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Início Resolução de Livros Tutoriais Dicas e Links Úteis 13 fevereiro 2012 Resolução do Livro "Um curso de cálculo" : Módulo de um número real Exercícios 1.3 1. Elimine o módulo: Dica: -Definição de módulo: - Propriedades úteis: i) |x| ≥ 0 ii) |x|² = x² - Estudo do sinal de expressões na forma ax² - c: a) Encontrar as raízes x1 e x2 da equação: ax² - c = 0 ax² = c x² = c/a x = ± √c/a Portanto a equação terá duas raízes inteiras de mesmo módulo e sinais diferentes. Assim, x1= √c/a e x2= - √c/a. b) Graficamente: Se a > 0 : ( Supondo x1 < x2 ) Se a < 0: TutoDigital: Resolução do Livro "Um curso de cálculo" : Módulo de ... http://tutodigital.blogspot.com.br/2012/02/exercicios-1.html 1 de 17 15/12/2014 22:16 ( Supondo x1 < x2 ) - Estudo do de expressões na forma ax + b: a) |-5| + |-2| Solução: Pela definição de módulo, temos: |-5| = -(-5) = 5 , sendo -5 <0 |-2| = -(-2) = 2, sendo -2 < 0 Assim, |-5| + |-2| = 5 + 2 = 7 b) |-5 + 8| Solução: Temos que : |-5+8|=|3| Pela definição de módulo: |3| = 3 , pois 3 > 0 c) |-a|, a > 0 Solução: Se a > 0, logo –a < 0, portanto pela definição de módulos, temos: |-a| = - (-a) = a , pois -a < 0 c) |a|, a < 0 Solução: Pela definição de módulo, temos: |a| = -a , pois a < 0 d) |-a| Solução: Pela definição de módulo, temos: e) |2a| - |3a| Solução: Pela definição de módulo, temos: e Assim, -Se a ≥ 0: |2a| - |3a| = 2a - 3a = -a -Se a < 0: |2a| - |3a| = -2a - (-3a) = -2a + 3a = a Portanto, 2. Resolva as equações. TutoDigital: Resolução do Livro "Um curso de cálculo" : Módulo de ... http://tutodigital.blogspot.com.br/2012/02/exercicios-1.html 2 de 17 15/12/2014 22:16 a) |x|= 2 Solução: Pela definição de módulo, temos: b) |x+1|=3 Solução: Pela definição de módulo, temos: c) |2x-1|=1 Solução: Pela definição de módulo, temos: d) |x-2|=-1 Solução: Não adimite solução pois |z| ≥ 0, para qualquer z, portanto |x-2| = -1 < 0 não é válido. e) |2x+3|=0 Solução: Pela definição de módulo, temos: f) |x|=2x+1 Solução: Pela definição de módulo, temos: Substituindo: |x|= 2.(-1) + 1 = -2 + 1 = -2 < 0 |x|= 2. + 1 = + 1 = = > 0 Observe que se x = -1, o módulo resulta em um número negativo, portanto não é válido. Assim |x| = 2x+1 , somente para . 3. Resolva as inequações. Dica : - Definição de módulo: - Propriedades úteis: i) |x| ≥ 0 ii) |x|² = x² TutoDigital: Resolução do Livro "Um curso de cálculo" : Módulo de ... http://tutodigital.blogspot.com.br/2012/02/exercicios-1.html 3 de 17 15/12/2014 22:16 a) |x|≤ 1 Solução: |x|² ≤ 1² x² ≤ 1 x² - 1 ≤ 0 Estudando o sinal de x² - 1: - Determinar as raízes da equação: x² - 1 = 0 x² = 1 x = ± √1 x = ± 1 As raízes são : 1 e -1 -Graficamente: Portanto |x| ≤ 1 ⇔ x² - 1 ≤ 0 , para -1 ≤ x ≤ 1 b) |2x-1|< 3 Solução: |2x-1|² ≤ 3² (2x-1)² ≤ 9 4x² -4x +1 ≤ 9 4x² -4x +1-9 ≤ 0 4x² -4x -8 ≤ 0 Estudando o sinal de 4x² -4x -8: - Determinar as raízes da equação: 4x² -4x -8 = 0 Dividindo todos os membros por 4, temos: 4x² -4x -8 = 0 ⇔ x² - x – 2 =0 Usando a Fórmula de Bkaskara, temos: H = (-1)²-4.1.