Aula 3 - Três Reservatórios Interligados

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TRÊS RESERVATÓRIOS INTERLIGADOS
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http://www.ufrrj.br/institutos/it/deng/leonardo/downloads/APOSTILA IT 503 – FUNDAMENTOS DE HIDRÁULICA DO PROF. DANIEL FONSECA DE CARVALHO 
3. Condutos interligando reservatórios
Quando dois reservatórios são interligados por uma tubulação e se deseja saber a vazão que escoa nessa tubulação, basta conhecer o desnível de água entre os reservatórios, o diâmetro, o comprimento e o coeficiente de perda de carga da tubulação e utilizar uma equação de perda de carga. Entretanto, quando os condutos interligam três ou mais reservatórios, não é possível saber a priori o sentido de todos os trechos da tubulação. É evidente que o reservatório mais elevado fornece água ao sistema, enquanto o mais baixo recebe água deste, entretanto, os reservatórios intermediários poderão tanto receber como fornecer água ao sistema, dependendo das cotas piezométricas das interligações.
3.1. Problema dos três reservatórios
	Para se determinar a vazão nos condutos que interligam três reservatórios, da maneira mostrada na figura, é necessário conhecer as cotas dos níveis de água nos reservatórios (Z1, Z2 e Z3), bem como os diâmetros (D1, D2 e D3), os comprimentos (L1, L2 e L3) e os coeficientes de perda de carga (β1, β2 e β3).
	Considere que Z1 > Z2 > Z3, assim pode-se concluir que os sentidos de escoamento nos trechos 1 e 3 são de B para E e de E para G. Já no trecho 2, o sentido de escoamento tanto pode ser de E para D como de D para E, dependendo somente da cota piezométrica em E.
	1ª hipótese → Se ZE + PE/γ < R2
	Neste caso o reservatório R3 é alimentado por R1 e R2 e, sendo assim, Q1 + Q2 = Q3.
2ª hipótese → Se ZE + PE/γ > R2
	Neste caso o reservatório R1 alimenta R2 e R3 e, sendo assim, Q1 = Q2 + Q3.
3ª hipótese → Se ZE + PE/γ = R2
	Neste caso o reservatório R2 não recebe e não cede água e, sendo assim, Q1 = Q3 e Q2 = 0.
3.2. Método Analítico de Belanger
	A forma mais simples de se determinar o sentido de fluxo no trecho DE é fazendo a hipótese de ZE + PE/γ = R2, ou seja, Q2 = 0 e calculando Q1 e Q3 através da equação de perda de carga.
a) Usando a equação universal
b) Usando a equação de Hazen-Willians
	Se o valor encontrado para Q1 for igual ao valor encontrado para Q3 a hipótese está correta e o problema está resolvido. Do contrário, se Q1 > Q3 é porque Q1 = Q2 + Q3 e o sentido é de E para D. A solução do problema está condicionada à determinação das variáveis Q1, Q2, Q3 e PE/γ do sistema de equações a seguir:
Trecho BE:	
Trecho DE:
Trecho EG:
Q1 = Q2 + Q3
Portanto define-se um sistema de 4 icógnita e 4 equações.
	Se Q1 < Q3 é porque Q1 + Q2 = Q3 e o sentido é de D para E. A solução do problema está condicionada, novamente, à determinação das variáveis Q1, Q2, Q3 e PE/γ do sistema de equações a seguir:
Trecho BE:	
Trecho DE:
Trecho EG:
Q1 + Q2 = Q3
Exemplo: 
	Determinar as vazões do sistema mostrado na figura, desprezando as perdas de carga localizadas.
	Assume-se a hipótese de D com carga de pressão igual ao reservatório intermediário, ou seja HD = 90 mca.
	Como QDC > QAD, indica que os reservatórios R1 e R2 alimentam R3 e, sendo assim, o sentido é de B para D e QAD + QBD = QDC.
