Apostila Sistema mongeano (com exercícios resolvidos)

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CAPÍTULO 4 – Perspectiva Cilíndrica Ortográfica 
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Capítulo 4 – Perspectiva Cilíndrica Ortográfica 
4.1. Introdução 
A Perspectiva Cilíndrica Ortográfica é resultado da projeção de objetos tridimensionais 
segundo as regras do chamado Sistema Mongeano. Tal sistema tem como arcabouço teórico a 
Geometria Descritiva, que é considerada a parte da matemática que tem como finalidade 
“representar no plano as figuras do espaço, de modo a podermos, com o auxílio da Geometria Plana, 
estudar suas propriedades e resolver os problemas relativos às mesmas” (MACHADO, 1976, p. 11). 
 
 
http://www.sciencephoto.com/ 
Fig. 4.1 
Dessa maneira foi possível expressar, comunicar, 
antecipar e resolver problemas relativos aos objetos reais, 
de diversas áreas do saber que trabalham e estudam a 
forma, através do desenho antes mesmo que esses 
objetos fossem construídos. Tal fato trouxe um 
significativo aumento na eficiência dos processos 
produtivos na Europa estimulando tanto a Engenharia 
Militar quanto a Revolução Industrial. 
Gaspard Monge, cuja foto aparece na figura 4.1, é 
considerado o criador da Geometria Descritiva e grande 
teórico da Geometria Analítica. Ele viveu na França entre 
os anos de 1746 e 1818, era uma pessoa que gostava das 
ciências exatas (física, matemática e geometria) e que 
possuía o que chamamos atualmente de inteligência 
espacial, ou seja, ele facilmente visualizava relações 
espaciais complexas. Foi um dos fundadores da Escola 
Politécnica Francesa e também lecionou na Escola Militar 
Meziéres, tornando-se um acadêmico de renome. 
Como também era um cidadão engajado politicamente, logo sua inteligência contribuiu para a 
Engenharia Militar. Como militar criou um método baseado na aritmética e nessas operações 
espaciais que tornou a artilharia francesa muito mais eficiente. A mudança foi tão significativa que 
seu método foi considerado segredo de Estado durante anos. Em seus estudos, Monge acabou por 
elaborar o arcabouço teórico que possibilitou o avanço bélico francês. Outro exemplo de sua 
contribuição foi durante a Revolução Francesa quando houve a necessidade de se produzir uma 
grande quantidade de canhões e de pólvora num curto espaço de tempo. Monge liderou a produção 
e acabou elaborando um boletim, chamado "A Arte da Fabricação do Canhão", o qual se tornou o 
manual das fábricas. Nesse boletim e ele traduziu seu raciocínio espacial do ambiente militar e 
estratégico para o ambiente da produção de produtos em larga escala. Hoje, podemos dizer que ele 
criou uma linguagem gráfica universal, a linguagem do desenho técnico. Essa linguagem possibilitou a 
transmissão de informação sobre objetos tridimensionais com a precisão necessária para a execução 
CAPÍTULO 4 – Perspectiva Cilíndrica Ortográfica 
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dos mesmos. De fato, a linguagem Mongeana permitiu que fábricas fossem estruturadas não só na 
França, mas ao redor do mundo e que os produtos deixassem de ser fabricados nos quintais dos 
artesãos e passassem a ser produzidos em larga escala. 
4.2. Caracterização da Perspectiva Cilíndrica Ortográfica 
Nos capítulos anteriores vimos que as representações de objetos em perspectiva se 
diferenciam em função de dois aspectos: 
1. Posição do ortoedro de referência em relação ao plano de projeção, e; 
2. Tipo de projeção. 
No caso da Perspectiva Cilíndrica Ortográfica, o objeto é projetado em pelo menos dois planos 
de projeção, diferentemente da Perspectiva Cilíndrica Cavaleira e do Desenho Isométrico, onde a 
projeção é realizada somente em um plano de projeção. Por essa razão o Método Mongeano 
também é chamado de “Método da Dupla Projeção Ortogonal”. 
É possível afirmar ainda que: 
§ a posição do ortoedro de referência em relação a cada um dos planos de projeção é a 
seguinte: pelo menos uma das faces do ortoedro de referência tem que estar paralela 
ao plano de projeção, e; 
§ o tipo de projeção da Perspectiva Cilíndrica Ortográfica é a CILÍNDRICA ORTOGONAL, 
o que significa que o observador está localizado a uma distância que tende ao infinito, 
o que, por sua vez, tem como consequência o fato das retas projetantes serem 
paralelas entre si. 
O método desenvolvido por Monge consiste, primeiramente, na divisão do espaço por meio 
de dois planos de projeção, um vertical e outro horizontal. Fazendo uma analogia às linhas 
imaginárias do Planeta Terra é como se o plano horizontal passasse exatamente na Linha do Equador 
dividindo o espaço em dois semiespaços, um meridional ou sul e outro setentrional ou norte, como 
aparece na figura 4.2. E da mesma maneira, o plano vertical passasse no meridiano de Greenwich. A 
figura 4.3 mostra este plano dividindo e o espaço em dois semiespaços, um oriental ou leste e outro 
ociental ou oeste. 
 
Fonte:http://www.portalsaofrancisco.com.br/alfa/meridiano
s-e-paralelos/meridianos-e-paralelos.php 
Fig. 4.2 
 
Fonte:http://meioambiente.culturamix.com/noticias/his
toria-do-meridiano-de-greenwich 
Fig. 4.3 
CAPÍTULO 4 – Perspectiva Cilíndrica Ortográfica 
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Os dois planos juntos dividem o espaço em quatro semiespaços, chamados de diedros (“di” de 
dois e “edros” de planos) os quais são enumerados e organizados como mostra a figura 4.4. Cada 
diedro consiste no espaço existente entre dois semiplanos. A linha de encontro ou interseção do 
Plano Horizontal com o Plano Vertical chama-se Linha de Terra ou, simplesmente, LT. 
 
Fonte:http://www4.faac.unesp.br/pesquisa/hyperg
eo/monge.htm>acessado em 5 de outubro de 
2014> 
Fig. 4.4 
 
 Fig. 4.5 
Em seguida, Monge posicionou o objeto a ser representado num dos diedros – geralmente 
sem tocar em nenhum dos planos de projeção – e, assim, realizou a projeção ortogonal de todos os 
pontos desse objeto nos planos de Projeção Vertical e Horizontal, ver figura 4.6. 
 
Fig. 4.6 
 A figura 4.6 traz uma nova nomenclatura 
para os planos de projeção e para as distâncias 
entre o objeto e os planos de projeção, as quais 
também serão adotadas ao longo dessa apostila: 
(1) o plano de projeção horizontal será chamado 
de plano π1 e o plano de projeção vertical será 
chamado de plano π2, (2) já a distância entre 
qualquer ponto do objeto e o plano π1, é 
chamada de cota, e a distância entre o objeto e o 
plano π2, é chamada de afastamento. A figura 
também mostra que a cota fica registrada no 
plano de projeção vertical e que o afastamento 
fica registrado no plano de projeção horizontal. 
Tomando como exemplo a face frontal do objeto contido na figura 4.5, que é perpendicular 
ao plano de projeção horizontal é possível perceber (1) que as arestas AB e DC têm projeções em 
forma de segmento de reta no plano π1, (2) que a aresta AD foi reduzida a um ponto também no 
CAPÍTULO 4 – Perspectiva Cilíndrica Ortográfica 
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plano π1, (3) que o mesmo ocorreu para a aresta BC. Resumindo, todos os pontos contidos nessa face 
foram projetados no plano π1 sobre o mesmo segmento de reta, ou seja, por ter arestas paralelas ou 
perpendiculares à π1, tal face aparece reduzida a um segmento de reta quando projetada. 
Analisando a mesma face, agora em relação ao plano π2, é possível afirmar (1) que ela é 
paralela a tal plano de projeção, (2) que todas as arestas foram projetadas de forma que foram 
mantidas suas medidas lineares, (3) que os ângulos entre as arestas ao serem projetados também 
mantiveram suas grandezas e que, portanto, tal face foi projetada em VG. 
As outras faces do objeto também são projetadas de modo que todo o objeto seja 
representado nos planos de projeção. No exemplo acima o objeto tem forma de caixa, porém a 
Perspectiva Cilíndrica Ortográfica pode representar qualquer objeto, desde um parafuso até um 
arranha-céu. 
Dando continuidade ao raciocínio gráfico de Monge, cujo objetivo era obter a representaçãodo objeto, que é tridimensional, em duas dimensões, foi necessário fazer o plano horizontal girar de 
modo que ele coincidisse com o plano vertical. Com essa operação, Monge criou o que ele chamou 
de Épura, definindo-a como sendo a representação de um objeto por suas projeções. Na épura é 
possível visualizar as três dimensões do objeto, utilizando-se apenas duas dimensões como mostra a 
figura 4.6. 
 
