Estatística Experimental Cecon2006

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ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL: 
CONCEITOS, ANÁLISES E 
INTERPRETAÇÃO 
 
 
 
Paulo Roberto Cecon 
Fabyano Fonseca e Silva 
Luiz Alexandre Peternelli 
 
 
 
UFV 
Novembro, 2006 
 
 Universidade Federal de Viçosa 
 
 Departamento de Informática 
 Setor de Estatística 
 
ÍNDICE 
1. ESTATÍSTICA DESCRITIVA................................................................................1 
 1.1. Medidas de Posição 
1.1.1. Média aritmética simples 
1.1.2. Média aritmética ponderada 
1.2. Medidas de Dispersão.......................................................................................2 
1.2.1. Variância amostral 
1.2.2. Desvio padrão amostral 
1.2.3. Coeficiente de variação 
1.2.4. Erro-padrão da média.....................................................................................3 
2. TESTES NÃO PARAMÉTRICOS 
2.1. Teste de Qui Quadrado
( )
.......................................................................................4 
2.2. Teste de Wilcoxon.............................................................................................7 
2.2.1 Dados pareados (amostras dependentes) 
2.2.2 Amostras independentes.................................................................................9 
2.2. Teste de Kruskal-Wallis...................................................................................10 
2.2.1 Comparações múltiplas.................................................................................11 
2.3. Teste de Friedman...........................................................................................13 
3. PRINCÍPIOS DA ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL............................................15 
3.1. Unidade experimental ou parcela 
3.2. Repetição, casualização e controle local.........................................................16 
3.2.1 Repetição 
3.2.2 Casualização 
3.2.3 Controle Local..............................................................................................17 
3.3 Grau de Liberdade (GL)..................................................................................18 
4. ANÁLISE DA VARIÂNCIA..................................................................................19 
4.1. Variação entre tratamentos 
4.2. Variação dentro de tratamentos 
4.3. Aplicação.........................................................................................................21 
5. O MODELO MATEMATICO..............................................................................25 
5.1 Conceituação, componentes e classificação 
5.1.1 Conceituação e componentes 
5.1.2 Classificação.................................................................................................26 
5.1.2.1 Modelos Aleatórios 
5.1.2.2. Modelos Fixos............................................................................................27 
5.1.2.3. Modelos Mistos 
5.2 Desenvolvimento e restrições do modelo.......................................................29 
5.2.1 Aditividade dos efeitos 
5.2.2 Normalidade de erros 
5.2.3 Independência dos erros.............................................................................30 
5.2.4 Homogeneidade de variâncias 
6. PRINCIPAIS DELINEAMENTOS EXPERIMENTAIS..........................................31 
6.1 Delineamento Inteiramente Casualizado 
6.1.1 Conceituação 
6.1.2 Aplicações......................................................................................................34 
6.2 Delineamento em Blocos Casualizados...........................................................37 
6.2.1 Conceituação 
6.2.2 Aplicações......................................................................................................40 
6.3 Delineamento em Quadrados Latinos..............................................................43 
6.3.1 Conceituação 
6.3.2. Aplicações.....................................................................................................46 
7.TESTES DE COMPARAÇÃO DE MÉDIAS.........................................................48 
7.1. Contrastes 
7.1.1. Contrastes Ortogonais..................................................................................50 
7.1.2. Variância de um contraste 
7.2. Teste da Diferença Mínima Significativa (DMS) 
7.3. Teste de Bonferroni.........................................................................................51 
7.4.Teste de Scheffé...............................................................................................52 
7.5.Teste de Tukey.................................................................................................53 
7.6.Teste de Duncan...............................................................................................54 
7.7.Teste de Dunnett..............................................................................................56 
7.8. Procedimento de Scott-Knott...........................................................................57 
7.9. Comentários gerais 
7.9.1. Vantagens e desvantagens dos procedimentos de comparações de médias 
7.9.2. Fatores Qualitativos versus Fatores Quantitativos.......................................58 
8 EXPERIMENTOS FATORIAIS............................................................................61 
8.1 Conceituação 
8.2 Aplicações.........................................................................................................64 
9 EXPERIMENTOS EM PARCELAS SUBDIVIDIDAS...........................................78 
9.1 Conceituação 
9.2 Aplicações.........................................................................................................81 
9.3 Experimentos em faixas....................................................................................87 
10 REGRESSÃO LINEAR SIMPLES E CORRELAÇÃO........................................89 
10.1 Regressão Linear Simples 
10.1.1 Conceituação 
10.1.2 Aplicações....................................................................................................92 
10.2 Coeficiente de determinação..........................................................................93 
10.3 Correlação 
10.3.1 Conceituação 
10.3.2 Aplicação.....................................................................................................96 
11 REGRESSÃO LINEAR MÚLTIPLA E SUPERFÍCIE DE RESPOSTA...............97 
11.1 Regressão múltipla 
11.1.1 Conceituação 
11.1.2 Análise de variância da Regressão múltipla..............................................100 
11.1.3 Aplicação...................................................................................................102 
11.2 Superfície de resposta .................................................................................104 
11.2.1 Conceituação 
11.2.2 Aplicação...................................................................................................105 
12 REGRESSÃO NÃO LINEAR...........................................................................106 
12.1 Conceituação 
12.2 Modelos de crescimento sigmoidal...............................................................107 
12.3 Estimação em modelos de regressão não linear..........................................109 
12.4 Alguns aspectos do uso de modelos não lineares.......................................111 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS………………………………………………….112 
Paulo R. Cecon; Fabyano F. e Silva & Luiz A. Peternelli 
_________________________________________________________________________ 
 1 
1. ESTATÍSTICA DESCRITIVA 
A estatística descritiva é um ramo da estatística que aplica várias das muitas técnicas 
usadas para sumarizar um conjunto de dados. De certaforma estamos tentando descrever 
ou sumarizar as características dos dados que pertencem a esse conjunto. 
As técnicas usadas costumam classificar-se como: 
1) Gráficos descritivos. Gráficos são usados para sumarizar os dados. 
2) Discrição Tabular, na qual usamos tabelas para sumarizar os dados 
3) Descrição Paramétrica, na qual estimamos os valores de certos parâmetros os quais 
assumimos que completem a descrição do conjunto dos dados. 
De acordo com os objetivos do presente material, vamos nos conter a apresentar apenas 
esta última técnica, a qual pode ser dividida em: Medidas de Posição (Tendência Central) e 
Medidas de Dispersção. 
1.1. Medidas de Posição 
 São parâmetros que representam um valor central, em torno do qual os dados são 
agrupados. O mais importante destes parâmetros é a média, cujas representações são: 
 
1.1.1. Média aritmética simples 
É a média aritmética mais utilizada, que é obtida dividindo-se a soma das 
observações pelo número delas. É um quociente geralmente representado pelo símbolo 
X
 . 
Se tivermos uma série de n valores de uma variável X, a média aritmética simples será 
determinada pela expressão: 
X
 = (x1 + x2 + x3 + x4 + ... + xn) / n. 
1.1.2. Média aritmética ponderada 
Consideremos uma coleção formada por n números racionais: x1, x2, x3, ..., xn, de 
forma que cada um esteja sujeito a um peso [Nota: "peso" é sinónimo de "ponderação"], 
respectivamente, indicado por: p1, p2, p3, ..., pn. A média aritmética ponderada desses n 
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 2 
números é a soma dos produtos de cada um por seu peso, dividida por n, isto é: (x1p1 + x2p2 
+ x3p3 + ... + xnpn) / p1 + p2 + p3 + ... + pn, em que: 
1
n
i
i
n p


 
1.2. Medidas de Dispersão 
 São parâmetros que quantificam a discrepância dos dados em torno de uma medida 
de posição. A seguir são listadas algumas destas medidas: 
1.2.1. Variância amostral 
É uma medida da dispersão estatística de um conunto de observações amostrais, 
indicando quão longe em geral os seus valores se encontram da média aritmética. Sua 
fórmula é dada por: 
 
2
2 2 1
2 1 1
1 1
n
in n
i
i i
i i
X
X X X
n
S
n n

 
 
 
  
 
 

 
 
 Torna-se importante ressaltar que a unidade da variância é dada em termos da 
unidade da variável ao quadrado. Exemplo: kg
2
, cm
2
, (T/ha)
2
, etc... 
1.2.2. Desvio padrão amostral 
 O desvio padrão amostral (S) é a medida mais comum de dispersão estatística. Este 
corresponde a raiz quadrada positiva da variância, 
2S S 
. É definido desta forma de 
maneira a dar-nos uma medida da dispersão que seja um número não negativo e ao mesmo 
tempo apresente as mesmas unidades de medida dos dados. 
1.2.3. Coeficiente de variação 
O coeficiente de variação é uma medida que se presta para a comparação da 
dispersão entre conjunto de dados que apresentam médias diferentes. O desvio-padrão é 
relativo à média, e como dois conjuntos de dados podem ter médias diferentes, o desvio 
desses dois conjuntos não é comparável. A solução é usar um coeficiente que represente a 
magnitude do desvio-padrão em relação a média, ou qual pode ser deduzido a partir de uma 
simples regra: 
100%X
S CV


, assim tem-se: 
100
S
CV
X
 
. É importante ressaltar que: 
CV  
, porém na avaliação dos resultados usa-se 
CV
. 
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 3 
 Outra observação interessante é que o CV também é indicado para avaliar a 
dispersão e conjuntos de dados que apresentam diferentes unidades. 
1.2.4. Erro-padrão da média 
Se retirarmos de uma população um número relativamente grende, m, de amostras 
aleatórias de mesmo tamanho, n, não devemos esperar que todas as médias amostrais sejam 
iguais. De fato, o que obtemos é um conjunto das médias amostrais, portanto, o ―desvio-
padrão‖ desse conjunto é o que denominamos de erro-padrão da média. Sua fórmula é dada 
por: 
S
EP
n

