de tubulação) e ℎ𝑙𝑚 a perda de carga 
localizada (acessórios como joelhos, válvulas, contrações, etc). 
O valor do coeficiente de energia cinética, para cada tipo de escoamento, tem valores 
diferentes: 
𝜶𝟏 ≈ 𝟏 → 𝒆𝒔𝒄𝒐𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒕𝒖𝒓𝒃𝒖𝒍𝒆𝒏𝒕𝒐
𝜶𝟐 = 𝟐 → 𝒆𝒔𝒄𝒐𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒍𝒂𝒎𝒊𝒏𝒂𝒓
 
Algumas simplificações nos levam a resultados interessantes. Vamos calcular uma expressão 
para a perda de carga distribuída. Considere: 
• Escoamento incompressível (𝝆 = 𝒄𝒕𝒆) 
• Escoamento permanente (
𝒅
𝒅𝒕
= 𝟎) 
• Escoamento somente na direção z (
𝒅
𝒅𝒙
=
𝒅
𝒅𝒚
= 𝟎) 
• Escoamento completamente desenvolvido (𝒖 = 𝒖(𝒓)) 
• Diâmetro do tubo constante (𝑨𝟏 = 𝑨𝟐 → 𝑽𝟏 = 𝑽𝟐 ∗) 
• Tubo horizontal (𝒛𝟏 = 𝒛𝟐 e 𝒉𝒍𝒎 = 𝟎) 
• Escoamento turbulento (𝜶𝟏 = 𝜶𝟐 = 𝟏) 
• Sem trabalho de eixo (�̇� = 𝟎) 
• *conservação de massa 
Realizando todas essas considerações, chegamos à: 
𝒉𝒍 =
∆𝒑
𝝆
 ; ∆𝒑 = 𝒑𝟏 − 𝒑𝟐 
Cuidado! A fórmula acima não é uma definição para a perda de carga distribuída e sim 
somente resultado de simplificações. Através de um outro exemplo para adimensionamento, é 
possível chegar à esse resultado que relaciona a queda de pressão em uma tubulação com 
outros grupos adimensionais: 
∆𝑝
𝜌𝑉²
= 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 (
𝐿
𝐷
,
𝜇
𝜌𝑉𝐷
,
𝑒
𝐷
) 
Substituindo pra expressão encontrada da perda de carga: 
𝜌ℎ𝑙
𝜌𝑉²
= 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 (
𝐿
𝐷
, 𝑅𝑒,
𝑒
𝐷
) 
Observação empírica: 
∆𝑝
𝜌𝑉²
 ∝
𝐿
𝐷
. A constante de proporcionalidade fica dentro da função. Um 
fator ½ também sai da função. Logo, fica: 
𝒉𝒍 =
𝑳
𝑫
∙
𝑽²
𝟐
𝒇 (𝑹𝒆,
𝒆
𝑫
) 
Onde “𝑓 (𝑅𝑒,
𝑒
𝐷
)” é um fator de atrito. A expressão final, acima, apesar de ter sido obtida 
através de simplificações, é sabida ser válida para qualquer situação. Falta, no entanto, saber 
calcular o fator de atrito. Para escoamentos laminares, através da equação de Poiseuille, 
chegamos à conclusão que: 
𝒇 =
𝟔𝟒
𝑹𝒆
 
Para escoamentos turbulentos, é obtido através de correlações experimentais, representadas 
pelo Diagrama de Moody: 
 
Vamos aprender à usá-lo fazendo um exemplo: 
 
Para calcular a rugosidade relativa, devemos dividir a rugosidade do aço pelo diâmetro da 
tubulação. 
• 
𝑒
𝐷
=
4,57.10−5
0,62
≅ 7,3. 10−5 
Considerando: 
• Escoamento permanente, incompressível e turbulento 
• Trabalho não nulo 
Simplificamos a equação da energia: 
• 𝑊 + (
𝑝1
𝜌
+ 𝛼1
𝑉1
2
2
+ 𝑔𝑧1) − (
𝑝2
𝜌
+ 𝛼2
𝑉2
2
2
+ 𝑔𝑧2) = ℎ𝑙𝑇 
• 𝑊 + (
𝑝1
𝜌
+
𝑉1
2
2
+ 𝑔𝑧1) − (
𝑝2
𝜌
+
𝑉2
2
2
+ 𝑔𝑧2) = ℎ𝑙𝑇 
Pela conservação de massa: 
• 𝑉1 = 𝑉2 = 𝑉 
• 𝑊 + (
𝑝1
𝜌
+
𝑉1
2
2
+ 𝑔𝑧1) − (
𝑝2
𝜌
+
𝑉2
2
2
+ 𝑔𝑧2) = ℎ𝑙𝑇 
• 𝑊 + (
𝑝1
𝜌
+ 𝑔𝑧1) − (
𝑝2
𝜌
+ 𝑔𝑧2) = ℎ𝑙𝑇 
• 𝑊 =
∆𝑝
𝜌
+ 𝑔∆𝑧 + ℎ𝑙𝑇 
• 𝑊 =
∆𝑝
𝜌
+ 𝑔∆𝑧 + ℎ𝑙 + ℎ𝑙𝑚 ; ∆ = (2) − (1) 
Há somente perda de carga distribuída, logo 
• 𝑊 =
∆𝑝
𝜌
+ 𝑔∆𝑧 + ℎ𝑙 + ℎ𝑙𝑚 
• 𝑊 =
∆𝑝
𝜌
+ 𝑔∆𝑧 + ℎ𝑙 
• 𝑊 =
∆𝑝
𝜌
+ 𝑔∆𝑧 + 
𝐿
𝐷
∙
𝑉²
2
𝑓 (𝑅𝑒,
𝑒
𝐷
) 
Para usar o Diagrama de Moody, valor calcular primeiro o Re: 
• 𝑅𝑒 = 
𝜌𝑉𝐷
𝜇
=
𝐷𝑉
𝜈
 
• 𝝂 = 𝒗𝒊𝒔𝒄𝒐𝒔𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆 𝒄𝒊𝒏𝒆𝒎á𝒕𝒊𝒄𝒂 =
𝝁
𝝆
 
