Apostila - Limites - Cálculo Diferencial

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Universidade Anhembi Morumbi
Escola de Tecnologia e Engenharia
Cálculo Diferencial
LIMITES
Aluno(a):
Professor: Izaias Cordeiro Néri
São Paulo
2014
CONTEÚDO
1 Limites 2
1.1 Definição Intuitiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Conceito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Cálculo de Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3.1 Exercícios - Cálculo de Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Limites Laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4.1 Exercícios - Limites Laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5 Propriedades dos Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5.1 Operações com Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5.2 Exercícios - Propriedades de Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.6 Limites Infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.7 Limites no Infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.8 Limites Infinitos no Infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.8.1 Exercícios Limites Infinitos e no Infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
CAPÍTULO 1
LIMITES
1.1 Definição Intuitiva
Um bom exemplo para iniciar o estudo de limites é o cálculo de áreas pelo método de Exaus-
tão.O método da exaustão é um método para se encontrar a área de uma figura inscrevendo-se
dentro dela uma sequência de polígonos cuja soma das áreas converge para a área da figura
desejada.
Figura 1.1: Área do Círculo por aproximação
Chamaremos de A0 a área do círculo e, cada área dos polígonos vamos denominar como
A1, A2, A3, · · · , An.
A0 ≈ A1 + A2 + · · ·+ An A0 ≈
n∑
i=1
Ai A0 = lim
n→∞
n∑
i=1
Ai
2
1.2. CONCEITO CAPÍTULO 1. LIMITES
1.2 Conceito
De um ponto de vista informal (sem a rigorosidade Matemática)
lim
x→a
f(x) = L
Aqui lemos "o limite de f(x), quando x tende a a é igual a L.
Exemplo 1.2.1 Vamos estudar o comportamento de uma função f definida por
f(x) = x2 − x+ 2 para os valores de x próximos de 2.
Solução:
x 1,9 1,99 1,999 2,0 2,001 2,01 2,1
y 3,71 3,97 3,997 4 4,003 4,03 4,31
Vamos fazer uma análise gráfica
Exemplo 1.2.2 Estime o valor de f(1) em f(x) =
x− 1
x2 − 1 .
Solução:
x 0,9 0,99 0,999 1,0 1,001 1,01 1,1
y 0,526 0,503 0,5 0,5 0,499 0,498 0,476
3
1.3. CÁLCULO DE LIMITES CAPÍTULO 1. LIMITES
1.3 Cálculo de Limites
Os exemplos anteriores podem ser resolvidos da seguinte forma:
a) lim
x→2
(x2 − x+ 2) = 22 − 2 + 2 = 4
b) lim
x→1
x− 1
x2 − 1 = limx→1
x− 1
(x− 1)(x+ 1) = limx→1
1
x+ 1
=
1
2
Exemplo 1.3.1 Encontre o valor de lim
x→2
x− 2
x2 − 4
Solução: lim
x→2
x− 2
x2 − 4 = limx→2
x− 2
(x+ 2)(x− 2) = limx→2
1
x+ 2
=
1
4
Exemplo 1.3.2 Determine o valor de lim
x→3
√
x−√3
x− 3 .
Solução: Há duas maneiras de resolver esse limite.
1
a
- Considerando o denominador como uma diferença de quadrados
lim
x→3
√
x−√3
x− 3 = limx→3
√
x−√3
(
√
x)2 − (√3)2 = limx→3
√
x−√3
(
√
x−√3).(√x+√3) = limx→3
1√
x+
√
3
=
1
2
√
3
2
a
- Fazendo a racionalização
lim
x→3
√
x−√3
x− 3 = limx→3
√
x−√3
x− 3 .
√
x+
√
3√
x+
√
3
= lim
x→3
x− 3
(x− 3).(√x+√3) = limx→3
1√
x+
√
3
=
1
2
√
3
Exemplo 1.3.3 Determine o valor de lim
x→1
x− 2
x2 − 4 .
