Condutos forcados

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PROBLEMA (25) temática: condutos forçados
Analise o sistema formado por 3 ou mais reservatórios alimentando um ponto onde está conectada uma rede de distribuição. Determine as vazões que podem ocorrer nas linhas de alimentação quando a tomada d’água apresentar vazões crescentes.
Referencial Teórico :
Paschoal Silvestre. Hidráulica Geral. Capítulo 4, pág. 59.
Jonas Dake. Essentials of Engineering Hydraulics. Capítulo 3, pág. 77,
Solução :	O enunciado se refere ao problema de Belanger e sua generalização, conforme representado na Figura 25.1 :
					 R
		 R1						 R2
				 S
				 T 
 R4		 L1		 U
	 z1 	 Q1				 D2			 R3
			D1	 V		 Q2
					 	L2	 L3 Q3 D3		 	 z3
					 		
				 Qz	 Z 
Referencial
Figura 25.1 - Problema dos Três Reservatórios ou de Belanger
No problema de Belanger existem 3 reservatórios R1, R2 e R3 ligados entre si por tubulações com características próprias (Ci, Li, Qi e Di) e interligadas no ponto Z. A vazão Qz é nula na solução de Belanger. Na solução direta, as características das tubulações são conhecidas, assim como os níveis dos reservatórios, e calculam-se as vazões Q1, Q2 e Q3 e a pressão piezométrica em Z (Seção de junção). Na solução inversa do problema de Belanger deseja-se determinar a pressão em Z e os diâmetros das linhas, a partir das vazões, dos comprimentos dos condutos, cotas dos níveis d’água dos três reservatórios e cota da junção. A solução desse problema segue a linha de raciocínio utilizada no dimensionamento da linha de adução com saída intermediária. É fácil perceber que, a substituição do reservatório R2 por uma vazão tomada na junção transforma o problema dos três reservatórios no caso estudado de tomada intermediária entre dois reservatórios. Esquematicamente, a solução segue os seguintes passos:
Passo 1 - Admite-se que a linha piezométrica do conjunto, na seção Z, passa no ponto S, situado no plano do nível d’água do reservatório intermediário.
Passo 2 - Conclui-se daí que :
Q2 = 0 l/s ( não há desnível piezométrico entre Z e 2);
Q1 = Q3 ;
Passo 3 - Calcula-se Q1 e Q3 da seguinte forma:
Q1 =0,2785 . C1 . D12,63 . ((z1 - z2) / L1)0,54
Q2 =0,2785 . C2 . D22,63 . ((z2 - z3) / L3)0,54
Passo 4 - Caso se constate que Q1 = Q3 , a hipótese está comprovada e a solução definida.
Passo 5 - Caso Q1 > Q3 então temos o reservatório superior abastecendo os demais (Q1 = Q2 + Q3); para tanto, faz-se necessário que a linha piezométrica na seção Z, passe em R, um ponto qualquer situado em cota piezométrica superior a do reservatório intermediário (R2).
Passo 6 - Caso Q1 < Q3 então temos os reservatórios R1 e R2 abastecendo o reservatório R3 (Q1 + Q2 = Q3); neste caso, a linha piezométrica na seção Z passará pelo ponto T, situado em uma cota piezométrica inferior à cota do nível do reservatório intermediário R2.
Observe que a hipótese da passagem da linha piezométrica pelo ponto U, na seção Z, não é viável. Neste caso, Q3 seria nula e as vazões Q1 e Q2 , que convergem para Z, não poderiam ser escoadas. Apesar da solução de Belanger nos oferecer uma metodologia adequada para resolver o problema da interligação de 3 reservatórios, no equacionamento de sistemas reais, devemos acrescentar a vazão Qz > 0 demandada pela rede de distribuição. 	A solução de Belanger recebe então as seguintes modificações:
No passo 2 : Q2 = 0 e Q1 = Q3 + Qz ;
No passo 4 : Se Q1 = Q3 + Qz , a hipótese inicial está comprovada ;
No passo 5 : Se Q1 > Q3 + Qz , então Q1 = Q3 + Qz + Q2 ;
No passo 6 : Se Q1 < Q3 + Qz , então Q1 + Q2 = Q3 + Qz ;
Há ainda duas outras hipóteses de funcionamento do sistema de três reservatórios com vazão retirada na junção. A primeira delas é viabilizada quando a linha piezométrica, na seção Z, passa pelo ponto U que está na mesma cota piezométrica do nível d’água do reservatório inferior R3. Neste caso, a equação das vazões será:
Q3 = 0 
Q1 + Q2 = Qz
A última hipótese de funcionamento do sistema de três reservatórios é viabilizada quando a linha piezométrica, na seção Z, passa por V, situado em cota inferior à cota do reservatório R3. Neste caso, a equação de vazões será : 
Q1 + Q2 + Q3 = Qz
Para exemplificar a solução de Belanger, utilizemos exemplos numéricos:
Quadro 25.1 - Especificação dos ramais que concorrem para Z
i (
1
2
3
Di (mm)
100
200
300
Ci
100
100
100
Li (m)
1000
2000
3000
zi (m)
1000
950
900
		