 
Exemplo. Considere X={2,5,7,10} e Y={1,7,10,12} 
6, 3,3665, 56,1083, 1,6832
X X X
X S CV EP   
 
7,5, 4,7958, 63,9444, 2,3979
Y Y Y
Y S CV EP   
 
2. TESTES NÃO PARAMÉTRICOS 
Os testes estatísticos podem ser divididos em dois grandes grupos, conforme 
fundamentem ou não os seus cálculos na premissa de que a distribuição de freqüências dos 
erros amostrais é normal, as variâncias são homogêneas, os efeitos dos fatores de variação 
são aditivos e os erros independentes. Se tudo isso ocorrer, é muito provável que a amostra 
seja aceitavelmente simétrica, terá com certeza apenas um ponto máximo, centrado no 
intervalo de classe onde está a média da distribuição, e o seu histograma de freqüências terá 
um contorno que seguirá aproximadamente o desenho em forma de sino da curva normal. O 
cumprimento desses requisitos condiciona pois a primeira escolha do pesquisador, uma vez 
que, se forem preenchidos, ele poderá utilizar a estatística paramétrica, cujos testes são em 
geral mais poderosos do que os da estatística não-paramétrica, e conseqüentemente devem 
ter a preferência do investigador, quando o seu emprego for permitido. 
Segundo campos (1979) Um teste não-paramétrico é aquele cujo modelo não especifica 
condições sobre os parâmetros da população da qual a amostra foi obtida. Mesmo quando 
existem certas pressuposições, estas são mais brandas do que aquelas associadas aos testes 
paramétricos. 
 
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 4 
Neste material a parte relacionada aos testes paramétricos será apresentada juntamente 
com os delineamentos experimentais mediante aplicação de análise da variância e testes de 
médias. 
Quando um pesquisador utiliza testes não-paramétricos, supõe-se que a distribuição de 
seus dados experimentais não seja normal, ou que ele não tenha elementos suficientes para 
poder afirmar que seja. Na dúvida quanto a essa informação, nada impede que ele opte pelo 
uso da estatística não-paramétrica. O que ele não pode fazer, de modo algum, é argumentar 
em termos de desvios ou erros-padrão, embora possa perfeitamente fazê-lo pura e 
simplesmente em termos de médias. 
2.1. Teste de Qui Quadrado
( )
 
O teste de Qui-Quadrado 
2( )
 , é um teste de hipóteses muito usado em biologia que 
se destina a comparar proporções. O objetivo deste teste não paramétrico é comparar 
possíveis divergências entre as freqüências observadas e esperadas para um certo evento. 
Evidentemente, pode-se dizer que dois grupos se comportam de forma semelhante se as 
diferenças entre as freqüências observadas e as esperadas em cada categoria forem muito 
pequenas, próximas a zero. Ou seja, o teste é utilizado para: 
 1) Verificar se a distribuição de freqüência de uma determinada variável qualitativa X 
depende ou não da distribuição de outra variável qualitativa Y, ou seja se X e Y são 
associados (dependentes) ou não. A hipótese testada é a de independência: 
 H0: X e Y são independentes 
 H1: X e Y não são independentes 
Neste caso é necessário a apresentação de uma tabela de contingência: 
 Variável Y 
 Y1 Y2 Yn 
 
Variável X 
X1 fo11 fo12 fo1n 
X2 fo21 fo22 fo2n 
 
Xm fom1 fom2 fomn 
 
 Por meio dos valores desta tabela obtém-se as freqüências esperadas (fe): 
1 1
1 1
m n
ij ij
i j
ij m n
ij
i j
fo fo
fefo
 
 

 

 
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 5 
 2) Comparar a distribuição de diversos acontecimentos com uma distribuição de 
probabilidade pré-definida, a fim de avaliar se as proporções observadas destes eventos 
realmente possam ser descritas mediante a distribuição adotada. Neste caso a hipótese 
testada é a de aderência. 
Para a aplicação deste teste é necessário obter duas estatísticas denominadas 
2
c
 (Qui 
Quadrado calculado) e 
2
 (Qui Quadrado tabelado) . O 
2
c
 é obtido a partir dos dados 
experimentais, levando-se em conta os valores observados e os esperados. 
 
2
2
1 1
m n
ij ij
c
i j ij
fo fe
fe

 


 
em que, fo e fé correspondem, respectivamente, as freqüências observadas e esperadas. 
 O 
2
 tabelado depende do número de graus de liberdade, GL=(m-1)(n-1) ou 
GL=(m-1)(n-1)-r , sendo r o número de parâmetros estimados, e do nível de significância 
adotado. A tomada de decisão é feita como segue: 
 - Se 
2 2
c 
 Rejeita-se Ho, caso contrário, se 
2 2
c 
não rejeita-se Ho. 
Ex.1 (Teste de Independência): Combate-se uma praga do algodoeiro com a pulverização 
de inseticidas. Uma amostragem é feita em torno de 386 propriedades agrícolas onde havia 
algodoais e os resultados foram os seguintes: 
 Atacados Não Atacados Total 
Não pulverizados 192 68 260 
Pulverizados 14 112 126 
 206 180 386 
 Pergunta-se: Teria a pulverização levado a um controle efetivo da praga ou seria a 
distribuição dos algodoais atacados e não atacados, independente de se ter ou não 
pulverizado a cultura? O teste apropriado no caso é um teste de independência para uma 
tabela de contingência 2 x 2. 
 A freqüência esperada para Não pulverizados e Atacados é 
1 1
206 260
138,7
386
fe

 
 
De forma análoga, faz-se para as demais combinações. Assim tem-se: 
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 6 
 
       
7,58
7,58112
3,67
3,6714
3,121
3,12168
7,138
7,138192
2222
2 





 
 2 = 20,5 + 23,4 + 42,2 + 48,4 = 134,5 
 Para um grau de liberdade, o valor crítico a 0,05 é 2 = 3,84. 
 Obteve-se 2 = 134,5 (portanto na região de rejeição da hipótese). A hipótese 
de nulidade (a distribuição dos algodoeiros atacados seria independente de se efetuar ou 
não a pulverização) vai ser rejeitada. A conclusão é não ter havido independência. A 
proporção dos que foram pulverizados e atacados é muito inferior à que se devia esperar, a 
operação determinando, portanto, controle da praga. 
Ex.2 (Teste de Aderência) :Suponha-se que os dados referentes ao número de sementes de 
uma determinda fruta sejam os seguintes: 
Nº sementes por fruto fo Probabilidade fe 
0 102 0,4741 95,3 
1 59 0,3538 71,1 
2 31 0,1320 26,5 
3 8 
 
0,0328 6,6 
 
4 0 0,0061 1,2 
5 1 0,0009 0,2 
6 ou mais 0 0,0001 0,0 
 201 
mX  7463,0
 
ms  8405,02
 
 A distribuição a ser testada é a de Poisson (média e a estimativa da variância são 
aproximadamente iguais). As probabilidades são obtidas através de: 
!
)(
X
em
XP
mX 

. 
A seguir, deve-se calcular: 
          
2 2 2 2 2
4
2
1
6,7 12,1 4,5 1,0
3,42
95,3 71,1 26,5 8,0
i i
i i
fo fe
fe


 
      
 Uma vez que m foi estimado a partir dos dados, deve-se procurar 2 com 
GL = (4 -1) -1 = 2 graus de liberdade. Para  = 0,05, 2 = 5,99. O valor obtido foi 
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 7 
2= 3,42, que está fora da região de rejeição da hipótese. Pode-se então aceitar a 
distribuição de Poisson como satisfatória. 
2.2. Teste de Wilcoxon 
O teste de Wilcoxon pode ser usado na comparação de dados entre duas amostras 
independentes ou quando os dados são pareados (amostras dependentes), medidos nas 
escalas ordinal, intervalar ou de razão. Não há a exigência de que as amostras tenham 
distribuição normal. 
2.2.1 Dados pareados (amostras dependentes) 
O princípio do teste consiste em avaliar se ocorreram modificações significativas nos 
dois conjuntos de dados. Quando as modificações ou diferenças são muito pequenas, elas 
podem ser devidas ao acaso, porém, quando são expressivas, é pouco provável que se 
devam ao acaso, sendo fruto de um fator causal. 
Para usar o teste de Wilcoxon: ordene todas as diferenças sem considerar o sinal; dê o 
valor 1 ao valor menor, dois ao seguinte, etc. No caso de empate entre dois valores dê o 
valor médio da ordem igual para os dois, compensando o sinal correspondente. Assim o 
rank (diferença) de -2 (menor valor) terá o valor 1 com o sinal negativo, isto é -1 (ordem da 
diferença). 
Se os dois tratamentos são equivalentes, isto é, se H0 for verdadeira, devemos 
esperar que as diferenças grandes e pequenas estariam bem distribuídas entre os dois 
tratamentos, com distribuição equilibrada entre os positivos e os negativos. Se somarmos os 
índices de classificação (ranks) positivos e negativos espera-se que, se H0 for verdadeira, 
estas somas tenham, aproximadamente, os mesmos valores. Porém se as somas dos índices 
de classificação positivos forem maiores e os números muito diferentes dos negativos, 
então a hipótese H0 seria rejeitada; os tratamentos seriam diferentes. 
 Quando as amostras são pequenas existem tabelas para julgar se os resultados 
diferem ou não, por exemplo, a Tabela A1, anexa. Para amostras grandes, para valores de 
N maiores que 25 a Tabela A1 não pode ser usada. Nesse caso, demonstra-se que a soma 
dos ranks, T, é praticamente normalmente distribuída, em que: 
Média = 
4
)1( 