Fig. 4.6 
4.3. Observador, Objeto e Planos de Projeção 
Como já foi dito, um objeto terá suas projeções horizontais e verticais, independente do 
diedro no qual está localizado. No primeiro capítulo dessa apostila, foram estudados os elementos 
que compõem um sistema de projeção. Abaixo estão relacionados os principais elementos de um 
sistema de projeção: 
1) Observador: como se trata de um sistema cilíndrico o observador está no infinito; 
2) Objeto: pode ser um objeto com quaisquer dimensões. É possível representar um objeto 
existente ou mesmo um objeto que está no plano das ideias; 
3) Planos de projeção: os principais planos de projeção são o Vertical e o Horizontal, no entanto, 
mais adiante veremos que podemos utilizar outros planos para obter mais vistas do objeto. 
CAPÍTULO 4 – Perspectiva Cilíndrica Ortográfica 
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Tais elementos adquirem diferentes posições um em relação ao outro, considerando cada 
diedro, mas existe um princípio básico que é respeitado em todas as projeções: o objeto sempre deve 
estar entre o observador e o plano de projeção. 
4.3.1. Primeiro e Terceiro Diedros 
No primeiro diedro, a face frontal do objeto, projeta-se no plano vertical superior e a face 
superior projeta-se no plano horizontal anterior, como mostra a figura 4.7. Dessa maneira, a ordem 
dos elementos da projeção é a seguinte: OBSERVADOR à OBJETO à PLANO DE PROJEÇÃO. 
Outra consequência do posicionamento do objeto no primeiro diedro é que cotas e 
afastamentos são positivos. É por essa razão que a maioria das representações se faz localizando-se o 
objeto no primeiro diedro. Em épura tem-se a face frontal representada acima da linha de terra e a 
face superior representada abaixo da mesma linha, resultando no que mostra a figura 4.8. 
 
Fonte: http://www4.faac.unesp.br/pesquisa/ 
hypergeo/monge.htm 
Fig. 4.7 
 
Fonte: http://www4.faac.unesp.br/pesquisa/ 
hypergeo/monge.htm 
Fig. 4.8 
 
 
Fonte: http://www4.faac.unesp.br/pesquisa/ 
hypergeo/monge.htm 
Fig. 4.9 
 
Fonte: http://www4.faac.unesp.br/pesquisa/ 
hypergeo/monge.htm 
Fig. 4.10 
 
Quando o objeto é localizado no terceiro diedro, como mostrado pela figura 4.9, ele passa a não 
mais estar entre o observador e o plano de projeção. A ordem dos elementos da projeção passa a ser 
a seguinte: OBSERVADOR à PLANO DE PROJEÇÃO à OBJETO. 
Essa mudança faz com que a face frontal do objeto, seja projetada no plano vertical inferior e 
a face superior é projetada no plano horizontal posterior. Quando se faz o rebatimento do plano 
CAPÍTULO 4 – Perspectiva Cilíndrica Ortográfica 
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horizontal sobre o vertical para obter a épura teremos – agora diferente do que ocorre no primeiro 
diedro – a face frontal abaixo e a face superior acima da Linha de Terra. 
4.3.2. Segundo e Quarto Diedros 
No Desenho Técnico, o segundo e o quarto diedros não são utilizados porque quando fazemos 
a rotação do plano horizontal sobre o plano vertical para obter a épura, as projeções ficam 
sobrepostas, o que dificulta o entendimento da representação do objeto. Observe as figuras abaixo. 
 
 Fonte: http://www4.faac.unesp.br/pesquisa/ 
hypergeo/monge.htm 
Fig. 4.11 
 
 Fonte: http://www4.faac.unesp.br/pesquisa/ 
hypergeo/monge.htm 
Fig. 4.12 
 
Fonte: http://www4.faac.unesp.br/pesquisa/ 
hypergeo/monge.htm 
Fig. 4.13 
 
Fonte: http://www4.faac.unesp.br/pesquisa/ 
hypergeo/monge.htm 
Fig. 4.14 
 
4.3.3. Sistemas Alemão e Americano 
A organização da apresentação das vistas apresentada estudada no item anterior é resultado 
do diedro escolhido para posicionar o objeto. No caso da organização trazida na figura 4.22, o objeto 
está posicionado no primeiro diedro, ou seja, a ordem dos elementos da projeção é a seguinte: 
OBSERVADOR à OBJETO à PLANO DE PROJEÇÃO (ver itens 4.3.2 e 4.3.2). Quando isso acontece diz-
se que o sistema de apresentação das vistas adotado foi o Sistema Alemão ou Europeu. 
 
 
CAPÍTULO 4 – Perspectiva Cilíndrica Ortográfica 
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 Esse sistema difere do Sistema Americano 
exatamente no que diz respeito ao diedro 
escolhido para posicionar o objeto. No Sistema 
Americano o objeto fica no terceiro diedro. 
Dessa forma, a ordem dos elementos da 
projeção é: OBSERVADOR à PLANO DE 
PROJEÇÃO à OBJETO. Tal fato resulta numa 
apresentação diferente para as vistas 
mongeanas, a qual está ilustrada na figura 4.24. 
É possível perceber que a vista (LD) está à direita 
da vista (F), a (LE) está à esquerda, a vista (S) está 
acima da (F) e a vista (I) está abaixo da vista (F). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fig. 4.24 
No Brasil, a Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT), que regula todo tipo de 
padronização não só para a área da Geometria e do Desenho Técnico, como também para outras as 
áreas do conhecimento, adota o Sistema Alemão. No entanto, ela admite a utilização do Sistema 
Americano em determinadas áreas do conhecimento. O Sistema Alemão, também conhecido como 
Sistema Europeu, tem maior abrangência se comparado com o Sistema Americano de apresentação 
das vistas. A representação do objeto no terceiro diedro é mais rara, sendo utilizada, sobretudo, na 
Inglaterra e nos Estados Unidos. 
4.4. As Seis Vistas 
Uma única projeção ortogonal de um objeto não é suficiente para se entender o objeto por 
completo. Comparando as figuras 4.15 e 4.16, se percebe que os objetos são diferentes. Na primeira 
figura se tem um cubo, já na segunda um prisma. No entanto, as projeções das faces frontais das 
peças, ou seja, as projeções verticais são iguais. 
 
 
 
 
 Fig. 4.15 
 
 
 
 
Fig. 4.16 
 
 
 
 
Caso somente a projeção vertical desses objetos estivesse disponível se teria somente as 
dimensões de altura e largura. Dessa maneira, não seria possível identificar a dimensão do 
comprimento. Consequentemente, não se teria o entendimento correto das peças. 
Na medida em que outras faces da peça são projetadas é possível visualizar outras dimensões 
do objeto. As figuras 4.17 e 4.18 trazem a projeção da face superior das peças, o que por 
consequência fazem as dimensões de largura e de comprimento serem mostradas. 
CAPÍTULO 4 – Perspectiva Cilíndrica Ortográfica 
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Fig. 4.17 
 
Fig. 4.18 
Com as projeções das faces frontal e superior dos objetos se teriam visualizadas as três 
dimensões da peça (largura, altura na face frontal e largura e comprimento na face superior). Dessa 
maneira, muitas peças já podem ser definidas, como é o caso das peças das figuras 4.17 e 4.18. Por 
essa razão essas duas projeções são chamadas de projeções básicas do Sistema Mongeano. 
Entretanto, muitas vezes as duas projeções básicas não são suficientes para o entendimento 
de alguns objetos. Sendo necessárias outras projeções. A figura 4.19, mostra épuras de um mesmo 
objeto e os desenhos isométricos das possíveis interpretações dessas épuras. 
Na primeira linha da figura abaixo se percebe que apenas uma das vistas é conhecida. Nesse 
caso, são possíveis pelo menos três interpretações do objeto, como mostram as figuras da linha 1, 
colunas A, B e C. Todas essas figuras podem ser a figura dada na épura 1. 
Quando são fornecidas duas vistas, épura 2, a figura da coluna C é descartada, pois se vê que 
a vista superior não é compatível com a vista superior de um cilindro. Mesmo assim, ainda se tem 
duas possibilidades, osobjetos das colunas A e da coluna B. 
Para que se possa ter certeza de que objeto se trata, mais uma vista tem que ser dada. Tem-
se, então, a épura 3, que traz as vistas (F), (S) e (LD). Com tais informações é possível afirmar que o 
objeto tratado é o que está representado na coluna B. 
 