Monta-se o sistema de 4 equações e 4 icógnitas
Trecho AD:	
Trecho BD:
Trecho DC:
QAD + QBD = QDC
QAD + QBD = QDC
Não é muito prático fazer a resolução deste sistema, o ideal é medir a carga em D com um piezômetro e inserir o valor de nas fórmulas do sistema.
3.3. Três reservatórios interligados
No campo da hidráulica de condutos forçados (ou sob pressão), o clássico “problema dos três reservatórios” é um típico caso de sistema de reservatórios interligados (dentro de um problema mais geral, que pode configurar-se ainda mais complexo, com mais reservatórios envolvidos). Este estudo limitar-se-á aos casos com somente três reservatórios.
A figura abaixo mostra três reservatórios, R1, R2 e R3, interligados por tubos, cada um partindo de um deles e todos atingindo um mesmo ponto A. Cada reservatório tem carga piezométrica mantida fixa. Se ele for aberto para atmosfera, esta será o próprio nível d’água, NA (trabalhar-se-á com esta maneira); porém se for pressurizado, pode-se considerar no lugar do NA, a soma deste com a carga de pressão adicionada, ou seja, a pressão ambiente acima do NA dividida pelo peso específico da água.
Cada um dos três tubos de ligação dos reservatórios ao ponto A tem seu comprimento, L, diâmetro constante, D, e coeficiente de condutividade hidráulica da fórmula de Hazen-Williams, que depende da rugosidade interna, C, que se encontra tabelado.
Na prática da engenharia, há 3 tipos de problemas com três reservatórios interligados que se refere a uma situação real diferente, que varia desde determinar as características hidráulicas de escoamento num sistema já construído (seja novo, sendo ainda proposto, ou em estado de uso) até projetar um novo sistema (isto é, determinando comprimentos ou diâmetros de tubos, seus materiais ou revestimentos). Cada solução prática deve, portanto, ser aplicada com critério. 
3.3.1. Problemas do Tipo 1
 
 Nos problemas do “Tipo 1”, conhece-se D1 e D2, L e C para todos os trechos, as cargas hidráulicas dos três reservatórios e a vazão Q1, no primeiro trecho. 
Portanto, deve-se determinar a carga HA (valor intermediário necessário para o cálculo das outras incógnitas), as perdas de carga distribuídas nos três trechos e as vazões nos trechos 2 e 3. O diâmetro D3 também precisa ser determinado. Quanto a Q2, deve-se ainda descobrir o sentido do escoamento, a princípio desconhecido. 
Quanto à posição relativa vertical dos três reservatórios, sabe-se de antemão apenas que R1 tem NA mais alto que o de R3. 
Exemplo do problema Tipo 1
Dado o sistema de três reservatórios ilustrado abaixo, sabendo-se que sua vazão no trecho 1 é de 0,04019, determine as vazões nos trechos 2 e 3 da tubulação, bem como o diâmetro da tubulação A-D.
Dados:
L1 = 1,2 km; D1 = 300 mm; C1 = 90; NA1 = 30 m
L2 = 900 m; D2 = 200 mm, C2 = 120; NA2 = 24 m
L3 = 1,5 km; C3 = 125; NA3 = 15 m
1º Como foi dado Q1, D1, L1 e C1, pode-se calcular hf1.
2º Calcula-se a cota HA.
hf1 = NA1 - HA HA = NA1 - hf1 = 30 m – 2,81m = 27,19 m
Como a cota de HA é maior que NA2 e NA3, conclui-se que R1 alimenta R2 e R3.
3º Calcula-se a perda de carga hf2.
hf2 = HA – NA2 = 27,19 – 24,00 = 3,19 m
4º Como hf2, D2, L2 e C2 são conhecidos, pode-se calcular Q2.
5º Como R1 alimenta R2 e R3 e Q1 e Q2 já foram obtidos, calcule-se Q3.
6º Calcula-se o hf3.
hf3 = HA – NA3 = 27,19 – 15,00 = 12,19 m
7º Como hf3, Q3, L3 e C3 são conhecidos, pode-se calcular D3.
