Provinha Resolvido

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Capítulo 7
2. a. Preencha as lacunas da tabela a seguir.
	Unidades produzidas
	Custo fixo
	Custo variável 
	Custo total 
	Custo marginal
	Custo fixo médio
	Custo variável médio
	Custo total médio
	0
	100
	0
	100
	--
	--
	0
	--
	1
	100
	25
	125
	25
	100
	25
	125
	2
	100
	45
	145
	20
	50
	22,5
	72,5
	3
	100
	57
	157
	12
	33,3
	19
	52,3
	4
	100
	77
	177
	20
	25
	19,25
	44,25
	5
	100
	102
	202
	25
	20
	20,4
	40,4
	6
	100
	136
	236
	34
	16,67
	22,67
	39,3
	7
	100
	170
	270
	34
	14,3
	24,3
	38,6
	8
	100
	226
	326
	56
	12,5
	28,25
	40,75
	9
	100
	298
	398
	72
	11,1
	33,1
	44,2
	10
	100
	390
	490
	92
	10
	39
	49
b. Desenhe um gráfico que mostre o custo marginal, o custo variável médio e o custo total médio, com o custo no eixo vertical e a quantidade no eixo horizontal.
O custo total médio tem formato de U e alcança o mínimo quando a produção é 7, com base na tabela acima. O custo variável médio também tem formato de U e alcança o mínimo quando a produção é 3. Observe na tabela que o custo variável médio está sempre abaixo do custo total médio. A diferença entre os dois custos é o custo fixo médio. O custo marginal é primeiro decrescente, para uma quantidade 3, com base na tabela, e então aumenta à medida que q aumenta. O custo marginal deve apresentar intersecção com o custo variável médio e o custo total médio em seus respectivos pontos mínimos, embora isso não seja refletido com precisão nos números da tabela. Se fossem dadas as funções específicas no problema, em vez de apenas uma série de números, então seria possível encontrar o ponto exato da intersecção entre o custo marginal e o custo total médio e entre o custo marginal e o custo variável médio. As curvas tendem a apresentar intersecção a uma quantidade que não é um número inteiro e, assim, não estão listadas na tabela acima.
8. Você é gerente de uma fábrica que produz motores em grande quantidade por meio de equipes de trabalhadores que utilizam máquinas de montagem. A tecnologia pode ser resumida pela função de produção:
q = 5KL
onde q é o número de motores, K é o número de máquinas e L, o número de equipes de trabalho. Cada máquina é alugada ao custo r de $10.000 por semana e cada equipe custa w = $5.000 por semana. O custo dos motores é dado pelo custo das equipes e das máquinas mais $2.000 de matérias-primas por máquina. Sua fábrica possui 5 máquinas de montagem.
a.	Qual a função de custo de sua fábrica, isto é, quanto custa produzir q motores? Quais os custos médios e marginais para produzir q motores? Como os custo médios variam com a produção?
K é fixo no nível de 5. A função de produção no curto prazo é, portanto, q = 25L. Isso implica que, para qualquer nível de produção q, o número de equipes de trabalho contratadas será L = q/25. A função de custo total, portanto, é dada pela soma dos custos de capital, trabalho e matérias-primas:
CT(q) 	= rK + wL + 2.000q = (10.000)(5) + (5.000)(q/25) + 2.000q
= 50.000 + 2.200q
A função de custo médio é dada por:
CMe(q) = CT(q)/q = (50.000 + 2.200q)/q
e a função de custo marginal é dada por:
CMg(q) = CT/Q = 2.200
Os custos marginais são constantes e os custos médios são decrescentes (devido ao custo fixo de capital).
b.	Quantas equipes são necessárias para produzir 250 motores? Qual o custo médio por motor?
Para produzir q = 250 motores, são necessárias L = q/25 ou L = 10 equipes de trabalho. O custo médio é dado por 
CMe(q = 250) = [50.000 + 2.200(250]/250 = 2.400.
c.	Solicitaram a você que fizesse recomendações para o projeto de uma nova fábrica. O que você sugeriria? Em particular, se o objetivo fosse minimizar o custo total de produção a qualquer nível de q, com que relação capital/trabalho (K/L) a nova fábrica deveria operar?? 