NN
T
 e Desvio padrão 
24
)12)(1( 

NNN
T
, dessa forma: 
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 8 
24
)12)(1(
4
)1(






NNN
NN
T
T
Z
T
T

 
Ex.3 Os dados representam o número de plantas sadias resultantes da aplicação dos 
tratamentos A e B, considerando um total de 100 plantas para cada par A e B. Neste 
exemplo, N =16 (16 pares de tratamentos). 
Pares A 
Tratamento ef. 
Plantas sadias 
B 
Tratamento p.efic 
Plantas sadias 
Diferença 
 
(A - B) 
Ordem da 
Diferença 
Ordem do Trat. 
com os menos 
freqüentes 
1 82 62 20 10 
2 71 41 30 14 
3 75 64 11 6,5 
4 59 61 -2 -1 1 
5 67 57 10 4,5 
6 79 60 19 9 
7 72 49 23 12 
8 67 57 10 4,5 
9 81 70 11 6,5 
10 93 61 32 16 
11 85 63 22 11 
12 74 57 27 13 
13 79 48 31 15 
14 67 53 14 8 
15 85 81 4 2 
16 76 67 9 3 
 Soma T negativos = 1 
 Soma T positivos = 135 
 
Para usar esta Tabela A1, chamamos as somas dos ranks dos T negativos de T
-
 a 
hipótese H0 será rejeitada se T
-
  T0 . T0 é o valor crítico dado pela tabela. Para o nosso 
exemplo, T
-
 = 1. Examinado a Tabela A1 na coluna correspondente a um lado da 
distribuição, a linha correspondente a  = 0.05 e a coluna para N = 16, nós lemos T0 = 36. 
Para ilustrar a outra forma de aplicação do teste (quando n > 25), usando o nosso 
exemplo, tem-se que T
-
 = 1, N =16 e então usando as fórmulas (como exercício) obtemos: 
 16(17) 16(17)(33)
68, 187 13,67
4 24
T T     901,4
67,13
67
67,13
681




Z
 
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 9 
Os valores críticos para distribuição normal não Z0,05 = 1,96 e Z0,01 = 2,58. Então o 
resultado é significativo a 1% e H0 é rejeitada. O Tratamento A é estatisticamente mais 
eficiente que o B. O resultado concorda com o obtido usando a Tabela A1 para N =16. 
No caso de populações independentes, este teste também pode ser aplicado. 
 
2.2.2 Amostras independentes 
 Como pressuposições tem-se que: i) as duas amostras são casualizadas e 
independentes ii) as variáveis X e Y são são contínuas. 
 Consideremos as amostras X1, X2,...,Xm e Y1, Y2,...,Yn, (m n) e procedemos a 
classificação conjunta das N=m+n observações, em ordem crescente. Definimos então : 
1
n
j
j
W O


, em que Oj repersenta a ordem de Yj na classificação conjunta das N = m + n 
observações. 
 Para grandes amostras (m e n grandes) utilizamos a aproximação normal, através da 
estatística W
 *
, em que: *
( 1)
( ) 2
( ) ( 1)
12
o
o
n m n
W
W E W
W
V W mn m n
 


 
 
. Demonstra-se que W~N(0,1). 
 Quando ocorrem empates entre valores de X e de Y, utilizamos para a obtenção do 
W, a média das ordens dos valores empatados e, como no caso usual, tomamos 
1
n
j
j
W O


. 
Considere o seguinte exemplo: 
Xi Yi 
2,3 1,8 
3,2 2,3 
3,8 2,3 
4,5 3,2 
 
em que: N=m+n, k=n
o
 de grupos com empate e ti= n
o
 de observações do grupo i. 
Para o exemplo anterior, se aplicássemos a aproximação normal, teríamos: 
k=2, t1=3, t2=2, m=4 e n=4, portanto: V(W)=11,29 e W
*
=-1,64. Portanto, rejeita-se Ho se 
|W
*
 | ≥ Z α/2. 
1,8 2,3 2,3 2,3 3,2 3,2 3,8 4,5, então: W=1+3+3+5,5=12,5. 
 Y X Y Y X Y X X 
 
No caso da aproximação normal, além de tomarmos a média das ordens 
dos valores empatados, substituímos Vo(W) por: 
2
1
( ) ( 1) ( 1)( 1)
12 ( 1)
k
i i i
i
mn
V W N N t t t
N N 
 
       

 
Paulo R. Cecon; Fabyano F. e Silva & Luiz A. Peternelli 
_________________________________________________________________________ 
 10 
2.2. Teste de Kruskal-Wallis 
Este teste foi proposto para avaliar se três ou mais amostras são iguais (procedentes 
de uma mesma população) ou diferentes. É o substituto da Análise de Variância quando 
esta não pode ser utilizada, já que não exige a homogeneidade das variâncias, que as 
amostras tenham sido tomadas ao acaso e que tenham distribuição normal. Na verdade o 
teste de Kruskal-Wallis se aplica aos delineamentos inteiramente casualizados (DIC), 
quando há 3 ou mais tratamentos. 
A dinâmica de aplicação do teste será apresentada mediante a resolução do seguinte 
exemplo. 
Ex.4 Os dados da tabela abaixo, relativos a porcentagem de plantas doentes num 
experimento de tomateiros, foram apresentados por Pimentel-Gomes (2000) e Conagin, 
Nagai e Ambrósio (2006). 
Porcentagem de plantas doentes em um ensaio de tomateiros. 
 
Tratamento 1 Tratamento 2 Tratamento 3 
10% (2) 27% (4) 40% (8) 
15% (3) 28% (5) 70% (12) 
5% (1) 44% (9) 55% (10) 
30% (6) 35% (7) 60% (11) 
 
Primeiramente, deve-se ordenar os dados conjuntos, ignorando a procedência dos mesmos. 
Os números entre parênteses se referem à ordem dos dados, desde o menor (5%), 
que recebe o número 1, até o maior (70%), que recebe o número 12. No caso de empate 
adotar a média aritmética das respectivas ordens (ranks). A seguir somamos as ordens para 
cada um dos 3 tratamentos. 
Tratamento 1: R1 = 2 + 3 + 1 + 6 = 12, 
1 3X 
; 
Tratamento 2: R2 = 4 + 5 + 9 + 7 = 25, 
2 6,25X 
; 
Tratamento 3: R3 = 8 + 12 + 10 + 11 = 41, 
3 10,25X 
. 
O teste se baseia exclusivamente nestes valores, sem levar em conta se as diferenças 
entre os dados originais são pequenas ou grandes. 
Devemos avaliar se as diferenças de ordem, sem nenhum critério quantitativo mais 
preciso, a análise não-paramétrica deste tipo dificulta muito a interpretação econômica dos 
Paulo R. Cecon; Fabyano F. e Silva & Luiz A. Peternelli 
_________________________________________________________________________ 
 11 
resultados. Assim sendo, como regra, os métodos não-paramétricos que usam estatísticas de 
ordem, devem ser evitados, pois elas ignoram a magnitude real dos dados originais. 
As hipóteses testadas são as seguintes: 
Ho: t1=t2=...=tk 
H1: pelo menos dois tratamentos diferem entre si 
Com os valores de R obtidos, calculamos a estatística H, assim definida: 
 
 13
)1(
12
1
2










 

N
n
R
NN
H
k
i i
i
, 
em que: N é o número total de parcelas no experimento e ni é o número de repetições do 
tratamento i. Dessa forma, rejeita-se Ho se 
( )P H h  
. 
No caso presente temos: 
115,8133
4
412512
1312
12 222





 


 xH
 
No caso de k = 3 tratamentos, a significância de H se julga com o auxílio da Tabela 17 
apresentada no livro de Pimentel-Gomes (2000), ver Tabela A2 nos anexo. Nela, com n1 = 
n2 = n3 = 4 (número de repetições para os 3 tratamentos), achamos H = 7,731, com 
probabilidade  = 0,007 = 0,7%. Nestas condições o resultado obtido é significativo ao 
nível de probabilidade 0,7% e, portanto, também ao de 1%. Para valores de k maiores que 
3, a Tabela 17 (Pimentel-Gomes, 2000) não é aplicável. 
Para complementar os resultados obtidos até agora, é necessário aplicar um teste de 
comparação múltipla visando detectar as diferenças entre os tratamentos. 
2.2.1 Comparações múltiplas 
O emprego das comparações múltiplas pode ser encarado como uma 
complementação do teste de Kruskal-Wallis e de Friedman, onde havíamos considerado a 
hipótese 
.210 ......: ktttH  
. 
Evidentemente, quando rejeitamos 
0H
, estamos admitindo que, pelo menos dois 
tratamentos diferem entre si. Assim, a finalidade das comparações múltiplas é localizar 
quando existem, as diferenças significativas entre pares de tratamentos. 
Os processos não-paramétricos empregados nas comparações múltiplas, quase sempre são 
menos eficientes do que os seus concorrentes do campo paramétricos. 
Paulo R. Cecon; Fabyano F. e Silva & Luiz A. Peternelli 
_________________________________________________________________________ 
 12 
Abordaremos o seguinte caso: Comparações múltiplas envolvendo todos os pares de 
tratamentos. 
Determinamos as diferenças 
ji RR 
 e, a uma taxa 

, as d.m.s. segundo as quais 
ji tt 
são: 
a) Para 
nnnn k  ........21
 d.m.s. = Q 
12
)1( knk 
A tabela 17 apresentada em Campos (1979) nos dá os valores de Q. 
b) No caso de tratamentos não iguais repetidos: 
 d.m.s. = 
 
)
11
(
12
)1(
)1(
ji
kk nn
NN
Z 



 onde 
 )1( kk
Z 
 é um limite superior da 
distribuição normal. 
Segue resultados de uma análise conduzida no software SAEG (exemplo 4). 
 