(-2) H = 1+8 H = 9 Logo, as raízes da equação são : 2 e -1. -Graficamente: Portanto, |2x-1|< 3 ⇔ x² - x – 2 < 0 , para -1 < x < 2. c) |3x-1| < -2 Solução: Por (i) temos que |3x - 1| ≥ 0 para todo x, logo |3x-1| < -2 não está definido. d) |3x-1|< Solução: |3x-1|² < (3x-1)² < TutoDigital: Resolução do Livro "Um curso de cálculo" : Módulo de ... http://tutodigital.blogspot.com.br/2012/02/exercicios-1.html 4 de 17 15/12/2014 22:16 9x² -6x +1 < 9x² -6x +1 - < 0 9x² -6x + < 0 9x² -6x + < 0 Estudando o sinal de 9x² -6x + : - Determinar as raízes da equação: 9x² -6x + = 0 Usando a Fórmula de Bkaskara, temos: H = (-6)²-4.9. H = 36 - 32 H = 4 Logo, as raízes da equação são : e . -Graficamente: Portanto|3x-1|< ⇔ 9x² -6x + < 0 , para < x < . e) |2x²- 1| < 1 Solução: |2x²- 1|² < 1² (2x²- 1)² < 1 4x4 -4x² + 1 < 1 4x4 -4x² + 1-1 < 0 4x4 -4x² < 0 Estudando o sinal de 4x4 -4x²: - Iremos fatorar a equação para encontrar as raízes: 4x4 -4x² = 4x² .(x² - 1) - (fatoração por evidência) - Veja em Fatoração de Polinômios. Estudo do sinal de 4x²: - Determinar as raízes da equação: 4x² = 0 x² = 0 x = 0 Logo, as raízes de 4x² são 0. -Graficamente: Estudo do sinal de x² - 1: - Determinar as raízes da equação: x² - 1 = 0 x² = 1 x = ± √1 x = ± 1 Logo, as raízes de x² - 1 são : 1 e -1. -Graficamente: TutoDigital: Resolução do Livro "Um curso de cálculo" : Módulo de ... http://tutodigital.blogspot.com.br/2012/02/exercicios-1.html 5 de 17 15/12/2014 22:16 Portanto, 4x4 -4x² = 4x² .(x - 1)(x+1) e suas raízes são 0, 1 e -1. Graficamente: Portanto, |2x²- 1| < 1 ⇔ 4x4 -4x² < 0 ⇔ 4x² .(x² - 1) < 0 , para -1 < x < 1, x ≠ 0 , pois 4x² .(x² - 1) = 0 , se x = 0. f) |x-3| < 4 Solução: |x-3|² < 4² (x-3)² < 16 x² -6x +9 < 16 x² -6x +9 -16 <0 x² -6x -7 <0 Estudando o sinal de x² -6x -7: - Determinar as raízes da equação: x² -6x -7 = 0 Usando a Fórmula de Bkaskara, temos: H = (-6)²- 4.1.(-7) H = 36+28 H = 64 Logo, as raízes da equação são : 7 e -1. -Graficamente: Portanto, |x-3| < 4 ⇔ x² -6x -7 <0 , para -1 < x < 7. g) |x| > 3 Solução: |x|² > 3² x² >9 x² - 9 >0 Estudando o sinal de x² - 9: - Determinar as raízes da equação: x² - 9 = 0 x² = 9 x = ± √9 x = ± 3 Logo, as raízes da equação são : 3 e -3. -Graficamente: TutoDigital: Resolução do Livro "Um curso de cálculo" : Módulo de ... http://tutodigital.blogspot.com.br/2012/02/exercicios-1.html 6 de 17 15/12/2014 22:16 Portanto, |x| > 3 ⇔ x² - 9 >0 , para x < -3 ou x > 3. h) |x + 3| > 1 Solução: |x + 3|² > 