 Épuras A B C 
1 
 
2 
 
 
 
CAPÍTULO 4 – Perspectiva Cilíndrica Ortográfica 
73 
 
3 
Fig. 4.19 
Para realizar a projeção de todas as seis possíveis faces do ortoedro de referência que envolve 
um objeto no espaço, se faz uso de outra técnica que é a da caixa imaginária de projeção. Diferente 
do já conhecido ortoedro de referência, a caixa imaginária de projeção não fica totalmente ajustada 
ou “colada” ao objeto, de forma que seja o menor ortoedro que envolva todas as faces do objeto. 
Pelo contrário, o objeto é posicionado no interior da caixa imaginária de projeção de maneira que 
haja certo afastamento entre suas faces e as faces da caixa como aparece na figura 4.20. 
Após o posicionamento do objeto dentro da caixa imaginária de projeção se procede com a 
representação de cada uma das faces do objeto em cada uma das faces da caixa, ou seja, as faces da 
caixa imaginária de projeção funcionam como planos de projeção, e duas a duas funcionam como 
diedros, observar a figura 4.20. 
 
 
 
Fonte: DUARTE, 2008. 
Fig. 4.20 
 
Fonte: DUARTE, 2008. 
Fig. 4.21 
Após as projeções, a caixa imaginária de projeção é aberta, como mostra a figura 4.21. Esse 
movimento é o mesmo que Gaspard Monge fez ao fazer o plano horizontal coincidir com o plano 
vertical, para assim criar a épura mongeana. No caso da figura analisada, após a abertura da caixa, 
todos os planos envolvidos coincidiram com o plano vertical e, assim, tem-se as vistas mongeana de 
todas as faces do objeto, ver figura 4.22. É possível perceber que as vistas ficam organizadas segundo 
certa ordem, como mostra a figura 4.22. Esta ordem não é aleatória, ela é o resultado do processo de 
obtenção das vistas como foi visto nas figuras 4.20, 4.21 e 4.22. 
CAPÍTULO 4 – Perspectiva Cilíndrica Ortográfica 
74 
 
Essa organização também deixa clara uma característica das vistas mongeanas, a relação 
projetiva entre as faces, a qual se dá por meio das linhas de chamada, como mostra a figura 4.23. A 
relação projetiva possibilita que as informações dimensionais de uma face auxiliem a construção de 
outras. É exatamente essa relação que possibilita que operações gráficas sejam realizadas na épura, 
isso porque elas registram as medidas lineares e angulares do objeto, bem como das distâncias entre 
as arestas e os planos de projeção. 
 
Fonte: DUARTE, 2008. 
Fig. 4.22 
 
Fig. 4.23 
A vista FRONTAL (F) é considerada a principal vista da peça. É nela que, geralmente, ficam as 
informações mais importantes. Tal vista representa a projeção obtida no plano vertical de projeção. A 
figura 4.22 mostra que a esta face fica localizada aproximadamente no centro da épura. Esses dois 
fatores, juntamente com a relação projetiva existente entre as faces, fazem com que ela seja 
referência para a construção ou localização das outras. A vista SUPERIOR (S) se localiza abaixo da 
vista frontal e a vista INFERIOR (I), se localiza acima. Seguindo o mesmo raciocínio a vista LATERAL 
DIREITA (LD) fica à esquerda da vista frontal e a vista LATERAL ESQUERDA (LE) fica à direita da vista 
frontal. A vista POSTERIOR (P) pode ficar ao lado das vistas laterais ou acima da vista inferior ou ainda 
abaixo da vista superior. No exemplo dado na figura 4.22, a vista posterior está localizada ao lado da 
vista lateral esquerda. 
4.5. Os Eixos Coordenados 
É interessante perceber que a interpretação ou leitura das informações trazidas pelo Sistema 
Mongeano exige um pouco mais de abstração e de conhecimento gráfico, uma vez que 
diferentemente do Desenho Isométrico ou da Perspectiva Cilíndrica Cavaleira, as informações sobre 
as dimensões do objeto vêm separadas. Cada vista traz duas das três dimensões do objeto. A vista 
FRONTAL, por exemplo, traz as medidas de largura (x) e de altura (z), já a vista SUPERIOR traz as 
medidas de largura (x) e profundidade (y). 
Da mesma maneira acontece com as outras vistas, ou seja, cada uma dela mostra apenas uma 
combinação de duas dimensões: 
· As vistas laterais mostram profundidades (y) e alturas (z); 
· As vistas superior e inferior mostram profundidade (y) e largura (x); 
CAPÍTULO 4 – Perspectiva Cilíndrica Ortográfica 
75 
 
· As vistas frontal e posterior mostram largura (x) e altura (z). 
 
Fig. 4.25 
 A figura 4.25 traz ilustrados os eixos 
coordenados com todas as combinações de 
dimensões por face. 
Para visualizar uma peça 
representada no Sistema Mongeano é 
preciso estabelecer um diálogo entre todas 
as vistas mostradas. Somente assim, é 
possível ter uma ideia da totalidade da peça. 
 
4.6. Visualização das Vistas Mongeanas e da Peça 
 
 
 MUDANÇA DE PLANO 
Fig. 4.26 
 
A figura 4.26 mostra a representação de duas 
superfícies distintas, identificadas pelos números 1 e 
2. Nela é possível concluir que são duas superfícies 
devido à presença da reta destacada. Tal reta pode 
representar: 
1. uma reta de interseção entre as superfícies 1 e 
2, ou; 
2. uma terceira superfície perpendicular à 
superfície 1 e à 2. 
O que gera uma série de possíveis 
interpretações para a peça, como mostra figura 4.27. 
O fato é que a existência da linha na vista significa que 
há uma mudança de plano na peça. 
Para saber se a peça traz uma interseção entre 
superfícies ou uma terceira superfície é necessário 
que mais vistas sejam fornecidas, como foi discutido 
no item 4.4 dessa Apostila. Dessa forma, é possível 
fazer uma associação entre as vistas, bem como 
utilizar a relação projetiva existente entre elas, para 
definir a volumetria da peça. 
 Fig. 4.27 
CAPÍTULO 4 – Perspectiva Cilíndrica Ortográfica 
76 
 
A figura 4.28 traz a segunda vista a ser fornecida, nela estão indicadas por setas as superfícies 
1 e 2 reduzidas a uma reta. Com essa vista já se tem mais informações sobre a peça. Sabe-se, por 
exemplo, que não há superfícies curvas, o que descartaria algumas das possíveis interpretações da 
peça presentes na figura 4.27. 
Já a figura 4.29 traz as duas vistas associadas, tal fato facilita a interpretação das informações, 
inclusive porque pelo próprio posicionamento das vistas já é possível afirmar que a vista da figura 
4.26 é a vista (F), enquanto que a vista da figura 4.28 é a vista (S) ou ainda que a primeira é a vista (I) 
e a segunda é a vista (F). O mais comum é que sejam fornecidas as vistas (F), (S), visto que essas são 
as vistas que mostram as faces com mais detalhes da peça. 
 
Fig. 4.28 
 
 
 
Fig. 4.29 
 
Fig. 4.30 
A análise feita a seguir parte da interpretação de que a figura 4.29 traz as vistas (F) e (S). Tal 
figura mostra a superfície número 1 em vista (F) e reduzida a uma reta na vista (S). Isso ocorre porque 
essa superfície está posicionada de modo paralelo ao plano vertical e de modo perpendicular ao 
plano horizontal (ver figura 4.30). O resultado desse posicionamento é que a superfície aparece em 
VG na vista (F) e como uma reta paralela à linha de terra (LT) na vista (S). A superfície número 2 
aparece do mesmo modo que a primeira superfície analisada, ou seja, em vista na vista (F) e como 
uma reta na vista (S). No entanto, seu posicionamento em relação aos planos de projeção é 
diferente. Ela está perpendicular ao plano horizontal, mas é oblíqua ao plano vertical (ver fig. 4.30). É 
por essa razão que ela aparece inclinada em relação à LT na vista (S). No caso da superfície número 3, 
é possível afirmar que ela está posicionada de maneira semelhante à superfície 1, porém nas vistas 
contrárias, ou seja, ela é paralela ao planohorizontal e perpendicular ao plano vertical (ver fig. 4.30). 
A interpretação de vistas mongeanas ocorre dessa maneira, ou seja, por meio da análise das 
superfícies da peça em relação aos planos de projeção e da relação que elas estabelecem entre si. 
Parece mais complicado do que é na realidade. O treino da visualização das vistas mongeanas e da 
interpretação das peças ocorre através da resolução dos exercícios. Após a resolução de um bom 
número deles, a análise acima se torna automática. 
3 
3 
 1 
 2 
 3 
CAPÍTULO 4 – Perspectiva Cilíndrica Ortográfica 
77 
 
4.7. A Escolha das Vistas 
Quando utilizamos o Sistema Mongeano para representar um objeto, muitas vezes não 
precisamos desenhar as seis vistas. O desenho de três vistas, usualmente as vistas (F), (S) e uma das 
laterais, é suficiente para o entendimento de um objeto. Isso porque nessas três vistas podemos ver 
a combinação dos três eixos coordenados, dois a dois. No entanto, a escolha dessas três vistas é 
muito importante, pois elas devem mostrar o máximo de detalhes existentes no objeto. Se a escolha 
das faces a serem mostradas não for eficiente, pode haver tanto a dúvida quanto à volumetria da 
peça ou mesmo a interpretação incorreta da mesma. 
Vejamos o exemplo abaixo: dadas as duas vistas mongeanas da figura 4.31 há várias 
possibilidades de interpretação do objeto, como mostram as figuras 4.32, 4.33, e 4.34. Se forem 
fornecidas somente tais vistas, não será possível definir qual a volumetria do objeto. Dessa maneira, 
deve-se sempre procurar representar as vistas do objeto que mais claramente caracterizem-no. De 
forma que não deixe margens para dúvidas na interpretação. 
 