T e s t e d e K r u s k a l - W a l l i s 
Variável = PORC 
_________________________________________________________________________ 
TR Descrição Média da Média dos Dados 
 Dados Ordens 
 1 ------------------------- 15.00000 3.0000 4 
 2 -------------------------33.50000 6.2500 4 
 3 ------------------------- 56.25000 10.2500 4 
Valor do Teste = 8.115 (P=0.05) = 5.990 (P=0.01) = 9.210 
 
 C o m p a r a ç õ e s M ú l t i p l a s 
_________________________________________________________________________ 
 Classe Diferença Mínima Significativa 
 Observada (P=0.05) (P=0.01) 
 1 2 3.25000 5.97440 7.42744 
 1 3 7.25000 5.97440 7.42744 
 2 3 4.00000 5.97440 7.42744 
O valor de Q (K=3) e 

0.05 é 3,314, A d.m.s. =3,314
12
)143(3 x = 5,9743 = 
5,974 , logo Concluímos que, para 

0.05: 
21 tt 
, 
31 tt 
 e 
32 tt 
. 
 
 
Paulo R. Cecon; Fabyano F. e Silva & Luiz A. Peternelli 
_________________________________________________________________________ 
 13 
2.3. Teste de Friedman 
O teste de Friedman é uma espécie de análise de variância a dois critérios de variação, 
para dados amostrais vinculados. Por exemplo: Três cultivares de cenoura são plantadas em 
4 diferentes locais. Nesse caso, os dois critérios de variação seriam: 1) cultivares; e 2) 
locais. O teste responde a este tipo de pergunta: seria idêntica a avaliação das cultivares 
em todos os locais? Portanto, este teste é usado sob o ponto de vista experimental quando 
se tem um delineamento em blocos casualizados (DBC). 
Este teste não utiliza os dados numéricos diretamente, mas sim os postos ocupados por 
eles, após a ordenação por valores ascendentes desses dados. A ordenação numérica é feita 
separadamente em cada bloco, e não em conjunto. 
A filosofia do teste considera que, se as diversas amostras provêm de uma mesma 
população, isto é, se elas são estatisticamente iguais (hipótese de nulidade, ou de (H0), a 
distribuição dos postos nas diversas colunas será mais ou menos eqüivalente, de modo que 
a soma dos postos em cada coluna será aproximadamente igual. A hipótese alternativa (H1) 
seria de que as amostras não pertenceriam à mesma população — isto é, seriam diferentes 
— e nesse caso haveria diferenças entre as somas das diversas colunas). 
A aplicação do teste será feita por meio do exemplo a seguir (Conagin, Nagai e 
Ambrósio, 2006): 
Ex.5 Ensaio de rotação de cultura em que 5 tratamentos da rotação são aplicados à cultura 
do milho sendo: 
1. M – milho plantado por 12 anos sem adubação (média de 4 repetições); 
2. Mad – milho adubado anualmente com mesma dosagem de NPK; 
3. Mcad – milho adubado anualmente com NPK e calagem no 1º ano; 
4. McadL – idem acima com plantio de leguminosas intercalar; 
5. McadR – Rotação milho, algodão, amendoim – As 3 fases da rotação são 
plantadas anualmente de forma que todo ano há produção de milho da rotação. 
Produção em kg/ha dos 5 tratamentos nos 12 anos. 
 Trat. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
1 1425 1313 1950 1028 945 950 583 800 698 504 279 207 
2 2880 2275 3503 2242 528 2312 767 1678 1622 1075 900 662 
3 4220 3938 5358 5470 3075 4600 2753 3907 4275 3645 3225 2250 
4 3980 2430 5025 5120 3337 4907 2308 3623 4128 3517 3453 2653 
5 5425 3455 4812 5350 3150 5298 2528 4362 4738 5500 5792 1933 
 
Paulo R. Cecon; Fabyano F. e Silva & Luiz A. Peternelli 
_________________________________________________________________________ 
 14 
Classificação pelo ranking dentro dos tratamentos (grupos) – No caso, as colunas refletem 
além das diferenças normais do ano, o efeito do ano agrícola. 
 
 
Trat. 
Anos 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 R1=13 
2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 R2=23 
3 4 5 5 5 3 3 5 4 4 4 3 4 R3=49 
4 3 3 4 3 5 4 3 3 3 3 4 5 R4=43 
5 5 4 3 4 4 5 4 5 5 5 5 3 R5=52 
A classificação foi feita, em ordem crescente. Não houve empates na produção, 
portanto os números dos ranks são sempre de 1 a 5. 
As seguintes condições precisam ser obedecidas: 
a) Os N grupos (anos = blocos) são portanto N=12; 
b) O número de tratamentos é k, no caso, k = 5. 
Admite-se que as populações são contínuas e aproximadamente da mesma forma. No 
caso de populações descontínuas o teste é aproximado; 
c) A hipótese nula especifica: H0: t1 = t2 = t3 = t4 = t5 (5 tratamentos). 
Dentro de cada bloco (ano) deve-se efetuar a classificação contínua das observações 
sendo adotado o valor 1 para o menor valor e o número 5 para o maior valor. Nos casos de 
empate usa-se o valor médio de classificação para todos os valores empatados. 
 A fórmula a ser utilizada é: 
 
   13
)1
12
1
22 






 

kNR
kkN
k
i
ir
 
No exemplo, N=12, k=5. Então, 
   )6)(12(35243492313
)6)(5(12
12 222222
r
 
  067,3921676520333,02 r 
Como não houve empate, não há correção para 
2
r
. 
Para testarmos ao nível  = 0,05 a hipótese H0 contra Ha, devemos procurar na 
Tabela correspondente (encontrada em PIMENTEL-GOMES, 2000, Tabela 18). 
Paulo R. Cecon; Fabyano F. e Silva & Luiz A. Peternelli 
_________________________________________________________________________ 
 15 
 O resultado nos leva ao 
2
crítico, por ser amostra grande vai-se procurar na Tabela 
de 
2
com k-1 = 4, para  = 0,05, 
2
= 9,49 e para  = 0,01, 
2
= 13,28. Sendo o valor 
calculado 
067,392 r
, rejeita-se a hipótese nula. O resultado é altamente significativo. 
 A conclusão é a seguinte: As condições diferentes (anos) não afetaram a colocação 
dos tratamentos no ranking de produção, e no caso, o tratamento 5 (melhor em produção), 
foi, nitidamente, superior aos outros, isto é, a rotação trienal foi superior aos 4 tipos de 
plantio contínuo de milho. 
Para se realizar comparações múltiplas visando a complementação dos resultados 
obtidos via aplicação do teste de Friedman, a d.m.s = Q
12
)1( knk , onde k é o número de 
tratamentos e n é o número de observações. O valor de Q é da Tabela 17 do livro de 
Humberto de Campos. 
 
3. PRINCÍPIOS DA ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL 
 
A pesquisa científica está constantemente se utilizando de experimentos para provar 
suas hipóteses. Ensaio experimental é um trabalho previamente planejado, que segue 
determinados princípios básicos e no qual se faz a comparação dos efeitos dos tratamentos. 
O termo tratamento é o método, elemento ou material cujo efeito desejamos medir ou 
comparar em um experimento. Exemplos: variedades de milho, níveis de proteína na ração, 
tipos de aleitamento de bezerros e outros. 
 
3.1. Unidade experimental ou parcela. 
É a unidade que vai receber o tratamento e fornecer os dados que deverão refletir o seu 
efeito. Por exemplo, em experimentos de alimentação de suínos, a parcela pode ser de 1 
leitão ou um grupo de leitões. Em ensaios de competição de forrageiras, a parcela pode ser 
uma única linha de 10 m de comprimento, ou 2 a 4 linhas, de mesmo tamanho, que serão 
colhidas e pesadas em conjunto. Em experimentos conduzidos em casa de vegetação a 
parcela pode ser um vaso; ou em laboratório, uma placa de Petri com um meio de cultura, 
etc. 
Paulo R. Cecon; Fabyano F. e Silva & Luiz A. Peternelli 
_________________________________________________________________________ 
 16 
3.2. Repetição, casualização e controle local 
É claro que os experimentos variam de umapesquisa para outra, porém, todos eles são 
regidos por alguns princípios básicos, necessários para que as conclusões que venham a ser 
obtidas se tornem válidas. São três os princípios básicos da experimentação: repetição, 
casualização e controle local. 
 
3.2.1 Repetição 
O princípio da repetição consiste em aplicarmos o mesmo tratamento a várias 
parcelas num mesmo experimento e tem por finalidade propiciar a obtenção de uma 
estimativa do erro experimental. 
Ao se comparar, por exemplo, duas rações (A e B), aplicadas a duas parcelas 
constituídas cada uma por 2 leitões perfeitamente iguais, apenas o fato da ração A ter 
propiciado um maior ganho de peso que a ração B, não é suficiente para que possamos 
concluir que a ração A é mais eficiente, pois esse seu melhor desempenho poderá ter 
ocorrido por simples acaso. Por outro lado, se as duas rações forem aplicadas a várias 
parcelas e, ainda assim, verificarmos que a ração A apresenta, em média, maior ganho de 
peso, então já existe um indicativo de que ela seja mais eficiente, ou seja, podemos afirmar 
que a possibilidade deste resultado ter sido obtido por mero acaso é bastante reduzida, 
transmitindo então um maior grau de confiabilidade na conclusão obtida. 
Não existe uma regra dizendo qual deve ser o número de repetições. Isto depende do 
conhecimento do pesquisador sobre o assunto e do conjunto de condições em que será 
realizado o experimento. Como regra prática, aplicável a uma grande maioria dos casos, 
GOMES (1987) relata que os experimentos devem ter pelo menos 20 parcelas e 10 graus de 
liberdade para o resíduo. 
 