• 𝑅𝑒 =
𝐷𝑉
𝜈
=
𝐷𝑉𝐴
𝜈𝐴
= 
4𝐷𝑄
𝜋𝜈𝐷²
=
4𝑄
𝜋𝜈𝐷
 
• 𝑅𝑒 =
4𝑄
𝜋𝜈𝐷
=
4.0,56
𝜋.4,5.10−6.0,62
= ~ 2,5. 105 
O valor encontrado comprova a suposição de que o escoamento é turbulento, pois o número 
de Reynolds é maior que 2300. Analisando o Diagrama de Moody: 
 
Para uma reta vertical representando o valor de Re encontrado, temos diversas interseções 
com as curvas. Cada curva representa um valor diferente de rugosidade relativa. A rugosidade 
relativa encontrada é uma curva que não está representada no diagrama, porém tem 
comportamento semelhante e está localizada entre os números envolvidos de rugosidade 
relativa. Extrapolando para a esquerda de uma possível interseção dessa curva imaginária, 
temos umfator de atrito imediatamente acima do 0,015. Logo, f=0,016. 
Temos agora todos os números necessários para calcular o trabalho: 
• 𝑊 =
∆𝑝
𝜌
+ 𝑔∆𝑧 + 
𝐿
𝐷
∙
𝑉²
2
𝑓 (𝑅𝑒,
𝑒
𝐷
) 
• 𝑉 = 
𝑄
𝐴
=
4𝑄
𝜋𝐷²
=
4.0,56
𝜋(0,62)²
= 1,85
𝑚
𝑠
 
• 𝑊 =
3.105−1,013.105 
810
− 9,81.250 + 
2,8.105
0,62
∙
(1,85)²
2
. 0,016 
• 𝑊 = 245,31 − 2452,5 + 12365,2 
• 𝑊 = 10158
𝐽
𝑘𝑔
 
Para calcular a potência: 
�̇� = 𝝆𝑸𝑾 
�̇� = 810.0,56.10158 = 4,6. 106
𝐽
𝑠
 
Perda de Carga Localizada 
Já vimos a perda de carga distribuída. Vamos agora ver um pouco sobre a perda de carga 
localizada, que representa a perda de carga mecânica em acessórios de tubulações como 
válvulas, joelhos, expansores,contrações de área, etc. Esse termo da perda de carga total é 
válido para toda parte da tubulação que não for reta. 
 
O cálculo da perda de carga localizada é feito de forma semelhante: 
𝒉𝒍 =
𝑳𝒆𝒒
𝑫
∙
𝑽²
𝟐
𝒇 (𝑹𝒆,
𝒆
𝑫
) 
A diferença é que agora usamos o comprimento equivalente. Por falta de forma direta de 
calcular a perda de carga localizada, costumamos considerar o comprimento equivalente 
adimensional (
𝐿𝑒𝑞
𝐷
) como uma constante: 
𝑳𝒆𝒒
𝑫
= 𝑲 ; 𝒉𝒍 = 𝑲 ∙
𝑽²
𝟐
𝒇 
Se a perda de carga, por exemplo, em um joelho, é 10, e em um tubo de mesmo material é 10 
também somente se o tubo tiver 5 metros, então o comprimento equivalente desse joelho é 5 
metros. Logo o comprimento equivalente adimensional representa uma constante que, para 
perda de carga localizada, é igual à razão comprimento/diâmetro em uma tubulação reta de 
um tubo de comprimento específico. O valor de K pode ser calculado através do seguinte 
gráfico: 
 
Como ler esse gráfico: 
• O gráfico com a seta apontando pra direita representa um gráfico de expansão na 
tubulação. 
• O gráfico com a seta apontando pra esquerda representa um gráfico de contração da 
tubulação 
• O eixo Y representado à direita é referente ao gráfico com seta pra direita, o de 
expansão. 
• O eixo Y representado à esquerda é referente ao gráfico com seta pra esquerda, o de 
contração. 
• Todos os valores no gráfico são adimensionais 
• A razão das áreas é sempre da área menor sobre a maior 
• Cada curva no gráfico tem sua própria razão de área correspondente 
• O “V” que entra na equação é sempre o V maior em módulo. A velocidade maior é 
sempre do tubo menor* 
• *Essas conclusões forem tiradas com o balanço de massa 
Para outros acessórios, o valor de K ou é dado ou é pedido para se obter através da fórmula. 
Outros acessórios: 
 
Quando a contração ou expansão é mais suave, a perda de carga é menor (K menor) 
 
 
Suposições e considerações: 
• Escoamento incompressível (𝝆 = 𝒄𝒕𝒆) 
• Escoamento permanente (
𝒅
𝒅𝒕
= 𝟎) 
• Diâmetro do tubo constante (𝑨𝟏 = 𝑨𝟐 → 𝑽𝟏 = 𝑽𝟐 = 𝑽 ∗) 
• Peça horizontal (𝒛𝟏 = 𝒛𝟐) 
• VC engloba somente o acessório (𝒉𝒍 = 𝟎) 
• Escoamento turbulento (𝜶𝟏 = 𝜶𝟐 = 𝟏) 
• Sem trabalho de eixo (�̇� = 𝟎) 
• *conservação de massa 
Assim: 
• 𝑊 + (
𝑝1
𝜌
+ 𝛼1
𝑉1
2
2
+ 𝑔𝑧1) − (
𝑝2
𝜌
+ 𝛼2
𝑉2
2
2
+ 𝑔𝑧2) = ℎ𝑙𝑇 = ℎ𝑙 + ℎ𝑙𝑚 
• (
𝑝1
𝜌
) − (
𝑝2
𝜌
) = ℎ𝑙𝑚 
• ℎ𝑙 =
𝐿𝑒𝑞
𝐷
∙
𝑉²
2
𝑓 (𝑅𝑒,
𝑒
𝐷
) 
• 
∆𝑝
𝜌
=
𝐿𝑒𝑞
𝐷
∙
𝑉2
2
𝑓 ; ∆= (1) − (2) 
• 
∆𝑝
𝜌
= 200 ∙
𝑉2
2
𝑓 
• 
∆𝑝
𝜌
= 100. 𝑉2. 𝑓 
• 𝑉2 = 
∆𝑝
100.𝜌.𝑓
 