Fig. 4.31 
 
Fig. 4.32 
 
Fig. 4.33 
 
Fig. 4.34 
 
Como já foi mencionado nessa Apostila, geralmente são desenhadas três vistas de uma peça, 
porém, há situações em que a interpretação continua indefinida, como mostram as figuras 4.35 e 
4.36. 
 
Fig. 4.35 
Fig. 4.36 
No caso das figuras acima, ter representado as vistas LD e LE não ajudou a interpretação da 
volumetria da peça porque ambas são equivalentes, ou seja, não mostram nada diferente uma da 
outra. Para resolver tal situação seria necessário representar outro conjunto de vistas. 
 
 
CAPÍTULO 4 – Perspectiva Cilíndrica Ortográfica 
78 
 
4.8. Desenhando as Primeiras Peças em Mongeano 
O primeiro passo para desenhar é conhecer a convenção utilizada no Sistema Mongeano. Leia 
atentamente o quadro abaixo com os tipos mais usados de linhas, suas representações e suas 
funções no desenho técnico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 4.37 
Em seguida, é necessário identificar as medidas dos segmentos da peça nas direções das 
arestas do ortoedro de referência utilizando os conhecimentos já adquiridos sobre perspectiva 
cilíndrica cavaleira e desenho isométrico, como sugere a figura 4.37. Dando continuidade à 
representação da peça, são desenhadas as Linhas de Terra (LT), as quais são representadas por duas 
linhas ortogonais entre si. As LTs criam quadrantes dentro dos quais as vistas serão organizadas, 
como aparece na figura 4.38. 
 
Fig. 4.37 
 
 
 
 
 
 Fig. 4.38 
O próximo procedimento consiste na escolha das vistas que serão projetadas. Em geral, são 
desenhadas no Sistema Mongeano as mesmas faces que aparecem na Perspectiva Cilíndrica Cavaleira 
ou no Desenho Isométrico, uma vez que se tem informações sobre elas, ou seja, não é preciso 
presumir informações. No entanto, essa prática não é regra. É possível ter que projetar faces que não 
estão sendo vistas. No exemplo mostrado as vistas escolhidas foram: (F), (S) e (LD), justamente as 
que aparecem no desenho isométrico dado, ver figura 4.39. Na sequencia, as vistas são organizadas 
nos quadrantes formados pelas LTs, de acordo com a ordem mostrada na figura 4.22, ver resultado 
da organização das vistas na figura 4.40. 
 
 
 
TIPO DE LINHA REPRESENTAÇÃO FUNÇÃO 
Contínua Grossa Contornos visíveis e arestas visíveis. 
Contínua Fina 
 Linhas de interseção imaginárias, linhas 
de cotas, linhas de construção, linhas 
de chamadas, hachuras e linhas de 
centros curtas. 
Tracejada Grossa 
 Contornos não visíveis e arestas não 
visíveis 
CAPÍTULO 4 – Perspectiva Cilíndrica Ortográfica 
79 
 
 
 
Fig. 4.39 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 4.40 
Procede-se então para o desenho das vistas mongeanas da peça, deixando um espaço entre 
as vistas e as LTs. Esse espaço deve ter, de preferência, entre 0,5 e 1 cm. Uma vez escolhida, essa 
distância terá que se respeitada no desenho das outras vistas, tal fato mantém a relação projetiva 
entre as vistas. 
É possível começar o desenho por qualquer uma das vistas, no exemplo da figura 4.41, o 
desenho começa pela vista (F). De acordo com que já foi estudado, a vista (F) como qualquer outra 
vista, mostra duas das três coordenadas: a coordenada x (largura) e coordenada z (altura). O ponto A 
da figura possui, então, as seguintes coordenadas [x; z] = [ 1; 1]. Em todas as outras vistas o ponto A 
deve aparecer com as mesmas coordenadas. 
 
 
 
 
 
 
 
 Fig. 4.41 
 
 
 
 
 
Na figura 4.42, que traz também a vista (S), é possível observar mais uma coordenada do 
ponto A, a coordenadas de y, que é [5]. Dessa forma, as três coordenadas são disponibilizadas, são 
elas [ x; y; z] = [ 1; 5; 1]. Com essa informação e a relação projetiva entre as faces, dada pelas linhas 
de chamada, é possível construir qualquer uma das outras vistas. 
A figura 4.43 mostra o ponto A sendo “transportado” pelas linhas de chamada para o 
quadrante onde será construída a vista (LD). 
x 
A
A
A
y 
z 
x 
y 
z 
FRONTAL 
y 
z 
x 
Fig. 4.42 
SUPERIOR 
LATERAL 
DIREITA 
CAPÍTULO 4 – Perspectiva Cilíndrica Ortográfica 
80 
 
 
 Fig. 4.43 
As linhas de chamada são linhas de 
apoio, desenhadas com traço contínuo fino, 
que quando traçadas: 
§ verticalmente, transportam medidas 
de largura (x); 
§ horizontalmente transportam 
medidas de altura (z); 
§ com o compasso ou o esquadro de 45° 
transportam medidas de 
profundidade (y). 
 
É importante observar que: 
§ as medidas de profundidade são transportadas primeiro até o eixo y e só então são 
levadas com o compasso ou com o esquadro de 45° para o eixo x (que representa o 
rebatimento do eixo y na épura). Se as medidas de profundidades forem transportadas 
com o compasso, a ponta seca deve ser centrada na origem, dos eixos coordenados; 
§ as linhas tracejadas são utilizadas para representar existentes, porém não visíveis; 
§ as linhas de chamada são traços contínuos finos; 
§ que as linhas de terra e as arestas de peça devem ser traços contínuos grossos. 
4.9. Os Sólidos Básicos: prismas e pirâmides 
Nessa disciplina, o aluno terá que redesenhar figuras que são fornecidas ora em perspectiva 
cilíndrica cavaleira, ora em desenho isométrico, no Sistema Mongeano. Ou, ainda, realizar o caminho 
inverso, ou seja, redesenhar figuras que são dadas em vistas mongeanas, em perspectiva cilíndrica 
cavaleira ou desenho isométrico. 
Para iniciar o desenho de um sólido seja qual for o sistema escolhido é preciso reconhecer 
suas propriedades geométricas. Além disso, é necessário que a figura dada seja compreendida, para 
isso é crucial reconhecer o tipo de representação em que a figura foi elaborada, ou seja, se a peça 
dada está representada em perspectiva cavaleira ou em desenho isométrico.Como cada um desses 
sistemas possui regras próprias de representação, já estudadas nos capítulos anteriores dessa 
Apostila, é possível extrair do desenho, com precisão, as grandezas lineares e angulares necessárias 
para a construção da peça no sistema pedido. 
 
4.9.1. Prisma 
Para desenhar prismas, é preciso saber que eles são sólidos geométricos delimitados por faces 
planas, que suas bases pertencem a planos paralelos entre si e que suas faces laterais serão 
quadriláteros. 
 
y
x 
A
A
z
A
CAPÍTULO 4 – Perspectiva Cilíndrica Ortográfica 
81 
 
 Dado o objeto da figura 4.44, o primeiro procedimento é reconhecer em que sistema 
de representação ele foi desenhado. Dessa forma é possível extrair as informações, especialmente 
com relação às medidas de largura, comprimento e altura. No caso da figura, o objeto está 
desenhado em Perspectiva Cilíndrica Cavaleira e possui k = 0,5, isso significa que quando a peça for 
desenhada em Desenho Isométrico ou em Mongeano, as medidas relativas ao eixo y serão 
aumentadas, uma vez que nesses sistemas de representação o K sempre é igual a 1. Feito isso é 
necessário identificar as faces que estão sendo mostradas, no caso do exemplo são as (F), (S) e (LD), 
como mostra a figura 4.44. 
k = 0,5 
 
 
Fig. 4.44 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 4.45 
 
Em seguida, as vistas já identificadas, são 
organizadas nos quadrantes resultantes do 
encontro das Linhas de Terra, ver figura 4.45. 
É importante lembrar que é preciso 
definir a distância do objeto até os planos de 
projeção, bem como que essa distância deve ser 
respeitada em todos os quadrantes. 
A épura do objeto é iniciada com a 
representação da vista (F), a qual guarda as 
medidas de largura e altura, extraídas a figura 
dada em Perspectiva Cilíndrica Cavaleira, ver 
figura 4.46. 
 
