[EQ 2016.2] INCOMPLETO MECFLU P1 [prof. Heloísa] Parte 1

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Mecânica dos Fluidos Heloísa P1 
Definimos fluido como um material que se deforma continuamente e sem limite 
quando está sob a influência de uma tensão paralela a ele. Define-se deformação como 
afastamento ou aproximação relativa de dois pontos de um material. A tensão é definida por: 
𝑻𝒆𝒏𝒔ã𝒐 =
𝑭𝒐𝒓ç𝒂
Á𝒓𝒆𝒂
 
Isso pode se assemelhar à fórmula da pressão. Isso porque a pressão é somente um 
tipo de tensão. Tensões em materiais sempre terão uma direção e sentido, que podem ser 
decompostas em: 
 
 
 
 
 
Fluidos são materiais que se deformam quando submetidos a tensões cisalhantes. 
Sólidos em geral sofrem pequenas deformações, enquanto fluidos (os mais comuns: água e ar) 
podem sofrer grandes deformações. As deformações em sólidos estão mais associados à 
elasticidade, enquanto líquidos estão associados à viscosidade. Analisando atomicamente um 
fluido, vemos o segundo aspecto. 
 
Uma região do espaço preenchida por um fluido parece um meio contínuo. Mas se 
pegarmos uma parcela de volume (o cubo acima, preenchido, por exemplo, com gás), veremos 
que a maior parte do espaço é vazio com moléculas espalhadas se movendo em diferentes 
direções, sentidos e velocidades. 
𝑻𝒆𝒏𝒔ã𝒐 𝑵𝒐𝒓𝒎𝒂𝒍 (𝝈) =
‖�⃗⃗� ‖
𝑨
  Exemplo: Pressão (compressão ou tração) 
 
𝑻𝒆𝒏𝒔ã𝒐 𝑷𝒂𝒓𝒂𝒍𝒆𝒍𝒂 (𝝉) =
‖�⃗⃗� ‖
𝑨
  Exemplo: Tensão cisalhante 
 
Dado um ponto C dentro do cubo, nos perguntemos: Qual o mínimo volume que esse 
ponto deve possuir para podermos considerar o fluido dentro dele contínuo, isto é, sob quais 
circunstâncias podemos tratar de propriedades de um fluído contínuo (exemplo de 
propriedade: densidade). 
A hipótese do contínuo em mecflu considera que o fluido é infinitamente divisível, de 
forma que as divisões sejam: 
• Pequenas o suficiente para que todas as suas propriedades (como temperatura e 
densidade) possam ser consideradas uniformes. 
• Grandes o suficientes para conter um número estatisticamente grande de moléculas. 
Essa hipótese é válida quando distâncias intermoleculares são muito menores que as 
dimensões características do sistema. No caso de gases rarefeitos, esses espaços podem ser 
relativamente grandes e a hipótese pode não ser válida. 
A hipótese do contínuo admite que não existem espaços vazios, permitindo que usemos 
ferramentas de cálculo nas nossas contas. Como consequência, cada propriedade do fluido 
possui um valor definido para cada ponto do espaço. Vejamos agora algumas propriedades: 
 Densidade em um ponto 
 
𝜌𝐶 = lim
𝛿𝑉→ 𝛿𝑉′ 
𝛿𝑚
𝛿𝑉
 
Onde 𝛿𝑉′ é um volume suficientemente grande a partir do qual as flutuações na 
densidade são irrelevantes e 𝜌𝐶 é a densidade no ponto “C”. Se a densidade ou massa 
específica pode ser determinada em um ponto arbitrário, determinar de mesma forma a 
densidade em um número infinito de pontos nos forneceria a expressão para a distribuição de 
densidade no espaço no intervalo de tempo que a medição foi feita, isto é: 
𝜌 = 𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) 
No caso de fluídos incompressíveis, essa distribuição é constante, logo: 
 
 Campo de velocidades 
Um fluido em movimento possui velocidade, é importante sabermos descrever essa 
velocidade. 
�⃗� = �⃗� (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) 
Se tratando de uma grandeza vetorial, é necessário conhecer direção, sentido e 
módulo da velocidade em um ponto. Decompondo em componentes, temos: 
�⃗� = 𝑉𝑥⃗⃗ ⃗ ∙ 𝑥 + 𝑉𝑦⃗⃗ ⃗ ∙ �̂� + 𝑉𝑧⃗⃗ ⃗ ∙ �̂� → {
𝑉𝑥⃗⃗ ⃗ = 𝑉𝑥⃗⃗ ⃗(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)
𝑉𝑦⃗⃗ ⃗ = 𝑉𝑦⃗⃗ ⃗(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)
𝑉𝑧⃗⃗ ⃗ = 𝑉𝑧⃗⃗ ⃗(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)
 
Perceba que x,y,z, não é a localização de uma partícula pontual na qual a velocidade 
está sendo calculada e sim a velocidade do fluido no ponto que desejamos olhar, e tudo isso é 
válido somente no instante de tempo “t”. Por isso �⃗� (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) é considerado um campo de 
velocidades para todas as partículas. 
 
Quando um fluido escoa, um campo ou perfil de velocidades se forma. Chamamos de 
Condição de não-deslizamento (ou não-escorregamento, aderência, “no-slip condition”)o 
fenômeno no qual a velocidade do fluido em contato com o sólido (paredes) é igual a 
velocidade do sólido. Isso ocorre uma vez que o atrito entre sólido e líquido é muito grande. 
No caso de gases rarefeitos e líquidos poliméricos, no entanto, essa condição não é válida. 
Além do menor atrito, no caso de líquidos poliméricos pode haver desgrudamento do líquido 
da placa. Uma solução de polímeros é o exemplo de um fluido viscoelástico. 
A viscosidade do líquido ajuda a explicar o perfil de velocidades: uma molécula de uma 
camada arrastará a outra. Portanto é normal que o perfil acima seja assim. A primeira camada 
de líquido adquire a velocidade da placa, que por sua vez arrasta uma segunda com menor 
velocidade, que por sua vez arrasta uma terceira com velocidade menor ainda e assim por 
diante, até chegar na última camada de líquido, isto é, aquela ligada à placa em repouso. 
Segundo a condição ode não-deslizamento, o líquido imediatamente colado à placa inferior 
deve estar em repouso uma vez q a placa também está. A interação entre as camadas de fluido 
permite a transmissão de momento (�⃗⃗� = 𝒎. �⃗⃗� ). 
Exemplo1 – Perfil de velocidades em um tubo cilíndrico: 
Chamemos de 𝑄, 𝑣𝑎𝑧ã𝑜 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 e 
�̇�, 𝑣𝑎𝑧ã𝑜 𝑚á𝑠𝑠𝑖𝑐𝑎 , temos que: 
𝑄 =
𝑉
∆𝑡
 
• 𝑉 = 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 = 𝐴. 𝐿 
• 𝑄 =
𝐴.𝐿
∆𝑡
= 𝐴. 𝑉 
• Conclusão: 𝑉 =
𝑄
𝐴
 
Calculamos 𝑄 com uma integral: 
𝑄 = ∫(𝑉. 𝑛)𝑑𝐴 
Onde V é o vetor velocidade e n é o vetor normal à área de escoamento. Em um tubo 
cilíndrico, temos: 
𝑄 = ∫𝑉(𝑟, 𝜃). 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃 
 Pressão 
Forças de pressão sobre uma superfície são sempre forças normais à todos os pontos 
dessa superfície e são sempre também forças de compressão. Para medir a pressão sobre um 
objeto, pode-se medir a: 
• Pressão absoluta  contra o vácuo 
• Pressão relativa ou manométrica  contra a pressão atmosférica 
Calculamos pressão como: 
𝑷 =
∑𝒇𝒐𝒓ç𝒂𝒔 𝒅𝒆 𝒄𝒐𝒎𝒑𝒓𝒆𝒔𝒔ã𝒐
Á𝒓𝒆𝒂 𝒅𝒆 𝒂𝒕𝒖𝒂çã𝒐 𝒅𝒂𝒔 𝒇𝒐𝒓ç𝒂𝒔
 
Imagine a seguinte situação: 
 
Abaixo temos uma caixa aberta com uma barra presa a uma mola. No compartimento 
da mola pode haver vácuo, mas como essa situação é complicada, geralmente contem gases 
na pressão atmosférica. Ao submergir, forças de compressão atuam sobre a barra, que se 
desloca “x” até atingir o repouso. No repouso, temos: 
𝑓𝑜𝑟ç𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 𝐿𝐼𝑄 = 𝑓𝑜𝑟ç𝑎 𝑑𝑎 𝑚𝑜𝑙𝑎 
Matematicamente descrevemos por: 
𝑃. 𝐴 = 𝐾. 𝑥 → 𝑃 =
𝐾. 𝑥
𝐴
 
Onde P é a pressão, A a área da barra e K a constante da mola. Daí tiramos uma 
expressão para a pressão; No entanto isso só é válido caso haja vácuo. Caso não haja, temos 
que considerar a força que a mola e o gás comprimido exercem para balancear as forças de 
compressão do fluido. O deslocamento portanto será um “x” diferente, que chamáramos de 
“x’”. Assim: 
𝑃. 𝐴 = 𝐾. 𝑥′ + 𝑃𝑎𝑡𝑚. 𝐴 → 𝑃 − 𝑃𝑎𝑡𝑚 =
𝐾. 𝑥′
𝐴
 
Veja que diferenciamos a pressão contra o vácuo da pressão contra a pressão 
atmosférica. Do experimento acima, concluímos que: 
𝑷𝒂𝒃𝒔𝒐𝒍𝒖𝒕𝒂 = 𝑷𝒎𝒂𝒏𝒐𝒎é𝒕𝒓𝒊𝒄𝒂 + 𝑷𝒂𝒕𝒎 
• Existem ainda 3 tipos e pressão que precisamos conhecer: 
• Pressão estática: é a pressão em uma superfície que se move com o fluido, ou em uma 
superfície paralela ao escoamento; Representa a pressão termodinâmica de um fluido. 
• Pressão de estagnação: é medida em um local onde há completa desaceleração de um 
fluido, sem atrito; 
• Pressão dinâmica: diferença entre as pressões de estagnação e estática. Está 
associada à velocidade do escoamentoe representa o aumento de pressão quando o 
fluido em movimento é levado a parar; 
 
Chamamos de ponto de estagnação o ponto no qual a velocidade do escoamento é 
zero em um corpo estacionário inserido dentro de uma corrente. A pressão de estagnação é 
necessariamente maior que a estática uma vez que para ser “sentida” houve alta conversão de 
energia cinética da corrente fluida em trabalho das forças de pressão. No exemplo do tubo 
em U, a cor mais escura representa um líquido denso, geralmente mercúrio. Na situação A, o 
mercúrio é empurrado somente pela pressão que o líquido exerce intrinsecamente, isto é, a 
pressão estática. Já na situação B, há pressão de estagnação e o mercúrio é empurrado ainda 
mais. Assim, temos que: 
𝑷𝒆𝒔𝒕𝒂𝒈𝒏𝒂çã𝒐 = 𝑷𝒆𝒔𝒕á𝒕𝒊𝒄𝒂 + 𝑷𝒅𝒊𝒏â𝒎𝒊𝒄𝒂 
 