Agora, abandonamos a hipótese de que K é fixo no nível de 5. Devemos encontrar a combinação de K e L que minimiza os custos para qualquer nível de produção q. A regra de minimização de custo é dada por:
Para calcular o produto marginal do capital, observe que, se aumentarmos K em 1 unidade, q aumentará em 5L, de modo que PMgK = 5L. Analogamente, observe que, se aumentarmos L em 1 unidade, Q aumentará em 5K, de modo que PMgL = 5K. Matematicamente,
PMgK = Q/K = 5L e PMgL = Q/L = 5K.
Inserindo essas fórmulas na regra de minimização de custo, obtemos:
5L/r = 5K/w K/r =5.000/10.000 = 1/2.
A nova fábrica deveria operar com uma razão capital/trabalho de 1 para 2. Observe que a empresa está operando atualmente com essa razão capital/trabalho.
9. A função de custo no curto prazo de uma empresa é expressa pela equação CT = 200 + 55q, em que CT é o custo total e q é a quantidade total produzida, ambos medidos em dezenas de milhares de unidades.
a.	Qual é o custo fixo da empresa?
Quando q = 0, CT = 200, de modo que o custo fixo é igual a 200 (ou $200.000).
b.	Caso a empresa produzisse 100.000 unidades de produto, qual seria seu custo variável médio?
Com 100.000 unidades, q = 100. O custo variável é 55q = (55)(100) = 5.500 (ou $5.500.000). O custo variável médio é CVMe/q = $5.500/100 = $55, ou $55.000.
c.	Qual seria seu custo marginal de produção?
Com um custo variável médio constante, o custo marginal é igual ao custo variável médio, $55 por unidade (ou $55.000).
d.	Qual seria seu custo fixo médio?
Para q = 100, o custo fixo médio é CFMe/q = $200/100 = $2, ou $2.000.
e.	Suponhamos que a empresa faça um empréstimo e expanda sua fábrica. Seu custo fixo subirá em $50.000, porém seu custo variável cairá para $45.000 por 10.000 unidades. O custo dos juros (J) também entra na equação. Cada aumento de 1% na taxa de juros eleva os custos em $3.000. Escreva a nova equação de custo
O custo fixo muda de 200 para 250. medido em milhares. O custo variável diminui de 55 para 45, também medido em milhares. O custo fixo também inclui pagamento de juros: 3J. A equação do custo é
C = 250 + 45q + 3J.
11. Suponhamos que a função de produção de uma empresa seja q = 10L½K½. O custo de uma unidade de trabalho é $20 e o custo de uma unidade de capital é $80.
a.	Atualmente, a empresa está produzindo 100 unidades e acredita que as quantidades de trabalho e capital minimizadoras de custo sejam 20 e 5, respectivamente. Ilustre isso graficamente, usando isoquantas e linhas de isocusto.
A isoquanta é convexa. As quantidades ótimas de trabalho e capital são dadas pelo ponto em que a linha de isocusto é tangente à isoquanta. A linha de isocusto tem inclinação de 1/4, dado que o trabalho está no eixo horizontal. O custo total é CT = $20 * 20 + $80 * 5 = $800, assim a linha de isocusto tem a equação $800 = 20L + 80K. No gráfico, o ponto ótimo é o A.
b.	A empresa agora quer aumentar a produção para 140 unidades. Se o capital é fixo no curto prazo, quanto trabalho será necessário? Ilustre isso graficamente e calcule o novo custo total da empresa.
O novo nível do trabalho é 39,2. Para obter esse valor, use a função de produção q = 10L1/2K1/2 e substitua a produção por 140 e o capital por 5. O novo custo é CT = $20 * 39,2 + $80 * 5 = $1.184. A nova isoquanta para uma produção de 140 está acima e à direita da isoquanta antiga para uma produção de 100. Uma vez que o capital é fixo no longo prazo, a empresa se moverá horizontalmente para a nova isoquanta e o novo nível do trabalho. Esse é o ponto B no gráfico a seguir. Isso não tende a ser o ponto de minimização do custo. Dado que a empresa quer aumentar a produção, tende a empregar mais capital no longo prazo. Observe também que há pontos na nova isoquanta que estão abaixo da nova linha de isocusto. Todos esses pontos envolvem o emprego de mais capital.
c.	Identifique graficamente o nível de capital e trabalho minimizador de custos no longo prazo, caso a empresa queira produzir 140 unidades.
