TEC_MEC_E02

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1 
TEC - Mecânica dos Corpos Rígidos Lista de Exercícios 02 
 
Questões: 
 
Adição de Vetores: 
 
1. [HIB09] Determine as componentes x e y da força de 500N. 
 
 
2. [HIB09] Decomponha a força de 80N em componentes atuando ao longo dos eixos u e v 
e determine as magnitudes das componentes. 
 
 
3. [HIB09] O vento atua em uma vela de um barco de forma que exerce uma força 
resultante de F=110lb perpendicular a vela. Decomponha essa força em duas 
componentes, uma paralela e uma perpendicular a quilha aa do barco. Nota: A habilidade 
de velejar no vento é conhecida como sailing (emborcamento), tornando-se possível pelas 
forças paralelas à quilha do barco. As componentes perpendiculares tendem a inclinar ou 
virar o barco. 
 
 2 
4. [HIB09] O poste será arrancado do solo utilizando-se duas cordas A e B. A corda A está 
sujeita a força de 600lb e é direcionada a 60º da horizontal. Se a força resultante atuando 
no poste será de 1200lb, verticalmente de baixo para cima, determine a forca T na corda 
B e o ângulo θ correspondente. 
 
 
5. [HIB09] Duas forças tendo magnitude de 10lb e 6lb atuam em um anel. Se a força 
resultante tem magnitude de 14lb, determine o ângulo θ entre as forças. 
 
 
6. [HIB09] Duas forças F1 e F2 atuam em um gancho. Se o ângulo entra as suas linhas de 
ação é θ e a magnitude de cada força é F1 = F2 = F, determine a magnitude da força 
resultante FR e o ângulo entre FR e F1. 
 
 
 
 
 
 
 
 3 
7. [HIB09] Determine a magnitude e direção da resultante FR = F1 + F2 + F3 das três forças, 
encontrando primeiramente a resultante F’ = F1 + F2 e depois formando FR = F’ + F3. 
 
 
8. [HIB09] Determine a magnitude e direção da resultante FR = F1 + F2 + F3 das três forças, 
encontrando primeiramente a resultante F’ = F2 + F3 e depois formando FR = F’ + F1. 
 
 
Componentes Retangulares: 
 
9. [HIB09] Determine as componentes x e y da força de 150lb. 
 
 
10. [HIB09] Determine a magnitude da força resultante e sua direção medida do eixo x 
positivo. 
 
 4 
11. [HIB09] Determine a magnitude da força resultante e sua direção medida do eixo x 
positivo. 
 
 
12. [HIB09] Determine a magnitude da força resultante e sua direção medida do eixo x 
positivo. 
 
 
13. [HIB09] Determine a magnitude da força resultante e sua direção medida do eixo x 
positivo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 5 
14. [HIB09] Determinar as componentes x e y de cada força atuando na chapa da treliça de 
ponte. Mostre que a força resultante é zero. 
 
 
15. [HIB09] Determine a magnitude e direção θ de F1 tal que a força resultante seja 
direcionada verticalmente para cima e tenha a magnitude de 800N. 
 
 
16. [HIB09] Determine a magnitude e a direção da força resultante das três forças atuando no 
anel. Considere F1 = 500N e θ =20º. 
 
 
 6 
17. [HIB09] Três forças atuam em um suporte. Determine a magnitude e direção θ de F1 tal 
que a força resultante esteja direcionada ao longo do eixo x´ positivo e tenha magnitude 
de 1000N. 
 
 
Vetores Cartesianos: 
 
18. [HIB09] Expresse cada força na forma de vetor cartesiano. Determine a magnitude e os 
ângulos diretores das coordenadas da força resultante e esboce o vetor no sistema de 
coordenadas. 
 
 
19. [HIB09] O homem puxa a corda com uma força de 60lb. Se F atua no octante mostrado 
na figura, tal que α=45º, β=60º, determine as componentes x, y, z de F. 
 