 
Forças que atuam sobre meios contínuos 
 
• Forças de corpo: agem sem contato físico com o fluido/sólido e agem sobre o volume 
deste. Exemplos: forças gravitacionais, forças eletromagnéticas; 
• Forças de superfície: agem através do contato com o fluido/sólido, sobre determinada 
superfície deste. Exemplos: forças de pressão, forças de atrito. 
Modelos Reológicos 
A reologia é o ramo da ciência que estuda as deformações e escoamentos da matéria. Ela 
estuda a relação entre a taxa de deformação de um fluido e a tensão cisalhante aplicada a 
ele. A viscosidade é a propriedade reológica mais conhecida e importante e esta intimamente 
ligada à resistência de um fluido à deformação causada por tensões cisalhantes. 
Chamamos de fluido newtoniano o fluido cuja viscosidade é independente da taxa de 
deformação a que o fluido está submetido. Um fluido newtoniano mostra um único valor de 
viscosidade, a uma dada temperatura. Exemplos: óleos vegetais, água, soluções açucaradas. 
Interpretamos microscopicamente a viscosidade como resultado do atrito entre camadas de 
fluidos: 
 
Com gases, a interação entre as camadas deve-se à transferência de moléculas entre 
camadas e às colisões entre elas. Assim, quanto maior a temperatura, maiores a transferência 
de moléculas e a quantidade de colisões, portanto, maior a viscosidade. Já em líquidos, a 
interação entre as camadas deve-se a forças intermoleculares. Logo, quanto maior a 
temperatura, menores as forças intermoleculares e, portanto, menor a viscosidade. 
Em fluidos newtonianos a viscosidade funciona como uma constante de proporcionalidade 
entre tensão cisalhante e taxa de deformação do fluido, veja: 
 
Acima, temos um perfil de velocidades. A placa superior, de área A, está acima de um fluido 
em uma altura Y. Se aplicarmos uma força F no sentido positivo do eixo “x”, um perfil de 
velocidades irá e formar. Vale lembrar que a placa inferior está em repouso. É intuitivo pensar 
que: 
• Precisaremos de uma força maior para deformar o líquido quanto maior a área da 
placa 
• Precisaremos de uma força maior para deformar o líquido quanto maior for a 
velocidade que quisermos aplicar 
• Precisaremos de uma força maior para deformar o líquido quanto menor for a altura 
do filme (as camadas de líquido estarão mais intimamente “conectadas”). 
Concluímos que: 
𝑭 {
∝ 𝑨
∝ 𝑽
∝
𝟏
𝒀
 → 𝑭 = 𝝁. (
𝑨. 𝑽
𝒀
) → 
𝑭
𝑨
= 𝝁. (
𝑽
𝒀
) 
Substituindo 
𝐹
𝐴
 pela expressão de tensão e 
𝑉
𝑌
 por 
𝑑𝑉
𝑑𝑌
 , isto é, para uma expressão que indica 
como que a velocidade no eixo “x” varia conforme a altura da velocidade no eixo “y” e 
considerando que a viscosidade dinâmica é a constante “𝜇”, temos a expressão da tensão 
cisalhante em fluidos newtonianos: 
𝝉𝒚𝒙 = 𝝁.
𝒅𝑽
𝒅𝒚
 
Onde “𝒚𝒙” representa, primeiro, o eixo perpendicular ao plano que a tensão age (y) 
e segundo a direção em que age a tensão (x). A viscosidade no SI é medida por Pa.s. 
A tensão cisalhante pode ser entendida como um fluxo de momento linear, veja: 
𝜏𝑦𝑥 = 
𝐹
𝐴
= 
𝑚𝑎
𝐴
= 
𝑚𝑣
𝐴𝑡
= 
𝑃
𝐴𝑡
 
A tensão cisalhante está relacionada à tensão da força de cisalhamento sobre a área 
que atua. Veja: 
 
Uma força aplicada numa placa dá origem à uma outra força de mesma intensidade 
mas sentido contrário chamada força de cisalhamento. O surgimento dessa força ocorre 
devido às forças de coesão entre o fluido e a parede da placa e entre as camadas de fluido. 
Essa força exerce uma certa resistência à deformação, que é tão maior quanto mais viscoso o 
líquido for (lembrar que Força cisalhante é igual à tensão cisalhante vezes a área). É a força de 
cisalhamento que da origem ao gradiente de velocidade entre as placas, assim concluímos: 
Força da placa tem mesmo sentido que a tensão sobre a placa, que é o 
sentido inverso da força de cisalhamento e da tensão cisalhante. 
 No caso de um viscosímetro cilíndrico, podemos ainda falar de Torque da força de 
cisalhamento. Perceba que a força utilizada para calcular esse torque não é a força necessária 
para girar o cilindro no sentido desejado, e sim a força de cisalhamento. Como a força aplicada 
e a força de cisalhamento tem o mesmo módulo, se aplicadas à uma mesma distância r terão 
então o mesmo torque, com sentidos contrários, mas módulos iguais. 
 
De uma forma mais geral podemos reescrever a fórmula da tensão cisalhante para: 
𝝉𝒚𝒙 = 𝝉𝒐 + 𝒌. (
𝒅𝑽
𝒅𝒚
)
𝒏
 
Onde {
𝜏𝑜 = 𝑡𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙
𝑛 = í𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑜 𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜
𝑘 = í𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑠𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎
 
Graficamente temos: 
 
Fluido Valores Descrição 
Newtoniano {
𝜏𝑜 = 0
𝑛 = 1
𝑘 = 𝜇
 
Taxa de deformação varia 
linearmente com a tensão 
cisalhante (Shear stress). O 
coeficiente angular da reta é 
a viscosidade newtoniana 
 
De Bingham {
𝜏𝑜 ≠ 0
𝑛 = 1
𝑘 = 𝜇
 
Exemplo de fluido não 
newtoniano. Características 
sólidas até certa tensão 
inicial. Não escoa até a 
tensão cisalhante atingir esse 
valor e a partir dele se 
comporta como um fluido 
Newtoniano 
Pseudoplástico {
𝜏𝑜 = 0
𝑛 < 1
𝑘 = 𝜇𝑎
 
Exemplo de fluido não 
newtoniano. A viscosidade é 
aparente e varia com a taxa 
de deformação. A viscosidade 
aparente decresce com a taxa 
de deformação. 
Dilatante {
𝜏𝑜 = 0
𝑛 > 1
𝑘 = 𝜇𝑎
 
Exemplo de fluido não 
newtoniano. A viscosidade é 
aparente e varia com a taxa 
de deformação. A viscosidade 
aparente aumenta com a 
taxa de deformação 
 
Alguns exemplos de cada um dos fluidos descritos acima 
 
Há ainda fluidos cujas propriedades reológicas são dependentes do tempo (não 
newtonianos): 
Fluidos tixotrópicos (afinantes)  Possuem uma estrutura que é quebrada em 
função do tempo e da taxa de deformação. A viscosidade aparente diminui com o tempo (ex: 
gelatina, clara de ovo, gorduras, Ketchup, Visplex). 
Fluidos reopécticos (anti tixotrópicos; espessantes)  Inclui poucos materiais 
que são capazes de desenvolver ou rearranjar uma estrutura enquanto são submetidos a uma 
tensão de cisalhamento. A viscosidade aparente aumenta com o tempo (ex: gesso em pasta, 
tintas de impressoras (alguns tipos), misturas amido-leite-açúcar entre 85-95º C). 
 
Há ainda os fluidos viscoelásticos como “Amoeba”, soluções poliméricas, sorvetes, 
emulsões, queijos e massa de pão. Esses fluidos mostram comportamento de sólido 
(elasticidade) e de líquido (plasticidade). A determinação do comportamento viscoelástico 
exige equipamentos caros que se usam nos laboratórios de desenvolvimento de produtos. Há 
portanto contribuição viscosa e contribuição elástica para a tensão cisalhante. 
Exemplo: 
Dado o sistema abaixo calcule a tensão na placa de cima, que se move devido a uma 
força 𝐹 = 𝐹. 𝑥 e a força de cisalhamento.Resolução: 
• 𝜏𝑦𝑥 = 𝜇.
𝑑𝑉
𝑑𝑦
 
• 𝜏𝑦𝑥 = 𝜇. 𝑢𝑚𝑎𝑥 (1 − (
2𝑦
ℎ
)
2
)
′
 
• 𝜏𝑦𝑥 = 
−8𝜇.𝑢𝑚𝑎𝑥.𝑦
ℎ2
 
• Na placa superior, 𝑦 =
ℎ
2
 
• 𝜏𝑦𝑥 = 
−4𝜇.𝑢𝑚𝑎𝑥
ℎ
 
• 𝜏𝑦𝑥 = 
−4 .1,14 . 10−3.20
1
 [
𝑃𝑎.𝑠.(
𝑐𝑚
𝑠
)
𝑐𝑚
] 
• 𝜏𝑦𝑥 = −9,12 . 10
−2[𝑃𝑎] → 𝑛𝑜 𝑙í𝑞𝑢𝑖𝑑𝑜 
• 𝜏𝑦𝑥 = +9,12 . 10
−2[𝑃𝑎] → 𝑛𝑎 𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎 
• 
𝐹𝑐𝑖𝑠
𝐴
= 
−4𝜇.ℎ.𝑢𝑚𝑎𝑥
ℎ
 
• 
𝐹𝑐𝑖𝑠
10
= −9,12 . 10−2 
• 𝐹𝑐𝑖𝑠 = −0,912 . [𝑃𝑎.𝑚²] 
• 𝐹𝑐𝑖𝑠⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = 0,912. (−𝑥) . [𝑁] 
Grandezas e Campos Escalares, Vetoriais e Tensoriais 
Em nosso estudo de mecflu precisamos entender que tipos de forças agem sobre as 
partículas fluidas. Como sabemos, forças de campo ou de superfície podem agir. No caso das 
forças de superfície agindo, tensões são geradas. O conceito de tensão é útil para descrever 
como as forças, ao agirem sobre as fronteiras de um meio, são transmitidas através do meio. 
Qualquer força aplicada a um elemento infinitesimal “𝛿A” de área de um fluido poderá 
ser decomposta em componentes perpendiculares e paralelas à essa área , de forma que 
podemos definir a tensão de cisalhamento e a tensão normal naquele ponto como: 
 
𝝉 = 𝐥𝐢𝐦
𝜹𝑨→𝟎
𝜹𝑭𝒕
𝜹𝑨
 
𝝈 = 𝐥𝐢𝐦
𝜹𝑨→𝟎
𝜹𝑭𝒏
𝜹𝑨
 
Ao lidar com quantidades vetoriais tais como a força, é usual considerar as 
componentes num sistema ortogonal de coordenadas cartesianas. Por esse motivo é fácil 
imaginar em coordenadas retangulares um elemento fluido no qual as normais dos elementos 
de área da superfície do fluido apontam no sentido dos eixos x,y, e z. 
 