Esse é o ponto C no gráfico acima. Quando a empresa está no ponto B, não está minimizando os custos. Para ela a opção ótima será empregar mais capital e menos trabalho e se mover para a nova linhade isocusto. Todas as três linhas de isocusto acima são paralelas e têm a mesma inclinação.
d.	Se a taxa marginal de substituição técnica for K/L, calcule os níveis ótimos de capital e trabalho necessários para produzir 140 unidades.
Estabeleça que a taxa marginal de substituição técnica é igual à razão dos custos dos insumos de modo que Agora insira isso na função de produção para K, iguale q a 140 e resolva para O novo custo é CT = $20 * 28 + $80 * 7 ou $1.120.
Capítulo 8
7. Suponha que a função de custo da mesma empresa seja C(q) = 4q2 + 16.
a.	Calcule o custo variável, o custo fixo, o custo médio, o custo variável médio e o custo fixo médio. (Dica: o custo marginal é dado por CMg = 8q.)
Custo variável é a parte do custo total que depende de q (4q2), e custo fixo é a parte do custo total que não depende de q (16).
b.	Mostre as curvas de custo médio, de custo marginal e de custo variável médio em um gráfico.
A curva de custo médio é em formato de U. O custo médio é relativamente maior no começo porque a empresa não consegue distribuir o custo fixo para várias unidades de produção. Com o aumento da produção, os custos fixos médios cairão, de forma relativa, rapidamente. O custo médio aumentará em algum ponto porque o custo fixo médio se tornará menor, e o custo variável médio aumenta à medida que o q aumenta. O custo variável médio aumentará por causa da diminuição do retorno para o trabalho de fator variável. CMg e CVMe são lineares e passam pela origem. O custo variável médio estará em algum lugar abaixo do custo médio. O custo marginal estará em algum lugar abaixo do custo variável médio. Se o médio aumentar, o marginal deve ficar abaixo dele. O custo marginal atingirá o custo médio no seu ponto mínimo.
c.	Calcule a produção que minimiza o custo médio.
A quantidade de custo médio mínima ocorre onde CMg é igual a CMe:
d.	Em que intervalo de preços a empresa terá uma produção positiva?
A empresa oferecerá níveis positivos de produção assim que P=CMg>CVMe, ou assim que conseguir cobrir seus custos variáveis de produção. Neste caso, o custo marginal está acima do custo variável médio, e a empresa conseguirá níveis positivos a qualquer preço positivo.
e.	Em que intervalo de preços a empresa terá um lucro negativo?
A empresa terá lucro negativo quando P=CMg>CMe, ou com um preço abaixo do custo médio mínimo. No item c, chegamos à quantidade mínima de custo médio de q=2. Inserindo q=2 na função de custo médio, chegaremos à CMe=16. Assim, a empresa terá lucro negativo se o preço for inferior a 16.
f.	Em que intervalo de preços a empresa terá um lucro positivo?
No item e, vimos que a empresa teria lucro negativo se o preço fosse inferior a 16. Assim, ela terá um lucro positivo sempre que o preço for superior a 16.
8. Uma empresa competitiva tem a seguinte função de custo no curto prazo: C(q) = q3 – 8q2 + 30q + 5.
a.	Calcule o CMg, o CMe e o CVMe; em seguida, represente-os num gráfico.
As funções podem ser calculadas da seguinte forma:
Graficamente, as três funções de custos são em formato de U, sendo que o custo cai inicialmente quando q aumenta, e quando o custo aumenta, q também aumenta. O custo variável médio fica abaixo do custo médio. O custo marginal estará inicialmente abaixo do CVMe e aumentará para atingi-lo em seu ponto mínimo. O CMg estará inicialmente abaixo do CMe em seu ponto mínimo.
b.	Em que intervalo de preços o produto será zero?