 7 
20. [HIB09] O guincho está sujeito a força do cabo F que tem uma componente ao longo do 
eixo x de Fx=60N, uma componente ao longo do eixo z de Fz=-80N, e um ângulo diretor 
com a coordenada y de β=80º. Determine a magnitude de F. 
 
 
21. [HIB09] O parafuso está sujeitado à força F, que tem as componentes atuando ao longo 
dos eixos x, y e z, como mostrado na figura. Se a magnitude de F é 80N, e α=60º, γ=45º, 
determine as magnitudes de suas componentes. 
 
 
22. [HIB09] Determine a magnitude e ângulos diretores das coordenadas de F2 tal que a 
resultante das duas forças seja zero. 
 
 
 8 
Vetores Posição e Força: 
 
23. [HIB09] Expresse o vetor posição r na forma de vetor cartesiano. Em seguida, determine 
sua magnitude e os ângulos diretores das coordenadas. 
 
 
24. [HIB09] Expresse o vetor posição r na forma de vetor cartesiano. Em seguida, determine 
sua magnitude e os ângulos diretores das coordenadas. 
 
 
25. [HIB09] O cabo de comprimento de 8m é ancorado na superfície em A. Se x=4m e y=2m, 
determine a coordenada z para o ponto mais alto de fixação ao longo da coluna. 
 
 9 
26. [HIB09] Determine a magnitude e ângulos diretores das coordenadas da força resultante. 
 
 
27. [HIB09] Os dois cabos de atracação exercem forças na popa do navio, como mostrado na 
figura. Represente cada força como um vetor cartesiano e determine a magnitude e 
direção da resultante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 10 
28. [HIB09] A força atuando em um homem, causada pela sua puxada na corda da âncora, é 
F={40i+20j-50k}N. Se o comprimento da corda é 30m, determine as coordenadas 
A(x,y,-z) da âncora. Assuma que a corda AO está ao longo de uma linha reta. 
 
 
 
Produto Interno: 
 
29. [HIB09] Determine a magnitude da componente do vetor posição r ao longo do eixo Oa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 11 
30. [HIB09] Determine a magnitude da componente da força F ao longo do eixo Aa. 
 
 
31. [HIB09] Determine os ângulos θ e φ entre os eixos AO do mastro da bandeira e cada 
cabo, AB e AC, respectivamente. 
 
 
 
 12 
32. [HIB09] Determine os ângulos θ e φ entre os segmentos do arame. 
 
 
 
 
 13 
Referências: 
 
[HIB09] Hibbeler, RC (2009) Engineering Mechanics – Statics. Twelfth Edition. Pearson 
Prentice Hall. 
 
 
Respostas: 
 
1. o500N sen(20 ) 171.0Nx xF F= ⇒ = 
 
o500N cos(20 ) 470.0Ny yF F= ⇒ = 
 
2. Usando a lei dos senos, tem-se que 
 
o o o
80N
sen(70 ) sen(70 ) sen(40 )
u vF F
= = 
 Logo 
 
o
o
sen(70 )80N 80N
sen(70 )uF = = 
o
o
sen(40 )80N 54.7N
sen(70 )vF = = 
 
3. Usando a lei dos senos, tem-se que 
 
o110lb sen(25 ) 46.5lbaF = = 
 
o110lb cos(25 ) 99.7lbbF = = 
 Nesse caso, apenas 46.5lb são aproveitadas para empurrar o barco na direção do trajeto. 
 