 
O cubo acima pode ser entendido como um elemento “δV” de um fluido contínuo. Na 
representação, temos todas as tensões cisalhantes (τ) e normais (σ) bem descritas. Se uma 
força “F” é aplicada a esse elemento de fluido, tensões são geradas. Consideremos a ação 
dessas forças em 3 dessas faces do cubo (pois para as outras a dedução é análoga): a face 
esquerda, a da frente e a superior. Veja o caso da primeira face: 
 
A força F pode ser decomposta em componentes x,y,z e para cada componente uma 
tensão diferente age. Veja também os outros lados: 
 
• Perceba que 𝐹𝑥⃗⃗ ⃗ contribui para tensões cisalhante nos casos A e C e tensão normal no 
caso B 
• Perceba que 𝐹𝑦⃗⃗ ⃗ contribui para tensões cisalhante nos casos B e C e tensão normal no 
caso A 
• Perceba que 𝐹𝑧⃗⃗ ⃗ contribui para tensões cisalhante nos casos A e B e tensão normal no 
caso C 
Como se trata de um cubo, a área é igual, o que muda é a direção do vetor normal. 
Calculando em módulo as forças, temos: 
{
𝐹𝑥 . 𝑥 = 𝑆𝑥 . 𝐴𝑥
𝐹𝑦. �̂� = 𝑆𝑦 . 𝐴�̂�
𝐹𝑧. �̂� = 𝑆𝑧. 𝐴�̂�
 
Onde 𝑆__ é a soma das contribuições de tensão que a força 𝐹__ faz. Desconsiderando a 
componente vetorial considerando valores infinitesimais de área: 
{
𝑑𝐹𝑥 = 𝑆𝑥. 𝑑𝐴𝑥
𝑑𝐹𝑦 = 𝑆𝑦. 𝑑𝐴𝑦
𝑑𝐹𝑧 = 𝑆𝑧. 𝑑𝐴𝑧
 
Sendo: 
{
𝑆𝑥 = 𝜎𝑥 + 𝜏𝑥𝑦 + 𝜏𝑥𝑧 
𝑆𝑦 = 𝜏𝑦𝑥 + 𝜎𝑦 + 𝜏𝑦𝑧
𝑆𝑧 = 𝜏𝑧𝑥 + 𝜏𝑧𝑦 + 𝜎𝑧
 
Podemos escrever o resultado de forma matricial: 
[𝑑𝐹𝑥 𝑑𝐹𝑦 𝑑𝐹𝑧] = [𝑑𝐴𝑥 𝑑𝐴𝑦 𝑑𝐴𝑧] [
𝜎𝑥 𝜏𝑦𝑥 𝜏𝑧𝑥
𝜏𝑥𝑦 𝜎𝑦 𝜏𝑧𝑦
𝜏𝑥𝑧 𝜏𝑦𝑧 𝜎𝑧
] 
Chamamos a matriz [
𝜎𝑥 𝜏𝑦𝑥 𝜏𝑧𝑥
𝜏𝑥𝑦 𝜎𝑦 𝜏𝑧𝑦
𝜏𝑥𝑧 𝜏𝑦𝑧 𝜎𝑧
] de tensor tensão de Cauchy, um operador 
linear. De acordo com o princípio da conservação do momento angular, o equilíbrio requer que 
a soma dos momentos em relação a um ponto arbitrário seja nula, o que leva à conclusão de 
que o tensor tensão é simétrico. Não convêm as contas, mas convém fornecer essa 
propriedade. Alguns exemplos práticos de valores do tensor tensão: 
Estado uniaxial de tensões Estado Plano de tensões Estado triplo de tensões 
 
 
 
 
[
𝜎𝑥 0 0
0 0 0
0 0 0
] 
 
[
𝜎𝑥 𝜏𝑦𝑥 0
𝜏𝑥𝑦 𝜎𝑦 0
0 0 0
] [
𝜎𝑥 𝜏𝑦𝑥 𝜏𝑧𝑥
𝜏𝑥𝑦 𝜎𝑦 𝜏𝑧𝑦
𝜏𝑥𝑧 𝜏𝑦𝑧 𝜎𝑧
] 
Tensores são entidades geométricas introduzidas na matemática e na física para 
generalizar a noção de escalares, vetores e matrizes. Assim como tais entidades, um tensor é 
uma forma de representação associada a um conjunto de operações tais como a soma e o 
produto. 
• Escalares  tensor de ordem 0 ; 30 = 1 componente ; ex: números 
• Vetores  tensor de ordem 1; 31 = 3 componentes; ex: velocidade 
O tensor tensão é só um exemplo de tensor de 2ª ordem. Por ser de terceira ordem, possui 
32=9 componentes e é representado na forma matricial (3x3). O tensor tensão de Cauchy é um 
operador linear. 
Estática dos Fluidos 
A estática dos fluidos estuda situações em que fluidos estão em equilíbrio sem haver 
deslocamento. Como o fluido está estático, parado, podemos afirmar que não há tensões 
cisalhantes (pois se tivesse, haveria deformação e, portanto, escoamento). 
Vamos analisar como as tensões funcionam em um fluido estático. Como não há 
tensão cisalhante, somente a tensão normal (pressão) atua sobre um elemento infinitesimal 
de fluido. Além dessas forças de contato ou superfície (forças de pressão), existe também a 
gravidade agindo (forças de campo). 
Estando em repouso, é natural afirmar que: 
• ∑𝐹 = 0 
Como só existem forças de pressão e o peso, temos: 
• 𝐹𝑃⃗⃗⃗⃗ + �⃗� = 0 
Segundo a Lei de Pascal, temos: “A pressão em torno de um ponto fluido contínuo, 
incompressível e em repouso é igual em todas as direções, e ao aplicar-se uma pressão em 
um de seus pontos, esta será transmitida integralmente a todos os demais pontos”Não 
convém provar matematicamente isso. Considere agora o seguinte elemento “δV” de um 
fluido contínuo: 
 
Como o fluido está estático: 
• ∑𝐹 = 0 
• 𝐹𝐶𝑎𝑚𝑝𝑜⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ + 𝐹𝑆𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓í𝑐𝑖𝑒⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 0 
• 𝑑𝐹𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ + 𝑑𝐹𝑆⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = 0 
Reescrevendo a expressão das forças de campo, que no caso é somente a gravidade, temos: 
• 𝑑𝐹𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 𝑔 𝑑𝑚 = 𝜌𝑔 𝑑𝑉 = 𝜌. 𝑔 . 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 
Com as forças de superfície temos 
• 𝑑𝐹𝑆⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = 𝑑𝐹𝑆𝑥
⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ + 𝑑𝐹𝑆𝑦
⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ + 𝑑𝐹𝑆𝑧
⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 
Pras faces da frente e de trás 
• 𝑑𝐹𝑆𝑥
⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 𝑃𝑓𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒𝑑𝐴𝑓𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ + 𝑃𝑡𝑟á𝑠𝑑𝐴𝑡𝑟á𝑠⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ 
• 𝑑𝐹𝑆𝑥
⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 𝑃𝑓𝑟𝑡 . 𝑑𝐴𝑓𝑟𝑡(𝑥) + 𝑃𝑡𝑟𝑑𝐴𝑡𝑟(−�̂�) 
• 𝑑𝐹𝑆𝑥
⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 𝑃𝑓𝑟𝑡 . 𝑑𝑧. 𝑑𝑦(𝑥) + 𝑃𝑡𝑟𝑑𝑧. 𝑑𝑦(−�̂�) 
• 𝑑𝐹𝑆𝑥
⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (𝑃𝑓𝑟𝑡 − 𝑃𝑡𝑟) 𝑑𝑧. 𝑑𝑦(𝑥) 
Para as faces da esquerda e da direita 
• 𝑑𝐹𝑆𝑦
⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 𝑃𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝐴𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ + 𝑃𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎𝑑𝐴𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ 
• 𝑑𝐹𝑆𝑦
⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 𝑃𝑒𝑠𝑞 . 𝑑𝐴𝑒𝑠𝑞(−�̂�) + 𝑃𝑑𝑖𝑟𝑑𝐴𝑑𝑖𝑟(�̂�) 
• 𝑑𝐹𝑆𝑦
⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 𝑃𝑒𝑠𝑞 . 𝑑𝑥. 𝑑𝑧(−�̂�) + 𝑃𝑑𝑖𝑟𝑑𝑥. 𝑑𝑧(�̂�) 
• 𝑑𝐹𝑆𝑦
⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (𝑃𝑑𝑖𝑟 − 𝑃𝑒𝑠𝑞) 𝑑𝑥. 𝑑𝑧(�̂�) 
Pras faces de cima e de baixo 
• 𝑑𝐹𝑆𝑧
⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 𝑃𝑐𝑖𝑚𝑎𝑑𝐴𝑐𝑖𝑚𝑎⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ + 𝑃𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜𝑑𝐴𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 
• 𝑑𝐹𝑆𝑧
⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 𝑃𝑐𝑚. 𝑑𝐴𝑐𝑚(�̂�) + 𝑃𝑏𝑥𝑑𝐴𝑏𝑥(−�̂�) 
• 𝑑𝐹𝑆𝑧
⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 𝑃𝑐𝑚. 𝑑𝑥. 𝑑𝑦(−�̂�) + 𝑃𝑏𝑥𝑑𝑥. 𝑑𝑦(−�̂�) 
• 𝑑𝐹𝑆𝑧
⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (𝑃𝑐𝑚 − 𝑃𝑏𝑥) 𝑑𝑥. 𝑑𝑦(�̂�) 
Falta determinar as expressões de 
• {
𝑃𝑓𝑟𝑡 − 𝑃𝑡𝑟
𝑃𝑑𝑖𝑟 − 𝑃𝑒𝑠𝑞
𝑃𝑐𝑚 − 𝑃𝑏𝑥
 
Inicialmente vamos considerar que p = p(x,y,z), o que significa que as pressões de face 
paralelas n são necessariamente iguais como a lei de pascal prevê. Isso será somente um 
artifício matemático para considerarmos que em u mesmo, temos um “P” contra um“P+dP”. 
Da expressão de dP e das condições de estaticidade dos fluidos chegaremos às conclusões da 
Lei de Pascal. Seja a pressão no centro 0 do elemento igual a p. Então: 
• 
𝑃𝑓𝑟𝑡 = 𝑃𝑑𝑖𝑟 = 𝑃𝑐𝑚 = 𝑝 
𝑃𝑡𝑟 = 𝑝 +
𝜕𝑝
𝜕𝑥
𝑑𝑥
𝑃𝑒𝑠𝑞 = 𝑝 + 
𝜕𝑝
𝜕𝑦
𝑑𝑦
𝑃𝑏𝑥 = 𝑝 + 
𝜕𝑝
𝜕𝑧
𝑑𝑧
 
Assim, temos: 
• {
𝑃𝑓𝑟𝑡 − 𝑃𝑡𝑟
𝑃𝑑𝑖𝑟 − 𝑃𝑒𝑠𝑞
𝑃𝑐𝑚 − 𝑃𝑏𝑥
= 
{
 
 
 