• 𝑉 = √
∆𝑝
100.𝜌.𝑓
 
• 𝑉 = √
50000
100.900.𝑓
 
• 𝑉 = √
5
9.𝑓
 (𝐼) 
• 𝑄 = 𝐴.√
5
9.𝑓
 
• 𝑄 =
𝜋𝐷2
4
. √
5
9.𝑓
 
• 𝑄 = 0,01𝜋. √
5
9.𝑓
 
Como calcular “f” se não conhecemos “V” ? Um procedimento iterativo será necessário. 
Calcular rugosidade relativa: 
• 
𝑒
𝐷
=
0,025.10−3
0,2
 [
𝑚
𝑚
] = 0,000125 = ~0,0001 
A partir desta, determinar o fator de atrito quando a curva com essa rugosidade relativa está 
completamente turbulenta (Após linha tracejada no diagrama de Moody, isto é, na região de 
platô) 
 
O fator de atrito encontrado é de ~0,0120. Com esse fator de atrito, a partir da fórmula (I), 
calcular a velocidade: 
• 𝑉 = √
5
9.𝑓
= √
5
9.0,012
= 6,8 𝑚/𝑠 
Com essa velocidade, calcular o valor de Re 
• 𝑅𝑒 = 
𝜌𝑉𝐷
𝜇
=
900.6,8.0,2
0,01
= 122400 
Com esse valor de Reynolds, voltar ao diagrama de Moody e à curva correta da rugosidade 
relativa e chutar um novo valor para f. Pelo Diagrama de Moody, f=0,018. Repete-se, daí, o 
processo desde o início até o valor de “f” convergir. 
• 𝑉 = √
5
9.𝑓
= √
5
9.0,018
= 5,55 𝑚/𝑠 
• 𝑅𝑒 = 
𝜌𝑉𝐷
𝜇
=
900.5,55.0,2
0,01
= 999000 = ~105 
𝑓 para Re = 105 na curva de 
𝑒
𝐷
= ~0,0001 é aproximadamente 0,018  Valor convergiu 
Logo a velocidade correta é a calculada com f=0,018. Continuando a questão: 
• 𝑄 = 0,01𝜋. √
5
9.𝑓
 
• 𝑄 = 0,01𝜋. √
5
9.0,018
 
• 𝑄 = 0,01𝜋. (5,55) 
• 𝑄 = 0,17 
𝑚3
𝑠
 
Cálculo e seleção de bombas 
As máquinas de fluxo podem ser entendidas da seguinte forma: 
 
Por muitas vezes, não é interessante alterar a vazão do sistema. Portanto, bombas e turbinas 
agem como máquinas que aumentam ou diminuem, respectivamente, a pressão do fluido, 
adicionando ou retirando energia do mesmo, também respectivamente. Dois parâmetros 
importantes do desempenho de bombas são: 
Carga líquida [m] 
𝑯𝒃𝒐𝒎𝒃𝒂 =
𝑾𝒔𝒃𝒐𝒎𝒃𝒂
𝒈
 
Eficiência [adimensional] 
𝜼𝒃𝒐𝒎𝒃𝒂 =
𝑾𝒔𝒃𝒐𝒎𝒃𝒂
𝑾𝒎𝒐𝒕𝒐𝒓
 
A eficiência mede o quanto da energia do motor é convertida para o propósito devido. Nem 
todo trabalho que o motor realiza é convertido em trabalho de eixo da bomba. Parte se perde 
na forma de calor. A eficiência tem, portanto, valores entre 0 e 1. 
Para vazões muito grandes, a bomba não consegue dar conta de fornecer energia. Sua carga 
líquida irá diminuir com o aumento da vazão. Fazendo as considerações de balanço de energia: 
𝑊𝑠 + (
𝑝1
𝜌
+ 𝛼1
𝑉1
2
2
+ 𝑔𝑧1) − (
𝑝2
𝜌
+ 𝛼2
𝑉2
2
2
+ 𝑔𝑧2) = ℎ𝑙𝑇 
Se delimitado entre a entrada e saída de uma bomba 
somente, supondo escoamento permanente, turbulento, 
incompressível, alturas desprezíveis entre entrada e saída, 
diâmetros de entrada e saída iguais e bomba em 
funcionamento (sem perda de carga), teremos: 
𝑊𝑠 + (
𝑝1
𝜌
+ 𝛼1
𝑉1
2
2
+ 𝑔𝑧1) − (
𝑝2
𝜌
+ 𝛼2
𝑉2
2
2
+ 𝑔𝑧2) = ℎ𝑙𝑇 
𝑊𝑠 + (
𝑝1
𝜌
) − (
𝑝2
𝜌
) = 0 
𝑊𝑠 = 
∆𝑝
𝜌
 
𝑊𝑠
𝑔
= 
∆𝑝
𝜌𝑔
 
𝐻𝑏𝑜𝑚𝑏𝑎 = 
∆𝑝
𝜌𝑔
 
Por correlações experimentais entre vazão e delta de pressão, chegamos à curva característica 
da bomba: 
 