Fig. 4.46 
O próximo procedimento consiste na representação da vista (S) através do traçado das linhas 
de chamada (no sentido vertical), o que mais parece o prolongamento das arestas que representam 
as alturas, como pode ser visto na figura 4.47. Em seguida, as medidas de comprimento, extraídas da 
Cavaleira são introduzidas na épura no quadrante da vista (S), como aparece na figura 4.48. Após o 
desenho dessa vista, procede-se com o traçado das linhas de chamada horizontais. Estas vão partir da 
vista (F) levando as medidas de altura para a construção da vista (LD), bem como vão partir da vista 
(S) levando as medidas de comprimento para a construção da mesma vista. No caso da vista (S), as 
linhas de chamada vão até o eixo y, como está mostrado na figura 4.48. 
SUPERIOR 
LATERAL 
DIREITA 
z 
y 
x 
FRONTAL 
CAPÍTULO 4 – Perspectiva Cilíndrica Ortográfica 
82 
 
 
Fig. 4.47 
 
Fig. 4.48 
 
Fig. 4.49 
 Com o compasso, ou com o esquadro de 45°, transportam-se as medidas de comprimento da 
vista (S) até o quadrante da vista (LD). O compasso deve ser centrado na origem dos eixos 
coordenados e devem partir de um eixo e chegar até o outro eixo como mostra a figura 4.49. 
 Em seguida, as linhas de chamada são levantadas a partir do eixo para cruzarem-se com as 
linhas que partiram da vista (F). Dessa forma, a vista (LD) é definida, ver resultado final da épura na 
figura 4.49. 
4.9.2. Pirâmides 
 
Fig. 4.50 
Pirâmide é um sólido geométrico delimitado por 
faces planas, sendo sua base um polígono qualquer e suas 
faces laterais triângulos que possuem um ponto em comum 
chamado de vértice. 
Dada a pirâmide da figura 4.50, os primeiros 
procedimentos para sua representação em Mongeano é, 
como foi dito para Prismas, a identificação do sistema em 
que a figura dada foi desenhada, e depois sua compreensão. 
No caso do exemplo, a figura foi desenhada em Perspectiva 
Cavaleira. 
Um recurso que auxilia o entendimento de uma peça é, como foi discutido no primeiro 
capítulo da apostila, o uso da técnica do ortoedro de referência, ver figura 4.50. Em razão do desenho 
do ortoedro é possível afirmar que trata-se de uma pirâmide de base quadrangular reta, ou seja, 
todas as faces são iguais e o vértice se projeta no centro da base. 
O traçado em épura da pirâmide em estudo teve início com vista (S), que guarda as medidas 
de largura e de profundidade. O próximo procedimento é o desenho da vista (F). Para isso 
estendemos as linhas de chamada no sentido vertical, incluindo a linha de chamada que contém as 
informações sobre o vértice. Em seguida, são traçadas linhas de construção, com as medidas de 
altura, trazidas da Perspectiva Cavaleira, ver figura 4.51. Na figura 4.52 é possível verificar que 
conhecendo a localização do vértice, facilmente são traçadas as duas arestas que representam as 
duas faces laterais da pirâmide, e por consequência, a face frontal é definida. 
CAPÍTULO 4 – Perspectiva Cilíndrica Ortográfica 
83 
 
As linhas de construção e de chamada podem ser deixadas no desenho, porém devem ser 
diferenciadas das arestas definitivas por meio da espessura do traço. 
 
Fig. 4.51 
 
 
Fig. 4.52 
Para desenhar a vista (LD), procede-se como foi explicado para os prismas, ou seja, as 
medidas de altura e de comprimento são transportadas para o quadrante em que a vista será 
desenhada por meio das linhas de chamada. 
 
Fig. 4.53 
 Ao se cruzarem, elas criam uma malha com 
linhas e pontos, que definem tanto as arestas 
definitivas quanto as não visíveis da peça. 
 É importante perceber que os pontos sempre 
estarão sobre a mesma linha de chamada. Isso ocorre 
devido à existência da relação projetiva entre as faces, 
estabelecida pelas linhas de chamada. 
 O ponto que define o vértice da pirâmide, por 
exemplo, “percorre” todos os quadrantes, ou seja, está 
em todas as vistas, sempre sobre a mesma linha de 
chamada, ver figura 4.53. 
 
 4.9.3. Cilindros 
Como já foi discutido no item 2.6 dessa Apostila, o cilindro é um sólido que, de acordo com 
uma de suas leis de geração, possui um eixo, uma diretriz e várias geratrizes. As geratrizes são retas 
paralelas entre si e todas são paralelas a um eixo, cuja visualização e entendimento são 
imprescindíveis para a representação desses sólidos em épura. 
A representação de cilindros em vistas mongeanas ocorre como a representação de qualquer 
sólido geométrico estudado até o momento. Primeiramente, há a identificação das propriedades 
geométricas do objeto na figura dada. Essa etapa acontece com a identificação do sistema de 
representação utilizado na figura dada. Depois, se dá a compreensão da volumetria da peça, essa 
etapa é feita, usualmente, por meio do desenho do ortoedro de referência na peça dada. Em seguida, 
são identificadas as faces que irão ser mostradas no desenho, assim, é feita a organização da 
CAPÍTULO 4 – Perspectiva Cilíndrica Ortográfica 
84 
 
localização dessas faces na épura. No caso da figura 4.54 estão sendo mostradas as faces (F), (S) e 
(LD). Por uma escolha didática as vistas a serem representadas em Mongeano serão as mesmas. 
 
Fig. 4.54 
A figura 4.54 mostra uma Perspectiva Cilíndrica 
Cavaleira do cilindro que será desenhado em 
Mongeano. Nessa figura, o cilindro está envolvido 
pelo ortoedro de referência e quatro das suas 
geratrizes foram destacadas. As geratrizes em 
destaque são as chamadas Geratrizes de Limite de 
Visibilidade (GLVs). As GLVs são retas que estão 
presentes em qualquer representação de sólidos que 
possuem superfícies curvas. Isso porque superfícies 
dessa natureza não possuem arestas. Portanto, as 
GLVs servem para marcar os limites de visibilidade do 
observador. Tais limites variam de acordo com a vista 
mongeana elaborada. 
 Quando um cilindro é representado em Perspectiva Cilíndrica Cavaleira, como é o caso da 
figura 4.54, sua superfície curva aparece na forma dedois traços verticais, indicados na figura como 
g5 e g6. Esses dois traços são as GLVS da Perspectiva Cavaleira. Tais geratrizes sempre tangenciam as 
circunferências das faces planas do cilindro. Quando esse mesmo cilindro é representado em 
Desenho Isométrico, o desenho mostra outro par de GLVs. O mesmo ocorre na representação do 
cilindro em vistas mongeanas. Quando se trata da vista (F) um par de GLVs aparece, o par g1 e g2, 
comparar as figuras 4.55 e 4.54. Já na vista (LD), o par mostrado é o g3 e g4. 
 
