QUÍMICA GERAL (7)

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FÍSICA TEÓRICA
� Prof. Luciana Campos
� luciana.campos@uerj.br
UNIVERSIDADE ESTADUAL DO RIO DE JANEIRO
INSTITUTO DE FÍSICA
DFAT- DEPARTAMENTO DE FISICA APLICADA E TERMODINÂMICA
Capítulo 17 – Ondas I
O que são ondas??
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Conceito de Onda
� É a perturbação em um meio
� Uma onda é qualquer sinal que se transmite de um
ponto a outro de um meio, com velocidade definida.
� Em geral, fala-se de onda quando a transmissão do
sinal entre dois pontos distantes ocorre sem que haja
transporte de matéria de um desses pontos ao outro.
� Uma onda transporta energia e momento.
Conceito de Onda
Natureza das 
Ondas
Mecânica
Precisa de um meio 
material 
para se propagar
Eletromagnética
Não precisa de um 
meio 
material para se 
propagar
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Ondas Mecânicas
Ondas Eletromagnéticas
Esquema de uma Onda Eletromagnética
B→Campo Magnético 
E→Campo Elétrico
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Ondas Eletromagnéticas
Ondas I
� Como fazemos para estudar as ondas?
� É monitorar as formas de onda quando elas se movem
para direita
� Outra possibilidade é monitorar o movimento de um
elemento quando ele oscila para cima e para baixo
enquanto uma onda passa por ele.
DIREÇÃO DE 
PROPAGAÇÃO
LONGITUDINAL
Move-se 
paralelo ao 
pulso
TRANSVERSAL
Move-se 
perpendicular 
ao pulso
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Ondas Transversais e Longitudinais
Ondas Longitudinais: 
Vibração paralela à propagação.
Pressão 
alta
(crista)
λ
λ
Numa onda sonora as partículas do meio 
vibram pra frente e pra trás.
Pressão 
baixa
(vale)
Ondas Transversais
Vibração perpendicular à propagação.
Toda onda eletromagnética é transversal.
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Dimensões das Ondas
UNIDIMENSIONAIS
BIDIMENSIONAIS TRIDIMENSIONAIS
Ondas Progressivas
� Tanto uma onda transversal quanto uma onda
longitudinal são chamadas ondas progressivas, pois
ambas se propagam de um ponto ao outro, como de
uma extremidade da corda à outra ou de uma
extremidade do tubo à outra.
Observe que é a onda que se movimenta de uma extremidade à outra, 
não o material ( a corda ou o ar) através do qual a onda se movimenta.
C1,C2: CRISTAS
V1,V2: VALES
N
N: NÓ
A: AMPLITUDE
λ: COMPRIMENTO DE ONDA
Ondas Periódicas Transversais
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� Suponha que você balance a corda com um movimento
harmônico simples.
� Uma onda periódica produzida por um MHS é chamada
de onda senoidal.
Ondas Periódicas Transversais
� Para descrevermos completamente uma onda em uma
corda ( e o movimento de qualquer elemento ao longo
de seu comprimento) precisamos de uma função que
nos dê a forma da onda.
Descrição matemática das ondas
Deslocamento
Amplitude Número de 
onda
Posição Frequência 
angular
Fase
tempo
� A amplitude ym de uma onda é a intensidade do
deslocamento máximo dos elementos a partir de suas
posições de equilíbrio quando a onda passa por eles.
� Como ym é uma intensidade, ela é sempre positiva,
mesmo se ela for medida para baixo.
� A fase de onda é o argumento kx-ωt da função seno.
Descrição matemática das ondas
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� A distância entre duas cristas ou dois vales consecutivos
é denominada comprimento de onda.
� É a distância entre repetições da forma da onda
� Como o pulso se propaga com velocidade constante,
vale a expressão:
Comprimento de onda (λ)
� É a distância entre repetições da forma da onda
� Como o pulso se propaga com velocidade constante,
vale a expressão:
� Por definição, o deslocamento y é o mesmo nas duas
extremidades deste comprimento de onda, isto é:
Comprimento de onda (λ)
� Uma função seno começa a se repetir quando o seu
ângulo é aumentado de 2pi rad, portanto:
� k é número de onda angular, sua unidade no SI é o
radiano por metro (rad/m).
Comprimento de onda (λ) e Número de 
Onda
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� A figura mostra um gráfico do deslocamento y contra o
tempo em uma certa posição ao longo da corda,
escolhida como sendo x=0.
Período, Frequência Angular e 
Frequência
� O período de oscilação T de uma onda é o tempo que
um elemento qualquer da corda leva para se mover
realizando uma oscilação completa.
Período, Frequência Angular e 
Frequência
Período, Frequência Angular e 
Frequência
� Frequência é o número de oscilações realizadas por um
elemento de corda quando a onda passa por ele.
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Constante de Fase
� Quando a onda da figura se move, cada ponto da forma
de onda que se move, por exemplo o ponto A marcado
sobre um pico, permanece com seu deslocamento y.