Essa curva é fornecida pelo fabricante. Dois pontos dela notáveis são: 
➢ {
𝑄 = 0
𝐻 ≠ 0
→ Primeiro ponto; carga de fechamento. É a carga máxima capaz de se fornecer 
ao fluido. Trata-se de um resultado de extrapolação, ou seja, não é mensurável. 
➢ {
𝑄 ≠ 0
𝐻 = 0
→ último ponto; vazão de fornecimento livre. É a vazão máxima que a bomba 
pode manter, no entanto, sem fornecer carga alguma ao fluido. 
Fazendo as considerações de balanço de energia para um sistema de tubulações agora: 
𝑊𝑠 + (
𝑝1
𝜌
+ 𝛼1
𝑉1
2
2
+ 𝑔𝑧1) − (
𝑝2
𝜌
+ 𝛼2
𝑉2
2
2
+ 𝑔𝑧2) = ℎ𝑙𝑇 
𝑊𝑠 = ℎ𝑙𝑇 + (
𝑝2
𝜌
+ 𝛼2
𝑉2
2
2
+ 𝑔𝑧2) − (
𝑝1
𝜌
+ 𝛼1
𝑉1
2
2
+ 𝑔𝑧1) 
𝑊𝑠
𝑔
= 
ℎ𝑙𝑇
𝑔
+ (
𝑝2
𝜌𝑔
+ 𝛼2
𝑉2
2
2𝑔
+ 𝑧2) − (
𝑝1
𝜌𝑔
+ 𝛼1
𝑉1
2
2𝑔
+ 𝑧1) 
𝑯𝒔𝒊𝒔𝒕𝒆𝒎𝒂 = 
𝒉𝒍𝑻
𝒈
+
∆𝒑𝝆𝒈
+
∆(𝜶𝑽²)
𝟐𝒈
+ ∆𝒛 ; ∆ = (𝟐) − (𝟏) 
Perceba que a carga do sistema é uma função quadrática de V e, portanto, é também de Q (Q 
e V são diretamente proporcionais). Isso explica a aparência da curva do sistema: 
 
A bomba trabalha em seu ponto de operação, que é aquele quando: 
𝑯𝒃𝒐𝒎𝒃𝒂 = 𝑯𝒔𝒊𝒔𝒕𝒆𝒎𝒂 
Este ponto é representado no gráfico pela interseção das curvas. A que desce é a da bomba e a 
que sobe, do sistema. Se a bomba é adequada, a vazão de operação é próxima àquela 
requerida no projeto. Na imagem acima, temos: 
➢ Vazão de Operação = 70 m³/h 
➢ Altura Manométrica de Operação = ~ 41m 
O fechamento de válvulas diminui a vazão de operação, aumentando a perda de carga. A seta 
aponta na direção do fechamento: 
 
É desejável que a vazão de operação da bomba esteja próxima ao ponto de melhor eficiência 
(BEP) 
 
Podemos unir as curvas de H da bomba, do sistema e de eficiência em um único gráfico, que 
represente uma família de bombas como, por exemplo, uma família de bombas centrífugas 
com mesmo diâmetro de carcaça e diferentes diâmetros de rotor. O gráfico abaixo representa 
essa família de bombas. Na interpretação, considere que as curvas de eficiência são como se 
fossem curvas de nível: 
 
 
O esquema é algo nesse estilo: 
 
Não foi dito qual líquido, então vamos supor água. A bola preta é a bomba. Da equação de 
energia: 
𝑊𝑠 + (
𝑝1
𝜌
+ 𝛼1
𝑉1
2
2
+ 𝑔𝑧1) − (
𝑝2
𝜌
+ 𝛼2
𝑉2
2
2
+ 𝑔𝑧2) = ℎ𝑙𝑇 
Supondo reservatórios abertos, as duas pressões são iguais à atmosférica, logo os termos de 
pressão são cortados: 
𝑊𝑠 + (𝛼1
𝑉1
2
2
+ 𝑔𝑧1) − (𝛼2
𝑉2
2
2
+ 𝑔𝑧2) = ℎ𝑙𝑇 
Supondo reservatórios muito grandes em relação ao diâmetro da tubulação, a velocidade em 
que o nível de água diminui em um e aumenta na outra é muito pequena. Os termos de 
velocidade são cortados: 
➢ 𝑊𝑠 + (𝑔𝑧1) − (𝑔𝑧2) = ℎ𝑙𝑇 
➢ 𝑊𝑠 = ℎ𝑙𝑇 + 𝑔∆𝑧 ; ∆= (2) − (1) 
➢ 
𝑊𝑠
𝑔
=
ℎ𝑙𝑇
𝑔
+ ∆𝑧 
➢ 𝐻𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 =
ℎ𝑙𝑇
𝑔
+ ∆𝑧 
Como o tubo é reto, a perda de carga tem termo hlm nulo, logo 
➢ 𝐻𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 =
ℎ𝑙
𝑔
+ ∆𝑧 
➢ 𝐻𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 =
𝐿𝑉²
2𝑔𝐷
. 𝑓 + ∆𝑧 
Escrevendo em função da vazão: 
➢ 𝐻𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 =
𝐿𝑄²
2𝑔𝐷𝐴²
. 𝑓 + ∆𝑧 
➢ 𝐻𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 =
16𝐿𝑄²
2𝑔𝐷5𝜋²
. 𝑓 + ∆𝑧 
➢ 𝐻𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 =
8𝐿𝑄²
𝑔𝐷5𝜋²
. 𝑓 + ∆𝑧 
Substituindo por valores numéricos 
𝐻𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 =
8.300.𝑄²
9,81. (0,4)5𝜋²
. 𝑓 − 15 
𝐻𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 = ~ 2421𝑓𝑄² − 15 
Supondo tubulação de ferro fundido e água como líquido: 
{
𝜌 = 1000 𝑘𝑔/𝑚3
𝜇 = 0,001 𝑃𝑎. 𝑠
𝑒 = 0,26 𝑚𝑚 ;
𝑒
𝐷
= ~ 0,0006
 
Calcular Re em função da vazão: 
𝑅𝑒 = 
𝜌𝑉𝐷
𝜇
= 
4𝑄𝜌
𝜇𝜋𝐷
=
4.1000.𝑄
0,001. 𝜋. 0,4
= ~3,2. 106𝑄 
Pelo diagrama de Moody pegar pontos interessantes para a construção do gráfico. 
Cavitação e análise de carga de 
sucção líquida positiva 
Dentro da bomba, a pressão do fluído pode diminuir até a sua pressão de vapor. Se isso 
acontecer, o líquido pode entrar em ebulição, formando bolhas. As bolhas dentro da bomba 
tendem a se aglomerar e se colapsar em regiões onde a pressão está maior que a pressão de 
vapor, o que pode acabar gerando danos à bomba. Chamamos de cavitação o ruído, as 
vibrações, a erosão e a modificação da curva característica de uma bomba. A cavitação pode 
levar à quebra da bomba. 
Para evitar cavitação, devemos garantir que 𝒑 > 𝒑𝒔𝒂𝒕 (pressão maior que pressão de vapor), 
especialmente no olho do rotor, o local mais sensível, pois é onde o líquido está com menor 
pressão na bomba (pois ele está ainda na iminência de receber energia). 
 