 −
𝜕𝑝
𝜕𝑥
𝑑𝑥
−
𝜕𝑝
𝜕𝑦
𝑑𝑦
−
𝜕𝑝
𝜕𝑧
𝑑𝑧
 
E da expressão das forças: 
• 𝑑𝐹𝑆𝑥
⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (−
𝜕𝑝
𝜕𝑥
𝑑𝑥) 𝑑𝑧. 𝑑𝑦(𝑥) 
• 𝑑𝐹𝑆𝑦
⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (−
𝜕𝑝
𝜕𝑦
𝑑𝑦) 𝑑𝑥. 𝑑𝑧(�̂�) 
• 𝑑𝐹𝑆𝑧
⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (−
𝜕𝑝
𝜕𝑧
𝑑𝑧)𝑑𝑥. 𝑑𝑦(�̂�) 
Assim: 
• 𝑑𝐹𝑆⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = 𝑑𝐹𝑆𝑥
⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ + 𝑑𝐹𝑆𝑦
⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ + 𝑑𝐹𝑆𝑧
⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 
• 𝑑𝐹𝑆⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = −
𝜕𝑝
𝜕𝑥
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧(𝑥) −
𝜕𝑝
𝜕𝑦
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧(�̂�) − 
𝜕𝑝
𝜕𝑧
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧(�̂�) 
• 𝑑𝐹𝑆⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = −(
𝜕𝑝
𝜕𝑥
𝑥 + 
𝜕𝑝
𝜕𝑦
�̂� + 
𝜕𝑝
𝜕𝑧
�̂�) 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 
Do resultado da soma de forças: 
• 𝑑𝐹𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ + 𝑑𝐹𝑆⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = 0 
• 𝜌. 𝑔 . 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 − (
𝜕𝑝
𝜕𝑥
𝑥 + 
𝜕𝑝
𝜕𝑦
�̂� + 
𝜕𝑝
𝜕𝑧
�̂�) 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = 0 
• − (
𝜕𝑝
𝜕𝑥
𝑥 + 
𝜕𝑝
𝜕𝑦
�̂� + 
𝜕𝑝
𝜕𝑧
�̂�) + 𝜌. 𝑔 = 0 
• − (
𝜕
𝜕𝑥
𝑥 + 
𝜕
𝜕𝑦
�̂� + 
𝜕
𝜕𝑧
�̂�) 𝑝 + 𝜌. 𝑔 = 0 
Por fim chegamos à: 
− 𝛁𝒑 + 𝝆. �⃗⃗� = 𝟎 
𝛁 = (
𝝏
𝝏𝒙
�̂� + 
𝝏
𝝏𝒚
�̂� + 
𝝏
𝝏𝒛
�̂�) 
𝛁 = vetor gradiente 
𝒑 = 𝒑(𝒙, 𝒚, 𝒛) = campo escalar 
Comumente, iremos considerar que a pressão só varia na direção da gravidade, logo 𝑝 =
 𝑝(𝑧). Da fórmula: 
• − ∇𝑝 + 𝜌. 𝑔 = 0 
• − [
𝜕
𝜕𝑥
 
𝜕
𝜕𝑦
 
𝜕
𝜕𝑧
] 𝑝(𝑧) + 𝜌. 𝑔 = 0 
• 𝜌[𝑔𝑥 𝑔𝑦 𝑔𝑧] = [
𝜕𝑝(𝑧)
𝜕𝑥
 
𝜕𝑝(𝑧)
𝜕𝑦
 
𝜕𝑝(𝑧)
𝜕𝑧
] 
• 𝜌[0 0 − 𝑔] = [
𝜕𝑝(𝑧)
𝜕𝑥
 
𝜕𝑝(𝑧)
𝜕𝑦
 
𝜕𝑝(𝑧)
𝜕𝑧
] 
• [0 0 − 𝜌𝑔] = [
𝜕𝑝(𝑧)
𝜕𝑥
 
𝜕𝑝(𝑧)
𝜕𝑦
 
𝜕𝑝(𝑧)
𝜕𝑧
] 
• 
{
 
 
 
 
𝜕𝑝(𝑧)
𝜕𝑥
= 0
𝜕𝑝(𝑧)
𝜕𝑦
 = 0
𝜕𝑝(𝑧)
𝜕𝑧
= −𝜌𝑔
→ 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 
Da ultima igualdade 
• 
𝜕𝑝(𝑧)
𝜕𝑧
= −𝜌𝑔 
• 𝑑𝑝 = −𝜌𝑔𝑑𝑧 
• ∫ 𝑑𝑝
𝑃𝑎𝑡𝑚
𝑃
= −𝜌𝑔∫ 𝑑𝑧
0
−ℎ
 
• 𝑃𝑎𝑡𝑚 − 𝑃 = −𝜌𝑔ℎ 
 
𝑷 = 𝑷𝒂𝒕𝒎 + 𝝆𝒈𝒉 
 
 Exemplo: 
Calcule a diferença de pressão entre o gás e a atmosfera (𝑃 − 𝑃𝑎𝑡𝑚) medida através do 
manômetro de tubo em U a seguir: 
 
• Princípio: pontos à mesma profundidade estão sentindo a mesma pressão 
• Pressão do lado esquerdo à profundidade h 𝑃𝑎𝑡𝑚 + 𝜌𝑔ℎ 
• Pressão do lado direito à profundidade h  𝑃 + 𝜌′𝑔ℎ 
• 𝜌  Densidade do líquido 
• 𝜌′ Densidade do gás 
• 𝑃  Pressão do gás 
• Utilizando o princípio: 
• 𝑃 + 𝜌′𝑔ℎ = 𝑃𝑎𝑡𝑚 + 𝜌𝑔ℎ 
• 𝑃 − 𝑃𝑎𝑡𝑚 = 𝜌𝑔ℎ − 𝜌
′𝑔ℎ 
• 𝑃 − 𝑃𝑎𝑡𝑚 = (𝜌 − 𝜌
′)𝑔ℎ 
• OBS: É de costume considerar a densidade do gás muito pequena à ponto que 
a diferença acima não diste muito da densidade do líquido. 
Empuxo 
Ao mergulharmos um objeto em um fluido, 
forças de pressão perpendiculares aparecem 
em todos os pontos da superfície. Veja o 
exemplo ao lado: as forças de pressão nas 
laterais se anulam, pois estão na mesma 
profundidade. No entanto, as forças de 
pressão da face superior são menores do que 
as da face inferior uma vez que a face inferior 
está A uma profundidade maior. O empuxo é 
exatamente o somatório das forças de pressão. Matematicamente, temos, considerando o 
objeto exemplo como um cubo, que: 
• 𝐹 = 𝐹 𝑍 = [
0
0
[𝑃𝑎𝑡𝑚 + 𝜌𝑔(ℎ + 𝑎)]𝑎²
] − [
0
0
[𝑃𝑎𝑡𝑚 + 𝜌𝑔ℎ]𝑎²
] 
• 𝐹 = 𝐹 𝑍 = [
0
0
[𝑃𝑎𝑡𝑚 + 𝜌𝑔(ℎ + 𝑎) − 𝑃𝑎𝑡𝑚 − 𝜌𝑔ℎ]𝑎²
] = [
0
0
[𝜌𝑔𝑎]𝑎²
] 
• 𝐹 = 𝐹 𝑍 = [
0
0
𝜌𝑔𝑎³
] = [
0
0
𝜌𝑉𝑔
] = [
0
0
𝑚𝑔
] 
Da matemática concluímos que a força de empuxo tem o módulo da massa de líquido 
deslocado pelo objeto imerso. 
 
 
Mais exemplos: 
 
Resolução: Considere que as pressões dentro do líquido em cada ponto do líquido estão 
maiores quanto mais profundos forem esses pontos do vidro. No entanto, do lado direito, há 
uma pressão uniformemente distribuída: a atmosférica. Como cada ponto imerso no fluido 
possui uma pressão equivalente à sua profundidade e à contribuição da atmosfera, a diferença 
das pressões será somente a contribuição do líquido. Matematicamente: 
𝑑𝐹 = (𝑃 − 𝑃𝑎𝑡𝑚)𝑑𝐴 
𝑑𝐹 = (𝑃𝑎𝑡𝑚 + 𝜌𝑔ℎ − 𝑃𝑎𝑡𝑚)𝑑𝐴 
𝑑𝐹 = 𝜌𝑔ℎ𝑑𝐴 
∫𝑑𝐹 = ∫𝜌𝑔ℎ𝑑𝐴 
Como a densidade do líquido não é em função da área, assim como a gravidade, chegamos à: 
𝐹 = 𝜌𝑔∫ℎ(𝐴)𝑑𝐴 = 𝜌𝑔∬𝑟. ℎ(𝑟, 𝜃)𝑑𝑟𝑑𝜃 
Imagine agora a seguinte imagem: 
• Z = 0  H = a 
• Z= a  H=0 
• Conclusão  H = a – Z 
• 𝑍 = 𝑅. sin(𝜃) 
• Assim  
𝐹 = 𝜌𝑔∬𝑎𝑟 − 𝑟². sin(𝜃) 𝑑𝑟𝑑𝜃 
𝐹 = 𝜌𝑔∬𝑎𝑟 𝑑𝑟𝑑𝜃 + 𝜌𝑔∬𝑟². sin(𝜃) 𝑑𝑟𝑑𝜃 
𝐹 = 𝜌𝑔𝑎 ∫
𝑅2
2
𝑑𝜃 + 𝜌𝑔∫
𝑅3
3
sin(𝜃) 𝑑𝜃 
𝐹 =
2𝜋𝜌𝑔𝑎𝑅2
2
 
𝐹 = 𝜋𝑅² ∙ 𝜌𝑔𝑎 
Perceba que a fórmula da força é a área do círculo vezes a pressão em seu centro. 
 