1² (x + 3)² > 1 x² +6x +9 > 1 x² +6x +9 -1>0 x² +6x +8>0 Estudando o sinal de x² +6x +8: - Determinar as raízes da equação: x² +6x +8 = 0 Usando a Fórmula de Bkaskara, temos: H = 6²-4.1.8 H = 36-32 H = 4 Logo, as raízes da equação são : -2 e -4. -Graficamente: Portanto, |x + 3| > 1 ⇔ x² +6x +8 >0 , para x < -4 ou x > -2. i) |2x – 3| > 3 Solução: |2x – 3|² > 3² (2x – 3)² > 9 4x² -12x +9 > 9 4x² -12x +9 -9 >0 4x² -12x >0 Estudando o sinal de 4x² -12x: - Iremos fatorar a equação para encontrar as raízes: 4x² -12x = 4x.(x-3) - (fatoração por evidência) - Veja em Fatoração de Polinômios. Sabemos que : ax² + bx +c = a.(x - x1)(x - x2), logo 4x² -12x = 4.(x-0)(x-3), portanto suas raízes são 0 e 3. -Graficamente: Portanto, |2x – 3| > 3 ⇔ 4x² -12x >0 , para x < 0 ou x > 3. j) |2x – 1| < x Solução: |2x – 1|² < x² (2x – 1)² < x² 4x² -4x + 1 < x² TutoDigital: Resolução do Livro "Um curso de cálculo" : Módulo de ... http://tutodigital.blogspot.com.br/2012/02/exercicios-1.html 7 de 17 15/12/2014 22:16 4x² -4x + 1 -x² <0 3x² -4x + 1 <0 Estudando o sinal de 3x² -4x + 1: - Determinar as raízes da equação: 3x² -4x + 1 = 0 Usando a Fórmula de Bkaskara, temos: H = (-4)²-4.3.1 H = 16-12 H = 4 Logo, as raízes da equação são : 1 e . -Graficamente: Portanto,|2x – 1| < x ⇔ 3x² -4x + 1 <0 , para < x < 1. l) |x + 1| <|2x – 1| Solução: |x + 1|² <|2x – 1|² (x + 1)² <(2x – 1)² x² + 2x + 1 < 4x² -4x + 1 x² -4x² + 2x + 4x + 1-1 < 0 -3x² +6x <0 Estudando o sinal de -3x² +6x: - Iremos fatorar a equação para encontrar as raízes: -3x² +6x = -3x.(x-2) - (fatoração por evidência) - Veja em Fatoração de Polinômios. Sabemos que : ax² + bx +c = a.(x - x1)(x - x2), logo -3x² +6x = -3.(x-0)(x-2), portanto suas raízes são 0 e 2. -Graficamente (a < 0): Portanto,|x + 1| <|2x– 1| ⇔ -3x² +6x <0 , x < 0 ou x > 2. m) |x – 1| - |x + 2| > x Solução: Pela definição de módulo, temos: e Graficamente: TutoDigital: Resolução do Livro "Um curso de cálculo" : Módulo de ... http://tutodigital.blogspot.com.br/2012/02/exercicios-1.html 8 de 17 15/12/2014 22:16 - Se x < -2 |x-1| = -x+1 |x+2| = -x-2 Assim: |x-1|-|x+2| > x -x+1- (-x-2) > x -x +1 +x + 2 > x 3 > x ou x < 3 -Intersecção de x < -2 e x < 3 ,sendo A = x < -2 e B= x< 3 Portanto a desigualdade é válida para todo x < -2. - Se -2 ≤ x < 1 |x-1| = -x+1 |x+2| = x+2 Assim: |x-1|-|x+2| > x -x+1- (x+2) > x -x +1 -x - 2 > x -2x-1 > x -2x-x >1 -3x >1 3x < -1 * x < -Intersecção de-2 ≤ x ≤ 1 e x < ,sendo A = -2 ≤ x ≤ 1 e B= x < Portanto a desigualdade é válida para todo -2 ≤ x < . -Se x ≥ 1 |x-1| = x-1 |x+2| = x+2 Assim: |x-1|-|x+2| > x x-1- (x+2) > x x -1 -x - 2 > x -3 > x ou x > -3 -Intersecção de x ≥ 1 e x > -3,sendo A = x ≥ 1 e B= x > -3. Portanto a desigualdade não é valida nesse intervalo pois não há