3.2.2 Casualização 
Considerando o exemplo utilizado anteriormente, apesar de termos várias parcelas 
das rações A e B, pode ocorrer que a ração A tenha apresentado maior ganho de peso 
médio, por ter sido favorecida por algum fator qualquer, como por exemplo, ter todas as 
suas parcelas destinadas a animais com maior potencial genético. Para evitar que uma das 
rações seja sistematicamente favorecida por qualquer fator externo, procedemos à 
Paulo R. Cecon; Fabyano F. e Silva & Luiz A. Peternelli 
_________________________________________________________________________ 
 17 
casualização das rações, ou seja, as rações serão distribuídas de maneira aleatória às 
parcelas. Desta maneira, as rações têm a mesma probabilidade de ser destinada a qualquer 
parcela. 
Assim, o princípio da casualização tem por finalidade propiciar, a todos os 
tratamentos, a mesma chance de serem designados a qualquer das unidades experimentais, 
evitando assim que nenhum dos tratamentos seja sistematicamente favorecido ou 
desfavorecido por fatores externos. 
O princípio da casualização permite obter uma estimativa válida do erro 
experimental e garante o uso de testes de significância por tornar os erros experimentais 
independentes. 
Vale ressaltar que sem os princípios básicos da repetição e da casualização não 
existe experimentação. 
 
3.2.3 Controle Local 
É um princípio muito usado, mas não é obrigatório, pois podemos realizar 
experimentos sem utilizá-lo. A finalidade do princípio do controle local é dividir um 
ambiente heterogêneo em sub-ambientes homogêneos e tornar o delineamento experimental 
mais eficiente, pela redução do erro experimental. 
Considerando o exemplo usado anteriormente, suponha que tenhamos leitões com 
idades muito diferentes. Diante disto, leitões com idades diferentes podem apresentar taxas 
de crescimento diferenciadas, portanto não podemos distribuir as rações inteiramente ao 
acaso. O princípio do controle local consiste em dividirmos este grupo heterogêneo quanto 
à idade em sub-grupos homogêneos. Estes sub-grupos assim formados são chamados de 
blocos e, as rações são distribuídas, de maneira casualizada, dentro de cada bloco. 
A utilização do princípio do controle local sempre conduz a uma redução do número de 
graus de liberdade do resíduo, o que causa uma desvantagem. Entretanto, essa desvantagem 
geralmente é compensada, pois ocorrerá também uma redução na soma de quadrados do 
resíduo obtendo-se, assim, maior precisão para o experimento, pois há uma redução na 
variância residual, devido ao fato de se isolar o efeito dos fatores que normalmente seriam 
incluídos no resíduo. 
Paulo R. Cecon; Fabyano F. e Silva & Luiz A. Peternelli 
_________________________________________________________________________ 
 18 
3.3 Grau de Liberdade (GL) 
 O termo grau de liberdade representa o numero de valores, utilizados no calculo de 
uma estatística, que apresentam ―liberdade‖ para variar, ou seja, que são independentes. Por 
exemplo, para calcular a soma de quadrados dos desvios (SQD) de uma amostra aleatória 
com n observações, primeiro e necessário calcular a media e depois calcular a soma dos n 
desvios (cada observação menos a media). 
 
       
n 2 2 2 2
i 1 2 n
i=1
SQX = x x = x x + x x + ...+ x x   
 
Desses n valores nem todos sao independentes, pois sabe-se que: 
        0...21
1
=xx++xx+xx=xx n
n
=i
i 
, portanto o n-ésimo desvio não tem 
―liberdade‖ para variar, pois seu valor depende dos valores de todos os outros desvios. 
Assim, pode-se definir que o numero de graus de liberdade associados a SQD é n-1. 
 De forma geral, o numero de graus de liberdades associados a uma estatística e o 
numero de elementos na amostra, n, menos o numero de parâmetros já estimados. 
Paulo R. Cecon; Fabyano F. e Silva & Luiz A. Peternelli 
_________________________________________________________________________ 
 
 19 
4. ANÁLISE DA VARIÂNCIA 
 
 É uma técnica de análise estatística que permite decompor a variação total, ou seja, 
a variação existente entre todas as observações, na variação devido à diferença entre os 
efeitos dos tratamentos e na variação devido ao acaso, que também é denominada de erro 
experimental ou resíduo. 
 
4.1. Variação entre tratamentos 
 É aquela atribuida estritamente a variabilidade das medias dos tratamentos em 
relação a media geral. Tambem e denominada de Soma de Quadrado de Tratamento (SQT): 
  ,yyJ=SQT
I
=i
i 
1
2
em que: 
y i
é a média do tratamento i, 
;
J
y
=y
I
=i
ij
i 
1
 
y é a media geral do experimento, 
;
IJ
y
=y
I
=i
J
j=
ij

1 1
 
 J é o numero de repetições; j=1,2,...,J. 
 I é o numero de tratamentos; i=1,2,...,I. 
 
4.2. Variação dentro de tratamentos 
 E devida a variação de cada observação em relação a media do tratamento. Esta 
variação e devida a todas as outras fontes que causam variação nas observações (efeitos não 
controlados), excetuando os tratamentos. Também é denominada de Soma de Quadrado do 
Erro (SQE): 
  ,yy=SQE
I
=i
J
j=
iij 
1 1
2
em que: 
y i j
é o valor da parcela que recebeu o tratamento i na repetição j; 
No entanto, para que esta técnica seja empregada é necessário que sejam satisfeitas 
as seguintes pressuposições: 
Paulo R. Cecon; Fabyano F. e Silva & Luiz A. Peternelli 
_________________________________________________________________________ 
 
 20 
 
1
a
. os efeitos do modelo estatístico devem ser aditivos; 
2
a
. os erros experimentais devem ser normalmente distribuídos, independentes, com 
média zero e com variância comum. 
 
O esquema da ANOVA de um experimento instalado num DIC com I tratamentos e 
J repetições é apresentado a seguir: 
 
FV GL SQ QM F 
Tratamento (I-1) SQTrat 
1I
SQTrat
 
sQM
QMTrat
=FCalc
Re
 
Resíduo I(J-1) SQRes 
 1
Re
JI
sSQ
 
 
Total IJ - 1 SQTotal 
 
 As fórmulas para se calcular as somas de quadrados (SQ) são:IJ
y
y=SQTotal
ij
ij
ij
ij
2
2










 
 
 







i
ij
ij
i
IJ
y
T
J
=SQTrat
2
21 , em que Ti é o total do tratamento i 
 SQRes = SQTotal - SQTrat 
OBS: Graus de liberdade do Resíduo também é calculado por diferença, ou seja, 
GLRes = GLTotal - GLTrat 
 
No esquema da ANOVA e nas fórmulas apresentadas anteriormente, considera-se o 
experimento como sendo balanceado, isto é, todos os tratamentos têm o mesmo número de 
repetições (número de repetições = J). Porém, no DIC, o número de repetições pode variar 
Paulo R. Cecon; Fabyano F. e Silva & Luiz A. Peternelli 
_________________________________________________________________________ 
 
 21 
de um tratamento para outro sem que isto venha dificultar a análise. No entanto, sempre 
que possível, deve-se usar o mesmo número de repetições. 
Para concluir se existe diferença significativa entre os tratamentos, aplica-se o teste 
F. Este teste consiste em comparar o valor do F calculado com o valor de F tabelado, o qual 
é obtido na tabela de distribuição da variável aleatória F, de acordo com o nível de 
significância do teste e graus de liberdade para tratamentos e resíduo. 
As hipóteses para o teste F da análise de variância para tratamentos, são as 
seguintes: 
m=m==m=m:H I...210
, o que equivale a dizer que todos os possíveis contrastes 
entre as médias dos tratamentos, são estatisticamente nulos, ao nível de 
probabilidade que foi executado o teste. 
0Hnão:Ha
, o que equivale a dizer que existe pelo menos um contraste entre as 
médias dos tratamentos, estatisticamente diferente de zero, ao nível de 
probabilidade que foi realizado o teste. 
A regra decisória para o teste F é a seguinte: 
- se o valor do F calculado for maior ou igual ao valor do F tabelado, então rejeita-se 
H 0
 e 
conclui-se que os tratamentos tem efeito diferenciado ao nível de significância em que foi 
realizado o teste; 
- se o valor de F calculado for menor que o valor do F tabelado, então não rejeita-se 
H 0
 e 
conclui-se que os tratamentos têm efeitos iguais ao nível de significância em que foi 
realizado o teste. 
 