Para que a porta fique em repouso, a soma dos torques deve ser nula. O ponto A é o ponto no 
qual a porta gira e Fa é sua força de sustentação. Assim: 
• ∑𝜏 = 0 
• 𝑟 𝑥 𝐹𝐴⃗⃗⃗⃗ + 𝑟 
′ 𝑥 𝐹 + ∑ 𝜏𝑃 = 0 
O torque da força de sustentação é nulo e não importa a orientação que você escolha, o 
torque da força F sempre terá sentido diferente do somatório de torques das forças de 
pressão. A distância de aplicação da força F pro ponto A é de H, logo: 
• ∑𝜏𝑃 = 𝐻𝐹 
• ∫𝑑𝜏𝑃 = 𝐻𝐹 
• ∫ 𝑧. 𝑑𝐹𝑃 = 𝐻𝐹 
• ∫ 𝑧. (𝑃 − 𝑃𝑎𝑡𝑚)𝑑𝐴 = 𝐻𝐹 
• ∫ 𝑧. (𝑃𝑎𝑡𝑚 + 𝜌𝑔ℎ − 𝑃𝑎𝑡𝑚)𝑑𝐴 = 𝐻𝐹 
• ∫𝜌𝑔ℎ𝑧 𝑑𝐴 = 𝐻𝐹 
Como a área está sobre o plano XZ , conforme a figura, temos dA = dxdz. Veja que na 
orientação que escolhemos, quando Z=0, H=Hb e quando H=0, Z=-Hb. Assim, temos: Z = H-Hb. 
Reescrevendo: 
• ∫𝜌𝑔(𝑧 + 𝐻𝑏)𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑧 = 𝐻𝐹 
• ∫𝜌𝑔(𝑧² + 𝑧𝐻𝑏) 𝑑𝑥𝑑𝑧 = 𝐻𝐹 
• 𝜌𝑔 ∫ 𝑑𝑥 ∫ (𝑧² + 𝑧𝐻𝑏)𝑑𝑧
𝐻
0
𝐿
0
= 𝐻𝐹 
• 𝜌𝑔𝐿 [∫ 𝑧²𝑑𝑧
𝐻
0
+ ∫ 𝑧𝐻𝑏𝑑𝑧
𝐻
0
] = 𝐻𝐹 
• 𝜌𝑔𝐿 [
𝐻3
3
+
𝐻²𝐻𝑏
2
] = 𝐻𝐹 
• 𝐹 = 𝜌𝑔𝐿 [
𝐻2
3
+
𝐻𝐻𝑏
2
] 
Princípios de balanço em volumes de controle 
integrais 
O volume de controle é um volume escolhido arbitrariamente 
aonde queremos analisar o comportamento do escoamento 
de um fluido. Estudar os balanços requer o conhecimento dos 
fluxos dentro do volume. No caso do balanço de massa, 
consideremos o fluxo volumétrico e mássico: 
• 𝑄 = 𝑉. 𝐴 
Vazão volumétrica = velocidade vezes área 
• �̇� = 𝜌𝑄 = 𝜌. 𝑉. 𝐴 
Vazão mássica = densidade vezes velocidade vezes área 
Intuitivamente, podemos pensar assim: 
{
𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 
á𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑜 𝑛𝑜
𝑉𝐶
} = {
𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎
𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑛𝑜
𝑉𝐶
} − {
𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑠𝑎í𝑑𝑎
𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑛𝑜
𝑉𝐶
} 
Matematicamente: 
𝝏
𝝏𝒕
 ∫ 𝝆𝒅𝑽
 
𝑽𝑪
= − ∫ 𝝆(�⃗⃗� . �⃗⃗� )𝒅𝑨
 
𝑺𝑪
 
A fórmula acima relaciona volume com área. Veja que existe um produto escalar entre 
velocidade e vetor normal da área. Como produto vetorial de dois vetores é igual ao módulo 
dos dois multiplicados vezes o cosseno no ângulo que eles fazem, se o vetor V (ou então sua 
decomposição) tem mesma direção e sentido, o ângulo é 0 e o cosseno é 1, portanto a 
integral, de resultado positivo, é negativado.O sinal de menos ali simplesmente indica isso: a 
taxa de acúmulo é negativa porque há saída de massa no VC. Se apontam para direções 
diferentes há entrada de massa no VC pois o cosseno será de 180 graus, que é -1. 
É equivalente dizer que o produto escalar (�⃗� . �⃗� ) é igual à ‖�⃗� 𝑛‖, isto é, o módulo ou norma da 
projeção do vetor V sobre o vetor normal. 
Quando o fluido é compressível, uma equação ode estado é necessária para descrever a 
densidade em função de x,y,z. Caso contrário, é tratada como constante e sai da integral. 
 
 
Exemplo: Considere o escoamento estacionário e 
incompressível através do sistema a seguir. 
Determine a magnitude e a direção da velocidade 
através da abertura 3. 
 
Escoamento estacionário significa ausência de 
taxa de acúmulo. Isto é, no volume analisado, 
todo líquido que entra sai de alguma forma. Existe 
no esquema acima três regiões: uma de entrada, uma de saída e outra desconhecida. Da 
fórmula de balanço de massa, temos: 
• 
𝜕
𝜕𝑡
 ∫ 𝜌𝑑𝑉
 
𝑉𝐶
= − ∫ 𝜌(�⃗� . �⃗� )𝑑𝐴
 
𝑆𝐶
 
• ∫ 𝜌(�⃗� . �⃗� )𝑑𝐴
 
𝑆𝐶
= 0 
• ∫ (�⃗� . �⃗� )𝑑𝐴
 
𝑆𝐶
= 0 
Vamos chamar de 1 a área de entrada à esquerda, 2 a área de entrada a direita e 3 a área de 
entrada superior. Perceba que o vetor normal da área em 1 está em direção contrária ao vetor 
V, o que não acontece na área 2. Logo temos cosseno de 180º no primeiro caso e de 0º no 
segundo: 
• ∫ 𝑉2𝑑𝐴2
 
2
− ∫ 𝑉1𝑑𝐴1
 
1
+ ∫ (�⃗� 3. �⃗� )𝑑𝐴3
 
3
= 0 
• 𝑉2 ∫ 𝑑𝐴2
 
2
− 𝑉1 ∫ 𝑑𝐴1
 
1
+ ∫ (�⃗� 3. �⃗� )𝑑𝐴3
 
3
= 0 
• 𝑉2𝐴2 − 𝑉1𝐴1 + ∫ (�⃗� 3. �⃗� )𝑑𝐴3
 
3
= 0 
• 15 − 10 + ∫ (�⃗� 3. �⃗� )𝑑𝐴3
 
3
= 0 
• ∫ (�⃗� 3. �⃗� )𝑑𝐴3
 
3
= −5 
Veja que o valor deu negativo. A única coisa que muda sinais ai é a direção dos vetores normal 
e velocidade. 𝑉3, que queremos, é um módulo e portanto não pode ser negativo. Os vetores 
devem estar então à um ângulo de 180º para o cosseno dar -1. Se o vetor normal, por 
convenção, está pra fora, então na região 3 há entrada de fluido. Terminando os cálculos: 
• ∫ (�⃗� 3. �⃗� )𝑑𝐴3
 
3
= −5 
• −∫ 𝑉3𝑑𝐴3
 
3
= −5 
• −𝑉3𝐴3 = −5 
• 𝑉3(0,2) = 5 
• 𝑉3 = 25 𝑓𝑡/𝑠 
É importante frisar que na resolução acima foi considerado que o perfil de velocidades nas 
encanações era linear, isto é, não variava conforme a área. Se variasse, não poderíamos retirá-
lo da integral. Podemos ainda fazer o balanço de momento linear, ao invés do balanço de 
massa. Voltando à física 1: 
𝐹 = 𝑚𝑎 = 
𝑚𝑣 
𝑡
=
�⃗� 
𝑡
 → 𝑑𝐹 = 
𝑑�⃗� 
𝑑𝑡
 
Podemos entender forças como variação de momento linear com o tempo. Forças externas, 
portanto, geram/consomem momento linear. O balanço de momento linear fica: 
{
𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑎𝑐ú𝑚𝑢𝑙𝑜
𝑑𝑒 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 
𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟 𝑛𝑜 𝑉𝐶
} = {
𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎
𝑑𝑒 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 
𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟 𝑛𝑜 𝑉𝐶
} − {
𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑠𝑎í𝑑𝑎
𝑑𝑒 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 
𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟 𝑛𝑜 𝑉𝐶
} ± {
𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑔𝑒𝑟𝑎çã𝑜/𝑐𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑜
𝑑𝑒 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟 
𝑛𝑜 𝑉𝐶
} 
𝝏
𝝏𝒕
 ∫ 𝝆�⃗⃗� 𝒅𝑽
 
𝑽𝑪
= − ∫ 𝝆�⃗⃗� (�⃗⃗� . �⃗⃗� )𝒅𝑨
 
𝑺𝑪
+ ∑ �⃗⃗� 
Onde ∑𝐹 representa a geração ou o consumo de momento linear no VC. 
 
Antes de começarmos, preste atenção nas seguintes considerações: 
• Se o enunciado falar que está olhando de cima, desconsiderar força peso. 
• Escolher SC que passe onde queremos calcular a força. 
• O jato, ao sair, adquire a pressão atmosférica. 
Para as contas de momento: 
• 
𝜕
𝜕𝑡
 ∫ 𝜌�⃗� 𝑑𝑉
 
𝑉𝐶
= − ∫ 𝜌�⃗� (�⃗� . �⃗� )𝑑𝐴
 
𝑆𝐶
+ ∑𝐹 
• 0 = − 𝜌 ∫ �⃗� (�⃗� . �⃗� )𝑑𝐴
 
𝑆𝐶
+ ∑𝐹 
• 𝜌 ∫ �⃗� (�⃗� . �⃗� )𝑑𝐴
 
𝑆𝐶
= ∑𝐹 
Para as contas de massa: 
• 
𝜕
𝜕𝑡
 ∫ 𝜌𝑑𝑉
 
𝑉𝐶
= − ∫ 𝜌(�⃗� . �⃗� )𝑑𝐴
 
𝑆𝐶
 
• ∫ 𝜌(�⃗� . �⃗� )𝑑𝐴
 
𝑆𝐶
= ∫ (�⃗� . �⃗� )𝑑𝐴
 
𝑆𝐶
= 0 
• ∫ (�⃗� . �⃗� )𝑑𝐴
 
𝑆𝐶
= ∫ �⃗� 2𝑑𝐴2
 
2
− ∫ �⃗� 1𝑑𝐴1
 
1
= 0 
• ∫ �⃗� 2𝑑𝐴2
 
2
− ∫ �⃗� 1𝑑𝐴1
 
1
→ 𝑉2𝐴2 = 𝑉1𝐴1 = 𝑄 
Veja no entanto que: 
• 𝐴2 < 𝐴1 
• 
𝑄
𝑉2
< 
𝑄
𝑉1
 
• 𝑉1 < 𝑉2 
O fluido é incompressível então a mudança de 
diâmetro da tubulação causou ao invés de compressão 
no fluido um aumento de velocidade, isto é, energia 
cinética foi fornecida ao fluido. 
Para continuar as contas de momento, vamos escolher 
um volume de controle e entender todas as forças que 
atuam sobre ele. 
∑𝐹 = 𝐹 𝑃 + 𝐹 𝑎𝑡𝑚 + 𝐹 𝐹𝑙𝑎𝑛𝑔𝑒 + 𝐹 𝐿𝑖𝑞 
As forças da flange na direção Y e a força peso se 
anulam. Caso contrário, a flange sairia do lugar. As 
forças de pressão atmosférica também se anulam no 
eixo y. Assim, não existe resultante na componente Y 
da soma de forças, só da componente X. A fórmula fica: 
∑𝐹 = 𝐹 𝑎𝑡𝑚𝑋 + 𝐹
 