Considere o VC acima. O lado (2) representa o olho do rotor. Na iminência de cavitação, 𝑝2 =
 𝑝𝑠𝑎𝑡.Também em (2), o fluido começa a girar, logo deve-se adicionar à equação da energia 
uma componente de energia cinética de rotação. 
𝑊𝑠 + (
𝑝1
𝜌
+ 𝛼1
𝑉1
2
2
+ 𝑔𝑧1) − (
𝑝𝑠𝑎𝑡
𝜌
+ 𝛼2
𝑉2
2
2
+ 𝜆
𝑉𝑟
2
2
+ 𝑔𝑧2) = ℎ𝑙𝑇 
➢ 𝜆 → 𝑝𝑎𝑟â𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑎 𝑏𝑜𝑚𝑏𝑎 𝑟𝑒𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 à 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝑐𝑖𝑛é𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑟𝑜𝑡𝑎çã𝑜 
➢ 𝑉𝑟 → 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑜 𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 𝑒 𝑜 𝑟𝑜𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑎 𝑏𝑜𝑚𝑏𝑎 
Para as contas: considere diferença de altura desprezível, escoamento turbulento e que, até o 
olho, nenhum trabalho foi realizado ainda: 
(
𝑝1
𝜌
+
𝑉1
2
2
) − (
𝑝𝑠𝑎𝑡
𝜌
+
𝑉2
2
2
+ 𝜆
𝑉𝑟
2
2
) = ℎ𝑙𝑇 
Dividindo a equação inteira pela gravidade: 
(
𝑝1
𝜌𝑔
+
𝑉1
2
2𝑔
) − (
𝑝𝑠𝑎𝑡
𝜌𝑔
+
𝑉2
2
2𝑔
+ 𝜆
𝑉𝑟
2
2𝑔
) =
ℎ𝑙𝑇
𝑔
 
Rearranjando os termos: 
𝒑𝟏
𝝆𝒈
+
𝑽𝟏
𝟐
𝟐𝒈
− 
𝒑𝒔𝒂𝒕
𝝆𝒈
= 
𝒉𝒍𝑻
𝒈
+ 
𝑽𝟐
𝟐
𝟐𝒈
+ 𝝀
𝑽𝒓
𝟐
𝟐𝒈
 
𝑵𝑷𝑺𝑯𝑫 = 𝑵𝑷𝑺𝑯𝑹 
Essa separação foi feita de forma que os termos à esquerda todos sejam de valores 
controláveis, isto é, são informações sobre o sistema e o fluido que são conhecidos. Do lado 
direito, o contrário. NPSH significa “Net positive suction head”. Do lado esquerdo, temos o 
NPSH Disponível, que depende do fluido e do sistema em questão, e do lado direito o NPSH 
Requerido, que depende da bomba e é medido pelo fabricante. 
 
No gráfico anterior, o NPSH Pump é o da bomba (NPSHR) e o NPSH System o do sistema 
(NPSHD). A interseção das curvas de NPSH disponível e requerido são pontos de iminência de 
cavitação. Quando NPSHD < NPSHR, ocorrerá cavitação. 
O aumento da vazão: 
➢ Diminui NPSHD 
➢ Q▲ ,V▲,perdas de carga ▲, p1▼ 
➢ Aumenta NPSHR 
➢ Q▲ ,V2▲,hlT▲ 
Assim, para se evitar cavitação, deve-se garantir: 
𝑸 ↓
𝑫 ↑
𝑻 ↓
𝒛𝟏 ↓
 
 
No esquema acima temos 3 posições pra uma bomba. A bomba do meio, mesmo que à uma 
altura igual à bomba de baixo, terá sempre um comprimento de tubulação maior (pode ser a 
hipotenusa de um triângulo retângulo, enquanto o outro seria a altura). Na bomba de cima, a 
pressão é a menor que se tem (efeito da gravidade). A bomba do meio terá pressão menor que 
a de baixo porque a maior tubulação faz com que haja maior perda de carga. 
Conclusão  quanto mais baixa a bomba estiver e quanto mais colada ao reservatório, maior 
a pressão que o líquido chegará na bomba e, portanto, menor o risco de cavitação. 
 
Rugosidade relativa = 0,00169 
Nesse exemplo, considera-se que a distância horizontal da bomba é irrelevante. Do balanço de 
energia: 
𝑊𝑠 + (
𝑝1
𝜌
+ 𝛼1
𝑉1
2
2
+ 𝑔𝑧1) − (
𝑝2
𝜌
+ 𝛼2
𝑉2
2
2
+ 𝜆
𝑉𝑟
2
2
+ 𝑔𝑧2) = ℎ𝑙𝑇 
Escolhendo o VC da figura, temos que o trabalho é nulo, assim como a 
energia cinética de rotação. A perda de carga será também equivalente à de 
um tubo reto. 
(
𝑝1
𝜌
+ 𝛼1
𝑉1
2
2
+ 𝑔𝑧1) − (
𝑝2
𝜌
+ 𝛼2
𝑉2
2
2
+ 𝑔𝑧2) = ℎ𝑙 
Como o escoamento é turbulento, 𝛼1 = 𝛼2 = 1. Além disso, por se tratar de um reservatório, 
comumente muito grande, a velocidade de entrada no VC é muito pequena para ser 
considerada. Assim: 
➢ (
𝑝1
𝜌
+ 𝑔𝑧1) − (
𝑝2
𝜌
+
𝑉2
2
2
+ 𝑔𝑧2) = ℎ𝑙 
A pressão em 1 é a mesma da atmosférica, logo: 
➢ (
𝑝𝑎𝑡𝑚
𝜌
+ 𝑔𝑧1) − (
𝑝2
𝜌
+
𝑉2
2
2
+ 𝑔𝑧2) = ℎ𝑙 
➢ 
(𝑝𝑎𝑡𝑚− 𝑝2)
𝜌
− 𝑔∆𝑧 − 
𝑉2
2
2
= ℎ𝑙 ; ∆ = (2) − (1) 
➢ 
( 𝑝2− 𝑝𝑎𝑡𝑚)
𝜌
+ 𝑔∆𝑧 + 
𝑉2
2
2
= −ℎ𝑙 
➢ 
𝑝2
𝜌
+ 
𝑉2
2
2
= −ℎ𝑙 − 𝑔∆𝑧 + 
𝑝𝑎𝑡𝑚
𝜌
 