Solução: lim
x→1
x− 2
x2 − 4 = limx→1
1− 2
12 − 4 =
−1
−3 =
1
3
Obs.: Nem sempre precisamos fazer alguma estratégia para resolver o limite. Somente a
faremos quando houver uma indeterminação.
4
1.4. LIMITES LATERAIS CAPÍTULO 1. LIMITES
1.3.1 Exercícios - Cálculo de Limites
(E - 1) Determine o valor dos limites:
(a) lim
x→2
x2 =
(b) lim
x→−3
(2x+ 5) =
(c) lim
x→1
(1− x2) =
(d) lim
x→3
√
x+ 6 =
(e) lim
x→−3
2
x+ 2
=
(f) lim
x→−2
x2 − 1
2x
=
(g) lim
x→−1
3x+ 1
2− x =
(h) lim
x→3
√
x+ 1
x− 4 =
(i) lim
x→4
3
√
x+ 4 =
(E - 2) Calcule os limites:
(a) lim
x→2
2− x
x2 − 4 =
(b) lim
x→−4
t+ 4
t2 − 16 =
(c) lim
x→5
x− 5√
x−√5 =
(d) lim
x→−1
x3 − 1
x+ 1
=
(e) lim
x→0
√
x+ 4− 2
x
=
(f) lim
x→0
√
x2 + 9− 3
x2
=
Respostas
(E - 1) (a) 4
(b) −1
(c) 0
(d) 3
(e) −2
(f) −3
4
(g) −2
3
(h) −2
(i) 2
(E - 2) (a) −1
4
(b) −1
8
(c) 2
√
5
(d) 3
(e)
1
4
(f)
1
6
1.4 Limites Laterais
lim
x→a+
f(x) = L1 lim
x→a−
f(x) = L2
Se L1 e L2 são iguais, dizemos que o limite existe, e portanto, lim
x→a
f(x) = L
5
1.4. LIMITES LATERAIS CAPÍTULO 1. LIMITES
Exemplo 1.4.1 Observe o gráfico a seguir e determine o valor de lim
x→3
f(x).
Solução:
lim
x→3+
f(x) = 7 lim
x→3−
f(x) = 7 .
Exemplo 1.4.2 Observe o gráfico a seguir e determine o valor de lim
x→0
f(x).
Solução:
lim
x→0+
f(x) = 7 lim
x→0−
f(x) = 5 .
lim
x→0
f(x) = @
Exemplo 1.4.3 Observe o gráfico a seguir e determine o valor de lim
x→1
f(x).
Solução:
lim
x→1+
f(x) = 8 lim
x→1−
f(x) = 3 .
lim
x→1
f(x) = @
6
1.4. LIMITES LATERAIS CAPÍTULO 1. LIMITES
1.4.1 Exercícios - Limites Laterais
E - 1 Observe o gráfico a seguir e determine o valor dos limites laterais pedidos:
(a) lim
x→1+
f(x) = (b) lim
x→1−
f(x) = (c) lim
x→2+
f(x) = (d) lim
x→2−
f(x) =
E - 2 Observe o gráfico e determine o valor dos limites laterais pedidos:
(a) lim
x→0+
f(x) = (b) lim
x→0−
f(x) = (c) lim
x→2+
f(x) = (d) lim
x→2−
f(x) =
Respostas
E-1 (a) 0 (b) 0 (c) -2 (d) -2
E-2 (a) 3 (b) 1 (c) 3 (d) 3
7
1.5. PROPRIEDADES DOS LIMITES CAPÍTULO 1. LIMITES
1.5 Propriedades dos Limites
Definição 1.5.1 Suponha que b e a sejam números reais e que n seja um número inteiro
positivo.