 
3.3.2. Problemas do Tipo 2 
Nos problemas do “Tipo 2”, também se conhece vazão apenas no trecho 1. São dados L, D e C para os três trechos. Portanto, deve-se determinar as vazões nos trechos 2 (esta, incluindo o sinal de escoamento) e 3, a carga hidráulica HA e as três perdas de carga distribuídas, nos trechos. 
Exemplo do problema Tipo 2
Dado o sistema de três reservatórios ilustrado abaixo, sabendo-se que sua vazão no trecho 1 é de 0,05000, determine as vazões nos trechos 2 e 3 da tubulação, bem como o NA3.
Dados:
L1 = 500m; D1 = 250 mm; C1 = 100; NA1 = 30 m
L2 = 400 m; D2 = 200 mm, C2 = 110; NA2 = 25 m
L3 = 450 m; D3 = 150 mm, C3 = 110; NA3 = ? m
1º Como foi dado Q1, D1, L1 e C1, pode-se calcular hf1.
2º Calcula-se a cota HA.
hf1 = NA1 - HA HA = NA1 - hf1 = 30 m – 3,50 m = 26,50 m.c.a
Como a cota de HA é maior que NA2, conclui-se que R1 alimenta R2.
3º Calcula-se o hf2.
HA = NA2 + hf2 hf2 = HA - NA2 = 26,50 – 25 = 1,50 m.c.a
4º Como hf2, D2, L2 e C2 são conhecidos, pode-se calcular Q2.
Como Q1 > Q2, conclui-se que R1 abastece R2 e R3. Portanto Q1 = Q2 + Q3.
5º Calcula-se Q3
Q1 = Q2 + Q3 Q3 = Q1 - Q2 = 0,05000 – 0,02181 = 0,02819 m3/s
6º Calcula-se hf3
7º Calcula-se NA3
HA = NA3 + hf3 NA3 = HA - hf3 = 26,50 - 11,01 = 15,49 m.c.a
3.3.3. Problemas do Tipo 3 
Nos problemas do “Tipo3”, conhecem-se todas as características geométricas e cargas piezométricas (L, D e NA) nos três trechos e reservatórios, bem como aos coeficientes C dos três trechos. É necessário, portanto, calcular a carga hidráulica no ponto A (HA), as vazões nos três trechos (sendo que no trecho 2 o sentido de escoamento é também incógnito) e as três perdas de carga distribuídas. 
Exemplo do problema Tipo 3
Dado o sistema de três reservatórios ilustrado abaixo, determine as vazões nos trechos 1, 2 e 3 da tubulação, sabendo-se os níveis NA1, NA2 e NA3. Determinar também as perdas de carga em cada trecho.
Dados:
L1 = 1.200 m; D1 = 300 mm; C1 = 90; NA1 = 30 m
L2 = 900 m; D2 = 200 mm, C2 = 120; NA2 = 24 m
L3 = 1.500 m; D3 = 150 mm, C3 = 125; NA3 = 15 m
1º Determinar o sentido de Q2.
Para resolução deste problema, supõe-se Q2 = 0. Sendo assim, Q1 = Q3 = Q
Logo:
Com a vazão estimada, pode-se calcular o hf1.
2º Calcula-se o HA estimado
Como HA é maior que NA2, conclui-se que R1 abastece R2. Como HA é maior que NA3, conclui-se que R1 abastece R3 também. Sendo assim Q1 = Q2 + Q3.
	NOTA IMPORTANTE
	O HA foi estimado e, portanto, não representa o valor verdadeiro. É necessário ajustar o valor de HA e descobrir os valores de hf1, hf2 e hf3, visando encontrar valores de Q1, Q2 e Q3 que satisfaçam a equação Q1 = Q2 + Q3. É extremamente trabalhoso realizar esse ajuste com cálculo manual. Sugere-se utilizar uma planilha Excel.
	Após o uso de uma planilha excel chegou-se a HA = 27,15 m, originando Q1 = 0,04019 m3/s, Q2 =0,02272 m3/s e Q3 = 0,01747 m3/s.