� Se o ponto mantiver o seu deslocamento ao se mover a
fase que fornece este deslocamento deve permanecer
constante.
Velocidade de uma Onda Progressiva
Velocidade de uma Onda Progressiva
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� Devemos encontrar a equação de uma onda se
propagando no sentido oposto substituindo t por –t.
� A equação acima exige que x diminua com o tempo.
� A onda se propagando no sentido negativo de x é
descrita pela equação:
Velocidade de uma Onda Progressiva
� Podemos obter a velocidade:
� A equação acima exige que x diminua com o tempo.
� A onda se propagando no sentido negativo de x é
descrita pela equação:
Velocidade de uma Onda Progressiva
� Considere uma onda de foram arbitrária:
� h representa qualquer função.
Velocidade de uma Onda Progressiva
Representa uma onda 
progressiva
Não representa uma onda 
progressiva
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Velocidade de uma onda em uma corda 
esticada
� A velocidade de uma onda está relacionada com o
comprimento de onda e com a frequência da onda.
� Mas a velocidade fica determinada pelas
propriedades do meio.
� Para que uma onda se propague através de um meio
como água, ar, aço ou uma corda esticada, ela deve
fazer com que as partículas desse meio oscilem quando
ela passar.
� O meio deve possuir massa ( energia cinética) e
elasticidade (energia potencial).
Velocidade de uma onda em uma corda 
esticada
� Massa específica linear (µ) =Massa de um elemento de
corda:
� Não se consegue enviar uma onda ao longo de uma
corda a não ser que a corda esteja tracionada.
� Isto significa que ela foi alongada e mantida esticada por
forças nas suas duas extremidades.
Velocidade de uma onda em uma corda 
esticada
� Uma força com intensidade igual à tração na corda
puxa tangencialmente este elemento em cada
extremidade.
� As componentes horizontais dessa força se cancelam,
mas as verticais se somam para formarem uma força
restauradora radial .
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Velocidade de uma onda em uma corda 
esticada
� Assumimos que sen θ = θ (ângulos pequenos).
� µ é a massa específica linear da corda.
� No instante mostrado o elemento de corda ∆l está se
movendo em um arco de círculo.
� Possui aceleração centrípeta em direção ao centro
desse círculo.
Velocidade de uma onda em uma corda 
esticada
� Obtemos a velocidade do pulso da figura anterior e a
velocidade de qualquer outra onda sobre a corda sujeita
à tração.
A velocidade de uma onda ao longo de uma corda ideal esticada 
depende apenas da tração e da massa específica linear da corda e não 
da frequência da corda.
Equação de Onda
� A figura mostra um instantâneo de um
elemento de corda de massa dm e
comprimento λ quando uma onda se
propaga em uma corda de massa
específica µ que está esticada ao
longo de um eixo x horizontal.
� Supomos uma pequena amplitude
� A aplicação da 2º Lei de Newton:
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Equação de Onda
� Analisando a equação temos:
� Massa:
� Aceleração:
Equação de Onda
� Analisando a equação temos:
� Forças:
� Como é tangente podemos relacionar a inclinação
da extremidade direita da corda:
� Podemos relacionar as componentes ao módulo:
� Como a inclinação é pequena:
Equação de Onda
� Analisando a equação temos:
� Forças:
� Logo:
� Substituindo:
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Equação de Onda
Equação Diferencial:
Princípio de Superposiçãode 
Ondas
Princípio da superposição
� Duas ou mais ondas podem passar simultaneamente
pela mesma região.
� Suponha que duas ondas se propaguem
simultaneamente ao longo da mesma corda esticada.
� O deslocamento da cordas quando as ondas se
sobrepõem é dado pela soma algébrica:
Ondas superpostas se somam algebricamente para 
produzirem uma onda resultante.
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Princípio da superposição
� Duas ou mais ondas podem passar simultaneamente
pela mesma região.
� Suponha que duas ondas se propaguem
simultaneamente ao longo da mesma corda esticada.
� O deslocamento da cordas quando as ondas se
sobrepõem é dado pela soma algébrica:
Ondas superpostas se somam algebricamente para 
produzirem uma onda resultante.
Princípio da superposição
Ondas superpostas não se afetam 
mutuamente
Interferência de Ondas
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Interferência de Ondas
� Suponha que produzimos duas ondas senoidais de
mesmo comprimento de onda e amplitude que se
propagam no mesmo sentido em uma corda.
� O princípio de superposição pode ser usado?
� Que forma tem a onda resultante?
A forma da onda resultante depende da fase relativa das 
duas ondas
Interferência de Ondas
� O fenômeno de combinação de ondas recebe o nome
de interferência e dizemos que as ondas interferem
entre si.
� Suponha que uma das ondas que se propagam em uma
corda é dada por:
� A outra deslocada em relação à primeira é dada por:
Ambas se propagam no sentido positivo do eixo x, com a 
mesma velocidade. Elas diferem apenas de uma ângulo 
constante φ.