Fig. 4.55 
 Como também já foi colocado, a representação no 
Sistema Mongeano pode começar a ser elaborada por 
qualquer uma das vistas. Na figura 4.55, a vista (S), que 
possui a forma de uma circunferência, foi a primeira a ser 
elaborada. Para isso foi definida uma medida de 
afastamento do sólido para os planos de projeção e 
desenhado um quadrilátero que representa a vista (S) do 
ortoedro de referência. Em seu interior desenha-se uma 
circunferência circunscrita que já é a vista (S) do cilindro. 
Para construir a vista (F), que é composta por duas faces 
planas, que aparecem reduzidas a retas no topo e na base 
da vista, e por uma face curva, é necessário analisar como 
se construir uma face dessa natureza, pois faces assim não 
possuem arestas de onde partiriam linhas de chamada. 
 
g1 g2 
g3 
g4 
CAPÍTULO 4 – Perspectiva Cilíndrica Ortográfica 
85 
 
Para desenhar as duas faces planas do cilindro, deve-se marcar a medida da altura desse 
objeto, a qual é trazida da Perspectiva Cavaleira e marcadas na vista (F) por meio de linhas de 
chamada paralelas ao eixo x, respeitando-se a medida de afastamento para os planos de projeção, 
como mostra a figura 4.55. Já para desenhar a face curva, o que deve ser observado é a extensão de 
visibilidade do observador, a qual compreende o arco 142, da figura 4.55, ou seja, a face curva do 
cilindro é vista pelo observador somente do ponto 1 até o ponto 2, o arco 132 fica não visível para o 
observador. Portanto, as linhas de chamada que partem dos pontos 1 e 2, e sobem na direção do 
quadrante da vista (F), marcam os limites laterais do sólido, sendo portanto, quando escurecidas, as 
GLVs. Essas retas representam os limites da extensão da face curva quando visualizada pelo 
observador na vista (F). 
 A figura 4.56 traz a vista (LD), cuja 
construção obedece a mesma lógica utilizada 
para na construção da vista (F), ou seja, a 
utilização das GLVs como limites da extensão da 
visualização do sólido, só que nesse caso, as 
linhas de chamada partem dos pontos 3 e 4, 
porque é o arco 423 que está sendo visto pelo 
observador, como aparece na figura. 
 
Fig. 4.56 
 
4.9.4. Cones 
 
 
Fig. 4.57 
 Cones, assim como cilindros, possuem 
superfícies de diferentes naturezas, uma é plana 
e outra que é curva. Consequentemente, os 
procedimentos para a representação de cones 
no Sistema Mongeano se assemelham aos 
procedimentos da representação do cilindro 
nesse sistema, estudados no item acima. No 
entanto, os cones possuem um elemento que os 
cilindros não possuem, o vértice. 
Tal ente geométrico é o ponto de convergência de todas as geratrizes do cone, inclusive das 
GLVs, como pode ser observado na figura 4.57. Sua localização é muito importante na determinação 
das vistas mongeanas desse sólido. 
No caso da figura 4.57 estão sendo mostradas as faces (F), (S) e (LD). Logo, as vistas a serem 
representadas em Mongeano serão as mesmas. Em seguida, é feita a organização da localização 
dessas faces na épura. 
A representação de um cone segue a mesma lógica da representação de qualquer sólido 
geométrico. Primeiramente, há a identificação das propriedades geométricas do objeto na figura 
CAPÍTULO 4 – Perspectiva Cilíndrica Ortográfica 
86 
 
dada. Essa etapa acontece com a identificação do sistema de representação utilizado. Depois, se dá a 
compreensão da volumetria da peça, essa etapa é feita, usualmente, por meio do desenho do 
ortoedro de referência na peça dada, ver figura 4.57. 
No caso do exemplo tratado nesse item, a representação em Mongeano vai ter início com a 
vista (S), pois a representação dessa vista consiste somente na construção de uma circunferência 
(circunscrita por um quadrado que é a vista superior do ortoedro de referência) e na localização do 
vértice do cone no centro dela, como mostra a figura 4.58. As GLVs não aparecem na vista (S), pois 
quando o observador está acima do objeto, ele não enxerga mudança de plano. Em seguida, são 
localizados, na mesma vista, os limites laterais do cone, os pontos 1 e 2, ver figura 4.59. 
 
Fig. 4.58 
 
Fig. 4.59 
Desses pontos partem as linhas de chamada que “sobem” na direção do quadrante da vista 
(F). Quando, nesse quadrante, há o cruzamento entre elas e a linha horizontal que marca o 
afastamento do plano até o sólido são encontrados os pontos de onde as partem as GLVs, que no 
caso do cone concorrem no vértice. 
 
Fig. 4.60 
 A altura onde o vértice fica na vista (F) é 
trazida da Perspectiva Cilíndrica Cavaleira e posta na 
vista (F) sobre a linha de chamada que parte da 
projeção do vértice na vista (S).A figura 4.60 traz a 
construção da vista (LD). A representação dessa vista 
é o resultado do cruzamento das linhas de chamada 
que partem da vista (S), com as linhas de chamada 
que partem da vista (F). É possível observar que na 
vista (LD) aparecem as GLVs que partem dos pontos 
3 e 4 presentes na vista (S). 
 
 
 
 
CAPÍTULO 4 – Perspectiva Cilíndrica Ortográfica 
87 
 
4.9.4. Esferas 
 
 A esfera é um sólido geométrico que possui 
uma característica marcante em relação aos 
outros sólidos, uma única superfície curva. 
Consequentemente, a esfera só possui geratrizes 
curvas e são de dois tipos: meridianos ou 
paralelos, como aparece na figura 4.61. Tendo a 
esfera uma superfície curva não há arestas ou 
vértices. 
http://www.mat.uel.br/geometrica/php/gd_t/gd_15t.php 
Fig. 4.61 
A representação da esfera é feita usualmente em Vistas Mongeanas e em Isometria, ou ainda 
Desenho Isométrico. Não é usual representar a esfera em Perspectiva Cilíndrica Cavaleira porque 
ocorre muita deformação. Conforme vimos no capítulo 3, na Isometria (exata) as medidas paralelas 
aos eixos coordenados sofrem uma deformação de 0,816, tanto na altura, como na largura e na 
profundidade. Por isso, o desenho do contorno aparente da esfera não sofre deformação, como 
mostra a figura 4.62. No entanto, para representar a esfera em Desenho Isométrico vai ocorrer o 
contrário, ou seja, como desconsideramos a deformação natural que as medidas que estão paralelas 
aos eixos sofreriam e consideramos como se não houvesse deformação, o desenho do contorno 
aparente da esfera – que na Isometria Exata não sofre deformação – será deformado em 0,816, como 
mostra a figura 4.63. 
 
 Fig. 4.62 Fig. 4.63 
 
Na prática, para desenhar a esfera em Desenho Isométrico utilizamos o Ortoedro de 
Referência desenhado em medidas reais. Em sequência, para desenhar o contorno aparente da 
esfera centramos o compasso no vértice central que pertence simultaneamente as vistas frontal, 
CAPÍTULO 4 – Perspectiva Cilíndrica Ortográfica 
88 
 
superior e lateral direita. A abertura do compasso será igual ao raio da esfera, mas atenção! O raio 
real deve ser dividido pelo fator de deformação 0,816 para que o contorno aparente da esfera fique 
proporcional ao Desenho Isométrico. Observe atentamente o exemplo da figura 4.64, para desenhar 
uma esfera de raio 2cm. Desenha-se um ortoedro de referência, em medidas reais, ou seja, com 4cm 
em todos os lados. Em seguida, se desenha o contorno aparente da esfera, centrando o compasso no 
centro e com raio, dessa vez deformado, isto é, 2cm (raioreal) dividido por 0,816 (fator de 
deformação). Para dividir a esfera ao meio, desenhamos um plano que divide o Ortoedro, também 
em medidas reais, procedemos então o desenho da elipse inscrita ao plano desenhado 
anteriormente, também em medidas reais. 
 
Fig. 4.64 
Uma curiosidade importante é que quando se está trabalhando com a meia esfera, é possível 
construir o ortoedro de referência, depois a elipse que dividirá a esfera ao meio e para desenhar o 
contorno aparente da esfera podemos simplesmente observar os raios ao invés de calcular. Os raios 
paralelos aos eixos coordenados estão em medida real, ou seja, 2cm, mas o raio no sentido 
horizontal (que não está paralelo a nenhum eixo) já está desenhado com a deformação desejada, 
como mostra a figura 4.64. 
Os procedimentos para a representação de esferas em épura são os mesmos procedimentos 
utilizados para representar qualquer outro sólido geométrico. Portanto, primeiramente, há a 
identificação das propriedades geométricas do objeto na figura dada. Essa etapa acontece com a 
identificação do sistema de representação utilizado. Depois, se dá a compreensão da volumetria da 
peça, essa etapa é feita, usualmente, por meio do desenho do ortoedro de referência na peça dada, 
CAPÍTULO 4 – Perspectiva Cilíndrica Ortográfica 
89 
 
ver figura 4.64. Quando o observador vê uma esfera, seja na vista (F), (S), (LD) ou qualquer outra, a 
linha que ele enxerga são meridianos, como mostra as figura 4.61. 
A representação da esfera no mongeano se assemelha de certa forma à representação do 
cone e do cilindro. Isso ocorre porque no caso da esfera também teremos geratrizes de limite de 
visibilidade. Ao iniciarmos o desenho pela vista (S), por exemplo, o observador vê apenas uma 
circunferência. A linha da circunferência é uma das GLVs da esfera, g2, um paralelo equivalente ao 
equador da terra. Dando continuidade ao desenho, parte-se para a vista (F), e traça-se duas 
tangentes à g2 da vista (S). No sentido da largura, é traçada então uma nova GLV, g1, que 
corresponde à vista (F) da esfera, composta por dois meridianos. Para finalizar, procede-se o desenho 
da vista (LD), por meio de linhas de chamadas tangentes à g2 da vista (S) no sentido da profundidade 
e linhas de chamada tangentes à g1 da vista (F) no sentido da altura. É traçada então uma nova GLV, 
g3, que corresponde a dois meridianos. Observe atentamente a figura 4.65. Observe que para efeitos 
didáticos foram indicadas as posições de todas as GLVs em todas as vistas. 
 