Dividindo a equação por g 
➢ 
𝑝2
𝜌𝑔
+ 
𝑉2
2
2𝑔
= −
ℎ𝑙
𝑔
− ∆𝑧 + 
𝑝𝑎𝑡𝑚
𝜌𝑔
 
Subtraindo por 
𝑝𝑠𝑎𝑡
𝜌𝑔
 
➢ 
𝑝2
𝜌𝑔
+ 
𝑉2
2
2𝑔
− 
𝑝𝑠𝑎𝑡𝜌𝑔
= −
ℎ𝑙
𝑔
− ∆𝑧 + 
𝑝𝑎𝑡𝑚
𝜌𝑔
− 
𝑝𝑠𝑎𝑡
𝜌𝑔
 
𝑁𝑃𝑆𝐻𝐷 =
(𝑝𝑎𝑡𝑚 − 𝑝
𝑠𝑎𝑡)
𝜌𝑔
−
ℎ𝑙
𝑔
− ∆𝑧 
 
A tabela acima da o diâmetro interno do tubo (pois o dado pelo enunciado é nominal). Para 
Schedule 40, o diâmetro interno é de 1,049 in = 0,0266 m. 
➢ ℎ𝑙 =
𝐿
𝐷
𝑉2
2
𝑓 =
(200𝑓𝑡+ ∆𝑧)𝑉2
0,0266.2
𝑓 =
(60,7+ ∆𝑧)𝑉2
0,0532
𝑓 
Calculando a velocidade: 
➢ 𝑄 = 𝑉𝐴 → 𝑉 =
4𝑄
𝜋𝐷²
=
4.1,89.10−3
𝜋.0,0266²
= ~ 3,40
𝑚
𝑠
 
➢ ℎ𝑙 = 
(60,7+ ∆𝑧)(3,4)2
0,0532
𝑓 = 217,3. (60,7 + ∆𝑧). 𝑓 
Calculando o número de Reynolds e a rugosidade relativa: 
➢ 𝑅𝑒 = 
𝜌𝑉𝐷
𝜇
=
1000.3,4.0,0266
0,001
= 90440  realmente, é turbulento 
Pelo Diagrama de Moody, achamos o fator de atrito, sabendo a rugosidade relativa: 
➢ 𝑅𝑒 = ~9. 104 ;
𝑒
𝐷
= 0,00169 → 𝑓 = 0,025 
Logo: 
➢ ℎ𝑙 = = 217,3. (60,7 + ∆𝑧). (0,025) = 5,4325 (60,7 + ∆𝑧 ) = ~ 329,8 + 5,43∆𝑧 
Dividindo pela gravidade g=9,81 
➢ 
ℎ𝑙
𝑔
= 33,54 + 0,55∆𝑧 
Substituindo na fórmula do NPSHD: 
➢ 𝑁𝑃𝑆𝐻𝐷 =
(𝑝𝑎𝑡𝑚− 𝑝
𝑠𝑎𝑡)
𝜌𝑔
−
ℎ𝑙
𝑔
− ∆𝑧 
➢ 𝑁𝑃𝑆𝐻𝐷 =
(𝑝𝑎𝑡𝑚− 𝑝
𝑠𝑎𝑡)
𝜌𝑔
− 33,54 − 0,55∆𝑧 − ∆𝑧 
➢ 𝑁𝑃𝑆𝐻𝐷 =
(𝑝𝑎𝑡𝑚− 𝑝
𝑠𝑎𝑡)
𝜌𝑔
− 33,54 − 1,55∆𝑧 
➢ 𝑁𝑃𝑆𝐻𝐷 =
(101,3− 2,49).103
1000.9,81
− 33,54 − 1,55∆𝑧 
➢ 𝑁𝑃𝑆𝐻𝐷 =
98,81
9,81
− 33,54 − 1,55∆𝑧 
➢ 𝑁𝑃𝑆𝐻𝐷 = 10,07 − 33,54 − 1,55∆𝑧 
➢ 𝑁𝑃𝑆𝐻𝐷 = −23,47 − 1,55∆𝑧 
Como 𝑁𝑃𝑆𝐻𝐷 = 𝑁𝑃𝑆𝐻𝑅 = 8𝑓𝑡 = 2,44𝑚, temos: 
➢ 25,91 = −1,55∆𝑧 
➢ 25,91 = 1,55 (𝑧1 − 𝑧2) 
➢ (𝑧1 − 𝑧2) = 16,72𝑚 
Escoamento externo e camada limite 
Historicamente o conceito de camada limite foi definido por Prandtl (1906), quando a análise 
de escoamentos através da equação de Euler (hidrodinâmica teórica) era possível em muitos 
casos, mas contradizia evidências experimentais (por exemplo: não prevê forças de arraste do 
fluido sobre superfícies sólidas nem a condição de não deslizamento). 
A análise de escoamentos reais, especialmente aqueles em que havia a influência de 
superfícies sólidas, baseava-se em modelos empíricos desenvolvidos por engenheiros 
(hidráulica). As equações de Navier-Stokes eram conhecidas, mas havia diversas dificuldades 
matemáticas para a sua solução em casos mais complicados. 
A camada limite é a região, de espessura muito fina, adjacente à fronteira do sólido, em que 
tanto as forças viscosas como as de inércia são relevantes. Já vimos anteriormente a influência 
da camada limite em escoamentos externos e 
internos. O conceito de camada limite une os 
conceitos da teoria e da prática: 
➢ Longe de fronteiras sólidas, considera-se o 
fluido como invíscido. 
➢ Próximo das fronteiras sólidas, utilizam-se as 
equações da camada limite (originadas em 
N-S) e a condição de não deslizamento. 
Quando um sólido está imerso em um fluido em movimento, ele está sujeito à forças de atrito 
sobre a superfície e forças de pressão. O arraste é resultante das forças na direção do 
escoamento, causadas pelo movimento do fluido e é composta por contribuições viscosas e de 
pressão: 
𝐹𝐷 = 𝐹𝐷𝑣𝑖𝑠𝑐𝑜𝑠𝑜 + 𝐹𝐷𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 
O subscrito “D” significa “drag”. Abaixo, um exemplo de força de sustentação (𝐹𝐿). O subscrito 
“L” significa “lift”. 
 