Interferência de Ondas
� Segundo o princípio de superposição a onda resultante
é a soma algébrica das duas ondas e tem um
deslocamento:
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Interferência de Ondas
� Amplitude:
� Se φ=0 e o resultado é:
� Essa é a maior amplitude que uma onda resultante pode
ter.
� Interferência Totalmente Construtiva φ=0
Interferência de Ondas
� Se φ=pi, o resultado é:
� cos(φ/2)=cos(pi/2)=0
� Interferência Totalmente Destrutiva φ= pi
Interferência de Ondas
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Como a forma de uma onda senoidal se repete a cada 2pi rad, 
uma diferença de fase φ=2pi rad corresponde a uma 
defasagem de uma onda em relação à outra equivalente a um 
comprimento de onda.
As diferenças de fase podem ser descritas tanto em termos 
de ângulos como em termos de comprimentos de onda.
Interferência de Ondas
Duas oscilações com pequena diferença
nas suas freqüências quando somadas, produzem o fenômeno do:
BATIMENTO!!! 
Ondas Estacionárias
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Ondas Estacionárias
� Discutimos o caso de duas ondas senoidais de mesmo
comprimento de onda e mesma amplitude que se
propagam no mesmo sentido em uma corda.
O que acontece se as se propagam em sentidos 
opostos?
Ondas propagam-se e, se há vinculo imposto na sua parte inicial
e terminal, teremos a reflexão da onda inicial. A soma destas duas
oscilações resulta uma onda estacionária.
Onda Progressiva
nesta Direção.�
onda estacionária�
Onda Progressiva
 nesta Direção.
Ondas Estacionárias
Ondas Estacionárias
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Ondas Estacionárias
� Se duas ondas senoidais de mesma amplitude e mesmo
comprimento de onda se propagam em sentidos opostos
em uma corda, a interferência mútua produz uma onda
estacionária.
� Podemos representar as ondas pelas equações:
Ondas Estacionárias
� A onda resultante é dada por:
Em uma onda senoidal progressiva, a amplitude da onda é a mesma para 
todos os elementos da corda. Isto não é verdade para uma onda 
estacionária, na qual a amplitude varia com a posição.
Ondas Estacionárias
� Na onda estacionária, a amplitude é zero para valores
de kx tais que senkx=0. Esses valores são dados por:
� Fazendo k=2pi/λ, temos:
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Ondas Estacionárias
� A amplitude da onda estacionária tem um valor máximo
de 2ym que ocorre para valores de kx tais que |senkx=1|
� Fazendo k=2pi/λ, temos:
Reflexões em uma interface
Extremo Livre.
Sem inversão da fase 
da onda refletida.
Extremo Fixo.
Observa-se a inversão
da fase da onda refletida.
Quando há mudança na propriedade do meio de propagação de uma 
onda também temos fenômenos de reflexão mas com inversão de fase.
Meio de densidade A. Meio de densidade B.
Observa-se INVERSÃO da fase da onda refletida.
Densidade de A < Densidade de B
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Densidade de A > Densidade de B
Observa-se a NÃO inversão da fase da onda refletida.
Duas oscilações com pequena diferença
nas suas freqüências quando somadas, produzem o fenômeno do:
BATIMENTO!!! 
Ondas Estacionárias e Ressonância
� Considere uma corda de violão esticada entre duas
presilhas.
� Suponha que produzimos uma onda senoidal contínua
de uma certa frequência que se propaga para a direita.
� Para certas frequências a onda produz uma onda
estacionária com nós e antinós.
� Dizemos que uma onda estacionária desse tipo é
gerada quando existe ressonância e que a corda ressoa
nessas frequências, conhecidas como frequência de
ressonância.
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Ondas Estacionárias e Ressonância
� Suponha que uma corda esteja presa entre duas
presilhas separadas por uma distância L.
� Deve existir um nó em cada extremidade, pois as
extremidades são fixas e não podem oscilar
Ondas estacionárias numa corda.
Meia onda.
λ/2=L
Ondas estacionárias numa corda.
Onda inteira.
λ=L
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Ondas estacionárias numa corda.
1½ de onda.
λ=2L/3
Ondas Estacionárias e Ressonância
� Poderíamos continuar essa progressão desenhando
configurações cada vez mais complicadas.
� Em cada passo da progressão, o padrão teria um nó e
um antinó a mais que o passo anterior e um meio
comprimento de onda adicional em um mesmo
comprimento L.
� Assim uma onda estacionária pode ser excitada em uma
corda de comprimento L por qualquer onda cujo
comprimento de onda satisfaz a condição:
Ondas Estacionárias e Ressonância
� As frequências de ressonância que correspondem a
esse comprimento de onda podem ser calculadas
usando:
� O modo de oscilação com a menor frequência é
chamado de modo fundamental ou primeiro harmônico.
� O segundo harmônico é o modo de oscilação n=2 e o
terceiro harmônico é o modo com n=3 e assim por
diante.
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Ondas Estacionárias e Ressonância
� O conjunto de todos os modos de oscilação possíveis é
chamado de série harmônica.
� n é chamado de número harmônico do enésimo
harmônico.