 
4.3. Aplicação 
 
Consideremos um exemplo apresentado por GOMES (1984), que consiste de um 
experimento de competição de 4 cultivares de cana-de-açúcar (A, B, C e D), utilizando o 
DIC com 6 repetições. Obteve-se os seguintes resultados, em t/ha: 
Paulo R. Cecon; Fabyano F. e Silva & Luiz A. Peternelli 
_________________________________________________________________________ 
 
 22 
 Cultivares 
Re
petição 
 A B C D 
1 5
4 
60 59 4
5 
2 4
0 
55 47 3
3 
3 5
1 
66 44 3
4 
4 3
6 
61 49 4
8 
5 5
0 
54 62 4
2 
6 4
8 
61 60 4
4 
To
tais 
 2
79 
 357 321 2
46 
 
Resolução: 
 
Quadro da ANOVA 
FV GL SQ QM F 
Tratamentos 3 1174,12 391,37 9,47
 * 
 Resíduo 20 826,50 41,32 
Total 23 2000,62 
*
 Significativo ao nível de 5% de probabilidade 
 
- As somas de quadrados (SQ) foram obtidas da seguinte maneira: 
   
622000386030062301
24
1203
62301
64
444054
444054
2
2
222
2
2
,=,==
x
+++
+++=
IJ
y
y=SQTotal
ij
ij
ij
ij














 
Paulo R. Cecon; Fabyano F. e Silva & Luiz A. Peternelli 
_________________________________________________________________________ 
 
 23 
 
121174386030061474,5
24
1203
246279
6
11 222
2
2
,=,=
++=
IJ
y
T
J
=SQTrat
i
ij
ij
i












 
 
SQRes = SQTotal - SQTrat = 2000,62 - 1174,12 = 826,50 
 
- Os quadrados médios (QM) foram obtidos da seguinte maneira: 
3241
20
50826
Re
Re
Re
37391
3
121174
,=
,
=
sGL
sSQ
=sQM
,=
,
=
GLTrat
SQTrat
=QMTrat
 
 
- O valor do F calculado será: 
9,47
3241
37391
Re
=
,
,
=
sQM
QMTrat
=Fcalc
 
- Teste F: 
 
0
43210
Hnão:H
m=m=m=m=m:H
a
 
  3,102035 =,F=Ftab
 
Fcalc F tab
, rejeita-se H0 ao nível de 5% de probabilidade pelo teste F. Portanto existe 
pelo menos um contraste entre as médias dos cultivares de cana-de-açúcar estatisticamente 
diferente de zero. 
- Precisão do experimento: 
12550
24
1203
ˆ ,==
IJ
y
=
N
G
=m
ij
ij QMRes = 41,32 
 
8212100
12550
3241
100
ˆ
Re
(%.. ,=
,
,
=
m
sQM
=)VC
 
 
Paulo R. Cecon; Fabyano F. e Silva & Luiz A. Peternelli 
_________________________________________________________________________ 
 
 24 
OBS.1 O coeficiente de variação varia de - ∞ a ∞, mas geralmente utiliza-se o 
0|| CV
 
OBS.2 (diferentes números de repetições dos tratamentos): As fórmulas anteriores são 
utilizadas quando o número de repetições é igual para todos os tratamentos. No caso em 
que o número de repetições varia de acordo com o tratamento algumas modificações devem 
ser levadas em conta, como por exemplo 
 
I
=i i
i C
r
T
=SQTrat
1
2 em que: 
N
G
C 
 
em que : 
- N = número de unidades experimentais (ou a soma de todas as repetições) = 

I
=i
ir
1
 
- 
r i
 número de repetições do tratamento i. 
 
 
Paulo R. Cecon; Fabyano F. e Silva & Luiz A. Peternelli 
_________________________________________________________________________ 
 
 25 
5. O MODELO MATEMATICO 
 
 Seja Y uma variável que deve ser predita (ou descrita) por meio de um conjunto de 
fatores X1, X2, ..., Xp. Pode-se, então representar Y= f( X1, X2, ..., Xp.) = f(X, e), em que e 
descreve um conjunto provavelmente grande de outros fatores que não foram considerados 
e serão chamados de erro (ou resíduo) . De forma geral nosso problema resume-se ao fato 
de encontrarmos uma função f(X, e) que aproxime convenientemente Y e esta função 
geralmente denominada de modelo matemático. Porem, para que este modelo seja 
corretamente associado a teoria da Estatística Experimental algumas restrições ou 
suposições deverão ser atendidas. 
 
5.1. Conceituação, componentes e classificação 
 
5.1.1 Conceituação e componentes 
 
 Utilizando a notação matricial, a expressão Y = f(X, e) pode ser representada da 
seguinte maneira: 
+Xθ=Y
a qual e definida como modelo linear, em que: 
 Y é o vetor da variável dependente de dimensão n x 1; 
 X é uma matriz conhecida (matriz de delineamento) de dimensão n x p; 
 θ é um vetor de parâmetros desconhecidos de dimensão p x 1; 
 ε é um vetor de erros de dimensão n x 1. 
 Caso queira representar o modelo linear acima em termos algébricos, pode-se 
simplesmente fazer o desenvolvimento por meio de resoluções de equações lineares. E 
alem disso, caso também seja de interesse, e possível interpretar de forma pratica (aplicada 
a experimentação) os componentes deste, como por exemplo : 
 
ijiij e+t+m=y
 i= 1, 2, , I
j= 1, 2, , J
 
em que, 
y ij
é o valor observado para a variável em estudo referente ao i-ésimo tratamento na j-
ésima repetição; 
 m é média de todas as unidades experimentais para a variável em estudo; 
Paulo R. Cecon; Fabyano F. e Silva & Luiz A. Peternelli 
_________________________________________________________________________ 
 
 26 
t i
é o efeito do tratamento i no valor observado; 
eij
é o erro associado a observação 
y ij
; 
 
 Este modelo linear, também denominadode modelo de Gauss-Markoff, constitui 
uma ferramenta básica na Estatística Experimental, pois personifica a filosofia do método 
experimental. Isto porque Y representa a variável de interesse de um pesquisador 
(experimentador), X os fatores que devem ser investigados (experimentados) de forma a 
concluir se eles realmente exercem influencia sobre Y, e θ quantifica os efeitos de X sobre 
Y e ε indica que outros fatores, alheios ao interesse do pesquisador, existem, porem não 
foram consideradas. 
 
5.1.2 Classificação 
 
 Os modelos utilizados em Estatística Experimental são classificados de acordo com 
características assumidas pelos seus componentes. Dessa forma podemos classificá-los 
como sendo fixo, aleatório ou misto, e de acordo com Barbin (1998), tem-se as seguintes 
definições. 
 
5.1.2.1 Modelos Aleatórios 
 Dizemos que um modelo é aleatório se ele contiver apenas efeitos aleatórios, com 
exceção da média. Esse tipo de modelo também é chamado de modelo do tipo II. Os efeitos 
aleatórios que compõe o modelo poderão ocorrer quando os K tratamentos corresponderem 
a uma amostra aleatória de uma grande população de tratamentos. Nesse caso: 
 Conclusões obtidas para essa amostra de tratamentos podem ser estendidas para a 
população; 
 Os ti são variáveis aleatórias. Assim, informações particulares sobre um certo ti 
geralmente são sem utilidades; 
 O que testamos é a hipótese a respeito da variabilidade dos efeitos de tratamento, 
além de estimar tal variabilidade. 
 
 
Paulo R. Cecon; Fabyano F. e Silva & Luiz A. Peternelli 
_________________________________________________________________________ 
 
 27 
5.1.2.2. Modelos Fixos 
 Dizemos que um modelo é fixo se ele apresentar apenas efeitos fixos, com exceção 
do erro ou resíduo. Esse tipo de modelo, que representa a classe mais simples dentro da 
Estatística Experimental, também é denominado de modelo do tipo I, o qual e caracterizado 
pelo fato dos níveis do fator serem especificados pelo experimentador. Neste caso: 
 Testa-se hipóteses sobre as médias de tratamentos; 
 Conclusões são válidas apenas para esses níveis; 
 Pode-se estar interessado em estimar , ti, ². 
 
5.1.2.3. Modelos Mistos 
 Quando aparecem no modelo efeitos fixos e efeitos aleatórios, alem da media e do 
erro, ele e dito modelo misto, ou do tipo III. Este tipo modelo tem muita importância dentro 
da Estatística Experimental, principalmente na área de genética e melhoramento, onde o 
objetivo do pesquisador é obter informações a respeito da população dos efeitos aleatórios e 
estimar e comparar os efeitos fixos. 
 Um exemplo bastante comum na área de Melhoramento Genético animal e o 
modelo apresentado a seguir o qual apresenta o efeito de touro como aleatório. 
 
  ijkliklkjiiijkl e+FS+G+S+T+F+μ=Y
 
em que: 
ijklY
é o peso ao nascer; 
é a media geral; 
Fi
é o efeito da fazenda i, i=1,2,3,...,I; 
T i j
é o efeito do touro j dentro da fazenda i, 
   20,~ Tji σNIDT
; 
Sk
é o sexo do bezerro k, k=1,2,...,K; 
Gl
é o efeito do grupo contemporâneo l, l=1,2,...,L; 
FSik
é o efeito da interação entre a fazenda i e o sexo k; 
Paulo R. Cecon; Fabyano F. e Silva & Luiz A. Peternelli 
_________________________________________________________________________ 
 
 28 
ijkle
é o erro experimental, 
 20,~ σNIDeijkl
 
 Com relação aos propósitos de se utilizar modelos fixos ou aleatórios, Barbin (1998) 
apresenta a seguinte Tabela, na qual diferenças marcantes entre as características desses 
dois modelos podem ser facilmente visualizadas e compreendidas. 
 
 MODELO ALEATÓRIO MODELO FIXO 
Analise de variancia Maneira usual Maneira usual 
Estimadores dos 
Componentes de 
Variância 
sQM Reˆ 2 
 
J
sQMQMTrat
t
Re
ˆ 2


 
sQM Reˆ 2 
 
 
Hipotese H0 testada 
02 =σt
 
i
1 2 I
t = 0,para todo i,
ou t = t = ... = t
 
 
 
Tetse F 
Admitindo-se 
  :setemσNIDt ti 20,~
 
2
22
σ
Jσ+σ
=F t
 
sob H0 
 
 
2
2
σ
JΦ+σ
=F t
 
 
 
Conclusões 
As conclusões são estendidas a 
toda população, logo se F for 
significativo rejeitamos H0 (há 
diferença significativa entre os 
tratamentos de toda a população) 
As conclusões são 
limitadas aos tratamentos 
do ensaio, logo se F for 
significativo, rejeita-se H0 
e conclui-se que existe 
pelo menos um contraste 
entre médias de 
tratamentos que difere de 
zero. 
 