Os caminhos que as linhas de corrente de ar percorrem em cima são maiores do que os 
caminhos em baixo do exemplo de asa de avião acima. Como as linhas devem passar pela asa e 
chegar ao mesmo tempo no final dela, a velocidade do ar na parte de cima deve estar maior. 
Isso acaba diminuindo as forças de pressão na parte de cima. A resultante total então é de 
cima pra baixo, gerando sustentação. Em asas de avião, a camada limite tem cerca de 1cm de 
espessura. 
Definir espessura da camada limite, no entanto, é um pouco complicado. Existe 3 formas de 
medir e definir: 
1) Espessura de perturbação (δ(x)) 
Distância que vai da superfície sólida até o local onde u=0,99 U, o que 
é um tanto difícil de medir. “U” é a velocidade máxima (velocidade do 
perfil uniforme) 
2) Espessura de deslocamento (δ*(x)) 
Distância pela qual a superfície sólida seria deslocada para cima em um escoamento hipotético 
com perfil uniforme, tal que compense a diminuição da vazão mássica causada pela existência 
da camada limite. 
 
3) Espessura de momento (θ) 
Distância pela qual a superfície sólida seria deslocada para cima em um escoamento hipotético 
com perfil uniforme, tal que compense a diminuição no fluxo de momento através de área 
transversal , causada pela existência da camada limite. 
Escoamento sobre placas – Equação de Prandtl 
 
Seja um escoamento de um fluido Newtoniano sobre placa plana de comprimento L: 
𝑑𝑝
𝑑𝑡
+ 
𝑑
𝑑𝑥
(𝜌𝑢) + 
𝑑
𝑑𝑦
(𝜌𝑣) + 
𝑑
𝑑𝑧
(𝜌𝑤) = 0 (𝐶𝑂𝑁𝑇𝐼𝑁𝑈𝐼𝐷𝐴𝐷𝐸) 
𝜌 (
𝑑𝑢
𝑑𝑡
+ 𝑢
𝑑𝑢
𝑑𝑥
 + 𝑣
𝑑𝑢
𝑑𝑦
 + 𝑤
𝑑𝑢
𝑑𝑧
) = − 
𝑑𝑝
𝑑𝑥
+ 𝜌𝑔𝑥 + 𝜇 (
𝑑2𝑢
𝑑𝑥2
 +
𝑑2𝑢
𝑑𝑦2
 + 
𝑑2𝑢
𝑑𝑧2
) 
𝜌 (
𝑑𝑣
𝑑𝑡
+ 𝑢
𝑑𝑣
𝑑𝑥
 + 𝑣
𝑑𝑣
𝑑𝑦
 + 𝑤
𝑑𝑣
𝑑𝑧
) = − 
𝑑𝑝
𝑑𝑦
+ 𝜌𝑔𝑦 + 𝜇 (
𝑑2𝑣
𝑑𝑥2
 +
𝑑2𝑣
𝑑𝑦2
 + 
𝑑2𝑣
𝑑𝑧2
) 
𝜌 (
𝑑𝑤
𝑑𝑡
+ 𝑢
𝑑𝑤
𝑑𝑥
 + 𝑣
𝑑𝑤
𝑑𝑦
 + 𝑤
𝑑𝑤
𝑑𝑧
) = − 
𝑑𝑝
𝑑𝑧
+ 𝜌𝑔𝑧 + 𝜇 (
𝑑2𝑤
𝑑𝑥2
 +
𝑑2𝑤
𝑑𝑦2
 + 
𝑑2𝑤
𝑑𝑧2
) 
(𝑁 − 𝑆 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑎𝑠 𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠) 
Hipóteses: 
• Fluido incompressível e newtoniano (𝝆 = 𝒄𝒕𝒆) 
• Escoamento permanente (
𝒅
𝒅𝒕
= 𝟎) 
• Escoamento nas direções x e y somente (w=0) 
• Efeitos gravitacionais desprezíveis (g=0) 
 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
 + 
𝑑𝑣
𝑑𝑦
 = 0 (𝐶𝑂𝑁𝑇𝐼𝑁𝑈𝐼𝐷𝐴𝐷𝐸) 
𝜌 ( 𝑢
𝑑𝑢
𝑑𝑥
 + 𝑣
𝑑𝑢
𝑑𝑦
 ) = − 
𝑑𝑝
𝑑𝑥
+ 𝜇 (
𝑑2𝑢
𝑑𝑥2
 +
𝑑2𝑢
𝑑𝑦2
 + 
𝑑2𝑢
𝑑𝑧2
) 
𝜌 (𝑢
𝑑𝑣
𝑑𝑥
 + 𝑣
𝑑𝑣
𝑑𝑦
 ) = − 
𝑑𝑝
𝑑𝑦
+ 𝜇 (
𝑑2𝑣
𝑑𝑥2
 +
𝑑2𝑣
𝑑𝑦2
 + 
𝑑2𝑣
𝑑𝑧2
) 
0 = − 
𝑑𝑝
𝑑𝑧
 