A empresa achará rentável produzir no longo prazo enquanto o preço for maior ou igual ao custo variável médio. Se o preço for menor, a empresa achará melhor fechar o negócio no curto prazo, pois perderá apenas o custo fixo e não o fixo mais o variável. Aqui, é preciso calcular o custo variável médio mínimo, que pode ser feito de duas maneiras. Você pode estabelecer o custo marginal igual ao custo variável médio, ou pode optar por q e substituir em CVMe para encontrar o CVMe mínimo. Vamos considerar, neste caso, que o CVMe seja igual a CMg:
No entanto, a firma terá uma produção zero se P<14.
c.	Identifique em seu gráfico a curva de oferta da empresa.
A curva de oferta da empresa é a curva de CMg, acima do ponto onde CMg=CVMe. A empresa produzirá no ponto onde o preço é igual a CMg, desde que CMg seja maior ou igual a CVMe.
d.	A que preço a empresa fornecerá exatamente 6 unidades de produto?
A empresa maximiza seu lucro ao escolher um nível de produção em que P=CMg. Para chegar ao preço que a empresa fornecerá 6 unidades de produto, basta colocar que q é igual a 6 e descobrir o CMg:
P = CMg = 3q2 – 16q + 30 = 3(62) – 16(6) + 30 = 42.
*9.a.	Suponhamos que a função de produção de uma empresa seja no curto prazo, sendo $1.000 o valor dos custos fixos e x o insumo variável, o qual custa $4.000 por unidade. Qual é o custo inicial de produzir no nível q? Em outras palavras, identifique a função de custo total C(q).
A função de custo total C(x) = custo fixo + custo variável = 1.000 + 4.000x. Como o insumo variável custa $4.000 por unidade, o custo variável é 4.000 vezes o número de unidades, ou 4000x. Então, para reescrever a função da produção e expressar x em termos de q, temos . Depois, podemos substituir isso na função abaixo para obter C(q):
b.	Escreva a equação para a curva da oferta.
A empresa produz quando P=CMg, logo, a curva do custo marginal é a curva da oferta, ou .
c.	Se o preço é $1.000, quantas unidades a empresa produzirá? Qual é o nível de lucro? Ilustre sua resposta em um gráfico de curva de custos.
Para resolver esse problema, iguale o preço ao custo marginal, e então:
O lucro é 1.000 * 10,125 – (1.000 + (4.000 * 10,125 * 10,125)/81) = 4062,5. Graficamente, a empresa produz onde a linha de preço atinge a curva CMg. Se o lucro for positivo, isso acontecerá com uma quantidade em que o preço é maior que o custo médio. Para visualizar o lucro no gráfico, pegue a diferença dos quadros da receita (preço vezes quantidade) e dos custos (custo médio vezes quantidade). O retângulo formado é a área de lucro.
11. Suponhamos que uma empresa competitiva tenha uma função de custo total C(q) = 450 + 15q + 2q2 e uma função de custo marginal CMg(q) = 15 + 4q. Se o preço de mercado é P = $115 por unidade, calcule o nível de produção da empresa. Calcule também o nível de lucro e o nível de excedente do produtor.
A empresa deve produzir enquanto o preço for igual ao custo marginal, ou seja, P = 115 = 15 + 4q = CMg e q = 25. O lucro é . O excedente do produtor é o lucro mais o custom fixo, ou seja, 1250. Note que o excedente também pode ser encontrado graficamente ao se calcular a área abaixo da linha do preço e acima da curva (de oferta) do custo marginal, isto é, EP=0,5*(115-15)*25=1250.
Prove que uma reta do tipo, , representa proporcionalidade, ou seja, . Mostre que o mesmo não vale para uma função exponencial, , ou até mesmo para uma reta do tipo .
Prove que para uma reta do tipo, , a diferença ente valores y, , só depende de h e não de x. Faça um gráfico explicitando os valores para e seus respectivos valores de y, . E, finalmente, prove que a, onde θ é o ângulo entre a reta e a abscissa. Mostre que a sequência de valores de y é uma progressão aritmética e calcule a sua razão.
Prove que uma função exponencial, , possui , ou seja, a razão entre os valores de y só depende de h e não de x. Faça um gráfico explicitando os valores para e seus respectivos valores de y, . Mostre que a razão entre dois valores de y é uma constante. Mostre que a sequência de valores de y é uma progressão geométrica e calcule a sua razão.
Capital
Trabalho
Isoquanta
Ponto A
Capital
Trabalho
Ponto B
Ponto C