 
 
 
 
 
Paulo R. Cecon; Fabyano F. e Silva & Luiz A. Peternelli 
_________________________________________________________________________ 
 
 29 
5.2. Desenvolvimento e restrições do modelo 
 
 E importante que se conheça as hipóteses exigidas para a validade do modelo. Não 
podemos simplesmente admitir que elas estejam satisfeitas e partir para a analise e 
interpretação dos dados. As conseqüências deste procedimento podem ser perigosas. De 
forma geral estas hipóteses são as seguintes: Aditividade dos efeitos, Normalidade dos 
erros, Independência dos erros e Homogeneidade de variâncias dos tratamentos. 
 
5.2.1 Aditividade dos efeitos 
 
 Nos experimentos em DIC espera-se que os efeitos de tratamentos e os erros sejam 
aditivos, pois acredita-se que nenhuma variável de blocagem, que fugiu ao controle do 
experimentador, exerça alguma influencia marcante nas observações. Por outro lado, se 
algum controle importante foi negligenciado, ele pode interagir com os tratamentos 
tornando os efeitos de tratamentos e erros mais multiplicativos do que aditivos. Caso isto 
ocorra uma transformação logarítmica pode ser apropriada. 
 Para os modelos em DBC e DQL e importante verificar se as variáveis de blocagem 
interagem com os tratamentos ou entre si. Para isto, existem os testes de não aditividade de 
Tukey, que podem ser encontrado na literatura especializada (Tukey, 1949). 
 
5.2.2 Normalidade de erros 
 
 A não normalidade dos erros afeta o coeficiente de confiança dos intervalos, que e 
importante na construção de estimativas, e o nível de significância dos testes. A 
normalidade dos erros pode ser julgada por meio dos seguintes testes:Aderência de Qui-
Quadrado, Lilliefors e Shapiro-Wilk. Na presença de falta de normalidade do erro uma 
solução seria a transformação de dados, porem esta técnica apresenta alguns problemas 
como a escolha adequada da função de transformação e principalmente a interpretação dos 
resultados, uma vez que os dados não encontram-se descritos na escala original. 
 
 
 
Paulo R. Cecon; Fabyano F. e Silva & Luiz A. Peternelli 
_________________________________________________________________________ 
 
 30 
5.2.3 Independência dos erros 
 
A hipótese de que os erros normalmente distribuídos são independentes é equivalente a 
hipótese de que eles são não correlacionados. Para a grande maioria dos experimentos, a 
casualização oferece uma boa proteção contra a correlação residual. Em situações especiais, 
uma análise de resíduos (erros) poderia ser útil para estudar estas correlações. Constatada a 
correlação, deve-se procurar as causas e propor modificações no modelo. 
 
5.2.4 Homogeneidade de variâncias 
 
A ocorrência de variâncias heterogêneas entre os diversos tratamentos é considerada 
uma das mais sérias e freqüentes violações das hipóteses para a validade da análise de 
variância. É muito comum em dados biológicos uma correlação positiva entre a média e a 
variância, isto é, tratamentos com médias altas tendem a apresentar variâncias altas e 
aqueles com médias pequenas mostram variâncias pequenas. 
Os testes mais utilizados para identificar a falta dehomogeneidade são: F Máximo de 
Hartley, Bartlett, Cochran e Levene. Constatada a heterocedasticidade, alguns 
procedimentos podem ser utilizados a fim de solucionar este problema como por exemplo a 
utilização do método dos Quadrados Mínimos Ponderados, a transformação logarítmica ou 
a transformação de Box-Cox. 
 
Paulo R. Cecon; Fabyano F. e Silva & Luiz A. Peternelli 
_________________________________________________________________________ 
 
 31 
6. PRINCIPAIS DELINEAMENTOS EXPERIMENTAIS 
 
6.1 Delineamento Inteiramente Casualizado 
 
6.1.1 Conceituação 
 
O Delineamento inteiramente casualizado (DIC) é o tipo de delineamento mais 
simples que existe. A distribuição dos tratamentos às unidades experimentais é feita 
completamente ao acaso, ou seja, não é feita nenhuma restrição na casualização. 
Este delineamento leva em consideração apenas dois princípios básicos da 
experimentação: repetição e casualização. 
É indicado quando as condições experimentais são homogêneas sendo mais 
utilizado em condições de laboratório e em casas de vegetação, onde as condições 
ambientais podem ser melhor controladas. Para a instalação desses experimentos no campo, 
deve-se ter certeza da homogeneidade das condições ambientais e do material experimental. 
 No caso do DIC tem-se o seguinte modelo: 
 
jiiji etmy 
 
Jj
Ii
,,2,1
,,2,1




 
em que, 
jiy
 é o valor observado para a variável em estudo referente ao i-ésimo tratamento na j-
ésima repetição; 
m é a constante inerente ao modelo; 
it
 é o efeito do tratamento i no valor observado; 
jie
 é o erro associado à observação 
jiy
; 
 
 
 
 
 
Paulo R. Cecon; Fabyano F. e Silva & Luiz A. Peternelli 
_________________________________________________________________________ 
 
 32 
O esquema da ANOVA de um experimento instalado num DIC com I tratamentos e 
J repetições é apresentado a seguir: 
 
FV GL SQ QM F E(QM) 
Fixo Aleatório 
Tratamento (I-1) SQTrat 
1I
SQTrat
 
sQM
QMTrat
FCalc
Re

 
tJ
2
 
22
tJ 
 
Resíduo I(J-1) SQRes 
 1
Re
JI
sSQ
 
 
2
 
2
 
Total IJ - 1 SQTotal 
Obs.: Para um melhor entendimento das hipóteses a serem testadas ver tabela do item 5.1.
 
em que: 
I
2
i
i 1
t
t
I 1


 

, o qual é uma função quadrática 
 
 As fórmulas para se calcular as somas de quadrados (SQ) são: 
IJ
y
ySQTotal
ji
ji
ji
ji
2
2










 ; 
 







i
ji
ji
i
IJ
y
T
J
SQTrat
2
21 , em que Ti é o 
total do tratamento i e SQRes = SQTotal – SQTrat. 
 
OBS.1: Graus de liberdade do Resíduo também é calculado por diferença, ou seja, 
 
GLRes = GLTotal - GLTrat 
 
No esquema da ANOVA e nas fórmulas apresentadas anteriormente, considera-se o 
experimento como sendo balanceado, isto é, todos os tratamentos têm o mesmo número de 
repetições (número de repetições = J). Porém, no DIC, o número de repetições pode variar 
de um tratamento para outro sem que isto venha dificultar a análise. No entanto, sempre 
que possível, deve-se usar o mesmo número de repetições. 
Paulo R. Cecon; Fabyano F. e Silva & Luiz A. Peternelli 
_________________________________________________________________________ 
 
 33 
Para concluir se existe diferença significativa entre os tratamentos, aplica-se o teste F. 
Este teste consiste em comparar o valor do F calculado com o valor de F tabelado, o qual é 
obtido na tabela de distribuição da variável aleatória F, de acordo com o nível de 
significância do teste e graus de liberdade para tratamentos e resíduo. 
Sob determinadas restrições, as hipóteses para o teste F da análise de variância para 
tratamentos, são as seguintes: 
1) Modelo de efeito fixo: 
mm...mm:H I210 
, o que equivale a dizer que todos os possíveis 
contrastes entre as médias dos tratamentos, são estatisticamente nulos, ao nível 
de probabilidade que foi executado o teste. 
0a Hnão:H
, o que equivale a dizer que existe pelo menos um contraste entre as 
médias dos tratamentos, estatisticamente diferente de zero, ao nível de 
probabilidade que foi realizado o teste. 
A regra decisória para o teste F é a seguinte: 
- se o valor do F calculado for maior ou igual ao valor do F tabelado, então rejeita-se 
0H
 e 
conclui-se que os tratamentos tem efeito diferenciado ao nível de significância em que foi 
realizado o teste; 
- se o valor de F calculado for menor que o valor do F tabelado, então não rejeita-se 
0H
 e 
conclui-se que os tratamentos têm efeitos iguais ao nível de significância em que foi 
realizado o teste. 
2) Modelo de efeito aleatório 
H0: σ
2
t = 0 o que equivale a dizer que o componente de variância relacionado ao 
efeito aleatório de tratamento assume o valor zero. 
Ha: σ
2
t > 0, o que equivale a dizer que o componente de variância relacionado ao 
efeito aleatório de tratamento não é nulo. 
 