4. Resolvendo o problema usando coordenadas retangulares, tem-se que 
 
o
o
: 600lb cos(60 ) sen( ) 0
: 600lb sen(60 ) cos( ) 1200lb
x
y
F T
F T
θ
θ
− =
+ =
∑
∑
 
 Rearranjando as equações, tem-se 
 
o
o
sen( ) 600lb cos(60 )
cos( ) 1200lb 600lb sen(60 )
T
T
θ
θ
=
= −
 
 Logo 
 
o
o
o
600lb cos(60 )
tg( ) 0.4409 23.8
1200lb 600lb sen(60 )
744lbT
θ θ= = ⇒ =
−
=
 
 
5. Resolvendo o problema usando coordenadas retangulares, tem-se que 
 
:10lb 6lb cos( ) 14lb cos( )
: 6lb sen( ) 14lb sen( )
x
y
F
F
θ φ
θ φ
+ =
=
∑
∑
 
 Tem-se duas equações e duas incógnitas, logo 
 
o
o
60
21.8
θ
φ
=
=
 
 
 14 
6. Usando a lei dos senos, tem-se que 
 
osen(180 ) sen( 2)
RF F
θ θ
=
−
 
 Logo 
 
o o osen(180 ) sen(180 ) cos( ) cos(180 ) sen( )
sen( 2) sen( 2)RF F F
θ θ θ
θ θ
− −
= = 
 
sen( ) 2sen( 2) cos( 2) 2 cos( 2)
sen( 2) sen( 2)RF F F F
θ θ θ θ
θ θ
= = =
 
 E o ângulo desejado é 2θ . 
 
7. Usando a lei dos senos, tem-se que 
 
o o o
20N 30N
sen(73.1 ) sen( ) sen(180 73.1 )
F
θ θ
′
= =
− −
 
 Logo 
 
o30.84N, 38.4F θ′ = = 
 Usando novamente a lei dos senos,tem-se que 
 
o o o
30.84N 50N
sen(1.48 ) sen( ) sen(180 1.48 )
RF
α α
= =
− −
 
 Logo 
 
o19.2N, 2.38RF α= = 
 
8. Usando a lei dos senos, tem-se que 
 
o o o
20N 50N
sen(70 ) sen( ) sen(180 70 )
F
θ θ
′
= =
− −
 
 Logo 
 
o47.07N, 23.53F θ′ = = 
 Usando novamente a lei dos senos, tem-se que 
 
o o o
47.07N 30N
sen(13.33 ) sen( ) sen(180 13.33 )
RF
α α
= =
− −
 
 Logo 
 
o19.2N, 145.5RF α= = 
 
9. As componentes são 
24150lb 144lb
25x
F = =
 
7 150lb 42lb
25y
F = − = −
 
 
10. Resolvendo o problema usando coordenadas retangulares, tem-se que 
 
o
o
4
: 4kN sen(30 ) 2.5kN cos( )
5
3
: 4kN cos(30 ) 2.5kN sen( )
5
x R
y R
F F
F F
α
α
+ =
− + = −
∑
∑
 
 Rearranjando as equações, tem-se 
 15 
 
cos( ) 4kN
sen( ) 1.964kN
R
R
F
F
α
α
=
=
 
 Logo 
 
o
o
1.964kN
tg( ) 0.491 26.2
4kN
4kN 4.46kN
cos(26.2 )RF
α α= = ⇒ =
= =
 
 
11. Resolvendo o problema usando coordenadas retangulares, tem-se que 
 
o
o
12
:800N cos(40 ) 600N cos( )
13
5
:800N sen(40 ) 600N sen( )
13
x
y
F R
F R
α
α
+ =
+ =
∑
∑
 
 Rearranjando as equações, tem-se 
 
cos( ) 59.0N
sen( ) 745N
R
R
α
α
=
=
 
 Logo 
 
o
o
745N
tg( ) 12.63 85.5
59.0N
59.0N 747N
cos(85.5 )R
α α= = ⇒ =
= =
 
 
12. Resolvendo o problema usando coordenadas retangulares, tem-se que 
 
o o
o o
: 70N 50N cos(30 ) 65N cos(45 ) cos( )
: 50N sen(30 ) 65N sen(45 ) sen( )
x R
y R
F F
F F
α
α
+ − =
− − = −
∑
∑
 