𝐹𝑙𝑎𝑛𝑔𝑒𝑋
+ 𝐹 𝐿𝑖𝑞𝑋 
Força é pressão sobre área. A pressão na área esquerda é igual à pressão da coluna de líquido 
vezes a área 1. Dada a simetria do problema, a área do lado direito também é a área 1, mas a 
pressão é a atmosférica. No mesmo sentido das forças de pressão atmosférica estã a força da 
flange no eixo X. Assim: 
‖∑𝐹 ‖ = −𝑃𝑎𝑡𝑚𝐴1 − 𝐹𝐹𝑙𝑎𝑛𝑔𝑒𝑋 + 𝑃𝐿𝑖𝑞𝐴1 
∑𝐹 = [
𝐴1(𝑃𝐿𝑖𝑞 − 𝑃𝑎𝑡𝑚 ) − 𝐹𝐹𝑙𝑎𝑛𝑔𝑒𝑋
0
] 
Do balanço de momento, podemos chegar à uma outra expressão pra soma de forças que usa 
dados mais simples de se obter: 
𝜌∫ �⃗� (�⃗� . �⃗� )𝑑𝐴
 
𝑆𝐶
= ∑𝐹 
𝜌∫ �⃗� 1(�⃗� 1. �⃗� )𝑑𝐴1
 
1
+ 𝜌∫ �⃗� 2(�⃗� 2. �⃗� )𝑑𝐴2
 
2
 = ∑𝐹 
Como a velocidade não varia com a área, nem a 1 nem a 2, podemos retirar as duas 
velocidades da integral: tanto a dentro quanto a fora do produto escalar. Atente-se aos sinais: 
em A1 o vetor velocidade e o vetor normal da área estão em sentidos diferentes. O ângulo de 
180º nos da um cosseno de menos 1. Assim: 
𝜌�⃗� 2𝑉2∫𝑑𝐴2
 
2
− 𝜌�⃗� 1𝑉1∫𝑑𝐴1
 
1
 = ∑𝐹 
 ∑𝐹 = 𝜌�⃗� 2𝑉2𝐴2 − 𝜌�⃗� 1𝑉1𝐴1 
∑𝐹 = (𝜌𝑉2
2𝐴2 − 𝜌𝑉1
2𝐴1)�̂� 
∑𝐹 = [𝜌𝑉2
2𝐴2 − 𝜌𝑉1
2𝐴1
0
] 
Podemos entender o último resultado acima como a diferença de momento linear que ocorre 
por causa da força. Podemos igualar as duas fórmulas agora: 
[𝜌𝑉2
2𝐴2 − 𝜌𝑉1
2𝐴1
0
] = [
𝐴1(𝑃𝐿𝑖𝑞 − 𝑃𝑎𝑡𝑚 ) − 𝐹𝐹𝑙𝑎𝑛𝑔𝑒𝑋
0
] 
𝜌𝑉2
2𝐴2 − 𝜌𝑉1
2𝐴1 = 𝐴1(𝑃𝐿𝑖𝑞 − 𝑃𝑎𝑡𝑚 ) − 𝐹𝐹𝑙𝑎𝑛𝑔𝑒𝑋 
𝜌𝑉2
2𝐴2 − 𝜌𝑉1
2𝐴1 = 𝑃𝑀𝑎𝑛𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎𝐴1 − 𝐹𝐹𝑙𝑎𝑛𝑔𝑒𝑋 
Desenvolvendo a formula acima em função do diâmetro de entrada e saída da flange, 
chegamos à: 
𝐹𝐹𝑙𝑎𝑛𝑔𝑒 = [
4𝜌𝑄2
𝜋
 ∙ (
1
𝐷2
2 − 
1
𝐷1
2) −
𝑃𝑀𝑎𝑛. 𝜋. 𝐷1
2
4
𝑚𝑔
] 
Vamos agora tratar de balanço de energia. 
{
𝒕𝒂𝒙𝒂 𝒅𝒆 𝒂𝒄ú𝒎𝒖𝒍𝒐
𝒅𝒆 𝒆𝒏𝒆𝒓𝒈𝒊𝒂 
𝒏𝒐 𝑽𝑪
} = {
𝒕𝒂𝒙𝒂 𝒅𝒆 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒂𝒅𝒂
𝒅𝒆 𝒆𝒏𝒆𝒓𝒈𝒊𝒂 
𝒏𝒐 𝑽𝑪
} − {
𝒕𝒂𝒙𝒂 𝒅𝒆 𝒔𝒂í𝒅𝒂
𝒅𝒆 𝒆𝒏𝒆𝒓𝒈𝒊𝒂 
𝒏𝒐 𝑽𝑪
} ± {
𝒕𝒂𝒙𝒂 𝒅𝒆 𝒂𝒅𝒊çã𝒐/𝒓𝒆𝒕𝒊𝒓𝒂𝒅𝒂
𝒅𝒆 𝒄𝒂𝒍𝒐𝒓 
𝒏𝒐 𝑽𝑪
} ± {
𝒕𝒂𝒙𝒂 𝒅𝒆 𝒂𝒅𝒊çã𝒐/𝒓𝒆𝒕𝒊𝒓𝒂𝒅𝒂
𝒅𝒆 𝒕𝒓𝒂𝒃𝒂𝒍𝒉𝒐 
𝒏𝒐 𝑽𝑪
} 
𝝏
𝝏𝒕
 ∫ 𝝆 ∙ 𝒆 ∙ 𝒅𝑽
 
𝑽𝑪
= − ∫ 𝝆 ∙ 𝒆 ∙ (�⃗⃗� . �⃗⃗� )𝒅𝑨
 
𝑺𝑪
+ �̇� + �̇� 
𝒆 = 𝒖 +
𝒗𝟐
𝟐
+ 𝒈𝒛 
O termo de energia está em minúsculo porque se trata de uma grandeza extensiva, isto é, 
energia/unidade de massa. Veja que v²/2 se assemelha à fórmula da energia cinética, só que 
sem o “m”. Na real, É a fórmula da energia cinética. O termo “e” soma a energia interna 
específica com a energia cinética específica e a energia potencial gravitacional específica. 
Os termos com um “pontinho” em cima das letras sãovariações temporais de calor e trabalho. 
Variação de trabalho é potência. Relembrando o significado de potência e trabalho 
• �̇� =
𝑑𝑊
𝑑𝑡
= 𝑃 
• 𝑊 = 𝐹. 𝑑𝑒𝑠𝑙𝑜𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 = 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 
• �̇� = 𝐹.
𝑑
𝑡
= 𝐹. 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 
• Quando o trabalho é realizado sobre o sistema  �̇� > 0 
• Quando o trabalho é realizado pelo sistema �̇� < 0 
 
Podemos destrinchar o trabalho da seguinte forma: 
�̇� = �̇�𝑺 + �̇�𝒏𝒐𝒓𝒎𝒂𝒍 + �̇�𝒄𝒊𝒔𝒂𝒍𝒉𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 + �̇�𝒐𝒖𝒕𝒓𝒐𝒔 
• �̇�𝑆 → 𝑝𝑜𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑖𝑥𝑜; 𝑏𝑜𝑚𝑏𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑎𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎, 𝑡𝑢𝑟𝑏𝑖𝑛𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑟𝑒𝑡𝑖𝑟𝑎 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 
• �̇�𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 → 𝑝𝑜𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑓𝑜𝑟ç𝑎𝑠 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑖𝑠 
• �̇�𝑐𝑖𝑠𝑎𝑙ℎ𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 → 𝑝𝑜𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑓𝑜𝑟ç𝑎𝑠 𝑐𝑖𝑠𝑎𝑙ℎ𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 
• �̇�𝑜𝑢𝑡𝑟𝑜𝑠 → 𝑝𝑜𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑓𝑜𝑟ç𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑜𝑢𝑡𝑟𝑎𝑠 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑒𝑧𝑎 
Analisando somente o trabalho das forças normais. Se são normais o tensor tensão fica: 
𝜏 = [
𝜎𝑥 𝜏𝑦𝑥 𝜏𝑧𝑥
𝜏𝑥𝑦 𝜎𝑦 𝜏𝑧𝑦
𝜏𝑥𝑧 𝜏𝑦𝑧 𝜎𝑧
] = [
𝜎𝑥 0 0
0 𝜎𝑦 0
0 0 𝜎𝑧
] = [
−𝑝 0 0
0 −𝑝 0
0 0 −𝑝
] = −𝑝. 𝐼𝑑 
As maiores contribuições para tensões normais são pressões, portanto substituímos elas por 
pressões. Id é a matriz identidade. Considerando os valores infinitesimais de forças de pressão 
e prosseguindo com as contas, tempos: 
𝑑𝐹𝑃⃗⃗⃗⃗ = 𝜏. 𝑑𝐴 = −𝑝𝐼𝑑. 𝑑𝐴 = −𝑝𝑑𝐴 = −𝑝. �⃗� . 𝑑𝐴 
• �̇� = 𝐹. 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 
• 𝑑�̇�𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 = �⃗� . 𝑑𝐹𝑃⃗⃗⃗⃗ = −𝑝. �⃗� . �⃗� . 𝑑𝐴 
• �̇�𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 = ∫−𝑝(�⃗� . �⃗� )𝑑𝐴 
• 𝜌. 𝑣 = 1 , 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑣 = 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐í𝑓𝑖𝑐𝑜, 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑜 𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 
• �̇�𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 = ∫−𝑝. 𝜌. 𝑣(�⃗� . �⃗� )𝑑𝐴 
Se 
• 
𝜕
𝜕𝑡
 ∫ 𝜌 ∙ 𝑒 ∙ 𝑑𝑉
 
𝑉𝐶
= − ∫ 𝜌 ∙ (𝑢 +
𝑣2
2
+ 𝑔𝑧) ∙ (�⃗� . �⃗� )𝑑𝐴
 
𝑆𝐶
+ �̇� + �̇� 
• 
𝜕
𝜕𝑡
 ∫ 𝜌 ∙ 𝑒 ∙ 𝑑𝑉
 
𝑉𝐶
= − ∫ 𝜌 ∙ (𝑢 +
𝑣2
2
+ 𝑔𝑧) ∙ (�⃗� . �⃗� )𝑑𝐴
 
𝑆𝐶
+ �̇� + �̇�𝑆 + �̇�𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 + �̇�𝑐𝑖𝑠𝑎𝑙ℎ𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 + �̇�𝑜𝑢𝑡𝑟𝑜𝑠 
• 
𝜕
𝜕𝑡
 ∫ 𝜌 ∙ 𝑒 ∙ 𝑑𝑉
 
𝑉𝐶
= − ∫ 𝜌 ∙ (𝑢 +
𝑣2
2
+ 𝑔𝑧) ∙ (�⃗� . �⃗� )𝑑𝐴
 
𝑆𝐶
+ �̇� − ∫𝑝. 𝜌.𝑣 (�⃗⃗⃗� . �⃗⃗� )𝑑𝐴+ �̇�𝑆 + �̇�𝑐𝑖𝑠𝑎𝑙ℎ𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 + �̇�𝑜𝑢𝑡𝑟𝑜𝑠 
𝜕
𝜕𝑡
 ∫ 𝜌 ∙ 𝑒 ∙ 𝑑𝑉
 