Fig. 4.65 
 
 
Conclui-se assim que as linhas de chamada são retas tangentes às GLVs de cada projeção da 
esfera, ou seja, a circunferência vista pelo observador em cada vista. É importante destacar também 
que em Perspectiva Cilíndrica Cavaleira e Desenho Isométrico, a linha que representa a esfera é 
chamada de Contorno Aparente da esfera. 
 
90 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
Perspectiva Cilíndrica Ortográfica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
91 
 
EXERCÍCIOS - PERSPECTIVA CILÍNDRICA ORTOGRÁFICA 
1. Imagine, pelo menos, 2 peças que tenham 
a vista da figura abaixo. Desenhe, para 
cada uma das peças imaginadas, mais 2 
vistas mongeanas e uma cavaleira dessas 
peças. 
2. Imagine que a peça abaixo é a projeção 
de uma peça recortada de um prisma. 
Desenhe mais 2 faces e uma cavaleira 
dessa peça. 
 
 
 
 
3. Imagine, pelo menos, mais duas peças 
com o desenho isométrico do objeto 
abaixo. Desenhe 2 faces de cada uma. 
4. Desenhe 3 vistas mongeanas do objeto 
abaixo mostrando as mesmas que 
aparecem na cavaleira. 
 
 
 
 
5. Desenhe 3 vistas mongeanas da peça 
abaixo, mostrando as mesmas vistas que 
aparecem na cavaleira, considere k=0,5. 
6. Desenhe 3 vistas mongeanas da peça 
abaixo, mostrando as mesmas faces que 
aparecem na cavaleira. 
 
 
 
 
7. Desenhe 3 vistas mongeanas da peça 
abaixo, mostrando as mesmas faces que 
aparecem na cavaleira. 
8. Desenhe 3 vistas mongeanas da peça 
abaixo, mostrando as mesmas vistas do 
desenho isométrico. 
 
 
 
 
92 
 
 
 
9. Desenhe 3 vistas mongeanas da peça 
abaixo, mostrando as mesmas vistas 
que aparecem na cavaleira. 
10. a) Desenhe 3 vistas mongeanas da peça 
abaixo; 
b) Acrescente nas vistas as projeções de um 
prisma de altura 2 cm e com base em forma 
de triângulo equilátero de lado AB. Uma das 
bases do triângulo está contida na face 
inclinada da peça. 
 
 
 
 
11. Desenhe 3 vistas mongeanas da peça 
abaixo, mostrando as mesmas vistas 
que aparecem em cavaleira. 
Considere K = 0,5. 
12. Desenhe 3 vistas mongeanas da peça abaixo, 
mostrando as mesmas vistas que aparecem 
na cavaleira. 
 
 
 
 
13. Desenhe 3 vistas mongeanas da peça 
abaixo, mostrando as mesmas vistas 
que aparecem no desenho 
isométrico. 
14. Desenhe 3 vistas mongeanas da peça abaixo, 
mostrando as faces frontal, lateral direita e 
superior. 
 
 
 
 
93 
 
 
15. Desenhe 3 vistas mongeanas da peça abaixo. 16. Desenhe 3 vistas mongeanas da 
peça abaixo, mostrando as mesmas 
vistas da cavaleira. 
 
 
 
 
17. Desenhe 3 vistas mongeanas da peça abaixo. 18. Desenhe 3 vistas mongeanas da 
peça abaixo, mostrando as faces 
frontal, lateral esquerda e superior. 
 
 
 
19. Desenhe 3 vistas mongeanas da peça abaixo, 
mostrando as mesmas vistas da cavaleira. 
20. Desenhe 3 vistas mongeanas da 
peça abaixo, mostrando as mesmas 
vistas que aparecem em desenho 
isométrico (frontal, lateral direita e 
superior). 
 
 
 
 
94 
 
 
21. a) Desenhe o ortoedro que envolve o 
objeto abaixo; 
b) Desenhe 3 vistas mongeanas da 
peça abaixo (frontal, superior e lateral 
direita). 
22. a) Desenhe o ortoedro que envolve a 
peça abaixo; 
b) Desenhe 3 vistas mongeanas da peça 
abaixo, mostrando as mesmas vistas que 
aparecem em desenho isométrico. 
 
 
 
 
23. Desenhe 3 vistas mongeanas da peça 
abaixo. 
24. Desenhe 3 vistas mongeanas da peça 
abaixo, mostrando as mesmas vistas da 
cavaleira. 
 
 
25. Desenhe 3 vistas mongeanas da peça 
abaixo, mostrando as mesmas vistas 
que aparecem na cavaleira. 
26. Desenhe 3 vistas mongeanas da peça 
abaixo, mostrando as mesmas vistas que 
aparecem na cavaleira. 
 
 
 
 
95 
 
 
27. Desenhe 3 vistas mongeanas da peça 
abaixo, mostrando as mesmas vistas que 
aparecem na cavaleira. 
28. Desenhe 3 vistas mongeanas da peça 
abaixo. 
 
 
 
 
29. Desenhe mais 2 vistas mongeanas da peça 
abaixo. Observe que já temos a projeção 
de uma vista representada. 
30. Desenhe 3 vistas mongeanas da peça 
abaixo, mostrando as mesmas vistas 
que aparecem em desenho isométrico. 
 
 
 
 
31. Desenhe 3 vistas mongeanas da peça 
abaixo, mostrando as mesmas vistas que 
aparecem na cavaleira. 
32. Desenhe 3 vistas mongeanas da peça 
abaixo, mostrando as mesmas vistas 
que aparecem em desenho isométrico. 
 
 
 
 
 
 
96 
 
 
33. Desenhe 3 vistas mongeanas da peça 
abaixo, mostrando as mesmas vistas que 
aparecem na cavaleira. 
34. a) Desenhe o ortoedro que envolve a 
peça abaixo; 
b) Desenhe 3 vistas mongeanas da peça 
abaixo, mostrando as mesmas vistas 
representadas no desenho isométrico. 
 
 
 
 
35. Desenhe 3 vistas mongeanas da peça 
abaixo, mostrando as mesmas vistas que 
aparecem em desenho isométrico. 
 
36. Desenhe 3 vistas mongeanas da peça 
abaixo, mostrando as mesmas vistas 
que aparecem em desenho isométrico. 
 
 
 
 
37. a) Desenhe o ortoedro que envolve a 
peça abaixo; 
b) Desenhe 3 vistas mongeanas da peça 
abaixo, mostrando as mesmas vistas da 
perspectiva. 
38. a) Desenhe o ortoedro que envolve a 
peça abaixo; 
b) Desenhe3 vistas mongeanas da peça 
abaixo, mostrando as mesmas vistas da 
perspectiva. 
 
 
 
97 
 
 
39. a) Desenhe a face superior do objeto 
abaixo; 
b) Redesenhe a peça abaixo cavaleira 
mostrando as faces frontal, lateral 
esquerda e superior. 
40. Redesenhe a peça abaixo em cavaleira 
ou em desenho isométrico. 
 
 
 
 
 
41. Redesenhe a peça abaixo em cavaleira ou 
em desenho isométrico. 
42. Redesenhe a peça abaixo em cavaleira 
ou em desenho isométrico. 
 
 
 
 
43. Desenhe a face lateral direita da peça 
abaixo. 
44. Insira, nas faces da peça abaixo, as 
projeções de um cilindro com diâmetro 
da base e altura medindo ambos 1,5 
cm, sua base deve estar contida no 
plano inclinado da peça. 
 
 
 
 
 
 
98 
 
44. Redesenhe a peça abaixo em cavaleira 
ou em desenho isométrico 
45. a) Desenhe a face lateral esquerda do 
objeto abaixo; 
b) Redesenhe a peça abaixo em cavaleira 
mostrando as faces frontal, lateral 
esquerda e superior. 
 
 
 
 
46. Imagine a face abaixo girando em torno 
da reta indicada 270°. Desenhe as vistas 
frontal e superior, e uma perspectiva da 
peça gerada por essa rotação. 
47. a) Desenhe a face lateral esquerda do 
objeto abaixo; 
b) Redesenhe a peça abaixo em cavaleira 
mostrando as faces frontal, lateral direita e 
superior. 
 
