Função Trigonométrica - aula

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Funções Trigonométricas:
No círculo trigonométrico temos arcos que realizam mais de uma volta, considerando que o intervalo do círculo é [0, 2π], por exemplo, o arco dado pelo número real x = 5π/2, quando desmembrado temos: x = 5π/2 = 4π/2 + π/2 = 2π + π/2. Note que o arco dá uma volta completa (2π = 2*180º = 360º), mais um percurso de 1/4 de volta (π/2 = 180º/2 = 90º). Podemos associar o número x = 5π/2 ao ponto P da figura, o qual é imagem também do número π/2. Existem outros infinitos números reais maiores que 2π e que possuem a mesma imagem. Observe:
9π/2 = 2 voltas e 1/4 de volta 
13π/2 = 3 voltas e 1/4 de volta 
17π/2 = 4 voltas e 1/4 de volta 
Podemos generalizar e escrever todos os arcos com essa característica na seguinte forma: π/2 + 2kπ, onde k Є Z. E de uma forma geral abrangendo todos os arcos com mais de uma volta, x + 2kπ. 
Estes arcos são representados no plano cartesiano através de funções circulares como: função seno, função cosseno e função tangente. 
Características da função seno 
É uma função f : R → R que associa a cada número real x o seu seno, então 
f(x) = senx. O sinal da função f(x) = senx é positivo no 1º e 2º quadrantes, e é negativo quando x pertence ao 3º e 4º quadrantes. Observe:
Gráfico da função f(x) = senx
Observações sobre a função seno:
1ª O domínio de f(x) = sem x é IR, pois para qualquer valor real de x existe um e um só valor para sem x.
2ª O conjunto imagem de f(x) = sem x é o intervalo [-1, 1].
3ª A função seno não é sobrejetiva, pois [-1, 1] ≠ IR, isto é, sua imagem não é igual ao contradomínio.
4ª A função seno não é injetiva, pois para valores diferentes de x temos o mesmo f(x). Por exemplo:
Sen ᴫ/2 = sen 5 ᴫ/2 =... = 1
5ª A função seno é função ímpar, isto é, qualquer que seja x pertence D (f) = IR temos sem x = - sem (-x).
Características da função cosseno 
É uma função f : R → R que associa a cada número real x o seu cosseno, então f(x) = cosx.  O sinal da função f(x) = cosx é positivo no 1º e 4º quadrantes, e é negativo quando x pertence ao 2º e 3º quadrantes. Observe:
Gráfico da função f(x) = cosx
Observações sobre a função cosseno:
1ª A cossenóide não é uma nova curva, e sim uma senóide translada de ᴫ/2 para a direita. Observe na senóide que se colocarmos o eixo y na ponto de abscissa x = ᴫ/2, teremos exatamente o gráfico acima. Isso faz com que a maioria dos aspectos relevantes da função cosseno seja a mesma da função seno.
2ª O domínio é o mesmo: f: IR → IR tal que f(x) = cós x tem D = IR
3ª A imagem é a mesma: f: IR → IR tal que f(x) = cós x tem Im = [ -1,1].
4ª O período é o mesmo: a função cosseno é periódica de período p = 2ᴫ.
5ª A função cosseno também não é nem injetiva, nem sobrejetiva.
As diferenças entre a função cosseno e a função seno ficam por conta dos aspectos que dependem dos valores das imagens associados aos domínios, que transladam ᴫ/2 para a direita. Por exemplo, a função seno é ímpar e a função cosseno é par, pois cós x = cós (-x), para todo x pertencente D(f) = IR
Características da função tangente 
É uma função f : R → R que associa a cada número real x a sua tangente, então f(x) = tgx. 
Sinais da função tangente:
( Valores positivos nos quadrantes ímpares. 
( Valores negativos nos quadrantes pares. 
( Crescente em cada valor. 
Gráfico da função tangente – curva tangentóide
Observações importantes sobre a função tangente
1ª Tem D(f) com x pertencente aos IR e x ≠ ᴫ/2 + Kᴫ, com K pertencente a Z e Im (f) = IR
2ª A função tangente é uma função ímpar, isto é, tg x = - tg (-x), para todo x pertencente ao D(f).
3ª A função tangente é periódica de período p = ᴫ, isto é, tg x = tg (x+Kᴫ), com K pertencente ao conjunto dos Inteiros e x pertencente D(f).
Referências Bibliográficas:
Dante, Luiz Roberto. Matemática. 1ª edição. São Paulo: Ática, 2004
Disponível em: http://www.brasilescola.com/matematica/funcoes-trigonometricas-1.htm