(𝑁 − 𝑆 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑎𝑠 𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠) 
• U,v não são funções de z (
𝒅𝒖
𝒅𝒛
=
𝒅𝒗
𝒅𝒛
= 𝟎) 
• A variação de pressão na direção y é muito pequena (−
𝒅𝒑
𝒅𝒚
≈ 𝟎), ou a pressão é 
aproximadamente uniforme através da camada limite. Assim, a pressão na camada 
limite é “imposta” pelo escoamento externo a ela. 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
 + 
𝑑𝑣
𝑑𝑦
 = 0 (𝐶𝑂𝑁𝑇𝐼𝑁𝑈𝐼𝐷𝐴𝐷𝐸) 
𝜌 (𝑢
𝑑𝑢
𝑑𝑥
 + 𝑣
𝑑𝑢
𝑑𝑦
 ) = − 
𝑑𝑝
𝑑𝑥
+ 𝜇 (
𝑑2𝑢
𝑑𝑥2
 +
𝑑2𝑢
𝑑𝑦2
 ) 
𝜌 (𝑢
𝑑𝑣
𝑑𝑥
 + 𝑣
𝑑𝑣
𝑑𝑦
 ) = 𝜇 (
𝑑2𝑣
𝑑𝑥2
 +
𝑑2𝑣
𝑑𝑦2
 ) 
 
𝑑𝑝
𝑑𝑧
= 0 
(𝑁 − 𝑆 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑎𝑠 𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠) 
Devemos agora analisar as ordens de grandeza. O que for muito pequeno, cortaremos. 
Algumas aproximações grosseiras: 
 
Supondo que: 
𝜌 (𝑢
𝑑𝑢
𝑑𝑥
 + 𝑣
𝑑𝑢
𝑑𝑦
 ) ≈ 𝜇 (
𝑑2𝑢
𝑑𝑥2
 +
𝑑2𝑢
𝑑𝑦2
 ) 
Então temos: 
𝜌 ([
𝑈2
𝐿
] + [
𝑈2
𝐿
] ) ≈ 𝜇 ([
𝑈
𝐿
] + [
𝑈
δ²
] ) 
Os termos em colchetes são ordens de grandeza 
[
𝑈
δ²
] ≫ [
𝑈
L
] 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 δ ≪ L 
Logo, temos: 
𝜌𝑈2
𝐿
≈ 
𝜇𝑈
δ2
 
𝛅 = √
𝝂𝑳
𝑼
 
Considerando outras simplificações: 
• 𝑣 ≪ 𝑢 
• 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
≪ 
𝑑𝑢
𝑑𝑦
 
• 
𝑑²𝑢
𝑑𝑥²
≪ 
𝑑²𝑢
𝑑𝑦²
 
As equações de N-S e da continuidade ficam: 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
 + 
𝑑𝑣
𝑑𝑦
 = 0 (𝐶𝑂𝑁𝑇𝐼𝑁𝑈𝐼𝐷𝐴𝐷𝐸) 
𝜌 (𝑢
𝑑𝑢
𝑑𝑥+ 𝑣
𝑑𝑢
𝑑𝑦
 ) = − 
𝑑𝑝
𝑑𝑥
+ 𝜇 (
𝑑2𝑢
𝑑𝑦2
 ) 
𝜌 (𝑢
𝑑𝑣
𝑑𝑥
 + 𝜌𝑣
𝑑𝑣
𝑑𝑦
 ) = 𝜇 (
𝑑2𝑣
𝑑𝑦2
 ) 
 
𝑑𝑝
𝑑𝑧
= 0 
(𝑁 − 𝑆 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑎𝑠 𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠) 
Solução de Blasius para o perfil de velocidades na 
camada limite laminar 
Considere o escoamento em uma camada limite de uma placa plana, com gradiente de 
pressão zero na direção x, acompanhando as condições de contorno à seguir: 
 
Blausius, em 1908, propôs a seguinte transformação de variáveis: 
Distância adimensional (variável de similaridade)  𝜼 = 𝒚√
𝑼
𝝂𝒙
 
Perfil de velocidades adimensional  𝒇′(𝜼) =
𝒖
𝑼
 
Com essa transformação, a componente x das equações de N-S é transformada em uma EDO 
de 3ª ordem e não linear. As condições de contorno também são transformadas: 
{
 
 
𝟐. 𝒇′′′ + 𝒇. 𝒇′ = 𝟎
𝒇(𝜼 = 𝟎) = 𝟎
𝒇′(𝜼 = 𝟎) = 𝟎
𝒇′(𝜼 → ∞) = 𝟏
 
Uma tabela mostra a solução numérica para essa EDO e um gráfico pode ser construído com 
base nessa tabela, mostrando o perfil de velocidades u/U: 
Segundo o gráfico e a tabela, quando u/U = 0,99  η = 4,91. Segundo a definição de espessura 
de perturbação 
• 𝜂 = 𝑦√
𝑈
𝜈𝑥
 
• 4,91 = 𝛿√
𝑈
𝜈𝑥
 
• 
𝛿
𝑥
=
4,91
√𝑅𝑒𝑥
 
Onde 𝑅𝑒𝑥 é o Reyolds Local 𝑹𝒆𝒙 =
𝑼𝒙
𝝂
. Ele varia com a posição x. A tensão de 
cisalhamento na placa é dada por: 
• 𝜏 = 𝜇
𝜕𝑢
𝜕𝑦
]
𝑦=0
= 𝜇𝑈
𝜕(
𝑢
𝑈
)
𝜕𝑦
]
𝑦=0
= 𝜇𝑈
𝜕𝑓′
𝜕𝑦
]
𝑦=0
= 𝜇𝑈 (
𝜕𝑓′
𝜕𝜂
∙
𝜕𝜂
𝜕𝑦
)]
𝑦=0
 
• 𝜏 = 𝜇𝑈 (𝑓′′(𝜂 = 0) ∙ √
𝑈
𝜈𝑥
)]
𝑦=0
 
• 𝜏 = 0,332. 𝜇𝑈.√
𝑈
𝜈𝑥
 
• 𝜏 = 0,332.
𝜌𝑈2
√𝑅𝑒𝑥
 
Ou, em sua forma adimensional, chamado de coeficiente de atrito superficial: 
• 𝐶𝑓,𝑥 =
𝜏
1
2
𝜌𝑈²
 = 
0,664
√𝑅𝑒𝑥