A vazão demandada em Z é Qz = 20 l/s. Vamos, então, testar a hipótese inicial, onde : 	Q1 = Q3 + Qz
Os valores das vazões serão :
Q1 =0,2785 . 100 . 0,12,63 . ((1000 - 950) / 1000)0,54 = 0,01295 m3/s ;
Q2 =0,2785 . 100 . 0,32,63 . ((950 - 900) / 3000)0,54 = 0,12866 m3/s ;
Reunindo os valores encontrados, chegamos a :
Q1 < Q3 + Qz
12,95 < 128,66 + 20 
Conclui-se que a linha piezométrica não está no ponto S e sim abaixo deste. Como segunda hipótese admite-se que (Figura 25.2) :
Q1 + Q2 = Q3 + Qz
1000m
					
	 R1		 	 S			 R2		 950m
					 (h
				 T 
				 U						900m
		Q1							 R3
				 V		 Q2
					 		 	Q3		 	 					 							850m
				Qz	 Z 
Figura 25.2 - Problema dos Três Reservatórios ou de Belanger (2ª hipótese)
O ponto T da linha piezométrica, na seção Z, não é conhecido a priori. Teremos, então, que calculá-lo resolvendo os seguinte sistema:
Q1 =0,2785 . 100 . 0,12,63 . ((50 + h) / 1000)0,54
Q2 =0,2785 . 100 . 0,22,63 . ( h / 2000)0,54
Q2 =0,2785 . 100 . 0,32,63 . ( (50 - h) / 3000)0,54
Substituindo na equação de vazões da segunda hipótese:
Q1 + Q2 = Q3 + Qz
27,85 (0,12,63 ((50 + h)/1000)0,54+ 0,22,63 (h/2000)0,54 - 0,32,63((50 - h)/3000)0,54) = 0,020
Resolvendo a equação, encontra-se:	h = 41,91 ( 42 m. A cota da linha piezométrica, na seção Z, é então 950 - 42 = 908. É fácil perceber que um pequeno crescimento na retirada Qz tornaria inviável esta hipótese. O abastecimento de Z seria apenas possível com o concurso dos três reservatórios. A solução de Belanger como se observa é bastante didática mas requer a solução de sistemas, muitas vezes com cálculos trabalhosos. Essa dificuldade pode ser contornada com a adoção do conceito de equilíbrio de nó e malha utilizado no cálculo de redes malhadas. Segundo esta metodologia de cálculo, a perda de carga, em cada conduto que concorre para Z, deve ser de tal monta que a pressão no ponto de convergência seja a mesma. Como a pressão em Z é desconhecida, a priori, ela é fixada aleatoriamente e sofre correções sucessivas até que o ponto de equilíbrio das perdas de carga seja encontrado. O quantum de correção da pressão, segundo Dake, será calculado por :
(hp = 1,85 (Q / ((Q/hp)
onde:
	(Q somatório das vazões dos condutos concorrentes no ponto Z;
	( (Q/hp) somatório do coeficiente Q/hp dos condutos concorrentes em Z;
O valor (hp deve ser acrescido, quando positivo, à cota da linha piezométrica, no ponto de junção, ou dela subtraído, quando negativo. Utilizando a expressão de Hazen-Willians pode-se determinar o valor da perda de carga da seguinte forma:
Q =0,2785 .C . D2,63 . (hp / L)0,54
hp = Q1,85 . L / ((0,2785 . C)1,85 . D4,87)
hp = r . Q1,85
O valor de r será determinado para cada conduto, já que as variáveis que o constituem são invariantes. Os cálculos para o exemplo em questão foram iniciados admitindo-se que a linha piezométrica está na cota 910, conforme indica a Planilha 25.1:
Planilha 25.1 - Determinação dos ajustes da pressão inicial, no ponto Z, e das vazões concorrentes 
Conduto
Di (mm)
Li (m)
ri
ho (m)
Qo (l/s)
Qo/ho
h1 (m)
Q1 (l/s)
Q1/h1
1
100
1000
157425
90
17,74
0,197
92
17,95
0,195
2
200
2000
10767
40
48,73
1,21842
50,03
1,191
3
300
3000
2241,9
-10
-53,79
5,379
-8
-47,70
5,958
Qz (l/s)
#
#
#
#
-20,00
#
#
-20,00
#
: 
-7,32
6,794
0,27
7,344
Planilha
25.1
h0 =
-2,0
h1 =
0,07
As iterações na Planilha 25.1 são obtidas com a utilização das seguintes expressões:
ri = Li / ((0,2785 . Ci)1,85 . Di 4,87)
h = r Q1,85 ( Q = ( h/r )1/1,85 =( h/r )0,54
(ho = 1,85 (Q / ((Q0/hp0) = 1,85 . (-7,32) / (6,794) = - 2,0m
(h1 = 1,85 (Q / ((Q1/hp1) = 1,85 . (0,27) / (7,344) = 0,07m
ho é a perda de carga inicialmente admitida em cada linha de conduto. Nos condutos, a perda de carga inicial é calculada por:
em 1 : 	h0 = 1000 - 910 = 90
em 2 : 	h0 = 950 - 910 = 40
em 1 : 	h0 = 900 - 910 = -10
O sinal da vazão acompanha o sinal da perda de carga. Por isso, na linha 3 obteve-se Q = -53,79 l/s, para a vazão inicial calculada pela fórmula anteriormente exposta. No primeiro ajuste calculou-se uma correção (h0 igual a 2,0m para todas as linhas. As novas perdas passaram, então, para:
h1 = 92,0 m ; 	h2 = 42,0 m 		e	h3 = - 8,0 m
Calculado o novo ajuste (h1 = 0,07m , observou-se que este valor é muito pequeno, podendo-se tomar os valores h1 , h2 e h3 como satisfatórios. Observou-se que as perdas calculadas pelas duas metodologias são as mesmas.