𝑉𝐶
= − ∫ 𝜌 ∙ (𝒖 + 𝒑.𝒗+
𝒗𝟐
𝟐
+ 𝒈𝒛) ∙ (�⃗� . �⃗� )𝑑𝐴
 
𝑆𝐶
+ �̇�+ �̇�𝑆 + �̇�𝑐𝑖𝑠𝑎𝑙ℎ𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 + �̇�𝑜𝑢𝑡𝑟𝑜𝑠 
 
O termo 𝑢 + 𝑝. 𝑣 tem um nome: entalpia específica. É comumente representado por “h”, logo: 
𝝏
𝝏𝒕
 ∫ 𝝆𝒆𝒅𝑽
 
𝑽𝑪
= − ∫ (𝒉+
𝒗𝟐
𝟐
+ 𝒈𝒛)𝝆(�⃗⃗� . �⃗⃗� )𝒅𝑨
 
𝑺𝑪
+ �̇�+ �̇� 
∗
 
• �̇� 
∗
= 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑙ℎ𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑛ã𝑜 𝑜𝑠 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑖𝑠 
• ℎ = 𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙𝑝𝑖𝑎 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐í𝑓𝑖𝑐𝑎 = 𝑢+ 𝑝. 𝑣 
• 𝜌 ∙ (�⃗� . �⃗� )𝑑𝐴 = 𝑣𝑎𝑧ã𝑜 𝑚á𝑠𝑠𝑠𝑖𝑐𝑎 
Tipos de sistema 
• Sistema aberto  onde se verificam trocas de energia e de matéria com a vizinhança 
do VC. 
• Sistema fechado  onde ocorrem apenas transferências de energia com a vizinhança 
do VC. 
• Sistema isolado  não há permutas de energia nem de matéria com a vizinhança do 
VC. 
Exemplo 1  Sistema fechado  ΔU=𝑄+𝑊  VC Fixo no tempo 
Sistema aberto e em regime permanente, com somente uma corrente de entrada e uma de 
saída, com velocidades normais às áreas de entrada/saída, propriedades uniformes ao longo 
destas áreas e variações de energia potencial gravitacional e de energia cinética das correntes 
considerados desprezíveis. 
• ∆𝑈 = ∆𝐸 = 𝑄 +𝑊 
• 
𝜕𝐸
𝜕𝑡
= �̇� + �̇� = 
𝜕
𝜕𝑡
 ∫ 𝜌𝑒𝑑𝑉
 
𝑉𝐶
+ ∫ (ℎ +
𝑣2
2
+ 𝑔𝑧)𝜌(�⃗� . �⃗� )𝑑𝐴
 
𝑆𝐶
 
Sendo V=0 
• 
𝜕𝐸
𝜕𝑡
= = 
𝜕
𝜕𝑡
 ∫ 𝜌𝑒𝑑𝑉
 
𝑉𝐶
 
Cortando 
𝜕
𝜕𝑡
 
• 𝐸 = ∫ 𝜌. 𝑒. 𝑑𝑉
 
𝑉𝐶
 (𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑛𝑜 𝑉𝐶) 
• 𝑒 = 𝑢 +
𝑣2
2
+ 𝑔𝑧 
Exemplo 2  Sistema aberto  ΔH=𝑄+𝑊 
• 
𝜕
𝜕𝑡
 ∫ 𝜌𝑒𝑑𝑉
 
𝑉𝐶
= − ∫ (ℎ +
𝑣2
2
+ 𝑔𝑧) 𝜌(�⃗� . �⃗� )𝑑𝐴
 
𝑆𝐶
+ �̇� + �̇� 
Como não há acúmulo: 
• �̇� + �̇� = ∫ (ℎ +
𝑣2
2
+ 𝑔𝑧)𝜌(�⃗� . �⃗� )𝑑𝐴
 
𝑆𝐶
 
• �̇� + �̇� = [(ℎ +
𝑣2
2
+ 𝑔𝑧)𝜌�⃗� ∫ 𝑑𝐴
 
 
]
𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎
 − [(ℎ +
𝑣2
2
+ 𝑔𝑧)𝜌�⃗� ∫ 𝑑𝐴
 
 
]
𝑠𝑎í𝑑𝑎
 
Supondo energia potencial gravitacional e cinética desprezíveis, temos: 
• �̇� + �̇� = [ℎ𝜌�⃗� ∫ 𝑑𝐴
 
 
]
𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎
 − [ℎ𝜌�⃗� ∫ 𝑑𝐴
 
 
]
𝑠𝑎í𝑑𝑎
 
• �̇� + �̇� = [ℎ𝜌�⃗� 𝐴]𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 − [ℎ𝜌�⃗�
 𝐴]
𝑠𝑎í𝑑𝑎
 
• 𝜌�⃗� 𝐴 = �̇� = 𝑣𝑎𝑧ã𝑜 𝑚á𝑠𝑠𝑖𝑐𝑎 
• �̇� + �̇� = [ℎ�̇�]𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 − [ℎ�̇�]𝑠𝑎í𝑑𝑎 
Assim, por fim, temos: 
• ∆�̇� = �̇� + �̇� = ∆ℎ�̇� 
Equação de Bernoulli 
A equação de Bernoulli é um desenvolvimento do balanço de energia para situações 
específicas. O escoamento deve ser: 
• Permanente (∂/∂t = 0); 
• Incompressível (ρ constante); 
• �̇�𝑐𝑖𝑠=�̇�𝑆=�̇� 𝑜𝑢𝑡𝑟𝑜𝑠=0 (ausência de forças viscosas); 
• Em um VC limitado por duas linhas de corrente, isto é, só há entrada ou saída através 
de A1 e A2; 
• Com propriedades uniformes ao longo de A1 e A2 (exemplo: V em A1 é 𝑉1); 
Exemplo de sistema: 
 
Contas: 
𝝏
𝝏𝒕
 ∫ 𝝆𝒆𝒅𝑽
 
𝑽𝑪
= − ∫ (𝒉 +
𝒗𝟐
𝟐
+ 𝒈𝒛)𝝆(�⃗⃗� . �⃗⃗� )𝒅𝑨
 
𝑺𝑪
+ �̇� + �̇� 
∗
 
• 0 = − ∫ (ℎ +
𝑣2
2
+ 𝑔𝑧) 𝜌(�⃗� . �⃗� )𝑑𝐴
 
𝑆𝐶
+ �̇� 
• 0 = − [∫ (ℎ +
𝑣2
2
+ 𝑔𝑧) 𝜌𝑉𝑑𝐴
 
𝑆𝑎í𝑑𝑎
− ∫ (ℎ +
𝑣2
2
+ 𝑔𝑧)𝜌𝑉𝑑𝐴
 
𝐸𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎
] + �̇� 
• [(ℎ +
𝑣2
2
+ 𝑔𝑧)
𝑆𝐴Í𝐷𝐴
𝜌𝑉𝐴1 − (ℎ +
𝑣2
2
+ 𝑔𝑧)
𝐸𝑁𝑇𝑅𝐴𝐷𝐴
𝜌𝑉𝐴2] = �̇� 
• [(ℎ +
𝑣2
2
+ 𝑔𝑧)
𝑆𝐴Í𝐷𝐴
𝜌𝑉𝐴1 − (ℎ +
𝑣2
2
+ 𝑔𝑧)
𝐸𝑁𝑇𝑅𝐴𝐷𝐴
𝜌𝑉𝐴2] = �̇� 
• 𝜌𝑉𝐴 = �̇� = 𝑣𝑎𝑧ã𝑜 𝑚á𝑠𝑠𝑖𝑐𝑎 
• (ℎ +
𝑣2
2
+ 𝑔𝑧)
𝑆𝐴Í𝐷𝐴
�̇�1 = �̇� + (ℎ +
𝑣2
2
+ 𝑔𝑧)
𝐸𝑁𝑇𝑅𝐴𝐷𝐴
�̇�2 
O resultado acima expressa que a energia que sai em 2 é a energia que entra em 1 + a energia 
recebida em forma de calor. Balanço de massa nesse regime, permanente: 
• 
𝜕
𝜕𝑡
 ∫ 𝜌𝑑𝑉
 
𝑉𝐶
= − ∫ 𝜌(�⃗� . �⃗� )𝑑𝐴
 
𝑆𝐶
 
• 0 = ∫ 𝜌(�⃗� . �⃗� )𝑑𝐴
 
𝑆𝐶
  𝜌1𝑉1𝐴1 = 𝜌2𝑉2𝐴2  �̇�1 = �̇�2 = �̇� 
Aplicando o resultado na equação anterior: 
• (ℎ +
𝑣2
2
+ 𝑔𝑧)
𝑆𝐴Í𝐷𝐴
=
�̇�
�̇�
+ (ℎ +
𝑣2
2
+ 𝑔𝑧)
𝐸𝑁𝑇𝑅𝐴𝐷𝐴
 
• (𝑢 + 𝑝. 𝑣 +
𝑣2
2
+ 𝑔𝑧)
𝑆𝐴Í𝐷𝐴
=
�̇�
�̇�
+ (𝑢 + 𝑝. 𝑣 +
𝑣2
2
+ 𝑔𝑧)
𝐸𝑁𝑇𝑅𝐴𝐷𝐴
 
• [𝑢2 + 𝑝2. 𝑣2 +
𝑣2
2
2
+ 𝑔𝑧2] − [𝑢1 + 𝑝1. 𝑣1 +
𝑣1
2
2
+ 𝑔𝑧1] =
�̇�
�̇�
 
• [𝑝2. 𝑣2 +
𝑣2
2
2
+ 𝑔𝑧2] − [𝑝1. 𝑣1 +
𝑣1
2
2
+ 𝑔𝑧1] =
�̇�
�̇�
− (𝑢2 − 𝑢1) 
Sendo: 
• 
Então 
[
𝒑𝟐
𝝆
+
𝒗𝟐
𝟐
𝟐
+ 𝒈𝒛𝟐] − [
𝒑𝟏
𝝆
+
𝒗𝟏
𝟐
𝟐
+ 𝒈𝒛𝟏] =
�̇�
�̇�
− (𝒖𝟐 − 𝒖𝟏) 
Do lado esquerdo temos a variação da energia mecânica e do lado direito, energia térmica. 
Perceba que os dois lados estão escritos como ENERGIA/MASSA. Se a variação da energia 
interna é dada somente pelo calor, podemos fazer duas implicações: 
[
𝑝2
𝜌
+
𝑣2
2
2
+ 𝑔𝑧2] − [
𝑝1
𝜌
+
𝑣1
2
2
+ 𝑔𝑧1] =
�̇�
�̇�
− (𝑢2 − 𝑢1) = 0 
1. [
𝑝2
𝜌
+
𝑣2
2
2
+ 𝑔𝑧2] − [
𝑝1
𝜌
+
𝑣1
2
2
+ 𝑔𝑧1] = 0 
2. 
�̇�
�̇�
− (𝑢2 − 𝑢1) 
Da implicação 2 tiramos que: 
�̇�
�̇�
= (𝒖𝟐 − 𝒖𝟏) 
E tiramos também a equação de Bernoulli 
𝒑𝟐
𝝆
+
𝒗𝟐
𝟐
𝟐
+ 𝒈𝒛𝟐 = 
𝒑𝟏
𝝆
+
𝒗𝟏
𝟐
𝟐
+ 𝒈𝒛𝟏 
Para a equação ser válida, o fluido não pode esquentar com atrito. A expressão anterior, quenos fornece a Eq.Bernoulli, expressa como efeitos mecânicos PODEM se tornar efeitos 
térmicos. 
Exemplo 1  
 
Escolher um VC com duas linhas de corrente muito próximas de forma que possamos admitir 
Eq.Bernoulli sobre uma linha. 
 