1. lim
x→a
b = b→ lim
x→1
4 = 4
2. lim
x→a
x = a→ lim
x→1
x = 1
3. lim
x→a
xn = an → lim
x→1
x6 = 16 = 1
4. lim
x→a
n
√
x = n
√
a→ lim
x→1
3
√
x =
3
√
1 = 1
1.5.1 Operações com Limites
Definição 1.5.2 Suponha que b e c sejam números reais e n seja um número inteiro
positivo. Suponha também que f e g sejam funções com os seguintes limite:
lim
x→c
f(x) = L e lim
x→c
g(x) = K
1. Múltiplo por um escalar: lim
x→c
b.f(x) = b.L
2. Adição ou Subtração: lim
x→c
[f(x)± g(x)] = L±K
3. Produto: lim
x→c
[f(x).g(x)] = L.K
4. Quociente: lim
x→c
f(x)
g(x)
=
L
K
5. Potência: lim
x→c
[f(x)]n = Ln
6. Raiz: lim
x→c
n
√
f(x) =
n
√
L
8
1.6. LIMITES INFINITOS CAPÍTULO 1. LIMITES
Exemplo 1.5.1 Dado os limites lim
x→a
f(x) = 2 e lim
x→a
g(x) = −3. Encontre:
(a) lim
x→a
[f(x) + 2g(x)] (b) lim
x→a
[f(x).g(x)].
Solução:
(a) lim
x→a
[f(x) + 2g(x)] = lim
x→a
f(x) + lim
x→a
2g(x) = lim
x→a
f(x) + 2. lim
x→a
g(x) = 2 + 2.(−3) = −4
(b) lim
x→a
[f(x).g(x)] = lim
x→a
[f(x)]. lim
x→a
[g(x)] = 2.(−3) = −6
1.5.2 Exercícios - Propriedades de Limites
E - 1 Dados os limites lim
x→2
f(x) = 4, lim
x→2
g(x) = −1 e lim
x→2
h(x) = 3. Determine:
(a) lim
x→2
[f(x) + 5.g(x)]
(b) lim
x→2
[g(x)]3
(c) lim
x→2
√
f(x)
(d) lim
x→2
3f(x)
g(x)
(e) lim
x→2
g(x)
h(x)
(f) lim
x→2
f(x).g(x)
h(x)
Respostas
E - 1 (a) −1
(b) −1
(c) 2
(d) −12
(e) −1
3
(f) −4
3
1.6 Limites Infinitos
Exemplo 1.6.1 Calcule lim
x→0+
1
x
.
Solução: lim
x→0+
1
x
=
1
0
=∞
Exemplo 1.6.2 Calcule lim
x→0−
1
x
.
Solução: lim
x→0−1
x
=
1
0
= −∞
9
1.7. LIMITES NO INFINITO CAPÍTULO 1. LIMITES
Exemplo 1.6.3 Observe o gráfico abaixo e responda:
(a) lim
x→1−
f(x) (b) lim
x→1+
f(x)
Solução: (a) lim
x→1−
f(x) = −∞ (b) lim
x→1+
f(x) =∞
1.7 Limites no Infinito
Exemplo 1.7.1 Encontre lim
x→∞
(
1
x
)
e lim
x→−∞
(
1
x
)
Solução: Vemos que quando x é grande, 1/x é pequeno tão próximo de zero quanto qui-
sermos. Por exemplo:
1
100
= 0, 01,
1
1000
= 0, 001 e
1
1000000
= 0, 000001, logo para ambos os
limites temos:
lim
x→∞
(
1
x
)
= lim
x→−∞
(
1
x
)
= 0
Exemplo 1.7.2 Calcule lim
x→∞
x3 − x+ 1
x3
.
Solução:
lim
x→∞
x3 − x+ 1
x3
= lim
x→∞
x3(x3/x3 − x/x3 + 1/x3)
x3
= lim
x→∞
x3
x3
1− 1
x2︸︷︷︸
0
+
1
x3︸︷︷︸
0
 = 1.1 = 1
10
1.8. LIMITES INFINITOS NO INFINITO CAPÍTULO 1. LIMITES
Exemplo 1.7.3 Calcule lim
x→∞
3x2 − x− 2
5x2 + 4x+ 1
.