 
 
 
48. Redesenhe a peça abaixo em desenho 
isométrico ou cavaleira após 
rotacionada 90ᵒ (anti-horário) no 
sentido do eixo x. 
49. Redesenhe o objeto abaixo em desenho 
isométrico mostrando as mesmas faces 
que estão em sistema mongeano. 
 
 
 
 
 
99 
 
50. Redesenhe a peça abaixo em desenho 
isométrico. 
51. Redesenhe a peça abaixo em desenho 
isométrico. 
 
52. Redesenhe o objeto abaixo em desenho 
isométrico mostrando as mesmas faces 
representadas no sistema mongeano. 
53. Redesenhe o objeto abaixo em desenho 
isométrico mostrando as mesmas faces 
representadas no sistema mongeano. 
 
 
 
 
54. Redesenhe o objeto abaixo em desenho 
isométrico mostrando as mesmas faces 
representadas no sistema mongeano. 
55. Redesenhe a peça abaixo em desenho 
isométrico, posicionando-a de maneira 
que toda a face α fique visível. 
 
 
 
 
 
100 
 
56. Redesenhe a peça abaixo em 
desenho isométrico. 
57. Redesenhe a peça abaixo em desenho 
isométrico. 
 
 
 
 
58. Redesenhe a peça abaixo em 
cavaleira ou em desenho isométrico. 
59. Redesenhe a peça abaixo em cavaleira 
ou em desenho isométrico. 
 
 
 
 
60. Dadas as vistas mongeanas abaixo, 
redesenhe a peça em desenho 
isométrico. 
61. Redesenhe a peça abaixo em desenho 
isométrico. 
 
101 
 
 
62. a) Desenhe a vista lateral direita da peça 
abaixo; 
b) Redesenhe a peça em desenho 
isométrico; 
c) Acrescente, nas 3 vistas e no desenho 
isométrico, um cubo com aresta medindo 
1cm e com uma face contida na face a da 
peça. 
63. a) Desenhe a vista superior da peça 
abaixo; 
b) Redesenhe a peça abaixo em 
desenho isométrico. 
 
 
 
64. Redesenhe a peça abaixo em desenho 
isométrico. 
65. Redesenhe a peça abaixo em 
desenho isométrico. 
 
 
 
66. Redesenhe a peça abaixo em desenho 
isométrico. 
67. Redesenhe a peça abaixo em 
desenho isométrico. 
 
 
102 
 
 
68. Redesenhe a peça abaixo em desenho 
isométrico. 
69. Redesenhe a peça abaixo em desenho 
isométrico, posicionando-a de maneira 
que toda a face quadrada fique visível. 
 
 
 
 
70. Dadas as vistas mongeanas abaixo, redesenhe a peça em Desenho Isométrico mantendo 
visível as mesmas vistas que estão representadas no Sistema Mongeano. 
 
 
71. Redesenhe a peça ao lado em Cavaleira 
ou em Desenho Isométrico. 
 
 
103 
 
 
72. Redesenhe a peça abaixo em cavaleira ou 
em desenho isométrico. 
73. Redesenhe a peça abaixo em cavaleira 
ou em desenho isométrico. 
 
 
 
 
74. Redesenhe a peça abaixo em cavaleira ou 
em desenho isométrico. 
75. Redesenhe a peça abaixo em cavaleira 
ou em desenho isométrico 
 
 
 
 
76. Redesenhe a peça abaixo em cavaleira ou 
em desenho isométrico 
77. Redesenhe a peça abaixo em cavaleira 
ou em desenho isométrico 
 
 
 
 
 
 
 
104 
 
78. Dadas as vistas mongeanas abaixo, 
redesenhe a peça em cavaleira com 
α = 45°. 
79. Dadas as vistas mongeanas abaixo, 
redesenhe a peça em desenho 
isométrico mantendo as mesmas vistas 
que estão representadas no sistema 
mongeano. 
 
80. Dadas as vistas mongeanas abaixo, 
redesenhe a peça em desenho isométrico 
mantendo visível as mesmas vistas que 
estão representadas no sistema mongeano. 
81. a) Dadas as vistas frontal e superior, 
desenhe a vista direita; 
b) Redesenhe a peça em desenho 
isométrico, mostrando as mesmas 
vistas do sistema mongeano. 
 
105 
 
 
82. a) Desenhe a face lateral esquerda da 
peça abaixo; 
b) Redesenhe a peça abaixo em desenho 
isométrico. 
83. Desenhe 3 vistas mongeanas da 
peça abaixo. 
 
 
 
84. Redesenhe a peça abaixo em desenho 
isométrico. 
85. Redesenhe a peça abaixo em 
desenho isométrico. 
86. Redesenhe a peça abaixo em Desenho 
Isométrico, mostrando as mesmas 
vistas. 
87. Desenhe 3 vistas mongeanas da peça 
abaixo. 
 
 
106 
 
 
88. Redesenhe a peça abaixo em 
Cavaleira ou em Desenho Isométrico. 
89. Redesenhe a peça abaixo desenho 
isométrico. 
 
 
 
 
90. Desenhe 3 vistas mongeanas da peça 
abaixo, mostrando as mesmas vistas 
que aparecem no desenho isométrico. 
91. a) Desenhe o ortoedro que envolve a peça 
abaixo; 
b) Desenhe 3 vistas mongeanas da peça 
abaixo, mostrando as mesmas vistas 
representadas no desenho isométrico. 
 
 
 
 
92. a) Desenhe a lateral direita da peça 
abaixo; 
b) Redesenhe a peça abaixo em 
Desenho Isométrico. 
93. a) Desenhe a vista lateral direita da peça 
abaixo; 
b) Redesenhe a peça abaixo em Desenho 
Isométrico, mostrando as mesmas vistas 
que em aparecem em épura. 
 
 
 
107 
 
 
94. Redesenhe a peça abaixo em Desenho 
Isométrico. 
95. Redesenhe a peça abaixo em Desenho 
Isométrico. 
 
 
 
 
 
 
 
96. Redesenhe a peça abaixo em 
desenho isométrico. 
97. a) Complete a épura com a vista frontal 
da peça abaixo; 
b) Redesenhe a peça em Desenho 
Isométrico, mostrando as mesmas vistas 
ortográficas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
108 
 
 
98. Redesenhe a peça abaixo em desenho isométrico. 
 
 
99. a) Desenhe uma vista lateral da peça abaixo; 
b) Redesenhe a peça abaixo desenho isométrico. 
 
 
 
109 
 
GABARITOS 
1. 
2. 
 
3. 
 
4. 
 
5. 
 
6. 
 
7. 
 
 
110 
 
8. 
 
9. 
 
10. 
 
11. 
 
12. 
 
13. 
 
 
111 
 
14. 
 
15. 
 
16. 
 
17. 
 
18. 
 
19. 
 
20. 
 
21. 
 
112 
 
 
22. 
 
23. 
 
24. 
 
25. 
 
26. 
 
27. 
 
 
 
 
113 
 
 
28. 
 
29. 
 
30. 
 
31. 
 
32. 
 
33. 
 
 
114 
 
34. FALTA GABARITO 35. 
 
36. 
 
37. FALTA GABARITO 
38. FALTA GABARITO 
 
40. FALTA GABARITO 39. 
 
41. FALTA GABARITO 
42. FALTA GABARITO 
43. 
 
 
 
 
115 
 
44. 
 
45. 
 
46. 
 
47. 
 
48. 
 
49. 
 
50. 
 
51. 
 
 
 
116 
 
 
52. 
 
53. 
 
54. 
 
55. 
 
56. 
 
57. 
 
58. FALTA GABARITO 59. FALTA GABARITO 
 
 
 
117 
 
 
60. 
 
61. 
 
62. 
 
63. 
 
64. 
 
65. 
 
 
11866. 
 
67. 
 
68. 
 
69. 
 
70. 
 
71. FALTA GABARITO 
72. FALTA GABARITO 
73. FALTA GABARITO 
74. FALTA GABARITO 
75. FALTA GABARITO 
 
 
119 
 
 
76. FALTA GABARITO 79. 
 
77. FALTA GABARITO 
78. FALTA GABARITO 
80. FALTA GABARITO 
81. 
 
82. 
 
 
83. 
 
 
120 
 
 
84. 
 
85. 
 
86. 
 
87. 
 
88. FALTA GABARITO 89. 
 
90. 
 
121 
 
 
 
91. 
 
92. 
 
93. 
 
94. 
 
95. 
 
122 
 
 
96. 
 
97. FALTA GABARITO 
98. 
 
99.