intersecção. Para saber para quais valores de x a inequação é válida, basta fazer a união dos intervalos em que a desigualdade é válida. -União de A e B , sendo A = x < -2 e B= -2 ≤x < TutoDigital: Resolução do Livro "Um curso de cálculo" : Módulo de ... http://tutodigital.blogspot.com.br/2012/02/exercicios-1.html 9 de 17 15/12/2014 22:16 Portanto, |x – 1| - |x + 2| > x , para x < n) |x – 3| < x + 1 Solução: |x – 3|² < (x+1)² (x – 3)² < (x+1)² x² -6x +9 < x² +2x +1 x² -6x - x² - 2x < 1 - 9 -8x < -8 * 8x > 8 x > x > 1 Portanto,|x – 3| < x + 1 , para x >1. o) |x – 2| + |x – 1| > 1 Solução: Pela definição de módulo, temos: e Graficamente: - Se x < 1 |x-2| = -x+2 |x-1| = -x+1 Assim: |x – 2| + |x – 1| > 1 -x + 2 -x +1 > 1 -2x + 3 > 1 -2x > 1-3 -2x > -2 2x < 2 * x < x < 1 Portanto a desigualdade é válida para todo x < 1. - Se 1≤ x < 2 |x-2| = -x+2 |x-1| = x-1 Assim: |x – 2| + |x – 1| > 1 -x + 2 + x -1 > 1 1 > 1 Observe que chegamos em um absurdo (1 > 1), portanto a desigualdade não é válida nesse intervalo. -Se x ≥ 1 TutoDigital: Resolução do Livro "Um curso de cálculo" : Módulo de ... http://tutodigital.blogspot.com.br/2012/02/exercicios-1.html 10 de 17 15/12/2014 22:16 |x-2| = x-2 |x-1| = x-1 Assim: |x – 2| + |x – 1| > 1 x - 2 + x -1 > 1 2x - 3 > 1 2x > 1+3 2x > 4 x > x > 2 Portanto a desigualdade é válida para todo x < 2. Para saber para quais valores de x a inequação é válida, basta fazer a união dos intervalos em que a desigualdade é válida. -União de A e B , sendo A = x < 1 e B= x > 2 Portanto, |x – 2| + |x – 1| > 1 , para x < 1 ou x > 2. 4. Suponha r > 0. Prove: |x| > r ⇔ x < -r ou x > r Solução: |x|² > r² x² > r² x² - r² > 0 Graficamente: Portanto, x² - r² > 0 ⇔ |x| > r para x < -r e x > r. 5. Elimine o módulo. a) | x + 1| + |x| Solução: Pela definição de módulo, temos: e Graficamente: - Se x < -1 |x+1| = -x-1 |x| = -x Assim: | x + 1| + |x| = -x-1-x = -2x-1 - Se -1 ≤ x < 0 |x+1| = x + 1 TutoDigital: Resolução do Livro "Um curso de cálculo" : Módulo de ... http://tutodigital.blogspot.com.br/2012/02/exercicios-1.html 11 de 17 15/12/2014 22:16 |x| = -x Assim: | x + 1| + |x| = x+1-x = 1 - Se x ≥ 0 |x+1| = x + 1 |x| = x Assim: | x + 1| + |x| = x+1+x = 2x + 1 Portanto , b) |x – 2| - |x + 1| Solução: Pela definição de módulo, temos: e Graficamente: - Se x < -1 |x-2| = -x+2 |x+1| = -x-1 Assim: |x – 2| - |x + 1| = -x+2 -(-x-1) = -x + 2 + x + 1= 3 - Se -1 ≤ x < 2 |x-2| = -x+2 |x+1| = x+1 Assim: |x – 2| - |x + 1| = -x+2 -(x+1) = -x + 2 - x - 1= -2x+1 - Se x ≥ 0 |x-2| = x-2 |x+1| = x+1 Assim: |x – 2| - |x + 1| = x-2 -(x+1) = x - 2 - x - 1= -3 Portanto , c) |2x – 1| + |x -2| Solução: Pela definição de módulo, temos: e TutoDigital: Resolução do Livro "Um curso de cálculo" : Módulo de ... http://tutodigital.blogspot.com.br/2012/02/exercicios-1.html 12 de 17 15/12/2014 22:16 Graficamente: - Se x < |2x-1| = -2x+1 |x-2| = -x+2 Assim: |2x – 1| + |x -2| = -2x+1-x+2 = -3x + 3 - Se ≤ x < 2 |2x-1| = 2x-1 |x-2| = -x+2 Assim: |2x – 1| + |x -2| = 2x-1-x+2 = x + 1 - Se x ≥ 2 |2x-1| = 2x-1 |x-2| = x-2 Assim: |2x – 1| + |x -2| = 2x-1+ x-2 = 3x -3 Portanto , e) |x|+|x - 1|+|x - 2| Solução: Pela definição de módulo, temos: e e Graficamente: - Se x < 0 |x| = -x |x-1| = -x+1 |x-2|= -x+2 Assim: TutoDigital: Resolução do Livro "Um curso de cálculo" : Módulo de ... http://tutodigital.blogspot.com.br/2012/02/exercicios-1.html 13 de 17 15/12/2014 22:16 |x|+|x - 1|+|x - 2| = -x -x +1 -x + 2= -3x + 3 - Se 0 ≤x <1 |x| = x |x-1| = -x+1 |x-2|= -x+2 Assim: |x|+|x - 1|+|x - 2| = x -x +1 -x + 2= -x + 3 - Se 1 ≤x <2 |x| = x |x-1| = x-1 |x-2|= -x+2 Assim: |x|+|x - 1|+|x - 2| = x + x -1 -x + 2= x + 1 - Se x ≥ 2 |x| = x |x-1| = x-1 |x-2|= x-2 Assim: |x|+|x - 1|+|x - 2| = x + x -1 + x - 2 = 3x -3 Portanto , 6. Prove: |x + y| = |x| + |y| ⇔ xy ≥ 0 Solução: De acordo com a definição de módulo, temos: e e Sabemos que xy ≥ 0 , portanto nos deparamos com 5 casos : Caso 1: Se x e y > 0 , temos xy > 0 e x + y > 0, assim: |x + y | = x + y = | x | + | y | Caso 2: Se x e y < 0, temos xy > 0 e x + y < 0, assim: |x + y| = -(x + y) = -x-y = (-x) + (-y) = | x | + | y | Caso 3: Se x = 0 , temos xy = 0 i ) se y > 0, temos x + y > 0, assim: |x+y| = x+y = | x |+| y | ii) se y < 0, temos x + y < 0, assim: |x + y| = -(x + y) = -x-y = (-x) + (-y) = | x | + | y | Caso 4: Se y = 0 , temos xy = 0 i ) se x > 0, temos x + y > 0, assim: |x+y| = x+y = | x |+| y | ii) se x < 0, temos x + y < 0, assim: TutoDigital: Resolução do Livro "Um curso de cálculo" : Módulo de ... http://tutodigital.blogspot.com.br/2012/02/exercicios-1.html 14 de 17 15/12/2014 22:16 |x + y| = -(x + y) = -x-y = (-x) + (-y) = | x | + | y | Caso 5: Se x = 0 e y =0, temos xy = 0 e x + y = 0, assim: |x + y| = x + y = | x |+| y | Portanto, |x + y| = |x| + |y| ⇔ xy ≥ 0, para todo x e y. 7. Prove: Dica : -Propriedades úteis: i) | x | ≥ 0 ii ) |x| ² = x² iii) |xy| = |x||y| a) | x – y| ≥ |x| - |y| Solução : Elevando ambos os membros da desigualdade ao quadrado, temos: | x - y |² ≥ (|x| - |y|)² ( x - y )² ≥ (|x| - |y|)² x² - 2xy + y² ≥ |x|² - 2|x||y| + |y|² x² - 2xy + y² ≥ x² - 2|x||y| + y² x² -x² - 2xy + y² -y² ≥ - 2|x||y| - 2xy ≥ - 2|x||y| Sendo |x||y| = |x.y| e |xy| ≥ 0,de acordo com as propriedades (iii) e (i), temos que -2|x||y| ≤ 0, para qualquer x e y, logo - 2xy ≥ - 2|x||y| . b) |x – y| ≥ |y| - |x| Solução: Elevando ambos os membros da desigualdade ao quadrado, temos: | x - y |² ≥ (|y| - |x|)² ( x - y )² ≥ (|y| - |x|)² x² - 2xy + y² ≥ |y|² - 2|y||x| + |x|² x² - 2xy + y² ≥ y² - 2|y||x| + x² x² -x² - 2xy + y² -y² ≥ - 2|y||x| - 2xy ≥ - 2|y||x| Sendo |y||x| = |y.x| e |yx| ≥ 0,de acordo com as propriedades (iii) e (i), temos que -2y||x| ≤ 0, para qualquer x e y, logo - 2xy ≥ - 2|y||x|. c) ||x|-|y|| ≤ |x - y| Solução: Elevando ambos os membros da desigualdade ao quadrado, temos: ||x|-|y||² ≤ |x - y|² (|x|-|y|)² ≤ (x - y)² |x|² - 2|x||y| + |y|² ≤ x² -2xy + y² x² - 2|x||y| + y² ≤ x² -2xy + y² x² -x² - 2|x||y|+ y² -y² ≤ -2xy - 2|x||y| ≤ -2xy Sendo |y||x| = |y.x| e |yx| ≥ 0,de acordo com as propriedades (iii) e (i), temos que -2|x||y| ≤ 0, para qualquer x e y, logo - 2|x||y| ≤ -2xy . _____________________________________________________________________ Formula de Bhaskara : é a nome que se dá a fórmula usada na resoluçãode equações do segundo grau. H = b² - 4ac e TutoDigital: Resolução do Livro "Um curso de cálculo" : Módulo de ... http://tutodigital.blogspot.com.br/2012/02/exercicios-1.html 15 de 17 15/12/2014 22:16 às 10:05 * Ao multiplicarmos ambos os lados por um número negativo o sinal de desigualdade se invertee. Veja: - 3x < 5 -3x (-1) < 5 (-1) 3x > -5 Respostas Responder Respostas Responder 9 comentários: Manoel Villarins 4 de maio de 2012 06:42 muito bom este seu blog espero que der continuidade a esta resolução que vem salvando alunos desesperados como eu :) Responder Priscila Alves 5 de maio de 2012 20:02 obrigada Manoel.! que bom que está ajudando.! continuarei sim, é que agora está tudo meio corrido mas continuarei assim que puder.! =D gilvaldo 16 de maio de 2014 14:59 tomara que dê certo, pois essas resoluçoes sao muito boas Denis 27 de setembro de 2012 17:39 caramba, muito obrigado mesmo!rs Responder thpp 27 de dezembro de 2012 15:16 nossa por favor estou precisando urgentimente da resolução dos exercicios de função... vc poderia me ajudar Responder Priscila Alves 27 de dezembro de 2012 15:19 Ola thpp, eu não tenho os exercícios resolvidos, mas me mande os que você não conseguir fazer que eu te ajudo. email: pcommerce92@gmail.com thpp 29 de dezembro de 2012 08:52 eu ja te mandei o email.. Mto obrigado pela atenção, e por ter me respondido.. Rodrigo 22 de março de 2014 11:21 Muito bom Responder TutoDigital: Resolução do Livro "Um curso de cálculo" : Módulo de ... http://tutodigital.blogspot.com.br/2012/02/exercicios-1.html 16 de 17 15/12/2014 22:16 Postagem mais antigaInício Assinar: Postar comentários (Atom) Comentar como: Publicar Anônimo 1 de abril de 2014 06:22 Ola, eu preciso dos exercícios do capitulo 3 e 4! Se puder me ajudar! Obg! Responder Tecnologia do Blogger. TutoDigital: Resolução do Livro "Um curso de cálculo" : Módulo de ... http://tutodigital.blogspot.com.br/2012/02/exercicios-1.html 17 de 17 15/12/2014 22:16
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