Solução:
lim
x→∞
3x2 − x− 2
5x2 + 4x+ 1
= lim
x→∞
x2(3x2/x2 − x/x2 − 2/x2)
x2(5x2/x2 + 4x/x2 + 1/x2)
= lim
x→∞
3− 1
x
− 2
x2︸ ︷︷ ︸
0
5 +
4
x
+
1
x2︸ ︷︷ ︸
0
=
3
5
Exemplo 1.7.4 Calcule lim
x→∞
√
2x2 + 1
3x− 5 .
Solução:
lim
x→∞
√
2x2 + 1
3x− 5 = limx→∞
√
x2(2 + 1
x2
)
x(3− 5
x
)
= lim
x→∞
x
√
2 + 1
x2
x(3− 5
x
)
=
√
2
3
1.8 Limites Infinitos no Infinito
Exemplo 1.8.1 Calcule lim
x→−∞
x2 − 3x3.
Solução:
lim
x→−∞
x2 − 3x3 = lim
x→−∞
x3
(
1
x
− 3
)
= −∞.(−3) =∞
Exemplo 1.8.2 Calcule lim
x→−∞
x5 − x3.
Solução:
lim
x→−∞
x5 − x3 = lim
x→−∞
x5
(
1− 1
x2
)
= lim
x→−∞
x5 = −∞
Exemplo 1.8.3 Calcule lim
x→−∞
x3 + 3x− 1
2x2 + x+ 1
.
Solução:
lim
x→−∞
x3 + 3x− 1
2x2 + x+ 1
= lim
x→−∞
x3
[
1 +
3
x2
− 1
x3
]
x2
[
2 +
1
x
+
1
x2
] = lim
x→−∞
x.
[
1 +
3
x2
− 1
x3
]
[
2 +
1
x
+
1
x2
] = −∞.1
2
= −∞
11
1.8. LIMITES INFINITOS NO INFINITO CAPÍTULO 1. LIMITES
1.8.1 Exercícios Limites Infinitos e no Infinito
E - 1 Encontre os limites
(a) lim
x→∞
5x2 − 4x
(b) lim
x→∞
2 + 3x− 5x2
(c) lim
x→∞
x2 + 3
(d) lim
x→−∞
x5 − 3x
E - 2 Calcule
(a) lim
x→∞
1
x2
(b) lim
x→∞
2x+ 1
x+ 3
(c) lim
x→∞
2x− 1
x
(d) lim
x→∞
3√
x
(e) lim
x→∞
√
x2 + 1
3x+ 2
(f) lim
x→∞
2 + x
3 + x2
E - 3 Calcule
(a) lim
x→−∞
1 + 2x− 3x5
(b) lim
x→∞
√
x
(c) lim
x→∞
3x+ 1
2x− 5
(d) lim
x→∞
3
x+ 4
(e) lim
x→−∞
√
5x2 − 2
x+ 3
(f) lim
x→−∞
√
5− x
(g) lim
x→∞
2− x√
7 + 6x2
(h) lim
x→∞
1
x− 12
E - 4 Observe o gráfico a seguir e responda.
(a) lim
x→1+
f(x) (b) lim
x→1−
f(x) (c) lim
x→∞
f(x) (d) lim
x→−∞
f(x)
12
1.8. LIMITES INFINITOS NO INFINITO CAPÍTULO 1. LIMITES
Respostas
E - 1 (a) ∞
(b) −∞
(c) ∞
(d) −∞
E - 2 (a) 0
(b) 2
(c) 2
(d) 0
(e)
1
3
(f) 0
E - 3 (a) ∞
(b) ∞
(c)
3
2
(d) 0
(e)
√
5
(f) ∞
(g) −
√
6
6
(h) 0
E - 4 (a) 1
(b) 3
(c) ∞
(d) −∞
13
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