 
 
 
 
Paulo R. Cecon; Fabyano F. e Silva & Luiz A. Peternelli 
_________________________________________________________________________ 
 
 34 
6.1.2 Aplicações 
 
 Consideremos um exemplo apresentado por GOMES (1984), que consiste de um 
experimento de competição de 4 cultivares de cana-de-açúcar (A, B, C e D), utilizando o 
DIC com 6 repetições. Obteve-se os seguintes resultados, em t/ha: 
 
 Cultivares 
Repetição A B C D 
1 54 60 59 45 
2 40 55 47 33 
3 51 66 44 34 
4 36 61 49 48 
5 50 54 62 42 
6 48 61 60 44 
Totais 279 357 321 246 
 
Resolução: 
Quadro da ANOVA 
FV GL SQ QM F 
Tratamentos 3 1174,12 391,37 9,47
 * 
Resíduo 20 826,50 41,32 
Total 23 2000,62 
*
 Significativo ao nível de 5% de probabilidade 
 
- As somas de quadrados (SQ) foram obtidas da seguinte maneira: 
   
62,200038,6030062301
24
1203
62301
64
444054
444054
2
2
222
2
2















xIJ
y
ySQTotal
ji
ji
ji
ji


 
Paulo R. Cecon; Fabyano F. e Silva & Luiz A. Peternelli 
_________________________________________________________________________ 
 
 35 
 
12,117438,603005,61474
24
1203
246279
6
11 222
2
2










 


i
ji
ji
i
IJ
y
T
J
SQTrat
 
 
SQRes = SQTotal - SQTrat = 2000,62 - 1174,12 = 826,50 
 
- Os quadrados médios (QM) foram obtidos da seguinte maneira: 
32,41
20
50,826
Re
Re
Re
37,391
3
12,1174


sGL
sSQ
sQM
GLTrat
SQTrat
QMTrat
 
 
- O valor do F calculado será: 
47,9
32,41
37,391
Re

sQM
QMTrat
Fcalc
 
 
- Teste F: 
0
43210
:
:
HnãoH
mmmmmH
a
   10,320,3%5  FFtab 
tabcalc FF 
, rejeita-se H0 ao nível de 5% de probabilidade pelo teste F. Portanto existe pelo 
menos um contraste entre as médias dos cultivares de cana-de-açúcar estatisticamente 
diferente de zero. 
- Precisão do experimento: 
125,50
24
1203
ˆ 

IJ
y
N
G
m
ji
ji QMRes = 41,32 
%82,12100
125,50
32,41
100
ˆ
Re
(%)..  
m
sQM
VC
 
Paulo R. Cecon; Fabyano F. e Silva & Luiz A. Peternelli 
_________________________________________________________________________ 
 
 36 
 
OBS.2 (diferentes números de repetições dos tratamentos): As fórmulas anteriores sãoutilizadas quando o número de repetições é igual para todos os tratamentos. No caso em 
que o número de repetições varia de acordo com o tratamento algumas modificações 
devem ser levadas em conta, como por exemplo 













I
i
rI
ji
ij
i
i
N
Y
r
T
SQTrat
i
1
2
,
1,1
2
 
em que : 
- N = número de unidades experimentais = 
r
i
i
I


1
 
- 
r
i

 número de unidades experimentais do tratamento i. 
 
Exercícios Propostos 
(1) Um engenheiro avaliou quatro banhos de têmpera para aumentar a dureza de peças de 
aço segundo o DIC, e obteve os seguintes dados numa escala apropriada: 
Total Média
A 25 26 20 23 21 115 23
B 31 25 28 27 24 135 27
C 22 26 28 25 29 130 26
D 22 28 27 23 20 120 24
 
Realizar a ANOVA para testar a hipótese de igualdade dos efeitos de tratamentos. 
Resposta: Fcalc = 2,02 QMtrat = 16,66 QMres = 8,25 
 Ftab (5%; (I – 1); I(J– 1)) = 3,24 
 
 
 
 
 
25ˆ 
Paulo R. Cecon; Fabyano F. e Silva & Luiz A. Peternelli 
_________________________________________________________________________ 
 
 37 
 
6.2 Delineamento em Blocos Casualizados 
6.2.1 Conceituação 
O delineamento em blocos casualizados (ou delineamento em blocos ao acaso; ou 
ainda delineamento em blocos completos casualizados) se constitui no mais utilizado de 
todos os delineamentos experimentais. 
É utilizado quando não há completa homogeneidade nas condições experimentais. A 
área ou o material experimental é dividido em blocos (ou grupos) de tal forma que exista 
homogeneidade dentro de cada um deles e que cada um deles contenha uma repetição de 
cada tratamento distribuídos inteiramente ao acaso dentro de cada bloco. 
O DBC envolve os três princípios básicos da experimentação: Repetição; 
Casualização; e Controle Local. 
Nesses experimentos não importa que as condições experimentais de um bloco 
sejam diferentes das condições experimentais do outro bloco. O que importa é a 
homogeneidade dentro de cada bloco. 
A instalação de um experimento no DBC quando o mesmo não é necessário, implica 
na perda de eficiência e diminuição da precisão do experimento. 
Para o DBC o modelo estatístico é: 
ijjiji ebtmY 
 
em que, 
jiy
 é o valor observado para a variável em estudo referente ao tratamento i no 
bloco j; 
m é a média de todas as unidades experimentais para a variável em estudo; 
it
 é o efeito tratamento i no valor observado 
jiy
; 
jb
 é o efeito do bloco j no valor observado 
jiy
; 
jie
 é o erro associado a observação 
jiy
 . 
 
Neste tipo de delineamento a decomposição da variação total é feita da seguinte 
forma: 
Paulo R. Cecon; Fabyano F. e Silva & Luiz A. Peternelli 
_________________________________________________________________________ 
 
 38 
SQTotal = SQTratamentos + SQBlocos + SQResíduo 
O quadro da ANOVA para a análise de um experimento instalado segundo o DBC 
com I tratamentos e J repetições (blocos) é do seguinte tipo: 
 
FV GL SQ QM F E(QM) 
Fixo Aleat Misto 
Bloc 
 
(J-1) SQBloc 
1
cos
I
SQBlo
 
sQM
QMBlo
Fcalc
Re
cos

 
bI
2
 
22
bI 
 
22
bI 
 
Trat (I-1) SQTrat 
1J
SQTrat
 
sQM
QMTrat
Fcalc
Re

 
tJ
2
 
22
tJ 
 
tJ
2
 
Res (I-1)(J-1) SQRes 
  11
Re
 JI
sSQ
 
 
2
 
2
 
2
 
Total IJ - 1 SQTot 
Obs.: E(MQ) Modelo Misto: Considere tratamento fixo e bloco aleatório 
Em que:
J
2
j
j 1
b
b
J 1


 

 e 
I
2
i
i 1
t
t
I 1


 

. 
 
As fórmulas para se calcular as somas de quadrados (SQ) são: 
IJ
y
ySQTotal
ji
ji
ji
ji
2
2










 ; 
 







j
ji
ji
j
IJ
y
B
I
SQBlo
2
21cos , em que Bj é 
o total do bloco j 
 
 







i
ji
ji
i
IJ
y
T
J
SQTrat
2
21 , em que Ti é o total do tratamento i 
 SQRes = SQTotal - SQBlocos - SQTrat 
OBS.1: Graus de liberdade do Resíduo também é calculado por diferença, ou seja, 
GLRes = GLTotal - GLBlocos - GLTrat 
 
As hipóteses para o teste F da análise de variância para tratamentos, são as seguintes: 
Paulo R. Cecon; Fabyano F. e Silva & Luiz A. Peternelli 
_________________________________________________________________________ 
 
 39 
 
1) Modelo fixo 
mmmmH I  ...: 210
, o que equivale a dizer que todos os possíveis contrastes 
entre médias de tratamentos, são estatisticamente nulos, ao nível de 
probabilidade que foi executado o teste. 
0
~: HoanHa
, o que equivale a dizer que existe pelo menos um contraste entre médias 
dos tratamentos, estatisticamente diferente de zero, ao nível de probabilidade que 
foi realizado o teste. 
A regra decisória para o teste F é a mesma que no caso do DIC, ou seja: 
- se F calculado  F tabelado  rejeita-se 
0H
 e conclui-se que os tratamentos tem efeito 
diferenciado ao nível de significância em que foi realizado o teste; 
- se F calculado < F tabelado  não se rejeita 
0H
 e conclui-se que os tratamentos têm 
efeitos iguais ao nível de significância em que foi realizado o teste. 
 
2) Modelo de efeito aleatório 
 - p/ tratamentos 
H0: σ
2
t = 0 o que equivale a dizer que o componente de variância relacionado ao 
efeito aleatório de tratamento assume o valor zero. 
Ha: σ
2
t > 0, o que equivale a dizer que o componente de variância relacionado ao 
efeito aleatório de tratamento não é nulo. 
 - p/ blocos 
H0: σ
2
b = 0 o que equivale a dizer que o componente de variância relacionado ao 
efeito aleatório de bloco assume o valor zero. 
Ha: σ
2
b> 0, o que equivale a dizer que o componente de variância relacionado ao 
efeito aleatório de bloco não é nulo. 
 
 
 
 
Paulo R. Cecon; Fabyano F. e Silva & Luiz A. Peternelli 
_________________________________________________________________________ 
 
 40 
 
6.2.2 Aplicações 
 
Em um experimento de competição de cultivares de batata foram utilizados 4 blocos e 4 
variedades, anotando-se a produção cujos valores são apresentados na tabela abaixo. 
 
variedade 1 2 3 4
1 49.3 49.4 49.6 50.0
2 49.4 49.3 49.8 49.9
3 49.2 49.4 49.5 49.7
4 49.7 49.6 50.0 50.2
Blocos
 
 
Solução : 
 
 
2 24 4
2 ..
ij
i 1 j 1
2 2
2 2 2..
i.
2 2
2 2 2..
. j
y 794
SQtotal y 39403,54 1,29
IJ 16
y1 1 794
SQtrat y 198,3 ... 199,5 0,385
J IJ 4 16
y1 1 794
SQblocos y 197,6 ... 199,8 0,825
I IJ 4 16
SQres 1,29 0,385 0,825 0,08
 
     
      
      
   
 
 ________________________________________________________ 
FV GL SQ QM Fc Pr>Fc 
________________________________________________________ 
 Blocos 3 0.825000 0.275000 30.938 0.0000 
 Variedade 3 0.385000 0.128333 14.438 0.0009 
 Resíduo 9 0.080000 0.008889 
________________________________________________________ 
 Total 15 1.290000 
________________________________________________________ 
 P-Value = 0,0009 
ou 
Fcrit = F (5%;3;9) = 3,86 
Paulo R. Cecon; Fabyano F. e Silva & Luiz A. Peternelli 
_________________________________________________________________________