 Rearranjando as equações, tem-se 
 
cos( ) 67.3N
sen( ) 71.0N
R
R
F
F
α
α
=
=
 
 Logo 
 
o
o
71.0N
tg( ) 1.054 46.5
67.3N
67.3N 97.8N
cos(46.5 )RF
α α= = ⇒ =
= =
 
 
13. Resolvendo o problema usando coordenadas retangulares, tem-se que 
 
o
o
4 1
: 50kN 40kN 20kN cos(60 ) cos( )
5 2
3 1
: 50kN 40kN 20kN sen(60 ) sen( )
5 2
x R
y R
F F
F F
α
α
+ − =
− − = −
∑
∑
 
 Rearranjando as equações, tem-se 
 
cos( ) 58.3kN
sen( ) 15.6kN
R
R
F
F
α
α
=
=
 
 Logo 
 16 
 
o
o
15.6kN
tg( ) 0.268 15.0
58.3kN
58.3kN 60.3N
cos(15.0 )RF
α α= = ⇒ =
= =
 
 
14. Expressando cada vetor em termos de suas componentes cartesianas: 
1
o o
2
o o
3
4
515.7lb
399.5lb sen(40 ) 399.5lb cos(40 ) 256.8lb 306.0lb
612.0lb cos(30 ) 612.0lb sen(30 ) 530.0lb 306.0lb
271.1lb
= −
= − = −
= + = +
= −
F i
F i j i j
F i j i j
F i
 
 Para mostrar que a resultante é zero basta somar as componentes 
 
: ( 515.7lb 256.8lb 530.0lb 271.1lb) 0
: (0 306.0lb 306.0lb+0) 0
x
y
F
F
− + + − =
− + =
∑
∑
 
 
15. Resultado 
 
o
1
29.1
275NF
θ =
=
 
 
16. Resultado 
 
o87.9
1031NRF
α =
=
 
 
17. Resultado 
 
o37.1
717NRF
α =
=
 
 
18. Resultado 
 
1
2
o
o
o
[175 175 247 ]N
[173.2 100.0 150.0 ]N
[348 75 97.5 ]N
369N
19.5
78.3
105.3
R
RF
α
β
γ
= + −
= − +
= + −
=
=
=
=
F i j k
F i j k
F i j k
 
 
19. Resultado 
 
o120
42.4lb
30lb
30lb
x
y
z
F
F
F
γ =
=
=
= −
 
 
 
 17 
20. Resultado 
 101.5NF = 
 
21. Resultado 
 
o120
40N
40N
56.6N
x
y
z
F
F
F
β =
=
= −
=
 
 
22. Resultados 
 
2
o
2
o
2
o
2
180N
146.8
118.9
75
F
α
β
γ
=
=
=
=
 
 
23. Resultado 
 
1
o
o
o
[ 3 12 4 ]m
13m
103.3
157.4
72.1
r
α
β
γ
= − − +
=
=
=
=
r i j k
 
 
24. Resultado 
 
1
o
o
o
[ 3 6 2 ]m
7m
115.4
149.0
73.4
r
α
β
γ
= − − +
=
=
=
=
r i j k
 
 
25. Resultado 
 6.63mz = 
 
26. Resultado 
 
o
o
o
[1.964 23.1 46.7 ]lb
52.2lb
87.8
63.7
153.6
R
RF
α
β
γ
= + −
=
=
=
=
F i j k
 
 
 
 
 
 
 18 
27. Resultado 
 
o
o
o
[254 50.7 152.1 ]lb
[260 260 156.2 ]lb
[514 311 308 ]lb
675lb
40.4
62.6
117.2
A
B
R
RF
α
β
γ
= + −
= + −
= + −
=
=
=
=
F i j k
F i j k
F i j k
 
 
28. Resultado 
 
17.89m
8.95m
22.4m
x
y
z
=
=
=
 
 
29. Resultado 
 2.67mOa =r 
 
30. Resultado 
 36.0NAaF = 
 
31. Resultado 
 
o
o
74.4
55.4
θ
φ
=
=
 
 
32. Resultado 
 
o
o
74.0
33.9
θ
φ
=
=