Escoamento invíscido e ausência de potências de eixo no VC tornam a potência nula. As 
propriedades ao longo da área 1 e 2 são constantes (a área é um círculo muito pequeno 
porque as linhas estão muito próximas). O líquido é incompressível e o regime é permanente. 
Todas as condições para a Eq. De Bernoulli estão satisfeitas. Sendo assim: 
• 
𝑝2
𝜌
+
𝑣2
2
2
+ 𝑔𝑧2 = 
𝑝1
𝜌
+
𝑣1
2
2
+ 𝑔𝑧1 
• 
𝑝2
𝜌
+
𝑣2
2
2
= 
𝑝1
𝜌
+
𝑣1
2
2
 , pois 𝑧2 = 𝑧1 = 𝑧 
• 2𝑝2 + 𝜌𝑣2
2 = 2𝑝1 + 𝜌𝑣1
2 
• 2 (𝑝2 − 𝑝1) = 𝜌(𝑣1
2 − 𝑣2
2 ) 
• 𝑝2 − 𝑝1 = 
𝜌
2
(𝑣1
2 − 𝑣2
2 ) 
• 𝑝2 = 𝑝1 + 
𝜌
2
(𝑣1
2 − 𝑣2
2 ) 
Tomando outro volume de controle e fazendo seu balanço de massa: 
• 
• 
𝜕
𝜕𝑡
 ∫ 𝜌𝑑𝑉
 
𝑉𝐶
= − ∫ 𝜌(�⃗� . �⃗� )𝑑𝐴
 
𝑆𝐶
 
• ∫ 𝜌(�⃗� . �⃗� )𝑑𝐴
 
𝑆𝐶
= 0 
• 𝜌𝑉1𝐴1 = 𝜌𝑉2𝐴2 
• 𝑉1𝐴1 = 𝑉2𝐴2 = 𝑄 
• 𝑉1 =
𝑄
𝐴1
=
4𝑄
𝜋𝐷1
2 
• 𝑉2 =
𝑄
𝐴2
=
4𝑄
𝜋𝐷2
2 
Juntando o resultado à EQ. Bernoulli temos: 
𝑝2 = 𝑝1 + 
𝜌
2
(
4𝑄
𝜋
)
2
(
1
𝐷1
2
2
−
1
𝐷2
2
2
 ) 
Perceba que 𝑉2 > 𝑉1.Como o fluido é incompressível, ao afunilar convertemos trabalho de 
forças de pressão em energia cinética. A velocidade maior compensa o volume menor 
mantendo a vazão constante. 
Exemplo 2  
 
• 
𝑝2
𝜌
+
𝑣2
2
2
+ 𝑔𝑧2 = 
𝑝1
𝜌
+
𝑣1
2
2
+ 𝑔𝑧1 , {
𝑧1 = 0m
𝑧2 = 15m 
 
• 
2𝑝2−2𝑝1+ 𝜌𝑣2
2−𝜌𝑣1
2 
2𝜌
= 𝑔(𝑧1 − 𝑧2) 
• 2(𝑝2 − 𝑝1) + 𝜌(𝑣2
2 − 𝑣1
2) = −2𝜌𝑔𝑧2 
• 2(𝑝2 − 𝑝1) = −2𝜌𝑔𝑧2 − 𝜌(𝑣2
2 − 𝑣1
2) 
• 2(𝑝2 − 𝑝1) = −𝜌 [2𝑔𝑧2 + 𝑣2
2 − 𝑣1
2] 
• 𝑝2 − 𝑝1 = −𝜌 [𝑔𝑧2 + 
𝑣2
2−𝑣1
2
2
] 
• 𝑝2 = 𝑝1 − 𝜌 [𝑔𝑧2 + 
𝑣2
2−𝑣1
2
2
] 
• 𝑝2 = 𝑝1 − 𝜌 [𝑔𝑧2 + ∆𝑘] 
Segundo o enunciado, 𝑣2 = 𝑣1, logo não há variação de energia cinética. Assim, 
reescrevemos: 
• 𝑝2 = 𝑝1 − 𝜌𝑔𝑧2 
Usando números: 
• 𝑝2 = 340000 − 1001 ∙ 9,81 ∙ 15 
• 𝑝2 = 340000 − 147297,15 
• 𝑝2 = 192702,85 𝑃𝑎 
• 𝑝2 = 192,7𝑘𝑃𝑎 
Para a segunda pergunta, usamos: 
• 
�̇�
�̇�
= (𝑢2 − 𝑢1) = ∆𝑢 
• ∆𝑢 =
(𝑄/𝑡)
(𝑚/𝑡)
=
𝑄
𝑚
 
O calor doado é a própria variação de energia interna. Essa é uma das condições da Eq. De 
Bernoulli e da equação acima: a variação da energia interna é dada somente pelo calor. Logo: 
• ∆𝑢 = 2. 105
𝐽
𝐾𝑔
 
 
Princípios de balanço na forma diferencial 
Antes de começarmos a enunciar a forma diferencial, vamos deixar claros alguns conceitos 
sobre campos de escoamento: 
• Linha de trajetória (pathline): percurso deixado por uma partícula fluida em 
movimento; 
• Linha de emissão (streakline): une as partículas fluidas que passam por determinado 
ponto do escoamento; 
• Linha de corrente (streamline): em um dado instante, é tangente ao vetor velocidade 
em cada ponto do campo. 
• OBS.: Em um escoamento permanente, as linhas de trajetória, corrente e emissão são 
coincidentes. 
Macete visual: Imagine que você gerou bolhas em água escoando.A linha de trajetória é o 
percurso descrito por uma bolha gerada. A linha de emissão é a união de um conjunto de 
bolhas. Em um escoamento permanente as linhas se coincidem mas em um escoamento 
transiente o percurso de todas as bolhas que saíram num mesmo intervalo de tempo não é 
igual ao percurso de uma bolha única. 
Será que é possível, no entanto, descrever uma equação para a linha de corrente? Veja: 
 
Vamos escrever V como um campo de velocidades para entender melhor: 
�⃗� = (𝑢(𝑥, 𝑦) ; 𝑣(𝑥, 𝑦)) = [
𝑢(𝑥, 𝑦)
𝑣(𝑥, 𝑦)
] 
Para cada ponto (x,y), existirá uma linha de corrente tangente ao vetor V correspondente a 
esse ponto. Descrever a linha de corrente é descrever como a inclinação do vetor velocidade 
varia com os valor x,y. 
�⃗� = [
𝑢(𝑥, 𝑦)
𝑣(𝑥, 𝑦)
] = 
𝑉𝑜
𝐿
[
−𝑥
𝑦 ] 
A inclinação de um vetor V é a tangente do ângulo que ele faz com o eixo. 
• A tangente do ângulo é −
𝑦
𝑥
 
• A tangente infinitesimal do ângulo é 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 
Igualando e prosseguindo com as contas: 
• 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
𝑦
𝑥
 
• 
𝑑𝑦
𝑦
= −
𝑑𝑥
𝑥
 
• ∫
𝑑𝑦
𝑦
= −∫
𝑑𝑥
𝑥
 
• ln(𝑦) + 𝐴 = − ln(𝑋) + 𝐵 
• ln(𝑦) = − ln(𝑋) + 𝐶 
• 𝑦 = exp(− ln(𝑋) + 𝐶) 
• 𝑦 = exp(− ln(𝑋)) exp(𝐶) 
• 𝑦 = D. exp (ln (
1
𝑋
)) 
• 𝑦(𝑥) =
𝐷
𝑋
 ; 𝐷 ∈ 𝐼𝑅 
Veja que, no entanto toda essa metodologia exclui os vetores 
quando X=0 ou Y=0. A insuficiência descritiva não é um 
problema, no entanto, uma vez que ao fazer a separação de 
variáveis já estamos restringindo o domínio da função. Para 
entender o comportamento do vetor velocidade quando X=0 e 
quando Y=0 basta substituir esses valores na equação do campo 
vetorial. 
Existem formas diferentes de se representar o sistema e o 
volume de controle: A Representação Lagrangeana e a 
Euleriana: 
 
 
Costumamos usar para fluidos, por causa da alta taxa de deformação, a Representação 
Euleriana. Em um escoamento, existem 4 contribuições para o movimento do fluido: 
translação, rotação, deformação angular e deformação linear. Vamos entender melhor cada 
uma delas 
Translação 
 
Veja o exemplo ao lado. Já vimos que no afunilamento a velocidade 2, na saída do bocal, é 
maior que a velocidade na parte 1. Existe portanto uma diferença de velocidade = aceleração 
do fluido. Em um campo de velocidades, não podemos calcular a aceleração como dV/dt. Em 
um campo de velocidades, a aceleração deve levar em conta também a variação da velocidade 
com a posição. A aceleração vai ficar: 
 
𝑑𝑉
𝑑𝑡
= 
𝜕𝑉
𝜕𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+ 
𝜕𝑉
𝜕𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+ 
𝜕𝑉
𝜕𝑧
𝑑𝑧
𝑑𝑡
 
𝑑𝑉
𝑑𝑡
= 𝑢
𝜕𝑉
𝜕𝑥
+ 𝑣 
𝜕𝑉
𝜕𝑦
+ 𝑤
𝜕𝑉
𝜕𝑧
 
Sendo u,v,w velocidades em cada direção x,y,z respectivamente. Usando o termo derivada 
substantiva, reescrevemos: 
 
Sendo que cada termo u,v,w 
 
O campo de acelerações: 
𝑫�⃗⃗� 
𝑫𝒕
= [
𝑫𝒖
𝑫𝒕
𝑫𝒗
𝑫𝒕
𝑫𝒘
𝑫𝒕
] 
PS: se o escoamento for transiente, considerar que V=V(x,y,z,t) e que 
𝒅𝑽
𝒅𝒕
=
𝝏𝑽
𝝏𝒕
𝒅𝒕
𝒅𝒕
+
 
𝝏𝑽
𝝏𝒙
𝒅𝒙
𝒅𝒕
+ 
𝝏𝑽
𝝏𝒚
𝒅𝒚
𝒅𝒕
+ 
𝝏𝑽
𝝏𝒛
𝒅𝒛
𝒅𝒕
 para as contas acima. 
Rotação e deformação angular 
 
A deformação angular está relacionada ao campo de velocidades angulares.No exemplo acima 
busca-se transformar a partícula quadrada no losango da letra (d). Para isso deve haver uma 
rotação somada à uma deformação angular. Para isso vamos trabalhar com as arestas ob e ao. 
Sobre as rotações, devemos considerar: