P2 antigas

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PROVAS ANTIGAS CÁLCULO 3 (P2)
Seja o campo vetorial F(x,y) = i + j 
Mostre que é independente do caminho
Encontre uma função potencial f para F
Use o Teorema de Green e calcule a integral , sabendo que C1 está centrado na origem (Olhar imagem na foto)
Se F(x,y)= y² i + 2x j + 5y k , use o Teorema de Stokes para calcular , onde S é o hemisfério z= 
Encontre uma função potencial f para o campo vetorial: 
F(x,y,z) = <>
Uma partícula de move ao longo da curva y=f(x) contínua e suave, do ponto (a,f(a)) até o ponto (b,f(b)). A força que move a partícula tem magnitude constante k e sempre aponta no sentido contrário (afastando-se da origem). Mostre que o trabalho realizado pela referida força entre os dois pontos mencionados é dado por
Trabalho = 
Se F(x,y,z) = , use o Teorema de Stokes para calcular , onde S é a parte do paraboloide z= 4-x²-y² interceptada pelo plano xy
Suponhamos que uma superfície S constitua a fronteira completa de uma região Q do tipo considerada no Teorema da Divergência e que a origem O seja ponto interior de Q. Se um campo quadrado inverso é dado por F= , onde q é constante e r = xi + yj + zk com , prove, sabendo que para um campo quadrado inverso , que o fluxo de F sobre S, é independente da forma de Q dado por 4πq
(OBS: Note que F não é continua em O e não se pode aplicar diretamente o Teorema de Divergência. Considere S uma esfera de raio a e centro O, inteiramente contida em S)
Usar o Teorema de Stokes para calcular onde F (x,y,z) = y²i + 2x j + 5y k, S é a parte da superfície z²= x² + y² cortada pelo plano x= 1
Seja C a fronteira da região delimitada por y= 2x e y= x², utiliza o Teorema de Green para calcular 
Usar o Teorema da Divergência para calcular o fluxo sobre S, ou seja , onde F= 4x i + 2y² j + z² k, e S é uma superfície fechada limitada por x²+y²=4 , z=0 e z=3 
Esboçar o campo de forças F(x,y) = i + j e calcular o trabalho por ele realizado atuando sobre uma partícula que percorre, uma única vez no sentido anti-horário, a circunferência de raio unitário
Usar o Teorema de Green e encontrar a área da região limitada pela curva r(t) = t²i + ( 1/3 t³ - t) j , com -0 ≤ t ≤ 2 
Sabe-se que um determinado campo de forças é dado por
 F(x,y,z) = xy²i + xyzj + (z²-y²z-1/2xz²+1) k. Se S é a superfície x²+y²+z² = 1 com z≥0, a) calcular b) Considere, agora, apenas a tampa inferior de S no plano xy e calcule novamente, apenas sobre a tampa , onde S1 é a superfície dessa tampa
Calcular o trabalho realizado pelo campo de forças dado por F= atuando sobre uma partícula que percorre, uma única vez no sentido anti-horario, a circunferência de raio unitário
Usar o Teorema de Stokes para calcular onde F(x,y,z)= 2z i + xy j + 5y k , S é a superfície z= 4 – x² - y², com z≥0 e C é o traço de S no plano xy
Usar o Teorema da Divergência para calcular o fluxo , através da superfície sólida limitada acima por z= e abaixo pelo plano xy